第03讲 分式（讲练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（浙江专用）

第一章 数与式 第03讲 分式（3~6分） （思维导图+2考点+2命题点11种题型） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 分式的概念与基本性质 考点二 分式的运算 04题型精研·考向洞悉 命题点一 分式的概念与性质 ►题型01 分式的定义 ►题型02 分式有意义的条件 ►题型03 分式为0的条件 ►题型04 分式的值 ►题型05 分式的约分、通分 ►题型06 分式的基本性质应用 命题点二 分式的运算 ►题型01 分式的计算 ►题型02 分式的化简求值 ►题型03 分式运算的应用 ►题型04 分式的规律性问题 ►题型05 分式运算的新定义问题 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 考点要求 新课标要求 考查频率 命题预测 分式的概念与性质 理解分式和最简分式的概念.并能利用分式的基本性质进行约分与通分. ⭐⭐⭐⭐ 在中考，分式的主要考查内容是分式的意义和分式值为零情况，常以选择题、填空题为主；分式的基本性质和分式的运算考查常以选择题、填空题、解答题的形式命题. 分式的运算 能对简单的分式进行加、减、乘、除运算. ⭐⭐⭐⭐⭐ 考点一 分式的概念与基本性质 1.分式的定义 一般地，如果A.B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。 注：A.B都是整式，B中含有字母，且B≠0。 2.分式的基本性质 分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。 ；（C≠0）。 3.分式的约分和通分 定义1：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 定义2：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。 定义3：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。 定义4：各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母。 1. 判断一个式子是不是分式，需看它是否符合分式的条件，若分子和分母含有相同字母，不能把原式化简后再判断，例如：就是分式. 2. 分式的值为0，必须保证分母≠0，否则分式无意义. 3. 约分是对分子、分母同时进行的，即分子的整体和分母的整体都除以同一个因式，约分要彻底，使分子、分母没有公因式，而且约分前后分式的值相等. 4. 约分与通分都是根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式，通分的关键是确定几个分式的最简公分母． 1．（2021·浙江宁波·中考真题）要使分式有意义，x的取值应满足（    ） A． B． C． D． 2．（2022·湖南怀化·中考真题）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（2023·浙江湖州·中考真题）若分式的值为0，则x的值是（    ） A．1 B．0 C． D． 4．（2020·河北·中考真题）若，则下列分式化简正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2020·浙江金华·中考真题）分式的值是零，则的值为（ ） A．5 B． C． D．2 6．（2023·浙江宁波·中考真题）要使分式有意义，的取值应满足 ． 7．（2020·浙江湖州·中考真题）化简：＝ ． 考点二 分式的运算 1.分式的乘除 ①乘法法则：。分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 ②除法法则：。分式除以分式，把除式的分子.分母颠倒位置后，与被除式相乘。 ③分式的乘方：。分式乘方要把分子.分母分别乘方。 ④整数负指数幂：。 2.分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。 ①同分母分式的加减：； ②异分母分式的加法：。 注：不论是分式的哪种运算，都要先进行因式分解。 1.异分母分式通分的依据是分式的基本性质，通分时应确定几个分式的最简公分母． 2.整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式． 3.分式与分式相乘, ①若分子、分母是单项式,则先将分子、分母分别相乘,然后约去公因式,化为最简分式或整式; ②若分子、分母是多项式,则先把分子、分母分解因式,看能否约分,再相乘. 4.当分式与整式相乘时,要把整式与分子相乘作为积的分子,分母不变. 5.乘方时,一定要把分式加上括号,并且一定要把分子、分母分别乘方. 6.分式乘方时,确定乘方结果的符号与有理数乘方相同,即： ①正分式的任何次幂都为正; ②负分式的偶次幂为正,奇次幂为负. 7.分式乘方时,分式的分子或分母是多项式时,应把分子、分母分别看作一个整体. 如： 8.分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 1．（2018·浙江杭州·中考真题）下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2022·浙江杭州·中考真题）照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（    ） A． B． C． D． 3．（2023·浙江衢州·中考真题）化简：． 4．（2023·浙江温州·中考真题）计算： ． 5．（2019·浙江台州·中考真题）先化简，再求值：，其中． 6．（2021·浙江衢州·中考真题）先化简，再求值：，其中． 7．（2022·浙江舟山·中考真题）观察下面的等式：，，，…… (1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数） (2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的． 命题点一 分式的概念与性质 ►题型01 分式的定义 1．（2022·浙江·模拟）下列代数式中，是分式的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024·湖北黄石·三模）下列代数式中，整式为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·浙江·阶段练习）下列代数式中，属于分式的是（    ） A． B． C． D． 判断式子是不是分式是从原始形式上看，看分母是否还有字母，而不是从化简后的结果上看，如：就是分式，而不是整式. ►题型02 分式有意义的条件 1（2024·浙江杭州·二模）要使分式有意义，的取值应满足（   ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江宁波·二模）要使分式有意义，的取值应满足 ． 3．（2023·浙江宁波·模拟预测）若代数式有意义，则的取值范围是 ． 4．（2024·浙江·模拟预测）要使在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 5．（2024·浙江·模拟预测）若分式有意义，则x的取值范围是 ． 1.分式有意义的条件：分式的分母不等于0. 2.分式无意义的条件：分式的分母等于0. ►题型03 分式为0的条件 1．（2024·浙江湖州·模拟预测）若分式的值为0，则的值是（    ） A． B．0 C．2 D．4 2．（2024·浙江·模拟预测）当 时，分式的值为0． 3（2024·浙江温州·三模）若分式的值为0，则的值为 ． 4．（2022·浙江丽水·一模）若分式的值为0，则 ． ►题型04 分式的值 1（2024·浙江杭州·三模）已知，则 ． 2．（2024·浙江杭州·二模）分式的值，可以等于（   ） A． B．0 C．1 D．2 3（2023·浙江宁波·一模）对于分式，下列说法错误的是（   ） A．当时，分式的值为 B．当时，分式无意义 C．当时，分式的值为正数 D．当时，分式的值为 ►题型05 分式的约分、通分 1．（2023·浙江湖州·模拟预测）化简： 2．（2024·浙江宁波·一模）代数式的最大值为 ． 3．（2023·浙江温州·三模）计算： ． 4．（2024·浙江台州·模拟预测）分式方程，各分母的最简公分母是 ． 5．（21-22八年级下·河南洛阳·期中）化简： ． ►题型06 分式的基本性质应用 1．（2023·浙江温州·一模）下列式子一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2（2020·浙江杭州·模拟预测）如果把分式中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（    ） A．缩小3倍 B．不变 C．扩大3倍 D．扩大9倍 3．（2021·浙江台州·一模）若把分式中的同时扩大2倍，则分式的值（    ） A．是原来的2倍 B．是原来的 C．是原来的 D．不变 4．（2020·浙江杭州·模拟预测）下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2020·浙江杭州·模拟预测）分式可变形为（    ） A． B． C． D． 命题点二 分式的运算 ►题型01 分式的计算 1．（2019·浙江温州·一模）化简的结果是（   ） A． B． C． D．a 2．（2023·浙江·二模）计算： ． 3．（2023·浙江温州·二模）计算： ． 4．（2022·浙江衢州·模拟预测）计算： (1)； (2)． 5．（2023·浙江温州·二模）计算： ． 6．（2024·浙江宁波·模拟预测）． ►题型02 分式的化简求值 1．（2024·浙江·模拟预测）先化简，再求值：，其中 ． 2．（2024·浙江杭州·三模）已知，若，则 ． 3．（2024·浙江台州·三模）计算： (1)． (2)先化简，再求值：，其中． 4．（2024·浙江杭州·二模）化简．下面是小滨、小江两位同学的部分运算过程． 小滨：原式 小江：原式 (1)小滨解法的依据是___________（填序号）；小江解法的依据是___________（填序号）． ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法交换律；④乘法对加法的分配律． (2)已知，先化简题中代数式，再求代数式的值． 5．（2024·浙江台州·二模）先化简，再求值：，其中． 先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 【规律方法】分式化简求值时需注意的问题 1）化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”． 2）代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0． ►题型03 分式运算的应用 1．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知a，b表示两个正数，若这两个正数的差等于它们的积，则比小2． (1)任选一组满足条件的正数a，b的值，验证上述结论． (2)在一般情况下，验证上述结论． 2．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知． 方方说：“p一定大于q”．以下是方方的解答过程． 解： ， 因为，所以，即p一定大于q． 你觉得方方说法正确吗？为什么？ 3．（2021·浙江温州·二模）某工程队要修路20千米，原计划平均每天修x千米，实际平均每天多修了0.1千米，则完成任务提前了（　　） A．（）天 B．（）天 C．（）天 D．（）天 4．（2020·浙江杭州·模拟预测）甲､乙两人同时从A地出发到B地，距离为100千米． （1）若甲从A地出发，先以20千米/小时的速度到达中点，再以25千米/小时的速度到达B地，求走完全程所用的时间． （2）若甲从A地出发，先以千米/小时的速度到达中点，再以千米/小时的速度到达B地．乙从A地出发到B地的速度始终保持V千米/小时不变，请问甲､乙谁先到达B地? （3）若甲以a千米/时的速度行走x小时，乙以b千米/时的速度行走x小时，此时甲距离终点为千米，乙距离终点为千米．分式对一切有意义的x值都有相同的值，请探索a，b应满足的条件． 5．（2020·浙江杭州·模拟预测）甲､乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则经过相遇；若同向而行，则经过甲追上乙．那么甲的速度是乙的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 ►题型04 分式的规律性问题 1．（2024·浙江·模拟预测）观察下面的一列数：，，，… (1)尝试：；__________；__________． (2)归纳：__________． (3)推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的． 2．（2024·浙江金华·模拟预测）已知 ， ，显然，观察下列等式： ， ， ， (1)猜想：①_______．                                     ②__________________________＝_______． (2)请证明猜想②成立． 3．（2023·浙江温州·模拟预测）观察下面的等式：，，，…… (1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含的等式表示，为正整数）． (2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的． (3)请用以上规律比较与的大小． ►题型05 分式运算的新定义问题 1．（2023·浙江宁波·一模）定义一种新运算：对于任意的非零实数，，．若，则的值为 ． 2．（2023·浙江宁波·三模）定义一种新运算：对于任意的非零实数，，．若，则的值为 ． 3．（2020·浙江杭州·模拟预测）定义运算“※”：，若的值为整数，则整数x的值为 ． 基础巩固 1．在式子、、、、、中，分式的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．春秋季节，是病毒活跃期，某学校为了做好病毒消杀工作，从市场上购买了瓶消毒液，原计划每天用瓶，后由于提高了消毒要求，每天多用了瓶消毒液，则这些消毒液提前几天用完？？（　　） A． B． C． D． 3．要使得分式有意义，则x满足的条件是（　　） A． B． C． D．x≠1 4．若分式的值为零，则的值是（　　） A． B． C． D． 5．如果把分式：中的x、y都扩大10倍，那么分式的值是（   ） A．扩大10倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．缩小为原来的 6．已知，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 7．下列计算不正确的是（   ） A． B． C． D． 8．的结果是（   ） A． B． C． D． 9．老师设计了接力游戏，用合作的方式解答题目： 若为正整数，求的最大值或最小值． 接力中，每位同学说明自己要完成的工作，并写出解答过程，其中首先出现错误的是（   ） 甲：（把原式通分）原式． 乙：（得到化简结果）． 丙：（确定的值）因为为正整数，所以有最小值1． 丁：（求原式的最值）原式有最大值，最大值． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 10．如果，那么代数式的值为（    ） A． B． C． D． 11．已知，则代数式的值为 ． 12．计算 ． 13．计算： ． 14．约分的结果是 ． 15．已知，，，则 ． 16．（1）约分：； （2）通分：． 17．已知，求分式的值． 18．当时，分式的值不存在，则当时，求分式的值． 19．先化简，再求值：，其中． 20．（）化简：； （）化简：． 21．对于形如的分式，我们可以通过观察分母的特征，采取“凑分母”的方法将分式变形，最终表示成整式与分式和（差）的形式或者整式的形式．例如： ， ． 解决问题： (1)分式可以表示成的形式，且为整式，用含的式子表示； (2)已知为整数． ①若可以表示成一个整式，求的值； ②若，为整数，且的结果也为整数，直接写出的值． 能力提升 22．下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 23．若取整数，则使分式的值为整数的值有（   ） A．3个 B．4个 C．6个 D．8个 24．设，，则，的关系是（　　） A． B． C． D． 25．若化简的最终结果是整式，则〇代表的式子可以是（    ） A． B． C． D． 26．若，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 27．对于只含一个字母的代数式，我们把代数式本身作为字母的值代入代数式中称为一次“自代入”操作，例如：对分式进行一次“自代入”操作得，化简后得，对于分式，进行第一次“自代入”操作得：，化简后得的式子记作；对进行第二次“自代入”操作，化简后的式子记作，继续对进行第三次“自代入”操作，化简后的式子记作，以此类推重复“自代入”操作，以下结论正确的有（   ）个． ①；②若，则；③若整数使得的值也为整数，则的值有4个． A．0 B．1 C．2 D．3 28．已知为整数，且为整数，则所有符合条件的的值的积为 ． 29．已知时，多项式的值为，则 ． 30．当正整数 时，分式的值也是正整数． 31．我们知道：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学阶段，我们把分子小于分母的数称为真分数．类似地，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式．反之，称为假分式．对于任意一个假分式，都可以化成整式与真分式的和的形式． 例如： (1)在分式①，②，③，④中，属于真分式的是 （填序号）． (2)将假分式化成整式与真分式的和的形式． (3)若假分式的值是整数，则整数x的值为 ． 32．我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”． 如分式，，，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断C是否为D的“雅中式”，若不是；请说明理由；若是，请求出C关于D的“雅中值”； (2)已知分式，，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是1，x为整数，且P的值也为整数． ①求E所代表的代数式； ②求所有符合条件的x的值； 33．已知，求证： (1)三个数中必有两数之和为零； (2)对于任意奇数，均有． 34．类比推理是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论．触类旁通，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题中的途径和方法． 观察下列计算过程： 这就是解稍复杂的计算中常用到的裂项相消法，即把每项恰当拆分，使得其中部分分数相互抵消，简化计算． 阅读下面一道例题的解答过程： 因式分解： 解：我们可以将拆成和 即原式 在因式分解中，我们有时需要对多项式的某一项拆成两项或多项，其目的是使多项式能进行因式分解，像这样的方法称为拆项法． 请用类比的方法，解决以下问题： (1)①已知，则依据此规律____； ②请你利用拆项法进行因式分解：_____； (2)若满足，求的值； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 数与式 第03讲 分式（3~6分） （思维导图+2考点+2命题点11种题型） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 分式的概念与基本性质 考点二 分式的运算 04题型精研·考向洞悉 命题点一 分式的概念与性质 ►题型01 分式的定义 ►题型02 分式有意义的条件 ►题型03 分式为0的条件 ►题型04 分式的值 ►题型05 分式的约分、通分 ►题型06 分式的基本性质应用 命题点二 分式的运算 ►题型01 分式的计算 ►题型02 分式的化简求值 ►题型03 分式运算的应用 ►题型04 分式的规律性问题 ►题型05 分式运算的新定义问题 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 考点要求 新课标要求 考查频率 命题预测 分式的概念与性质 理解分式和最简分式的概念.并能利用分式的基本性质进行约分与通分. ⭐⭐⭐⭐ 在中考，分式的主要考查内容是分式的意义和分式值为零情况，常以选择题、填空题为主；分式的基本性质和分式的运算考查常以选择题、填空题、解答题的形式命题. 分式的运算 能对简单的分式进行加、减、乘、除运算. ⭐⭐⭐⭐⭐ 考点一 分式的概念与基本性质 1.分式的定义 一般地，如果A.B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。 注：A.B都是整式，B中含有字母，且B≠0。 2.分式的基本性质 分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。 ；（C≠0）。 3.分式的约分和通分 定义1：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 定义2：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。 定义3：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。 定义4：各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母。 1. 判断一个式子是不是分式，需看它是否符合分式的条件，若分子和分母含有相同字母，不能把原式化简后再判断，例如：就是分式. 2. 分式的值为0，必须保证分母≠0，否则分式无意义. 3. 约分是对分子、分母同时进行的，即分子的整体和分母的整体都除以同一个因式，约分要彻底，使分子、分母没有公因式，而且约分前后分式的值相等. 4. 约分与通分都是根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式，通分的关键是确定几个分式的最简公分母． 1．（2021·浙江宁波·中考真题）要使分式有意义，x的取值应满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由分式有意义，分母不为零，再列不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解： 分式有意义， 故选： 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握“分式有意义，则分母不为零”是解题的关键． 2．（2022·湖南怀化·中考真题）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含字母则不是，根据此依据逐个判断即可． 【详解】分母中含有字母的是，，， ∴分式有3个， 故选：B． 【点睛】本题考查分式的定义，能够准确判断代数式是否为分式是解题的关键． 3．（2023·浙江湖州·中考真题）若分式的值为0，则x的值是（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】分式的值等于零时，分子等于零，且分母不等于零． 【详解】解：依题意得：且， 解得． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 4．（2020·河北·中考真题）若，则下列分式化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据a≠b，可以判断各个选项中的式子是否正确，从而可以解答本题． 【详解】∵a≠b， ∴，选项A错误； ，选项B错误； ，选项C错误； ，选项D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法． 5．（2020·浙江金华·中考真题）分式的值是零，则的值为（ ） A．5 B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用分式值为零的条件可得，且，再解即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：， 故选：． 【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少． 6．（2023·浙江宁波·中考真题）要使分式有意义，的取值应满足 ． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件：分母不为零，从而得到，求解即可得到答案． 【详解】解：要使分式有意义，的取值应满足，解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式有意义的条件，熟记分式有意义的条件：分母不为零是解决问题的关键． 7．（2020·浙江湖州·中考真题）化简：＝ ． 【答案】 【分析】先将分母因式分解，再根据分式的基本性质约分即可． 【详解】 ＝ ＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的除法以及利用完全平方公式因式分解，解答本题的关键是掌握分式的基本性质以及因式分解的方法． 考点二 分式的运算 1.分式的乘除 ①乘法法则：。分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 ②除法法则：。分式除以分式，把除式的分子.分母颠倒位置后，与被除式相乘。 ③分式的乘方：。分式乘方要把分子.分母分别乘方。 ④整数负指数幂：。 2.分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。 ①同分母分式的加减：； ②异分母分式的加法：。 注：不论是分式的哪种运算，都要先进行因式分解。 1.异分母分式通分的依据是分式的基本性质，通分时应确定几个分式的最简公分母． 2.整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式． 3.分式与分式相乘, ①若分子、分母是单项式,则先将分子、分母分别相乘,然后约去公因式,化为最简分式或整式; ②若分子、分母是多项式,则先把分子、分母分解因式,看能否约分,再相乘. 4.当分式与整式相乘时,要把整式与分子相乘作为积的分子,分母不变. 5.乘方时,一定要把分式加上括号,并且一定要把分子、分母分别乘方. 6.分式乘方时,确定乘方结果的符号与有理数乘方相同,即： ①正分式的任何次幂都为正; ②负分式的偶次幂为正,奇次幂为负. 7.分式乘方时,分式的分子或分母是多项式时,应把分子、分母分别看作一个整体. 如： 8.分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 1．（2018·浙江杭州·中考真题）下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：故A不符合题意； ，故B不符合题意； ，故C不符合题意； ，故D符合题意． 故选D． 2．（2022·浙江杭州·中考真题）照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分式的基本性质，把等式恒等变形，用含f、v的代数式表示u． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查分式的加、减法运算，关键是异分母通分，掌握通分法则． 3．（2023·浙江衢州·中考真题）化简：． 【答案】 【分析】利用分式的性质进行化简即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查分式的化简、平方差公式、多项式乘多项式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 4．（2023·浙江温州·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】根据同分母分式的加减法解答即可． 【详解】 ． 【点睛】本题考查了同分母分式的加减，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 5．（2019·浙江台州·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】，-6 【分析】根据分式的运算法则即可化简求值. 【详解】 ， 当时，原式. 【点睛】此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知分式的运算法则. 6．（2021·浙江衢州·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】；4 【分析】先将这两个分式转化为同分母的分式，再将分母不变，分子相加减，最后化简即可． 【详解】解：原式 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值问题，涉及到了分式的通分和约分，解决本题的关键是牢记相关概念与法则，并灵活运用，最后的结果记得化简即可． 7．（2022·浙江舟山·中考真题）观察下面的等式：，，，…… (1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数） (2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据所给式子发现规律，第一个式子的左边分母为2，第二个式子的左边分母为3，第三个式子的左边分母为4，…；右边第一个分数的分母为3，4，5，…，另一个分数的分母为前面两个分母的乘积；所有的分子均为1；所以第（n+1）个式子为． （2）由（1）的规律发现第（n+1）个式子为，用分式的加法计算式子右边即可证明． 【详解】（1）解：∵第一个式子， 第二个式子， 第三个式子， …… ∴第（n+1）个式子； （2）解：∵右边==左边， ∴． 【点睛】此题考查数字的变化规律，分式加法运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中各分母的变化规律． 命题点一 分式的概念与性质 ►题型01 分式的定义 1．（2022·浙江·模拟）下列代数式中，是分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了分式定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，且，那么式子叫做分式，关键是掌握分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母．据此判定各式子即可． 【详解】解：A、是单项式，不是分式，不符合题意； B、是多项式，不是分式，不符合题意； C、是分式，符合题意； D、是多项式，不是分式，不符合题意， 故选：C． 2．（2024·湖北黄石·三模）下列代数式中，整式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．单项式和多项式统称为整式，据此进行判断即可． 【详解】解：是多项式，它是整式，则A符合题意； 是二次根式，它不是整式，则B不符合题意； 是分式，它不是整式，则C不符合题意； 是分式，它不是整式，则D不符合题意； 故选：A． 3．（23-24七年级下·浙江·阶段练习）下列代数式中，属于分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的定义，能熟记分式定义是解题的关键，式子（是整式）中，分母中含有字母，则叫分式．根据分式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．分母中含有字母，是分式，故本选项符合题意； B．分母中不含字母，不是分式，故本选项不符合题意； C．不含分母，不是分式，故本选项不符合题意； D．不含分母，不是分式，故本选项不符合题意． 故选：A 判断式子是不是分式是从原始形式上看，看分母是否还有字母，而不是从化简后的结果上看，如：就是分式，而不是整式. ►题型02 分式有意义的条件 1（2024·浙江杭州·二模）要使分式有意义，的取值应满足（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的定义中分式的分母不能为零即可解答．本题考查了分式的定义及解不等式，理解分式的定义是解题的关键． 【详解】解：∵要使分式有意义，则必须有 ， ∴， 故选． 2．（2024·浙江宁波·二模）要使分式有意义，的取值应满足 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，解题的关键在于能够熟练掌握分式有意义的条件是分母不为． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 3．（2023·浙江宁波·模拟预测）若代数式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式有无意义的条件的应用，解题的关键是熟练掌握分式以及二次根式有无意义的条件． 根据式子有意义的条件，构建不等式求解； 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 4．（2024·浙江·模拟预测）要使在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握分母不为零，被开方数是非负数是解题的关键． 根据二次根式和分式有意义的条件计算即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 5．（2024·浙江·模拟预测）若分式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据分母不为零即可求出答案．本题考查分式有意义的条件，解题的关键是正确理解分式有意义的条件，本题属于基础题型． 【详解】解：∵分式有意义 ∴， ， 故答案为：． 1.分式有意义的条件：分式的分母不等于0. 2.分式无意义的条件：分式的分母等于0. ►题型03 分式为0的条件 1．（2024·浙江湖州·模拟预测）若分式的值为0，则的值是（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，分式值为0的条件是分母不为0分子为0，据此求解即可. 【详解】解：∵分式的值为0 ∴， ∴， 故选：A 2．（2024·浙江·模拟预测）当 时，分式的值为0． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式值为0的条件，分子为0且分母不为0，熟练掌握相关知识是解题关键．根据分式值为0的条件计算即可． 【详解】解：根据题意得：且， 解得：， 故答案为：． 3（2024·浙江温州·三模）若分式的值为0，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了分式的值为0的条件，根据分式的值为0的条件为：分子为0，分母不等于0计算即可得出答案． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，， 解得：， 故答案为：1 ． 4．（2022·浙江丽水·一模）若分式的值为0，则 ． 【答案】-1 【分析】若分式的值为0，则为0而 即可． 【详解】解： 解得 故填：-1 【点睛】此题考查分式的值为零的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件： （1）分母不为零 （2）分子为零 ，二者缺一不可． ►题型04 分式的值 1（2024·浙江杭州·三模）已知，则 ． 【答案】// 【分析】本题主要考查了分式的化简，比例的基本性质、代数式求值等知识点，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键． 由可得，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（2024·浙江杭州·二模）分式的值，可以等于（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的值，熟练掌握分式的意义是解题的关键． 利用分式的意义和非负数的意义解答即可得出结论． 【详解】解：， 的值可以等于2， 故选：D． 3（2023·浙江宁波·一模）对于分式，下列说法错误的是（   ） A．当时，分式的值为 B．当时，分式无意义 C．当时，分式的值为正数 D．当时，分式的值为 【答案】C 【分析】直接利用分式的值为零，分式无意义，分式的求值进行判断即可． 【详解】解：A．当时，，，分式的值为，故此项选项不符合题意； B．当时，，分式无意义，故此选项不符合题意； C 当时，当时，，分式无意义，故此选项符合题意； D．当时，，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查分式值为零的条件，分式无意义的条件，分式的求值．解题的关键是能熟练掌握分式相关知识进行解答． ►题型05 分式的约分、通分 1．（2023·浙江湖州·模拟预测）化简： 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的化简，分子因式分解，然后约分，即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 2．（2024·浙江宁波·一模）代数式的最大值为 ． 【答案】2 【分析】该题主要考查了分式的化简以及完全平方公式的运用，解题的关键是运用完全平方公式进行变形； 先运用完全平方公式确定， 再化简即可； 【详解】解： ， ， ， 故答案为：2． 3．（2023·浙江温州·三模）计算： ． 【答案】y 【分析】通过提公因式法，约分化简即可． 【详解】解：原式 故答案为：y． 【点睛】本题主要考查的是分式化简，掌握提公因式法是解题的关键． 4．（2024·浙江台州·模拟预测）分式方程，各分母的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，最简公分母，要注意：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，掌握最简公分母是解题的关键． 根据最简公分母的定义即可得出答案． 【详解】解：分式方程，各分母的最简公分母是， 故答案为：． 5．（21-22八年级下·河南洛阳·期中）化简： ． 【答案】 【分析】先将通分变为，再根据分式的减法进行化简即可得出答案． 【详解】原式 ． 【点睛】本题考查了分式的化简，解题的关键是熟练掌握异分母分式减法的运算法则． ►题型06 分式的基本性质应用 1．（2023·浙江温州·一模）下列式子一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的基本性质进行判断． 【详解】解：A、分式的分子、分母同时加2，分式的值发生改变，则不成立； B、分式的分子、分母同时减1，分式的值发生改变，故不成立； C、分式的分子、分母同时平方，分式是值有可能改变，则不一定成立； D、分式的分子、分母乘以3，分式是值不变，则成立； 故选：D． 【点睛】本题考查分式的基本性质，分式的基本性质：分式的分子分母同乘以或除以一个不等于0的分数（或分式），分式的值不变．灵活运用性质是解题的关键． 2（2020·浙江杭州·模拟预测）如果把分式中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（    ） A．缩小3倍 B．不变 C．扩大3倍 D．扩大9倍 【答案】C 【分析】把分式中的x，y都扩大3倍，化简后与原式比较即可． 【详解】解：把分式中的x，y都扩大3倍，得 ， ∴分式的值扩大3倍． 故选C． 【点睛】本题主要考查分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 3．（2021·浙江台州·一模）若把分式中的同时扩大2倍，则分式的值（    ） A．是原来的2倍 B．是原来的 C．是原来的 D．不变 【答案】B 【分析】根据分式的加法进行计算，再把同时扩大2倍，观察分式值变化即可． 【详解】解：，同时扩大2倍得， 分式的值是原来的， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的加法和分式的基本性质，解题关键是熟练进行分式加法和约分． 4．（2020·浙江杭州·模拟预测）下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据积的乘方法则判断A，根据完全平方公式判断B；根据多项式除以单项式的法则判断C；根据除法法则判断D． 【详解】解：A.，本选项计算错误，故不符合题意； B.，本选项变形错误，故不符合题意； C.，本选项变形错误，故不符合题意； D.，本选项变形正确，故符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了整式的混合运算与分式的运算，掌握运算法则是解题的关键． 5．（2020·浙江杭州·模拟预测）分式可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的性质进行变形即可． 【详解】 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质，对分式进行变形是解决问题的关键． 命题点二 分式的运算 ►题型01 分式的计算 1．（2019·浙江温州·一模）化简的结果是（   ） A． B． C． D．a 【答案】D 【分析】本题考查了分式的加减运算，同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式相加减，先把它们通分，变为同分母分式，再加减． 【详解】解：． 故选D． 2．（2023·浙江·二模）计算： ． 【答案】 【分析】根据分式的乘法进行计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的乘法运算，熟练掌握分式的乘法运算是解题的关键． 3．（2023·浙江温州·二模）计算： ． 【答案】3 【分析】本题考查同分母分式的减法．掌握其运算法则是解题关键．原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 故答案为：3． 4．（2022·浙江衢州·模拟预测）计算： (1)； (2)． 【答案】 【分析】分析先将分子和分母分解因式，约分后再计算． 【详解】÷ =÷ =× = =2a﹣2b． 5．（2023·浙江温州·二模）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同分母分式减法计算，直接根据同分母分式减法计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 6．（2024·浙江宁波·模拟预测）． 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算．先通分计算括号内，再将除法变乘法，约分化简即可． 【详解】解：原式． ►题型02 分式的化简求值 1．（2024·浙江·模拟预测）先化简，再求值：，其中 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先通分计算括号内的，同时将除法变为乘法，并因式分解，再约分，然后将数值代入求值即可． 【详解】原式 ， 当时，原式． 2．（2024·浙江杭州·三模）已知，若，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是熟练掌握最简公分母的确定方法：系数取各分母系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂及单独字母的幂的乘积．先通分，再整体代入求值即可得到结果． 【详解】解：， ∵，， ∴原式． 故答案为：5． 3．（2024·浙江台州·三模）计算： (1)． (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，二次根式的运算等知识， （1）根据实数混合运算法则计算即可； （2）先根据分式的混合运算法则进行计算化简，再代入求值即可． 【详解】（1）原式； （2）原式 ， 当时，原式． 4．（2024·浙江杭州·二模）化简．下面是小滨、小江两位同学的部分运算过程． 小滨：原式 小江：原式 (1)小滨解法的依据是___________（填序号）；小江解法的依据是___________（填序号）． ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法交换律；④乘法对加法的分配律． (2)已知，先化简题中代数式，再求代数式的值． 【答案】(1)②；④ (2)， 【分析】本题考查了分式的化简求值、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）观察两位同学的解题过程，确定出各自的依据即可； （2）先化简题中的代数式，再将的值代入计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得： 小滨解法的依据是②分式的基本性质，小江解法的依据是④乘法对加法的分配律； 故答案为：②，④； （2）解： ， 当时，原式． 5．（2024·浙江台州·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式化简求值，分母有理化；先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解． 【详解】解： ； 当时，原式． 先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 【规律方法】分式化简求值时需注意的问题 1）化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”． 2）代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0． ►题型03 分式运算的应用 1．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知a，b表示两个正数，若这两个正数的差等于它们的积，则比小2． (1)任选一组满足条件的正数a，b的值，验证上述结论． (2)在一般情况下，验证上述结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查分式的加减运算、解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据条件取值计算验证即可； （2）求出的值即可． 【详解】（1）证明：根据题意得：， 当时，； ，，即， 比大2； （2）证明：， ， 比大2． 2．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知． 方方说：“p一定大于q”．以下是方方的解答过程． 解： ， 因为，所以，即p一定大于q． 你觉得方方说法正确吗？为什么？ 【答案】不正确，理由见解析 【分析】本题主要考查了分式加减运算，根据分式加减运算法则求出，然后分情况进行讨论即可． 【详解】解：方方说法不正确，理由： ∵ ， 而方方在解答过程中将分母去掉了， ∴方方说法不正确． 正确的解法为： ∵ ， ∵，当时，， ∴， ∴p大于q； ∵，当时，， ∴， ∴p大于q； ∵，当时，， ∴， ∴p小于q． 综上，p不一定大于q． 3．（2021·浙江温州·二模）某工程队要修路20千米，原计划平均每天修x千米，实际平均每天多修了0.1千米，则完成任务提前了（　　） A．（）天 B．（）天 C．（）天 D．（）天 【答案】A 【分析】工程提前的天数＝原计划的天数﹣实际用的天数，把相关数值代入即可． 【详解】解：原计划用的天数为，实际用的天数为， 故工程提前的天数为（）天． 故选：A． 【点睛】此题考查了列分式解决实际问题，正确理解题意是解题的关键． 4．（2020·浙江杭州·模拟预测）甲､乙两人同时从A地出发到B地，距离为100千米． （1）若甲从A地出发，先以20千米/小时的速度到达中点，再以25千米/小时的速度到达B地，求走完全程所用的时间． （2）若甲从A地出发，先以千米/小时的速度到达中点，再以千米/小时的速度到达B地．乙从A地出发到B地的速度始终保持V千米/小时不变，请问甲､乙谁先到达B地? （3）若甲以a千米/时的速度行走x小时，乙以b千米/时的速度行走x小时，此时甲距离终点为千米，乙距离终点为千米．分式对一切有意义的x值都有相同的值，请探索a，b应满足的条件． 【答案】（1）小时；（2）乙先到；（3）a，b应满足的条件是． 【分析】（1）根据“时间路程速度”分别求出两段路程的时间，再求和即可得； （2）根据“时间路程速度”分别求出甲、乙走完全程所用的时间，再比较大小即可得； （3）设，从而可得，再根据无关型问题求解即可得． 【详解】（1）由题意得：， ， （小时）， 答：走完全程所用的时间为小时； （2）甲走完全程所用的时间为， 乙走完全程所用的时间为， 因为， 所以乙先到； （3）设，则， 整理得：， ∵分式对一切有意义的值都有相同的值， ∴k的值与x的取值无关， ∴，即， ∴， 解得， ∴， 故a，b应满足的条件是． 【点睛】本题考查了分式加减的应用等知识点，依据题意，正确列出各运算式子是解题关键． 5．（2020·浙江杭州·模拟预测）甲､乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则经过相遇；若同向而行，则经过甲追上乙．那么甲的速度是乙的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【分析】根据追击与相遇问题列出关系式，联立后变形即可求出所求式子的值． 【详解】不妨设甲乙两人开始时相距千米，甲的速度为，乙的速度为， 则根据题意有a（v1+v2）=s和b（v1-v2）=s， 于是， 所以  ， 即． 甲的速度是乙的倍． 故选：C． 【点睛】本题考查了列代数式，分式的混合运算，关键是根据行程问题和追及问题分析速度路程时间的关系解答． ►题型04 分式的规律性问题 1．（2024·浙江·模拟预测）观察下面的一列数：，，，… (1)尝试：；__________；__________． (2)归纳：__________． (3)推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的． 【答案】(1)； (2) (3)见解析 【分析】此题考查了分式的加减混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据题意代数求解即可； （2）根据（1）的规律求解即可． （3）首先根据分式的加减运算求出，，然后代入求解即可； 【详解】（1）； ； （2）； （3） ∴． 2．（2024·浙江金华·模拟预测）已知 ， ，显然，观察下列等式： ， ， ， (1)猜想：①_______．                                     ②__________________________＝_______． (2)请证明猜想②成立． 【答案】(1)①1；②， (2)见解析 【分析】本题考查了分式的加减运算、规律型问题等知识点，熟练掌握分式的运算法则是解本题的关键． （1）①根据分式的加法法则计算即可；②利用（1）得出的规律猜想出结论即可； （2）根据分式的加法法则计算即可解答． 【详解】（1）解：①∵， ∴ ． 故答案为1． ②猜想： 故答案为：，． （2）证明：． 3．（2023·浙江温州·模拟预测）观察下面的等式：，，，…… (1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含的等式表示，为正整数）． (2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的． (3)请用以上规律比较与的大小． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】此题考查数字的变化规律，分式加法运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中各分母的变化规律． （1）根据所给式子发现规律，第一个式子的左边分母为和，分子为和1，第二个式子的左边分母为和，分子为和2，第一个式子的左边分母为和，分子为和3，…；左边分母之积等于右边分母，左边分子之差等于右边分子，右边分数的分子都为1，所以第n个式子为； （2）由（1）的规律发现第n个式子为，用分式的加法计算式子右边即可证明； （3）根据（1）的规律先计算，再比较即可． 【详解】（1）解：第一个式子的左边分母为和，分子为和1， 第二个式子的左边分母为和，分子为和2， 第一个式子的左边分母为和，分子为和3，…； 左边分母之积等于右边分母，左边分子之差等于右边分子，右边分数的分子都为1， 第n个式子为； （2）解： 右边， ； ►题型05 分式运算的新定义问题 1．（2023·浙江宁波·一模）定义一种新运算：对于任意的非零实数，，．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求分式的值；根据新定义以及已知条件，可得，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 即 ∴， 故答案为：． 2．（2023·浙江宁波·三模）定义一种新运算：对于任意的非零实数，，．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求分式的值；根据新定义以及已知条件，可得，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即 ∴ 故答案为：． 3．（2020·浙江杭州·模拟预测）定义运算“※”：，若的值为整数，则整数x的值为 ． 【答案】0或4或6或10 【分析】根据题中的新定义可分若5＞x，若5＜x，两种情况分别求解，最后合并结果． 【详解】解：若5＞x， 则=为整数， 则x=0或4或6（舍）或10（舍）， 若5＜x， 则=为整数， 则x=0（舍）或4（舍）或6或10， 综上：整数x的值为：0或4或6或10， 故答案为：0或4或6或10． 基础巩固 1．在式子、、、、、中，分式的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解答本题的关键．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数，所以分母中含π的代数式不是分式，是整式． 【详解】解：、、是整式， 、、时分式． 故选：B． 2．春秋季节，是病毒活跃期，某学校为了做好病毒消杀工作，从市场上购买了瓶消毒液，原计划每天用瓶，后由于提高了消毒要求，每天多用了瓶消毒液，则这些消毒液提前几天用完？？（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列代数式（分式），解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．求出原计划用的天数，再求出实际用的天数，作差即可． 【详解】解：由题意得，原计划用的天数为天，实际用的天数为天， 这些消毒液提前天用完． 故选：C． 3．要使得分式有意义，则x满足的条件是（　　） A． B． C． D．x≠1 【答案】B 【分析】本题主要考查分式有意义的条件，掌握分母不为零的条件是解题的关键． 根据分母不为零的条件进行解题即可． 【详解】解：由题可知， ， 即． 故选：B． 4．若分式的值为零，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的值为的条件，分式的值为的条件是分子为且分母不为． 先根据分式的值为的条件，列出关于的不等式组，求出的值即可． 【详解】解：∵分式的值为， ， 解得， 故选：C． 5．如果把分式：中的x、y都扩大10倍，那么分式的值是（   ） A．扩大10倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．缩小为原来的 【答案】B 【分析】根据要求对分式变形，然后根据分式的基本性质进行约分，观察分式的前后变化． 本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 【详解】解：将分式中的和都扩大倍，得： ， ∴和都扩大倍后，分式的值缩小为原来的， 故选：B． 6．已知，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的求值，熟练掌握分式求值的方法是解题的关键． 首先将变形为，然后将代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 7．下列计算不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了含乘方的分式的乘除混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 根据分式的乘除混合运算法则以及分式的乘方逐一化简，即可判断答案． 【详解】解：A、 ， ∴原计算正确，本选项不符合题意； B、 ， ∴原计算正确，本选项不符合题意； C、 ， ∴原计算正确，本选项不符合题意； D、 ，原计算错误，本选项符合题意． 故选：D． 8．的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则成为解题的关键． 先对能因式分解的分子、分母因式分解，然后再约分即可解答． 【详解】解： ． 故选A． 9．老师设计了接力游戏，用合作的方式解答题目： 若为正整数，求的最大值或最小值． 接力中，每位同学说明自己要完成的工作，并写出解答过程，其中首先出现错误的是（   ） 甲：（把原式通分）原式． 乙：（得到化简结果）． 丙：（确定的值）因为为正整数，所以有最小值1． 丁：（求原式的最值）原式有最大值，最大值． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题考查了异分母分式的加减运算，掌握分式的性质，分式有意义的条件是解题的关键． 根据异分母分式的加减运算法则计算，再根据分式有意义的条件判定即可求解． 【详解】解： ，故甲正确， ，故乙正确， ∵分式要意义， ∴， ∴或， ∴首先出错的是丙，故丙错误，C选项符合题意； ∵为正整数，且， ∴的最小值为， ∴原式有最大值，最大值， 故选：C ． 10．如果，那么代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键． 先算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】解： ， ， 原式； 故选：B 11．已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练的掌握分式的化简求值． 根据，得出，再把代入要求的代数式即可得出答案． 【详解】解：， ， ， 把代入 ， 故答案为：． 12．计算 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的加法运算，先通分，化为同分母分数，再计算即可. 【详解】解： . 故答案为： 13．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，分式的运算首先要分清运算顺序，在这个题目中，首先进行乘方运算，然后统一成乘法运算，最后进行约分运算． 【详解】解：原式． 故答案为． 14．约分的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了约分，用到的知识点是分式的基本性质，分式的基本性质是分式的分子、分母同时乘以或除以同一个非0的数或式子，分式的值不变．约去分子、分母中相同的因式，即可得出答案． 【详解】解：． 故答案为：． 15．已知，，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则，分别把已知的三个等式的分子分母倒过来，然后利用分式的性质化简，最后把所求分式也倒过来即可求解． 【详解】解：因为，，， 所以①，②，③， 得， 通分可得， 所以， 所以． 故答案为：． 16．（1）约分：； （2）通分：． 【答案】（1）．（2）， 【分析】本题考查了分式的性质，分式化简，平方差公式，完全平方公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用平方差公式，完全平方公式整理，再结合分式的性质进行化简，即可作答． （2）先得，故它们的最简公分母是，再结合分式的性质进行整理，即可作答． 【详解】解：（1）． （2）依题意，， 则它们的最简公分母是， ∴，． 17．已知，求分式的值． 【答案】 【分析】本题考查了求分式的值，转化所求问题后将已知条件整体代入，正确的化简和已知条件转化是解答此题的关键．由已知可得，然后代入所求的式子，进行约分就可求出结果． 【详解】解：， ， ， ． 18．当时，分式的值不存在，则当时，求分式的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式无意义的条件：分母等于0、分式代入求值，掌握知识点并正确计算是解题的关键．根据分式无意义的条件列出关于m的等式，求出m的值，再把代入分式计算即可． 【详解】解：根据题意可知，当时，， ， ， 把代入，得． 19．先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算的法则是解题的关键．先用分式的加减法的法则计算括号里面的，再利用分式乘除法的法则计算括号外面的，最后把代入化简的结果中计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 20．（）化简：； （）化简：． 【答案】（）；（） 【分析】（）根据分式的性质和运算法则计算即可； （）根据分式的性质和运算法则计算即可； 本题考查了分式的混合运算，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：（）原式 ； （）原式 ． 21．对于形如的分式，我们可以通过观察分母的特征，采取“凑分母”的方法将分式变形，最终表示成整式与分式和（差）的形式或者整式的形式．例如： ， ． 解决问题： (1)分式可以表示成的形式，且为整式，用含的式子表示； (2)已知为整数． ①若可以表示成一个整式，求的值； ②若，为整数，且的结果也为整数，直接写出的值． 【答案】(1) (2)①；②的值为或或或 【分析】本题考查分式的加减法运算，正确利用“凑分母”的方法将分式变形是解题关键． （1）把变形为，再把前面的分式分母提取公因式并约分，即可得答案； （2）①把表示成整式与分式和的形式，根据为整式，得出变形后的分式为0，根据分式值为0，分子为0即可得答案； ②根据的值及①中变形结果得出，根据的结果也为整数得出是整数，根据为整数得出或，即可得出答案． 【详解】（1）解： ， ∵分式可以表示成的形式，且为整式， ∴． （2）解：① ， ∵可以表示成一个整式， ∴， ∴， 解得：． ②∵， ∴， ∵的结果为整数， ∴是整数， ∵为整数， ∴或 解得：或或或， ∴的值为或或或． 能力提升 22．下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简分式，根据最简分式的定义：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式，据此即可判断求解，掌握最简分式的定义是解题的关键． 【详解】解：、分子分母中含有公因数，不是最简分式，该选项不合题意； 、，分子分母中含有公因式，不是最简分式，该选项不合题意； 、是最简分式，该选项符合题意； 、分子分母中含有公因式，不是最简分式，该选项不合题意； 故选：． 23．若取整数，则使分式的值为整数的值有（   ） A．3个 B．4个 C．6个 D．8个 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的值是整数的条件，分离假分式是解题的关键．先将假分式分离可得出，根据题意可知是6的整数约数，求解即可获得答案． 【详解】解：， 由题意可知，是6的整数约数， ∴，，，，1，2，3，6， 解得，，，0，1，，2，， 其中的值为整数为，0，1，2，共4个． 故选：B． 24．设，，则，的关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的加减运算，掌握分式的加减运算法则是解答本题的关键． 把两个式子进行相加运算，从而可得结果． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 即， 故选：C． 25．若化简的最终结果是整式，则〇代表的式子可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的混合运算，先根据分式的乘法运算法则计算乘法，然后再算加法，最后根据整式的概念进行判断． 【详解】解：A、，是分式，故此选项不符合题意； B、，是分式，故此选项不符合题意； C、，4是整式，故此选项符合题意； D、，是分式，故此选项不符合题意． 故选：C． 26．若，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的混合运算，由已知条件得出，，，，联立，得，代入整理之后对算式进行通分即可． 【详解】解：， ，，，， 联立， 得， ∴原式 ． 故选A． 27．对于只含一个字母的代数式，我们把代数式本身作为字母的值代入代数式中称为一次“自代入”操作，例如：对分式进行一次“自代入”操作得，化简后得，对于分式，进行第一次“自代入”操作得：，化简后得的式子记作；对进行第二次“自代入”操作，化简后的式子记作，继续对进行第三次“自代入”操作，化简后的式子记作，以此类推重复“自代入”操作，以下结论正确的有（   ）个． ①；②若，则；③若整数使得的值也为整数，则的值有4个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了数字类规律题，分式的值，分式的混合运算，根据题意得出，进而逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：依题意得：，， ， ，故①不正确； ∴， ∵， ∵， ∴， ∴，故②不正确； ∵为整数， ∴或， 可得：或或或， ∵， ∴ 或或， ∴63或31或33，即的值有3个，故③不正确． 综上，正确的有0个． 故选：A． 28．已知为整数，且为整数，则所有符合条件的的值的积为 ． 【答案】180 【分析】本题考查了分式的加减，先通分，再根据分式的加减法法则计算，根据题意求出符合条件的的值，计算即可，熟练掌握分式的加减法法则是解题的关键． 【详解】解： ∵为整数，且为整数， ∴或或或， 解得：或或或， ∴符合条件的的值的积为： 故答案为：． 29．已知时，多项式的值为，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，得出是解题的关键． 根据已知条件得出，又，进而得出， ,，进而即可求解． 【详解】解：∵时，多项式的值为， ∴， ∴ 即 ∴ 即， 又∵ ∴ ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 30．当正整数 时，分式的值也是正整数． 【答案】2或8 【分析】本题考查了分式的值，因式分解，将分式变形为，其值为正整数，由此求得或2或8，再代入验证即可求解． 【详解】解： ， ∵分式的值是正整数， ∴或， 解得：或2或或8， ∵为正整数， ∴或2或8， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 综上，当或8时，分式的值也是正整数． 故答案为：2或8． 31．我们知道：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学阶段，我们把分子小于分母的数称为真分数．类似地，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式．反之，称为假分式．对于任意一个假分式，都可以化成整式与真分式的和的形式． 例如： (1)在分式①，②，③，④中，属于真分式的是 （填序号）． (2)将假分式化成整式与真分式的和的形式． (3)若假分式的值是整数，则整数x的值为 ． 【答案】(1)①④ (2) (3)0或 【分析】本题主要考查了分式的定义、分式的加减运算等知识点，灵活运用分式的加减运算法则成为解题的关键． （1）根据真分式的定义逐一判断即可； （2）先对原式变形，然后逆用分式加法并约分即可解答； （3）由（2）的信息可得：是整数，可得或，然后再解方程即可． 【详解】（1）解：∵分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式， ∴①是真分式，②是假分数，③是假分数，④是真分式． 故答案为：①④． （2）解：． （3）解：∵假分式的值是整数， ∴，即是整数． ∴或，解得：或或0或， ∵x的值为整数， ∴x的值为0或． 故答案为：0或． 32．我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”． 如分式，，，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断C是否为D的“雅中式”，若不是；请说明理由；若是，请求出C关于D的“雅中值”； (2)已知分式，，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是1，x为整数，且P的值也为整数． ①求E所代表的代数式； ②求所有符合条件的x的值； 【答案】(1)是的“雅中式”，关于的“雅中值”为1 (2)①；②所有符合条件的的值为0，2，4，6 【分析】本题主要考查了分式减法的应用、分式的约分，熟练掌握分式的减法法则是解题关键． （1）根据分式的减法法则计算，由此即可得； （2）①先得出，据此化简计算即可得； ②求出，从而可得是3的因式，由此即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ∴是的“雅中式”，关于的“雅中值”为1． （2）解：①由题意得：， ∵ ， ∴， ∴， ∴． ②由（2）①可知，， ∵为整数，且的值也为整数， ∴或或或， ∴或或或， 综上，所有符合条件的的值为0，2，4，6． 33．已知，求证： (1)三个数中必有两数之和为零； (2)对于任意奇数，均有． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查分式的计算，掌握分式的运算法则是解题的关键． （1）先去分母转化为整式，然后分解因式为解题即可； （2）由（1）可得中必有一个为0，不妨设，然后代入得到，然后再根据即可得到结论． 【详解】（1）证明：，. . . ， ∴， 或或， ∴三个数中必有两数之和为0； （2）证明：中必有一个为0， 不妨设，则. 为奇数， ， ， ， ， ， ∴． 34．类比推理是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论．触类旁通，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题中的途径和方法． 观察下列计算过程： 这就是解稍复杂的计算中常用到的裂项相消法，即把每项恰当拆分，使得其中部分分数相互抵消，简化计算． 阅读下面一道例题的解答过程： 因式分解： 解：我们可以将拆成和 即原式 在因式分解中，我们有时需要对多项式的某一项拆成两项或多项，其目的是使多项式能进行因式分解，像这样的方法称为拆项法． 请用类比的方法，解决以下问题： (1)①已知，则依据此规律____； ②请你利用拆项法进行因式分解：_____； (2)若满足，求的值； 【答案】(1)①；②； (2)； (3)． 【分析】（1）①类比题材即可得解，②类比题材即可因式分解； （2）根据绝对值和偶次方的非负性得，，然后代入所求式子利用裂项相消法即可求解； （3）利用拆项法因式分解后再利用裂项相消法化简方程，解化简后的分式方程即可． 【详解】（1）解：①∵ ∴类比得， 故答案为：； ②， 故答案为：； （2）解：∵满足，即 ∴，， 解得，， ∴， ； 【点睛】本题考查了有理数的混合运算、因式分解，解题的关键是明确题意，理解裂项相消法的应用以及熟练求解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$