第19讲 直角三角形（练习，17题型模拟练+重难练+真题练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（全国通用）

第四章 三角形 第19讲 直角三角形 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 👉题型01 由直角三角形的性质求解 👉题型02 根据已知条件判定直角三角形 👉题型03 利用勾股定理求解 👉题型04 判断勾股数问题 👉题型05 以直角三角形三边为边长的图形面积 👉题型06 勾股定理与网格问题 👉题型07 勾股定理与折叠问题 👉题型08 勾股定理与无理数问题 👉题型09 利用勾股定理证明线段的平方关系 👉题型10 勾股定理的证明方法 👉题型11 赵爽弦图 👉题型12 利用勾股定理构造图形解决实际问题 👉题型13 在网格中判断直角三角形 👉题型14 利用勾股定理逆定理求解 👉题型15 利用勾股定理解决实际问题 👉题型16 利用勾股定理逆定理解决实际问题 👉题型17 最短距离问题 👉题型01 由直角三角形的性质求解 1．（2023·山东济南·三模）将正六边形与正方形按如图所示摆放，且正六边形的边与正方形的边在同一条直线上，则的度数是 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查了正多边形的内角问题，先根据多边形的内角和公式求出正六边形的内角，然后根据正多边形内角与外角的互补，求得正六边形和正方形的外角，最后根据三角形的内角和即可求得的度数． 【详解】解：图中五边形为正六边形， ， ， 正方形中， ， ， 故答案为：． 2．（2024·山西·模拟预测）如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点，，连接交边于点，连接．若，则的周长为 ． 【答案】/ 【分析】由作图知是的垂直平分线，则，，角度推导得到，继而求出，再解求出，即可求解． 【详解】解：由作图知是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴周长为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握知识点，发现是解题的关键． 3．（2024·河北·模拟预测）如图，在是边上的高，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点E，交于点F，下列说法不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平分线定义判断A；根据和都是的余角判断B；根据含的直角三角形性质判断C；根据和都是的余角，是的外角，是的外角，判断D． 【详解】A、由作图知，平分， ∴， ∴A正确，不符合题意； B、∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴B正确，不符合题意； C、当时， ， ， ∴C不一定正确，C符合题意； D、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴D正确，D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了角平分线和直角三角形．熟练掌握角的平分线定义，直角三角形角性质，余角定义，含的直角三角形边性质，三角形外角性质，是解题的关键． 4．（2024·贵州贵阳·二模）如图，菱形的对角线、相交于点O，过点A作于点E，若，，则的长为（　　） A．2 B．4 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．由菱形的性质得出，由菱形的面积得出，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， 故选：C． 👉题型02 根据已知条件判定直角三角形 5．（23-24七年级下·陕西西安·期末）在中，，，的对边分别是a，b，c，下列条件： ①； ②； ③，，； ④，其中可以判定是直角三角形的有 个． 【答案】2 【分析】本题主要考查了直角三角形的判定，对于①④，求出各内角的度数，判断即可；对于②③，根据勾股定理逆定理判断即可． 【详解】∵，， ∴， ∴是直角三角形， 则①正确； ∵， ∴， 即， ∴是直角三角形， 则②正确； ∵，，， ∴， ∴不是直角三角形． 则③不正确； 设，根据三角形内角和定理，得 ， 解得， ∴，，， ∴不是直角三角形． 则④不正确． 正确的有2个． 故答案为：2． 6．（2024·陕西·模拟预测）如图，在中，为边上一点，过点，且与相切于点，连接，，． (1)求证：为直角三角形． (2)延长与交于点，连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)CE＝ 【分析】（1）利用圆的切线的性质定理，等腰三角形的性质，同圆的半径相等的性质解答即可； （2）利用圆周角定理，四边形的内角和定理和相似三角形的判定与性质得到，设，则，再利用勾股定理列出方程解答即可． 【详解】（1）证明：与相切于点， ， ， ． ， ， ， ， ． 即， 为直角三角形； （2）解：，， ． 由（1）知：， ． ， ． 为的直径， ， ， ． ， ， 设，则， ， ， ， ． ． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质定理，圆周角定理，直角三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键． 7．（2024·河北秦皇岛·一模）如图，在等边中，，P为上一点（不与点B，C重合），过点P作于点P，交线段于点M，将绕点P顺时针旋转，交线段于点N，连接，有三位同学提出以下结论： 嘉嘉：为直角三角形． 淇淇：当时，． 珍珍：在点P移动的过程中，不存在平行于的情况． 下列说法正确的是（    ） A．只有嘉嘉正确 B．嘉嘉和淇淇正确 C．淇淇和珍珍正确 D．三人都正确 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质证明，可以判断嘉嘉正确：然后利用含30度角的直角三角形的性质判断淇淇正确：珍珍错误，进而可以解决问题． 【详解】解：由旋转可得： ∵ ∴ ∴ ∵为等边三角形 ∴ ∴ ∴为直角三角形，故嘉嘉正确； ∵在等边中，， 当时，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，故淇淇正确； 当时， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ 由旋转性质可得：， ∴是等边三角形 ∴ ∴，故珍珍错误； 故选：B． 【点睛】本题考查旋转的性质，直角三角形的判定，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，平行线的判定与性质． 👉题型03 利用勾股定理求解 8．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，O是坐标原点，菱形的顶点C在x轴的负半轴上，，函数的图象经过顶点B，则k的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，以及菱形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，连接相交于点E，过点B作轴与点D，利用勾股定理求出的长，判定出，求出，的长，利用待定系数法求出结果即可． 【详解】解：如图，连接相交于点E，过点B作轴与点D， 四边形为菱形， ，，， ， ，， ， 即， 解得：， ， ， 函数的图象经过顶点B， ， 故答案为：． 9．（2024·河南鹤壁·模拟预测）如图，与相切于点A，与弦相交于点C，，若，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了切线的性质，连接，如图，先根据切线的性质得到，再证明得到，设，则，，利用勾股定理得到，然后解方程即可，熟知切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 【详解】解：连接，如图， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 设，则，， ， ， 解得， 即的长为4． 故答案为：4． 10．（2024·贵州·模拟预测）下面是多媒体上的一道试题： 如图，在菱形中，过点作于点，点在边上，，连接，．求证：四边形是矩形． 下面是两位同学的对话： (1)请你选择一位同学的说法，并证明； (2)若，求菱形的周长． 【答案】(1)选择小星的说法，证明见解析； (2)16． 【分析】（1）根据菱形的性质，求出，进而证明，四边形是平行四边形．利用有一个角是的平行四边形是矩形即可得证； （2）利用勾股定理求出，再证明为等边三角形，得，即可得解． 【详解】（1）解：若选择小星的说法，证明如下： 四边形是菱形， ，． ， ， 四边形是平行四边形． ， ， 四边形是矩形． （2）解：， ． 在中，， ． ． 四边形是菱形， ， 为等边三角形， ， 菱形的周长为． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定及性质，解直角三角形，证明矩形及垂线定义，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定及性质是解题的关键． 11．（2024·四川眉山·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，， ，点在以为圆心，为半径的圆周上运动，且始终满足，则的最小值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，最短距离等知识点，利用点A、B、C的坐标可得到，则，连接交于，利用两点间的距离公式计算出，即可得到，于是可判断a的最小值为4，熟练掌握其性质，找出最短距离的位置是解决此题的关键． 【详解】解：∵点，，， ∴， ∵， ∴， 如图，连接交于， ， ∴， 即上点到A的最短距离为4， ∴a的最小值为4， 故选：B． 👉题型04 判断勾股数问题 12．（2024·四川德阳·二模）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5：5，12，13；7，24，25；…这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如6，8，10；8，15，17；…若此类勾股数的勾为（，m为正整数），则其股是 （结果用含m的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了勾股数的定义及求法：满足的三个正整数称为勾股数；根据题意得为偶数，设其股是，则玄为，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【详解】解：∵m为正整数， ∴为偶数， 设其股是a，则弦为， 根据勾股定理得，， 解得：， 故答案为：． 13．（2024·山东淄博·二模）观察下列几组勾股数：①、、；②、、；③、、；④、、；…根据上面的规律，写出第8组勾股数： ． 【答案】，， 【分析】本题考查的是勾股数，数字类规律探究；观察已知数据可得每组第一个数组数，第二个数组数组数，第三个数组数组数，再把代入，整理即可得到答案． 【详解】第一组：，，； 第二组：，，； …， 第四组为：，，. …， 则第组第一个数为：，第二个数为：，第三个数为：． ∴第八组：，， 故答案为：，，． 14．（2024·河北沧州·一模）当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个正整数为勾股数． (1)若a，b为一个直角三角形的两条直角边长，c为斜边长，a，b，c为勾股数，且，n为正整数，求b的值（用含n的式子表示），并直接写出符合题意的最小的b值． (2)当n是大于1的整数时，判断2n， 是否是勾股数，并说明理由． 【答案】(1)5 (2)是勾股数，理由见解析 【分析】本题考查了勾股数的定义，完全平方公式，算术平方根的求解，准确理解勾股数的定义，是解答本题的关键． （1）根据勾股数的定义得到，结合都为正整数，求出最小b值即可； （2）分别表示出2n， 的平方，得到即可做出判断． 【详解】（1）解：a，b，c为勾股数，c为斜边长， ， ， ， ，， 都为正整数， 当时，， 最小的b值为5； （2），，， ， 2n， 是勾股数． 15．（2024·四川成都·模拟预测）一个直角三角形的边长都是整数，则称这种直角三角形为“完美勾股三角形”，k为其面积和周长的比值．当时，满足条件的“完美勾股三角形”的周长为 ；当时，若存在“完美勾股三角形”，则 ． 【答案】 或1 【分析】本题考查了直角三角形，都是各边长都是整数，利用的直角三角形来研究，对三边同时扩大倍数来计算，看是否满足题意即可求解． 【详解】解：设直角三角形的边长分别为，其中为直角边，且， 由题意知：， 利用特殊的勾三股四直角三角形来研究， 当，上式不成立， 依次将扩大相同的倍数， 当都扩大4倍时：，等式成立， 故此时满足条件的“完美勾股三角形”的周长为：； 当时，当时， ， 当时， ， 故答案为：，或1． 👉题型05 以直角三角形三边为边长的图形面积 16．（2024·河北唐山·三模）如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形、、的面积依次为、、，则正方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形和勾股定理，解题关键是勾股定理的正确应用．由所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，根据勾股定理得，由正方形、、的面积依次为、、，得，求得正方形的面积为． 【详解】解：由题意可得， 由正方形、、的面积依次为、、， 得， 求得正方形的面积为． 故正确 故答案为： 17．（2024·甘肃天水·二模）我国是最早了解勾股定理的国家之一，早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三、股四、弦五”这一结论．勾股定理与图形的面积存在密切的关系，如图，这是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，若的面积为6，则阴影部分的周长为 ． 【答案】28 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，根据根据勾股定理得，则正方形AEFB的面积是25，因为的面积为6，所以，即可算出阴影部分的周长为． 【详解】解：依题意，， ， 正方形AEFB的面积是25， ． 的面积为6， ， ， ． 即． 阴影部分的周长为． 故答案为： ． 18．（2021·浙江金华·中考真题）如图，在等腰中，，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点都在同一个圆上．记该圆面积为，面积为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定圆的圆心在直角三角形斜边的中点，然后利用全等三角形的判定和性质确定△ABC是等腰直角三角形，再根据直角三角形斜边中线的性质得到，再由勾股定理解得，解得，据此解题即可． 【详解】解：如图所示，正方形的顶点都在同一个圆上， 圆心在线段的中垂线的交点上，即在斜边的中点，且AC=MC，BC=CG， ∴AG=AC+CG=AC+BC，BM=BC+CM=BC+AC， ∴AG=BM， 又∵OG=OM，OA=OB， ∴△AOG≌△BOM， ∴∠CAB=∠CBA， ∵∠ACB=90°， ∴∠CAB=∠CBA=45°， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理、直角三角形斜边的中线的性质、圆的面积、三角形的面积等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 19．（2023·河北石家庄·模拟预测）如图所示，在中，，，分别以三条边为一边，在的外部作正五边形，三个五边形的面积分别记作，，，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图所示，设所在的正五边形的外接圆圆心为O，连接，过点O作于D，先求出，再根据三线合一定理得到，解直角三角形得到，求出，同理，，再结合勾股定理进行 逐一判断即可． 【详解】解：如图所示，设所在的正五边形的外接圆圆心为O，连接，过点O作于D， 由正五边形的性质可得， ∵， ∴， 在中，， ∴， 同理，， ∵在中，，， ∴， ∴，故A不符合题意；，，， ∴，故B、C不符合题意，D符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，正多边形与圆，解直角三角形，正确用直角三角形的三边长表示出三个正五边形的面积是解题的关键． 20．（2022·浙江宁波·模拟预测）如图①，分别以的各边为一边向外作三个三角形，使，，再按图②的方式将两个较小的三角形放在最大的三角形内，使，，，．若要求出的面积，则需要知道下列哪个图形的面积（   ） A．四边形 B．四边形 C． D． 【答案】D 【分析】由勾股定理可得，可得，通过证明， ，可证，即可求解． 【详解】如图①中，， ， 如图②中： ，，， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ，， ，， ，， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，证明是解题的关键． 👉题型06 勾股定理与网格问题 21．（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，在边长为的正方形网格中，点、、、、都在小正方形格点的位置上，连接，相交于点，根据图中提示所添加的辅助线，可以求得的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角函数，勾股定理，平行线的性质，解题的关键是数形结合．由题得：，，，根据勾股定理求出，，进而求出，即可求解． 【详解】解：由题得，，，， ，， ，， 在中，， 则， 故选：C． 22．（2024·云南昆明·模拟预测）如图是由边长为1的小正方形构成的的网格，其中点O，A，B均在格点上，将扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的弧长公式，解题的关键是明确圆锥的底面圆的周长即为扇形的弧长．根据扇形的弧长公式求得弧长，再根据圆锥的底面圆的周长即为扇形的弧长进行求解． 【详解】解：， 设圆锥的底面半径为r， 根据题意，得， 解得， 故答案为：． 23．（2024·广东清远·模拟预测）如图，象棋盘中各个小正方形的边长为1．“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照马走日的规则，走两步后的落点与出发点间的最远距离为 ．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图，    走两步后的落点与出发点间的最远距离的点为A处，最远距离为． 故答案为：． 24．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，的顶点坐标分别为，，．将关于原点O中心对称得到． (1)画出； (2)点的坐标为______，点C、之间的距离是______． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查中心对称、勾股定理，熟练掌握轴对称中心对称的性质、勾股定理是解答本题的关键． （1）根据中心对称的性质作图即可． （2）由图可得点的坐标；利用勾股定理计算的长即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． ； （2）解：由图可得，点的坐标为． 由勾股定理得，． 故答案为：；． 👉题型07 勾股定理与折叠问题 25．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，E是中点，F是上一点，沿着折叠，若，则 ． 【答案】 【分析】取中点为D、连接，作中点G，连接交，交于O，根据勾股定理求出的长，由折叠性质以及等腰三角形的判定与性质得出共线，即O与重合，利用中位线性质，勾股定理得出一元二次方程，求出结果即可得出结论． 【详解】解：如图所示，取中点为D、连接，作中点G，连接交，交于O， 在中 为中点， ， 由折叠可知：， 点G是中点，在中有，且， 在中，， 在中，E为中点，G为中点， ， 取中点为，则， ， ， 共线，即O与重合， ， 在中，， 为的中点，D为的中点， ， ， ， 在中，设，则， ， ， 在中，，即， 整理得：， 解得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，一元二次方程的几何应用，中位线的性质，等腰三角形的判定与性质，折叠性质，熟练掌握相关性质定理，准确作出辅助线为解题关键． 26．（2024·河南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，点M是上一点，将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则点M的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题重点考查图形与坐标、勾股定理、轴对称的性质等知识．由勾股定理得，由折叠得，，则，由勾股定理列式计算，于是得到问题的答案． 【详解】解：，，， ，， ， 由折叠得，， ， ， ， 解得， ， 故选：B． 27．（2024·四川绵阳·模拟预测）如图，在中，，，将沿折叠，使点B落在边上的点D处，若，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】过点作，设，则，，设，折叠得到，勾股定理，求出的值，证明，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， 过点作，则， ∵， ∴设，则，， ∵， ∴， 设，则：， ∵将沿折叠，使点B落在边上的点D处， ∴，， ∵， ∴，即：， 解得：， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理与折叠问题，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形的外角，等边对等角等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造相似三角形和特殊三角形，是解题的关键． 28．（2024·浙江·模拟预测）综合与实践 【问题情境】 在一次数学探究课上，老师带领大家一起研究特殊三角形的性质. 圆圆小组对直角三角形进行了各种类型的折叠探究，并尝试用数学方法说明发现的结论. 类型 ．如图，沿着折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点，他们发现：点的位置与 和的长有关． 问题.若，，则________． 【变式探究】 类型．如图，点为上一点，沿着折叠，恰好落在上，点的对称点为，折痕交于点 ． 问题 ．若 ，则 ． 请猜测 与 有何关系，并证明． 【拓展思考】 方方小组对等腰三角形进行了各种折叠探究.如图，在等腰三角形中，为底边，为钝角，点为边上一点，将沿直线翻折得到． 问题．若，，求的长． 【答案】问题．；问题 ． ； ，证明见解析；问题．． 【分析】问题．由折叠可得，，设，则，在中由勾股定理得，解方程求出即可求解； 问题 ．证明可得，进而可得，又由即可求解； ．同理即可求证； 问题．连接，与相交于点，由折叠可得，，进而可得为的中位线，得到，利用勾股定理可得，进而得，即可求解； 本题考查了勾股定理，折叠的性质，相似三角形额判定和性质，三角形中位线的性质，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：问题：由折叠可得，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：； 问题：由折叠可得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 猜测：． 证明：由折叠可得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； 问题：连接，与相交于点， 由折叠可得，，， ∴， ∵， ∴为的中位线，， ∴， ∴， ∴， ∴． 👉题型08 勾股定理与无理数问题 29．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在数轴上点表示原点，点表示的数为，，垂足为，且，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理可得，即得，据此即可求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵点表示原点，点表示的数为 ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点表示的数为， 故答案为：． 30．（2024·甘肃天水·一模）如图，在数轴上，，过O作直线于点O，在直线l上截取，且A在上方．连接，以点B为圆心，为半径作弧交直线于点C，则C点对应的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求得，根据题意可得，进而即可求解． 【详解】解：∵，，， 在中，， ∴， ∴， 为原点，为正方向，则点对应的数为； 故答案为：． 31．（2020·山西·三模）嘉淇学习了“数轴上的点与实数是一一对应的关系”后，便尝试在数轴上找一个表示无理数的点．如图，数轴的原点为O，中，，边在数轴上，，以点O为圆心，长为半径作弧，交数轴负半轴于点C，则点C所表示的数介于（　　） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】C 【分析】本题考查估算无理数的大小、勾股定理，掌握算术平方根的定义是正确估算的关键．根据勾股定理求出，进而确定点C的坐标，再根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴数轴上点C所表示的数为：， ∵，，而， ∴， ∴， 故选：C． 32．（2023·广东深圳·二模）数形结合是解决代数类问题的重要思想，在比较与的大小时，可以通过如图所示几何图形解决问题：若要比较与的大小，以下数形结合正确的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据勾股定理逐一判断即可求解． 【详解】解：A．由图形无法利用勾股定理求得表示与的线段长度， 则无法判断大小，那么A不符合题意； B．由图形无法利用勾股定理求得表示与的线段长度， 则无法判断大小，那么B不符合题意； C．由图形可得，但无法求得表示的线段长度， 则无法判断大小，那么C不符合题意； D．由图形可得，， ∵， ∴， 那么D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了数形结合进行无理数的大小比较，利用勾股定理求得对应线段的长度是解题的关键． 👉题型09 利用勾股定理证明线段的平方关系 33．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，四边形的两条对角线相交于点O，，，则下列结论错误的是（    ） A．平分 B． C． D． 【答案】C 【分析】，得到四点共圆，圆周角定理，得到，判断A，将绕点旋转，得到线段，连接，得到三点共线，证明，得到，判断B，证明，得到，判断C，等量代换结合勾股定理判断D． 【详解】解：∵， ∴在以为直径的圆上， ∵， ∴， ∴， ∴平分；故A选项正确； 将绕点旋转，得到线段，连接，则：， ∴， ∴，， ∴三点共线， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴；故选项B正确； ∵， ∴， ∴， ∴， 若：， 则：， 即：， ∴， 无法得到，故选项C错误； ∵，，， ∴，， ∴ ；故选项D正确； 故选C． 【点睛】本题考查圆周角定理，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，本题的综合性强，难度较大，属于选择题中的压轴题，熟练掌握相关知识点，得到四点共圆，是解题的关键． 34．（2024·河北·模拟预测）如图1，正方形与斜边为的按如图所示的方式放在同一平面内，使点与A重合，点D在上，，其中，正方形固定不动． (1)求的长和的度数． (2)将绕点A按顺时针方向旋转，当与重合后，立刻沿射线方向平移，点D在边上时停止． ①求边旋转结束时扫过的面积； ②求平移结束时，正方形与重叠部分的面积S． (3)如图2，若将（2）中的旋转和平移同时进行，设边与边的交点为M，边与边的交点为N，，，直接写出在运动过程中的值．（用含a，k的式子表示） 【答案】(1)， (2)①；② (3) 【分析】（1）过点作于点H，先根据正方形的性质和解直角三角形求得，再由等腰直角三角形性质求得，从而由，即可求解； （2）①求扇形的面积即可；②设交于点P， 过点D作于点E．先证明是等腰直角三角形，得到，再解得，解得，则平移的距离为，即可由求解； （3）连接，过点A作交于点F，证明，得．则．然后在中， 由勾股定理得．在中，由勾股定理得． 【详解】（1）解：如图1，过点作于点H． 在正方形中， ，， ， ∴． ∵， ∴， ∴． 在中， ， ∴， ∴． （2）解：①如图2， 边旋转结束扫过的面积为扇形的面积． ∵， ∴旋转角． 在中， ， ， ∴， ∴扇形的面积． ②如图3，设交于点P， ∵，， 是等腰直角三角形， ∴， 过点D作于点E． ∵在中，，， ∴． ∵在中，， ∴， ∴平移的距离为， ∴ ． （3）解：DM2+DN2=(k+1)a2． 如图4，连接，过点A作交于点F， 则为等腰直角三角形， ∴． ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 在中， ． 在中， ． 【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质．熟练掌握相关知识是解题的关键． 35．（2024·江苏盐城·三模）【阅读发现】 小明在阅读数学课外读物时，读到了海伦――秦九韶公式．他了解到海伦公式和秦九韶公式分别是由古希腊的几何家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶提出的．这两个公式有什么关系呢？于是小明进行了下列思考： 两个公式： 海伦公式：已知一个三角形的三边长分别为，，，设，那么这个三角形的面积； 秦九韶公式：已知一个三角形的三边长分别为，，，那么这个三角形的面积； 【尝试应用】 （1）已知一个三角形的三边长分别4，5，6．请任选一个公式算出这个三角形的面积为______；请用学过的知识来解这个三角形的面积． （2）已知一个三角形的三边长分别为，，，试求出这个三角形面积的一般表达形式．（用，，表示） 【发现关联】 思考关联：请你由秦九韶公式推导到海伦公式：，． 【答案】【尝试应用】（1）；见解析；（2）；【发现关联】见解析 【分析】尝试应用：（1）代入；过点作，设，则，在和中，应用勾股定理，可求出，，代入面积公式即可求解， （2）过点作，设，，则，根据勾股定理得到，，联立得：，解得：，由面积公式得到：，代入即可求解， 发现关联：将应用平方差公式进行展开，即可求解， 本题考查了，勾股定理，平方差公式的运用，二次根式的应用，解题的关键是：熟练掌握勾股定理，平方差公式进行运算． 【详解】解：尝试应用（1） ， 过点作， 设，则， 在中，， 在中，， ∴，解得：， ∴， ∴这个三角形的面积为：， （2）过点作， 设，，则， 则：，， ∴，解得：， ∴ ； 发现关联： ；其中． 👉题型10 勾股定理的证明方法 36．（2022·河北邯郸·三模）在证明勾股定理时，甲、乙两位同学分别设计了如下方案： 甲 乙 如图，用四个全等的直角三角形拼成，其中四边形ABDE和四边形CF均是正方形，通过用两种方法表示正方形ABDE的面积来进行证明． 如图是两个全等的直角三角板ABC和直角三角板DEF，顶点F在BC边上，顶点C，D重合，通过用两种方法表示四边形ACBE的面积来进行证明． 对于甲、乙分别设计的两种方案，下列判断正确的是（    ） A．甲、乙均对 B．甲对、乙不对 C．甲不对，乙对 D．甲、乙均不对 【答案】A 【分析】甲的方案用四个三角板的面积加上中间小正方形的面积等于大正方形的面积验证；乙的方案中，，利用三角板的角度证明，通过对应边成比例求出CG，进而求出GE，可推导出，即可证明方案正确． 【详解】解：设两个方案中所用直角三角形的边长从短到长都依次为a，b，c， 甲的方案如图所示， ， ， 因此，即甲设计的方案正确； 乙的方案如图所示， ， ∵ 和是直角三角板， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即乙设计的方案正确． 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理的证明方法，验证乙的方案有一定难度，先证明，通过对应边成比例求出CG是解题的关键． 37．（2023·辽宁阜新·二模）动手实践、归纳和猜想是我们发现数学结论的重要一环，你也来试试吧！ (1)如图，两个边长分别为的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，得到我们学习过的一个重要公式， 请你写出来：面积等式为____________，结论为____________； (2)边形有个顶点，在它的内部再画个点，以个点为顶点，把边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得个这样的三角形．当时，如图，最多可以剪得7个这样的三角形，所以． 当时，如图，______； 当______时，； 对于一般的情形，在边形内画个点，通过归纳猜想，可得______（用含的代数式表示）． 【答案】(1)，； (2)①，；②． 【分析】（）此等腰梯形的面积有三部分组成，利用等腰梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出等式并整理即可； （2）根据图形规律即可解答； 根据探画出图形究不难发现，三角形内部每增加一个点，分割部分增加部分，即可得出结论； 本题考查了图形的变化规律和勾股定理的验证，读懂题意，找到变化规律是解题的关键． 【详解】（1）有三个直角三角形其面积分别为，和， 直角梯形的面积为， 由图形可知：， 整理得，， ∴， 故答案为：，； （2）如图，当，时，， 如图，当，时，， 故答案为：，； 边对于一般的情形，在边形内画个点，第一个点将多边形分成了个三角形，以后三角形内部每增加一个点，分割部分增加部分，故可得， 故答案为：． 38．（2022·江苏盐城·三模）2000多年来，人们对勾股定理的证明频感兴趣，不但因为这个定理重要、基本还因为这个定理贴近人们的生活实际所以很多人都探讨、研究它的证明，新的证法不断出现，如图2是将图1中的直角三角形通过旋转、平移得到的正方形．    (1)请你利用图2证明勾股定理； (2)如图3，以为直径画圆O，延长交于点E，判断直线与⊙的位置关系，并说明理由； (3)若，则图3中阴影部分的面积为____________（用含a的式子表示） 【答案】(1)见详解 (2)与⊙相切，理由见详解 (3) 【分析】（1）利用两种方法表示正方形的面积证明勾股定理； （2）过圆心O作作于点G，推出解题； （3）求出阴影部分的中心角度，运用扇形面积减去三角形的面积即可解题． 【详解】（1）证明： ∵， ， ， ， ∴，即； （2）与⊙相切，理由为：    过O点作于点G， 则， ∵， ∴ ∴与⊙相切； （3）如图，设交点为H，L， ， 在中 ， ∴， ∴      【点睛】本题考查勾股定理的推导，直线和圆的位置关系以及利用扇形和直角三角形求阴影部分的面积，作辅助线是解题的关键． 39．（2022·广东佛山·三模）几千年来，在勾股定理的多种证明方法中，等面积法是典型的一种证法，清代数学家李锐运用这一方法借助三个正方形也证明了勾股定理．如图，四边形，四边形，四边形均为正方形，交于点，交于点，点，，，在同条直线上，若，，记四边形的面积为，四边形的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质可得，，，，，，CIHG，从而可得，进而利用平行线的性质可得，然后可得，从而证明∽，利用相似三角形的性质可得，再设，，从而可得，再证明≌，然后利用全等三角形的性质可得，从而根据，求出的值，进而求出，，的长，最后证明一线三等角模型相似∽，从而利用相似三角形的性质求出的长，然后根据正方形的面积的面积的面积，正方形的面积的面积，进行计算即可解答． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， 四边形是正方形， ，，CIHG， ， ， ， ∽， ，， ， 设，， ， ，，， ≌（ASA）， ， ， ， ， 或舍去， ，， ， ，， ，， ， ∽， ， ， ， 正方形的面积的面积的面积 ， 正方形的面积的面积 ， ， 故选：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理的证明，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键． 40．（2024·陕西西安·模拟预测）如图所示的图案是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》中“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，点是的中点，阴影部分的面积为27，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理．由四边形与四边形均为正方形，点是的中点，可知、、分别为、、的中点，可推出阴影部分的四个直角三角形面积相等，每一个都为正方形面积的一半，从而阴影部分总面积为正方形面积的3倍，即可得正方形面积为9，继而得，由勾股定理可求得的长． 【详解】解：由四边形与四边形均为正方形，点是的中点，可知、、分别为、、的中点， 且， ， ， ， ， ， 又， ． 故答案为：． 41．（2024·广东清远·模拟预测）三国时代吴国数学家赵爽第一次对勾股定理加以证明：用 4 个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图 ”．中，， ，， ，大正方形的面积小正方形的面积 个直角三角形的面积，化简证得勾股定理：． (1)若 ，则 ； (2)如果大正方形的面积是 13， ，求小正方形的面积． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了勾股定理的证明，和以及非负数的性质，掌握三角形和正方形面积计算公式是解决问题的关键． （1）根据题意得大正方形面积为，直角三角形面积为，小正方形面积为，然后根据，，即可解决问题； （2）根据大正方形的面积，，得，求出，进而可得小正方形的面积． 【详解】（1）∵大正方形面积为，直角三角形面积为，小正方形面积为， ∵，， ∴ ∴， 故答案为：； （2）∵大正方形的面积，， ∴， ∴（负值已经舍去）， ∴小正方形的面积． 👉题型11 赵爽弦图 42．（2024·河北·模拟预测）如图1，嘉嘉用四个全等的直角三角形拼接了一个“赵爽弦图”，其中大正方形的面积为25，小正方形的面积为1． （1）如图2，连接得到一个风车图案（阴影部分），则风车图案的周长为 ． （2）如图3，连接，交于点P，交于点M，则 ． 【答案】 【分析】（1）根据题意在中，利用勾股定理求出的长即可求出答案； （2）根据正方形的性质证明，得到，再根据即可求解． 【详解】（1）∵正方形的面积为25，正方形的面积为1 ∴正方形的边长为5，正方形的边长为1 设， ∵四个直角三角形全等， ∴，则 在中，，即，解得：（负值舍去） ∴， ∵ ∴ 同理可得：，， ∴风车图案的周长为； （2）∵四边形是正方形， ∴ ∵四个直角三角形全等， ∴ ∴，即 ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，灵活运用所学知识是关键． 43．（2024·山东济南·二模）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”．将两个大小相同的“赵爽弦图”（如图1）中的两个小正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成边长为10的正方形，则空白部分面积为    【答案】50 【分析】本题主要考查正方形的面积，根据大正方形的边长求出“赵爽弦图”中正方形的边长是解题的关键． 【详解】解：正方形的边长为10， “赵爽弦图”中正方形的边长5， 空白处的面积大正方形的面积 小正方形面积． 故答案为：． 44．（2024·浙江杭州·一模）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形． （1）连接，若恰为中点，则的度数为 °； （2）连接，若与的面积相等，，则的长为 ． 【答案】 45 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，得到，推出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到结论； （2）设，由题意得，，得到，根据题意列方程即可得到结论．本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质，正方形的性质，公式法解一元二次方程，等腰直角三角形的判定和性质，正确地识别图形是解题的关键． 【详解】解：（1）∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形， ∴， ， 恰为中点， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：45； （2）四边形是正方形， ， 设， 由题意得，， ， 若与的面积相等， ， ， 或（不合题意舍去）， ， ， 故答案为：． 👉题型12 利用勾股定理构造图形解决实际问题 45．（2023·四川泸州·一模）我国古代伟大的数学家刘徽将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成．若，，则该矩形的面积为（　　　　）    A．96 B． C． D．90 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、勾股定理、代数式求值等知识．设，根据题意可知，，，在中，由勾股定理可得，代入并整理可得，然后结合矩形的面积公式可得 ，整体代入即可获得答案． 【详解】解：如下图，    设， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理可得， 即， 整理，可得，即， ∴该矩形的面积 ． 故选：A． 46．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）如图是一所大型游乐场，工人在对游乐设施进行测试．大摆锤从高为的房屋A处，划过到达与房屋A水平距离为，高为的房屋B处，求大摆锤的长度 m． 【答案】13 【分析】如图所示，作，交于点，连接，可得，，在中，根据勾股定理可得的值，在等腰直角中可得，即可得出结果． 【详解】解：如图所示，，过点作于点，过点作于点，交于点，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形，是矩形， ∴， 在中，， ∴， 在等腰直角中，， ∴，即， ∴， ， 故答案为：13． 【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质，三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质，理解图示，勾股直角三角形，掌握勾股定理的运用是解题的关键． 47．（2024·贵州·模拟预测）意大利著名画家达芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，图2是将图1沿直线剪开，将右半部分上下翻转得到的图形，其中四边形，四边形与四边形均为正方形，若图1中空白部分面积为37，线段的长为7，则图2中两个直角三角形的面积和为（    ） A．6 B．12 C．15 D．25 【答案】B 【分析】由题意可设正方形的边长为，正方形的边长为，读懂题意，确定图2中两个直角三角形的直角边是，由题中条件列出等式，进而得到由空白图形面积得到，两式相减即可得到答案． 【详解】解：由题意可设正方形的边长为，正方形的边长为， 图2是将图1沿直线剪开，将右半部分上下翻转得到的图形， ，即图2中两个直角三角形的直角边是， 线段的长为7， ，则①， 图1中空白部分面积为37， ，即②， 由①②得， 图2中两个直角三角形的面积和为， 故选：B． 【点睛】本题考查以勾股定理证明为背景的问题，涉及完全平方和公式、不规则图形面积求法、正方形面积公式及直角三角形面积公式，读懂题意，将题中条件准确用数学表达式表示求解是解决问题的关键． 48．（2022·江西九江·二模）俊俊和霞霞共同合作将一张长为，宽为1的矩形纸片进行裁剪（共裁剪三次），裁剪出来的图形刚好是4个等腰三角形（无纸张剩余）．霞霞说：“有一个等腰三角形的腰长是1”；俊俊说：“有一个等腰三角形的腰长是”；那么另外两个等腰三角形的腰长可能是 ． 【答案】1或或 【分析】根据等腰三角形的两边相等，动手裁剪即可． 【详解】如图1方式裁剪， 第一步，取CB=CE=1，则，剪下△BCE； 第二步，剪下△ABE，其中； 第三步，在AD上取一点F，使，剪下△DFE； 剩下的△AEF中， 刚好四个等腰三角形，另两个等腰三角形腰长是或； 如图2方式裁剪， 第一步，取CB=CF=1，则，剪下△BCF； 第二步，过A作AE⊥BF于E，由于,，所以，剪下△ABE； 第三步，由于AD=AE=1，剪下△ADE； 剩下的三角形DFE中， 刚好四个等腰三角形，另两个等腰三角形腰长都是1． 故答案为：1或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，矩形的性质，勾股定理的应用，熟记等腰直角三角形的三边比是是解此题的关键． 👉题型13 在网格中判断直角三角形 49．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）如图，网格纸中每个小正方形的边长均为1，线段，的端点均在小正方形的顶点上： (1)在图中画出以为斜边的等腰直角，点E在小正方形的顶点上； (2)在图中画出以为腰的等腰，其的面积为4，点F在正方形的顶点上； (3)连接，请直写出线段EF的长． 【答案】(1)如图所示 (2)如图所示 (3)5 【分析】本题考查勾股定理、等腰三角形的判定与性质，熟悉网格特点和等腰三角形的判定与性质是解答的关键． （1）根据网格特点和勾股定理及其逆定理，结合等腰三角形的判定作图即可； （2）根据网格特点和勾股定理，结合等腰三角形的判定与性质作图即可； （3）利用网格特点和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求： 证明：，， ∴，， ∴是等腰直角三角形； （2）解：如图，即为所求： 理由：， ∴，则是等腰三角形，． （3）解：，则． 50．（23-24九年级下·吉林·阶段练习）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点为格点，的顶点均在格点上．在图①、图②、图③给定的网格中，只用无刻度的直尺，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)图①中，的形状是 ． (2)图②中，在边上取一点，连接，使． (3)图③中，在边上取一点，连接，使为的平分线． 【答案】(1)直角三角形 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）先由勾股定理计算出、、的长，再由勾股定理逆定理即可得出答案； （2）取格点、，连接交于，连接，点即为所作； （3）在上取点，使得，连接，取的中点，连接并延长交于，点即为所求． 【详解】（1）解：由勾股定理得：，，， ∴， ∴的形状是直角三角形； （2）解：如图，取格点、，连接交于，连接，点即为所作， ， 由图可得，四边形为正方形， ∴， ∵的形状是直角三角形， ∴； （3）解：如图，在上取点，使得，连接，取的中点，连接并延长交于，点即为所求， ， 可知为等腰三角形，再由等腰三角形的性质即可得出，即为的平分线． 【点睛】本题考查了作图—应用与设计作图、正方形的性质、勾股定理、勾股定理逆定理、等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识点． 51．（2024·江苏无锡·一模）如图，在网格图中（每个小正方形的边长为1），点均为格点，给出下列三个命题： ①点到点的最短距离为； ②点到直线的距离为； ③直线所交的锐角为； 其中，所有正确命题的序号为 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，等腰三角形性质，平行线的性质，①利用勾股定理求解可得结论；②构造，利用面积法求解即可；③平移线段到，利用等腰直角三角形的性质解决问题即可． 【详解】解：由图可知点A到点的最短距离为，故①正确； 如图，取格点E，连接，，则C，D，F，E共线，过点A作于点H，   ， ， ，故②正确； 取格点J，连接，，延长，交于点K，则， ∵， 又∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ， ∵， ∴， 直线，所交的锐角为，故③正确； 综上分析可知，正确的是①②③． 故答案为：①②③． 52．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点，，都在格点上，是边上的中线，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，根据勾股定理求得，进而根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴是直角三角形，是斜边， 又∵是边上的中线， ∴ 故选：D． 👉题型14 利用勾股定理逆定理求解 53．（2024·湖南·模拟预测）如图，在中，，交于点D，，交的延长线于点E． (1)试判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由． (2)若，请证明是等腰直角三角形． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三线合一定理，勾股定理的逆定理： （1）先由三线合一定理得到，再证明，利用相似三角形的性质即可得到； （2）由相似三角形的性质得到，则，再证明，则由勾股定理的逆定理得到是直角三角形，则是等腰直角三角形． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴是等腰直角三角形． 54．（2024·广东广州·一模）如图，点为菱形的边上一点，且，，点为对角线上一动点，若的周长最小值为6，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了菱形的性质，轴对称—最短路径问题，勾股定理逆定理，锐角三角函数，推出是直角三角形是解题关键．连接、，根据菱形好轴对称的性质，得到，进而求出，再利用勾股定理逆定理，推出是直角三角形，再求正弦值即可． 【详解】解：如图，连接、， 四边形是菱形，，， ，点和点关于对称，， ， ， 的周长， 的周长最小值为6， ， ，，， ， 是直角三角形，， ， ， 故答案为： 55．（2023·贵州铜仁·三模）如图，平行四边形中以点为圆心，适当长为半径作弧，交于，分别以点为圆心大于长为半作弧，两弧交于点，作交于点，连接，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查基本作图-作角平分线，掌握平行四边形的性质和判定，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识是解题的关键． 如图，过点作交于．证明四边形是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理证明，推出，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，过点作交于． 四边形是平行四边形， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 平分， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 56．（2023·山东济宁·一模）将一张以为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片，其中∠，则剪掉的两个直角三角形的斜边长可能是①②③10④其中正确的序号是 ． 【答案】②③④ 【分析】由，可得，由题意知，分两种情况求解，①如图1，，四边形是矩形，所求两斜边为，则，即，根据计算求解即可；②如图2，，四边形是矩形，所求两斜边为，则，即，根据计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 由题意知，分两种情况求解， ①如图1，，四边形是矩形，所求两斜边为， ∴，即， ∴， 解得， ②如图2，，四边形是矩形，所求两斜边为， ∴，即， ∴， 解得， ∴剪掉的两个直角三角形的斜边长可能是，，，， 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，相似三角形的判定与性质，矩形的性质等知识．解题的关键在于对分情况求解． 👉题型15 利用勾股定理解决实际问题 57．（2024·河南周口·模拟预测）如图，A，B两地之间被一座大山挡在中间，导致一直没有直通的公路，需要绕行C地，严重阻碍了A，B两地间的区域经济发展．为促进区域经济发展，A，B两地准备通过开挖隧道的方式修建一条直通两地的公路．已知，，，求的长．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查直角三角形的性质、勾股定理的实际应用，过点A作于点D，根据直角三角形的性质可得，，从而可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点A作于点D， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，． 58．（2024·福建三明·三模）综合实践：阅读下列材料，解答问题． 任务：如图1，现要测量某校旗杆的高度（系在旗杆顶端的绳子垂到地面，并多出一小段）． 工具：一把皮尺（测量长度达不到旗杆长一半）． 李明学习小组测量过程和部分求解过程如下（如图2）： 测量过程： 步骤1：测得多出一小段绳子的长度为； 步骤2：将绳子拉直，绳子末端与地面接触点为A，测得A点到旗杆底部C点距离． 部分求解过程： 设旗杆高度， ∵在中，， ． ∵， (1)根据李明学习小组求解过程，请直接写出旗杆高度　　（用含a，b的代数式表示）； (2)李明学习小组求解过程，所用到的几何知识是　　； (3)请你利用所提供的工具，通过2次测量，设计另外一种方案，写出你的测量和求解过程．（测量得到的长度用字母m，n表示） 【答案】(1) (2)勾股定理 (3)测量方案见解析， 【分析】本题考查解直角三角形的应用，勾股定理，把所求线段放在直角三角形中利用勾股定理求解是解决本题的关键． （1）把整理后可得h的值； （2）直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，是勾股定理； （3）可构造一个以旗杆高为斜边的直角三角形求解，先在旗杆底端的绳子上打一个结，然后举起绳结拉到点D处，将绳结举至离旗杆远，此时绳结离地面远，根据勾股定理可得旗杆的高度． 【详解】（1）解：设旗杆高度， ∵在中，， ． ∵， ， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． （2）解：在（1）中知，在中，，根据勾股定理得： ，即， ∴所用到的几何知识是勾股定理， 故答案为：勾股定理． （3）解：测量方案如下： 先在旗杆底端的绳子上打一个结，然后举起绳结拉到点处，将绳结举至离 旗杆远，此时绳结离地面远， 解答过程：作 垂足为点E，如图： 由测量得， ， 在中， ， ， 59．（2024·安徽·一模）甲、乙两船同时从码头开出，分钟后，甲船到达码头，乙船到达码头；已知甲船航行的速度是海里/时乙船航行的速度是海里/时，甲船航行的方向是北偏东，乙船航行的方向是南偏东，求甲、乙两船之间的距离    【答案】甲、乙两船之间的距离为海里． 【分析】此题主要考查了勾股定理，关键是掌握勾股定理．首先计算出甲乙两船的路程，再根据甲船航行的方向是北偏东，乙船航行的方向是南偏东证明，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得：甲船分钟的路程=海里，乙船分钟的路程=海里，即：，， ∵甲船航行的方向是北偏东，乙船航行的方向是南偏东， ∴， ∴， ∴， ∴甲、乙两船之间的距离为海里． 60．（22-23八年级上·广东深圳·期中）如图所示，一艘轮船由A港口沿着北偏东的方向航行到达B港口，然后再沿北偏西方向航行到达C港口． (1)求A，C两港口之间的距离；（结果保留根号） (2)C港口在A港口的什么方向． 【答案】(1) (2)C港口在A港口的北偏东的方向上 【分析】（1）由题意得，由勾股定理，从而得出的长； （2）由（1）可得，求出即可． 【详解】（1）∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 根据勾股定理，知． 答：A、C两港之间的距离是； （2）由（1）知，是等腰直角三角形，且， ∴ ∴, ∴C港口在A港口的北偏东的方向上 【点睛】本题考查了勾股定理的应用和方向角，解决本题的关键是根据题意得到． 👉题型16 利用勾股定理逆定理解决实际问题 61．（2024·广东清远·二模）综合与实践 主题：检测雕塑(下图)底座正面的边和边是否分别垂直于底边． 素材：一个雕塑，一把卷尺． 步骤1：利用卷尺测量边，边和底边的长度，并测量出点之间的距离； 步骤2：通过计算验证底座正面的边和边是否分别垂直于底边． 解决问题： (1)通过测量得到边的长是60厘米，边的长是80厘米，的长是100厘米，边垂直于边吗？为什么？ (2)如果你随身只有一个长度为的刻度尺，你能有办法检验边是否垂直于边吗？如果能，请写出你的方法，并证明． 【答案】(1)，理由见解析 (2)能，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用， （1）由勾股定理逆定理求出，则可得出结论； （2）在边上量一小段，在边上量一小段，这时只要量一下是否等于即可． 【详解】（1）解：垂直，理由为： 在中，因为，，， 所以， ， 所以， 所以． （2）解：在边上量一小段， 在边上量一小段，， 这时只要量一下是否等于即可． 62．（23-24八年级下·河北衡水·阶段练习）如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且． (1)求边的长； (2)连接，判断的形状； (3)求这块空地的面积． 【答案】(1) (2)是直角三角形 (3)这块空地的面积为 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积计算，掌握勾股定理和三角形面积公式是解题关键． （1）利用勾股定理以及线段中点的性质即可． （2）通过计算三条边的长度，根据勾股定理的逆定理来判断三角形的形状． （3）把四边形的面积分割成两个三角形的面积来计算． 【详解】（1）解： ， ． 在中， ，， ． 是的中点， ． （2）解：如图， ，是的中点， ． ，， ， ， 是直角三角形． （3）解：由（2）可知，是直角三角形，， ， 由（1）可知，， 这块空地得面积为：． 👉题型17 最短距离问题 63．（2024·广东·模拟预测）综合与实践 “转化”是一种重要的数学思想，将空间问题转化为平面问题是转化思想的一个重要方面．为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题： 问题情境： 如图1，一只蚂蚁从点出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段，若圆柱的高为．底面直径为． 问题解决： （1）判断最短路线的依据是______； （2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长（结果保留根号和）； 拓展迁移： 如图2，为圆锥的顶点，为底面圆周上一点，点是的中点，母线，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点出发绕圆锥侧面爬行回到点时所经过的路径的痕迹． （3）请求出蚂蚁爬行的最短距离． 【答案】（1）两点之间线段最短；（2）最短路线的长为；（3）蚂蚁爬行的最短距离为 【分析】本题主要考查了求曲面上两点之间的最短距离问题和勾股定理，关键是化曲为直，把空间问题转化为平面问题是解题的关键． （1）两点之间线段最短；（2）把圆柱的侧面沿母线剪开，得所求的路线为线段，利用勾股定理求解；（3）把圆锥的侧面沿母线剪开，得所求的路线为线段，先利用弧长公式求圆心角度数，再用中位线定理和勾股定理求解． 【详解】解：（1）两点之间线段最短； （2）剪开后，，， 最短路线的长为； （3）圆锥的底面周长为， 设侧面展开图的圆心角度数为， ，解得， 如答图，该圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形， 线段的长为蚂蚁爬行的最短距离， 在中， 点为中点， 是的中位线， 蚂蚁爬行的最短距离为． 64．（2023·湖北十堰·一模）如图，这是一个供滑板爱好者使用的形池，该形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是弧长为的半圆，其边缘（边缘的宽度忽略不计），点在上，一滑板爱好者从点滑到点，则他滑行的最短距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】滑行的距离最短，即是沿着的线段滑行，我们可将半圆展开为矩形来研究，展开后，、、三点构成直角三角形，为斜边，和为直角边，写出和的长，根据题意，由勾股定理即可得出的距离． 【详解】解：将半圆面展开可得：   米，米， 在中， （米）． 即滑行的最短距离为米． 故选：C． 【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，型池的侧面展开图是一个矩形，此矩形的宽是半圆的弧长，矩形的长等于本题就是把型池的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 65．（2023·湖北十堰·三模）如图，地面上有一个长方体盒子，一只蚂蚁在这个长方体盒子的顶点A处，盒子的顶点处有一小块糖粒，蚂蚁要沿着这个盒子的表面A处爬到处吃这块糖粒，已知盒子的长和宽为均为，高为，则蚂蚁爬行的最短距离为（    ）．    A．10 B．50 C．10 D．70 【答案】B 【分析】根据图形可知长方体的四个侧面都相等，所以分两种情况进行解答即可． 【详解】解：分两种情况：（其它情况与之重复） ①当蚂蚁从前面和右面爬过去时，如图1，连接，    在中，，， 根据勾股定理得：； ②当蚂蚁从前面和上面爬过去时，如图2，连接，    在中，，， 根据勾股定理得：； 蚂蚁爬行的最短距离为50． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用－求最短距离，读懂题意，熟悉立体图形的侧面展开图是解本题的关键． 66．（2024·四川德阳·二模）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为18，底面周长为12，在容器内壁离容器底部7的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿1的点B处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 本题考查了平面展开-最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质等知识，将容器侧面展开，作出关于的对称点，根据两点之间线段最短可知 的长度即为所求，在中，根据勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：如图：将容器侧面展开，作出关于的对称点，过作交的延长线于D，    根据题意可得：四边形是矩形， ∴，， 连接，则即为最短距离， ∵高为18，底面周长为12， ∴，，，即， 在中，（）, 故答案为：． 1．（2024·江苏常州·中考真题）对于平面内有公共点的两个图形，若将其中一个图形沿着某个方向移动一定的距离后与另一个图形重合，则称这两个图形存在“平移关联”，其中一个图形叫做另一个图形的“平移关联图形”． (1)如图，是线段的四等分点．若，则在图中，线段的“平移关联图形”是________，________（写出符合条件的一种情况即可）； (2)如图，等边三角形的边长是．用直尺和圆规作出的一个“平移关联图形”，且满足（保留作图痕迹，不要求写作法）； (3)如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是、、，以点为圆心，为半径画圆．若对上的任意点，连接所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)图见解析（答案不唯一） (3)或． 【分析】（）根据平移的性质，进行求解即可； （）延长，在射线上截取线段，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，即为所求； （）分在圆内和圆外两种情况，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵是线段的四等分点．， ∴， ∴， ∴线段的平移图形是，； 故答案为：，； （2）解：如图所示，即为所求； 由作图可知：， ∴四边形为菱形， ∴， ∵， ∴四边形为菱形， ∴， ∴即为所求； （3）解：∵点的坐标分别是、、， ∴， ∴，， ∵对上的任意点，连接所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足，且， ∴或， 当在圆外时，当向上平移时， ∵，， ∴， ∴ 当在圆内时，当向下平移时， 则，， ∴， ∴， 综上：或． 【点睛】本题考查图形的平移，点到圆上一点的最值，坐标与图形，勾股定理，菱形的判定，尺规作图等知识点，熟练掌握相关知识点，理解新定义，是解题的关键． 2．（2024·江苏徐州·中考真题）在中，点在边上，若，则称点是点的“关联点”． (1)如图（1），在中，若，于点．试说明：点是点的“关联点”． (2)如图（2），已知点在线段上，用无刻度的直尺和圆规作一个，使其同时满足下列条件：①点为点的“关联点”；②是钝角（保留作图痕迹，不写作法）． (3)若为锐角三角形，且点为点的“关联点”．设，，用含、的代数式表示的取值范围（直接写出结果）． 【答案】(1)证明见解析 (2)图见解析 (3)或 【分析】（1）证，根据“关联点”的定义即可得结论； （2）以为直径作，过点作的垂线，交于，由圆周角定理可得，由（1）可得，以为圆心，为半径作圆，在直线右侧的上取点作即可得答案； （3）分类讨论，①当时，根据第二问可得出锐角三角形时C的位置，再利用勾股定理求出临界值范围即可，②当时，同①方法． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D是点C的“关联点”． （2）解：如图，①作线段的垂直平分线，交于点； ②以为圆心，为半径作圆； ③过作交于点； ④以为圆心，为半径画圆，则点在上且在直线右侧．连接、，即为所求， 证明：∵在以为直径的圆上运动， ∴， 由（1）可知：， ∵， ∴． （3）①当时， 如图所示，结合第（2）问，我们发现当点C在直线左侧、A的右侧时，是锐角三角形， 此时， ∵，且，， 在中，， 在中，， ； ②当时，同理可得：； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了尺规作图，圆周角定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识和正确理解题意是解题的关键． 3．（2024·江苏镇江·中考真题）图1、2是一个折叠梯的实物图．图3是折叠梯展开、折叠过程中的一个主视图．图4是折叠梯充分展开后的主视图，此时点E落在上，已知，，点D、F、G、J在上，、、、均与所在直线平行，，．点N在上，、的长度固定不变．图5是折叠梯完全折叠时的主视图，此时、重合，点、、、、、在上的位置如图所示． 【分析问题】 （1）如图5，用图中的线段填空：_________； （2）如图4，_________，由，且的长度不变，可得与之间的数量关系为_________； 【解决问题】 （3）求的长． 【答案】（1）；（2），；（3） 【分析】（1）； （2）可推出四边形是平行四边形，从而，从而，进而得出，根据，得出，进一步得出结果； （3）作于，解直角三角形求得和，进而表示出，在直角三角形中根据勾股定理列出方程，进而得出结果． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：； （2）、、、均与所在直线平行， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：，； （3）如图， 作于， ， ，， ， 设，则，， ， ， ． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，平行四边形的判定和性质，勾股定理，线段之间的数量关系，解决问题的关键是理解题意，熟练应用有关基础知识． 4．（2024·吉林长春·中考真题）【问题呈现】 小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边中，，点、分别在边、上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】 小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】 如图②，过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）的大小为 度，线段长度的最小值为________． 【方法应用】 某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，是等腰三角形，四边形是矩形，米，．是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点在上，点在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．钢丝绳长度的最小值为多少米． 【答案】问题解决：（1）见解析（2）30，；方法应用：线段长度的最小值为米 【分析】（1）过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，根据平行四边形性质证明结论即可； （2）先证明，根据垂线段最短求出最小值； （3）过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，连接，求出，进而得，利用垂线段最短求出即可． 【详解】解：问题解决：（1）证明：过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线， 四边形是平行四边形， ； （2）在等边中，， ； 当时，最小，此时最小， 在中， ， 线段长度的最小值为； 方法应用：过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，连接， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， 当时，最小，此时最小， 作于点R， 在中， ， 在中， ， 线段长度的最小值为米． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质，垂线段最短及矩形性质，熟练掌握相关性质是解题关键． 5．（2024·河南·中考真题）综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． (1)操作判断 用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有________（填序号）． (2)性质探究 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 如图2，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线． ①写出图中相等的角，并说明理由； ②若，，，求的长（用含m，n，的式子表示）． (3)拓展应用 如图3，在中，，，，分别在边，上取点M，N，使四边形是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出的长． 【答案】(1)②④ (2)①．理由见解析；② (3)或 【分析】（1）根据邻等对补四边形的定义判断即可； （2）①延长至点E，使，连接，根据邻等对补四边形定义、补角的性质可得出，证明，得出，，根据等边对等角得出，即可得出结论； ②过A作于F，根据三线合一性质可求出，由①可得，在中，根据余弦的定义求解即可； （3）分，，，四种情况讨论即可． 【详解】（1）解：观察图知，图①和图③中不存在对角互补，图2和图4中存在对角互补且邻边相等， 故图②和图④中四边形是邻等对补四边形， 故答案为：②④； （2）解：①，理由： 延长至点E，使，连接， ∵四边形是邻等对补四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； ②过A作于F， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴； （3）解：∵，，， ∴， ∵四边形是邻等对补四边形， ∴， ∴， 当时，如图，连接，过N作于H， ∴， 在中， 在中， ∴， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴； 当时，如图，连接， ∵， ∴， ∴，故不符合题意，舍去； 当时，连接，过N作于H， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴； 当时，如图，连接， ∵， ∴， ∴，故不符合题意，舍去； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，明确题意，理解新定义，添加合适辅助线，构造全等三角形、相似三角形是解题的关键． 1．（2024·山东济宁·中考真题）如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，连接．若，则菱形的边长为（    ）    A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】根据菱形的性质可得，根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”可得，即可得解． 本题主要考查了菱形的性质和“直角三角形中斜边中线等于斜边一半”的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形， ， ∵E是的中点， ， ∴。 故选：A． 2．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，内接于，是直径，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据同弧所对的圆周角相等得出，进而根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵内接于，是直径， ∴， ∵,， ∴ ∴， 故答案为：． 3．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，等腰中，，，将沿其底边中线向下平移，使的对应点满足，则平移前后两三角形重叠部分的面积是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查平移的性质，相似三角形的判定和性质，三线合一，根据平移的性质，推出，根据对应边上的中线比等于相似比，求出的长，三线合一求出的长，利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵等腰中，，， ∴， ∵为中线， ∴，， ∴，， ∴， ∵将沿其底边中线向下平移， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 4．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，在徐州云龙湖旅游景区，点为“彭城风华”观演场地，点为“水族展览馆”，点为“徐州汉画像石艺术馆”．已知，，．求“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离（精确到）．（参考数据：，） 【答案】“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离约是 【分析】本题考查解直角三角形的应用，关键是过作于，构造包含特殊角的直角三角形，用解直角三角形的方法来解决问题． 过作于，设，由含度角的直角三角形的性质得到，由锐角的正切定义得到 ，判定是等腰直角三角形，因此 ，得到 ，求出，即可得到的长． 【详解】解：过作于， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴． 答：“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离约是． 5．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，，，分别以点A，B为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N，作直线分别交于点D，E，连接 (1)求的长； (2)求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等，斜中半定理：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，以及勾股定理等知识点，熟记相关结论是解题关键． （1）由题意得是线段的垂直平分线，故点D是斜边的中点．据此即可求解； （2）根据、的周长即可求解； 【详解】（1）解：由作图可知，是线段的垂直平分线， ∴在中，点D是斜边的中点． ∴． （2）解：在中，． ∵是线段的垂直平分线， ∴． ∴的周长． 6．（2024·山东淄博·中考真题）《九章算术》中提到：今有户高多于广六尺八寸．两隅相去适一丈．问户高、广各几何？其大意为：已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（1丈尺，1尺寸）若设门的高和宽分别是尺和尺．则下面所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题列方程组、勾股定理，设门的高和宽分别是尺和尺，根据“已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈”结合勾股定理列出方程组即可，理解题意，找准等量关系，正确列出方程组是解此题的关键． 【详解】解：设门的高和宽分别是尺和尺， 由题意得：， 故选：D． 7．（2024·海南·中考真题）如图，菱形的边长为2，，边在数轴上，将绕点A顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理．作于点，利用菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理计算即可． 【详解】解：作于点， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵点E表示的数是3， ∴点A表示的数是， 故选：D． 8．（2024·江苏南通·中考真题）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．由题意可知，中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为． 【详解】解：由题意可知，中间小正方形的边长为， ∴，即①， ∵， ∴②， ①②得， ∴大正方形的面积， 故选：B． 9．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，平面直角坐标系中，原点为正六边形的中心，轴，点在双曲线为常数，上，将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，则的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，正六边形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理等等，过点E作轴于H，连接，可证明是等边三角形，则，，进而得到，设，则，则，，即可得到点在双曲线上，再由点E也在双曲线上，得到，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，过点E作轴于H，连接， ∵原点为正六边形的中心， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∵将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上， ∴点在双曲线上， 又∵点E也在双曲线上， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 故选：A． 10．（2024·西藏·中考真题）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线交于点F．已知，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了作图基本作图：作角平分线，角平分线的性质定理，勾股定理及全等三角形的判定与性质等知识．根据基本作图可判断平分，过F作于G，再利用角平分线的性质得到，根据勾股定理求出，证明，得出，设，则，，根据勾股定理得出，求出，根据勾股定理求出． 【详解】解：过F作于G， 由作图得：平分，，， ∴， 在中根据勾股定理得：， ，， ， ， 设，则，， 在中，根据勾股定理得： ， 即：， 解得：， ， 在中根据勾股定理得：． 故答案为：． 11．（2024·山东东营·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416，如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为．若用圆内接正八边形近似估计的面积，可得的估计值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质，三角形的面积公式，勾股定理等，正确求出正八边形的面积是解题的关键．过点A作，求得，根据勾股定理可得，即可求解． 【详解】 如图，是正八边形的一条边，点O是正八边形的中心，过点A作， 在正八边形中， ∴ ∵，，解得： ∴ ∴正八边形为 ∴ ∴ ∴的估计值为 故答案为：． 12．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为 ． 【答案】48 【分析】本题主要考查了图形规律，直角三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识．根据题意分别计算出图①、图②和图③的面积，得出规律即可求解． 【详解】解：图①中，∵， 根据勾股定理得，， ∴图①中所有正方形面积和为：， 图②中所有正方形面积和，即1次操作后的图形中所有正方形的面积和为： ， 图③中所有正方形面积和，即2次操作后的图形中所有正方形的面积和为： ， ⋯ ∴n次操作后的图形中所有正方形的面积和为， ∴10次操作后的图形中所有正方形的面积和为， 故答案为：48． 13．（2024·四川广元·中考真题）如图，在中，，，则的最大值为 ．    【答案】 【分析】过点作，垂足为，如图所示，利用三角函数定义得到，延长到，使，连接，如图所示，从而确定，，再由辅助圆-定弦定角模型得到点在上运动，是的弦，求的最大值就是求弦的最大值，即是直径时，取到最大值，由圆周角定理及勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：过点作，垂足为，如图所示：    ， 在中，设，则，由勾股定理可得， ，即， ， 延长到，使，连接，如图所示：    ， ，， 是等腰直角三角形，则， 在中，，，由辅助圆-定弦定角模型，作的外接圆，如图所示：   由圆周角定理可知，点在上运动，是的弦，求的最大值就是求弦的最大值，根据圆的性质可知，当弦过圆心，即是直径时，弦最大，如图所示：   是的直径， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，则由勾股定理可得，即的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查动点最值问题，涉及解三角形、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、圆的性质、圆周角定理、动点最值问题-定弦定角模型等知识，熟练掌握动点最值问题-定弦定角模型的解法是解决问题的关键． 14．（2024·江苏南通·中考真题）如图，中，，，，与相切于点D．    (1)求图中阴影部分的面积； (2)设上有一动点P，连接，．当的长最大时，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理的逆定理，扇形的面积公式等知识，解题的关键是： （1）连接，利用勾股定理的逆定理判定得出，利用切线的性质得出，利用等面积法求出，然后利用求解即可； （2）延长交于P，连接，则最大，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解∶连接，    ∵，，， ∴， ∴， ∵与相切于D， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解∶延长交于P，连接，此时最大，    由（1）知：，， ∴． 15．（2024·山东济南·中考真题）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究． （一）拓展探究 如图1，在中，，垂足为． （1）兴趣小组的同学得出．理由如下： ①______ ②______ 请完成填空：①______；②______； （2）如图2，为线段上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由． （二）学以致用 （3）如图3，是直角三角形，，平面内一点，满足，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，求线段的长． 【答案】（1）①；②；（2）是直角三角形，证明见解析；（3） 【分析】（1）根据余角的性质和三角形相似的性质进行解答即可； （2）证明，得出，证明，得出，即可得出答案； （3）证明，得出，求出，以点为圆心，2为半径作，则都在上，延长到，使，交于，连接，证明，得出，说明点在过点且与垂直的直线上运动，过点作，垂足为，连接，根据垂线段最短，得出当点E在点处时，最小，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）是直角三角形；理由如下： ， ， ， 由（1）得， ， ， ， ， ， 是直角三角形． （3）， ， ， ， 如图，以点为圆心，2为半径作，则都在上，延长到，使，交于，连接， 则， ∵为的直径， ∴， ， ∴， ， ， ， 点在过点且与垂直的直线上运动， 过点作，垂足为，连接， ∵垂线段最短， ∴当点E在点处时，最小， 即的最小值为的长， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中根据勾股定理得：， 即当线段的长度取得最小值时，线段的长为． 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，圆周角定理，矩形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法． 16．（2024·四川广元·中考真题）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决． 在中，点为边上一点，连接． (1)初步探究 如图2，若，求证：； (2)尝试应用 如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长； (3)创新提升 如图4，点为中点，连接，若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据题意，由，，利用两个三角形相似的判定定理即可得到，再由相似性质即可得证； （2）设，由（1）中相似，代值求解得到，从而根据与的相似比为求解即可得到答案； （3）过点作的平行线交的延长线于点，如图1所示，设，过点作于点，如图2所示，利用含的直角三角形性质及勾股定理即可得到相关角度与线段长，再由三角形相似的判定与性质得到，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵点为中点， ∴设， 由（1）知， ∴， ∴， ∴与的相似比为， ∴， ∵ ∴； （3）解：过点作的平行线交的延长线于点，过作，如图1所示： ∵点为中点， ∴设， ∵， ∴，， 在中，，则由勾股定理可得， 过点作于点，如图2所示： ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，点为中点， ∴，，， 又∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴，， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查几何综合，涉及相似三角形的判定与性质、含的直角三角形性质、勾股定理等知识，熟练掌握三角形相似的判定与性质是解决问题的关键． $$第四章 三角形 第19讲 直角三角形 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 👉题型01 由直角三角形的性质求解 👉题型02 根据已知条件判定直角三角形 👉题型03 利用勾股定理求解 👉题型04 判断勾股数问题 👉题型05 以直角三角形三边为边长的图形面积 👉题型06 勾股定理与网格问题 👉题型07 勾股定理与折叠问题 👉题型08 勾股定理与无理数问题 👉题型09 利用勾股定理证明线段的平方关系 👉题型10 勾股定理的证明方法 👉题型11 赵爽弦图 👉题型12 利用勾股定理构造图形解决实际问题 👉题型13 在网格中判断直角三角形 👉题型14 利用勾股定理逆定理求解 👉题型15 利用勾股定理解决实际问题 👉题型16 利用勾股定理逆定理解决实际问题 👉题型17 最短距离问题 👉题型01 由直角三角形的性质求解 1．（2023·山东济南·三模）将正六边形与正方形按如图所示摆放，且正六边形的边与正方形的边在同一条直线上，则的度数是 ． 2．（2024·山西·模拟预测）如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点，，连接交边于点，连接．若，则的周长为 ． 3．（2024·河北·模拟预测）如图，在是边上的高，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点E，交于点F，下列说法不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·贵州贵阳·二模）如图，菱形的对角线、相交于点O，过点A作于点E，若，，则的长为（　　） A．2 B．4 C．2 D． 👉题型02 根据已知条件判定直角三角形 5．（23-24七年级下·陕西西安·期末）在中，，，的对边分别是a，b，c，下列条件： ①； ②； ③，，； ④，其中可以判定是直角三角形的有 个． 6．（2024·陕西·模拟预测）如图，在中，为边上一点，过点，且与相切于点，连接，，． (1)求证：为直角三角形． (2)延长与交于点，连接，若，求的长． 7．（2024·河北秦皇岛·一模）如图，在等边中，，P为上一点（不与点B，C重合），过点P作于点P，交线段于点M，将绕点P顺时针旋转，交线段于点N，连接，有三位同学提出以下结论： 嘉嘉：为直角三角形． 淇淇：当时，． 珍珍：在点P移动的过程中，不存在平行于的情况． 下列说法正确的是（    ） A．只有嘉嘉正确 B．嘉嘉和淇淇正确 C．淇淇和珍珍正确 D．三人都正确 👉题型03 利用勾股定理求解 8．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，O是坐标原点，菱形的顶点C在x轴的负半轴上，，函数的图象经过顶点B，则k的值为 ． 9．（2024·河南鹤壁·模拟预测）如图，与相切于点A，与弦相交于点C，，若，，则的长为 ． 10．（2024·贵州·模拟预测）下面是多媒体上的一道试题： 如图，在菱形中，过点作于点，点在边上，，连接，．求证：四边形是矩形． 下面是两位同学的对话： (1)请你选择一位同学的说法，并证明； (2)若，求菱形的周长． 11．（2024·四川眉山·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，， ，点在以为圆心，为半径的圆周上运动，且始终满足，则的最小值是（    ）． A． B． C． D． 👉题型04 判断勾股数问题 12．（2024·四川德阳·二模）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5：5，12，13；7，24，25；…这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如6，8，10；8，15，17；…若此类勾股数的勾为（，m为正整数），则其股是 （结果用含m的式子表示）． 13．（2024·山东淄博·二模）观察下列几组勾股数：①、、；②、、；③、、；④、、；…根据上面的规律，写出第8组勾股数： ． 14．（2024·河北沧州·一模）当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个正整数为勾股数． (1)若a，b为一个直角三角形的两条直角边长，c为斜边长，a，b，c为勾股数，且，n为正整数，求b的值（用含n的式子表示），并直接写出符合题意的最小的b值． (2)当n是大于1的整数时，判断2n， 是否是勾股数，并说明理由． 15．（2024·四川成都·模拟预测）一个直角三角形的边长都是整数，则称这种直角三角形为“完美勾股三角形”，k为其面积和周长的比值．当时，满足条件的“完美勾股三角形”的周长为 ；当时，若存在“完美勾股三角形”，则 ． 👉题型05 以直角三角形三边为边长的图形面积 16．（2024·河北唐山·三模）如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形、、的面积依次为、、，则正方形的面积为（    ） A． B． C． D． 17．（2024·甘肃天水·二模）我国是最早了解勾股定理的国家之一，早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三、股四、弦五”这一结论．勾股定理与图形的面积存在密切的关系，如图，这是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，若的面积为6，则阴影部分的周长为 ． 18．（2021·浙江金华·中考真题）如图，在等腰中，，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点都在同一个圆上．记该圆面积为，面积为，则的值是（    ） A． B． C． D． 19．（2023·河北石家庄·模拟预测）如图所示，在中，，，分别以三条边为一边，在的外部作正五边形，三个五边形的面积分别记作，，，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 20．（2022·浙江宁波·模拟预测）如图①，分别以的各边为一边向外作三个三角形，使，，再按图②的方式将两个较小的三角形放在最大的三角形内，使，，，．若要求出的面积，则需要知道下列哪个图形的面积（   ） A．四边形 B．四边形 C． D． 👉题型06 勾股定理与网格问题 21．（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，在边长为的正方形网格中，点、、、、都在小正方形格点的位置上，连接，相交于点，根据图中提示所添加的辅助线，可以求得的值是（   ） A． B． C． D． 22．（2024·云南昆明·模拟预测）如图是由边长为1的小正方形构成的的网格，其中点O，A，B均在格点上，将扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为 ． 23．（2024·广东清远·模拟预测）如图，象棋盘中各个小正方形的边长为1．“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照马走日的规则，走两步后的落点与出发点间的最远距离为 ．    24．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，的顶点坐标分别为，，．将关于原点O中心对称得到． (1)画出； (2)点的坐标为______，点C、之间的距离是______． 👉题型07 勾股定理与折叠问题 25．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，E是中点，F是上一点，沿着折叠，若，则 ． 26．（2024·河南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，点M是上一点，将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则点M的坐标为（   ） A． B． C． D． 27．（2024·四川绵阳·模拟预测）如图，在中，，，将沿折叠，使点B落在边上的点D处，若，则的值为 ． 28．（2024·浙江·模拟预测）综合与实践 【问题情境】 在一次数学探究课上，老师带领大家一起研究特殊三角形的性质. 圆圆小组对直角三角形进行了各种类型的折叠探究，并尝试用数学方法说明发现的结论. 类型 ．如图，沿着折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点，他们发现：点的位置与 和的长有关． 问题.若，，则________． 【变式探究】 类型．如图，点为上一点，沿着折叠，恰好落在上，点的对称点为，折痕交于点 ． 问题 ．若 ，则 ． 请猜测 与 有何关系，并证明． 【拓展思考】 方方小组对等腰三角形进行了各种折叠探究.如图，在等腰三角形中，为底边，为钝角，点为边上一点，将沿直线翻折得到． 问题．若，，求的长． 👉题型08 勾股定理与无理数问题 29．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在数轴上点表示原点，点表示的数为，，垂足为，且，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数为 ． 30．（2024·甘肃天水·一模）如图，在数轴上，，过O作直线于点O，在直线l上截取，且A在上方．连接，以点B为圆心，为半径作弧交直线于点C，则C点对应的数为 ． 31．（2020·山西·三模）嘉淇学习了“数轴上的点与实数是一一对应的关系”后，便尝试在数轴上找一个表示无理数的点．如图，数轴的原点为O，中，，边在数轴上，，以点O为圆心，长为半径作弧，交数轴负半轴于点C，则点C所表示的数介于（　　） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 32．（2023·广东深圳·二模）数形结合是解决代数类问题的重要思想，在比较与的大小时，可以通过如图所示几何图形解决问题：若要比较与的大小，以下数形结合正确的是（    ）   A．  B．   C．  D．   👉题型09 利用勾股定理证明线段的平方关系 33．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，四边形的两条对角线相交于点O，，，则下列结论错误的是（    ） A．平分 B． C． D． 34．（2024·河北·模拟预测）如图1，正方形与斜边为的按如图所示的方式放在同一平面内，使点与A重合，点D在上，，其中，正方形固定不动． (1)求的长和的度数． (2)将绕点A按顺时针方向旋转，当与重合后，立刻沿射线方向平移，点D在边上时停止． ①求边旋转结束时扫过的面积； ②求平移结束时，正方形与重叠部分的面积S． (3)如图2，若将（2）中的旋转和平移同时进行，设边与边的交点为M，边与边的交点为N，，，直接写出在运动过程中的值．（用含a，k的式子表示） 35．（2024·江苏盐城·三模）【阅读发现】 小明在阅读数学课外读物时，读到了海伦――秦九韶公式．他了解到海伦公式和秦九韶公式分别是由古希腊的几何家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶提出的．这两个公式有什么关系呢？于是小明进行了下列思考： 两个公式： 海伦公式：已知一个三角形的三边长分别为，，，设，那么这个三角形的面积； 秦九韶公式：已知一个三角形的三边长分别为，，，那么这个三角形的面积； 【尝试应用】 （1）已知一个三角形的三边长分别4，5，6．请任选一个公式算出这个三角形的面积为______；请用学过的知识来解这个三角形的面积． （2）已知一个三角形的三边长分别为，，，试求出这个三角形面积的一般表达形式．（用，，表示） 【发现关联】 思考关联：请你由秦九韶公式推导到海伦公式：，． 👉题型10 勾股定理的证明方法 36．（2022·河北邯郸·三模）在证明勾股定理时，甲、乙两位同学分别设计了如下方案： 甲 乙 如图，用四个全等的直角三角形拼成，其中四边形ABDE和四边形CF均是正方形，通过用两种方法表示正方形ABDE的面积来进行证明． 如图是两个全等的直角三角板ABC和直角三角板DEF，顶点F在BC边上，顶点C，D重合，通过用两种方法表示四边形ACBE的面积来进行证明． 对于甲、乙分别设计的两种方案，下列判断正确的是（    ） A．甲、乙均对 B．甲对、乙不对 C．甲不对，乙对 D．甲、乙均不对 37．（2023·辽宁阜新·二模）动手实践、归纳和猜想是我们发现数学结论的重要一环，你也来试试吧！ (1)如图，两个边长分别为的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，得到我们学习过的一个重要公式， 请你写出来：面积等式为____________，结论为____________； (2)边形有个顶点，在它的内部再画个点，以个点为顶点，把边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得个这样的三角形．当时，如图，最多可以剪得7个这样的三角形，所以． 当时，如图，______； 当______时，； 对于一般的情形，在边形内画个点，通过归纳猜想，可得______（用含的代数式表示）． 38．（2022·江苏盐城·三模）2000多年来，人们对勾股定理的证明频感兴趣，不但因为这个定理重要、基本还因为这个定理贴近人们的生活实际所以很多人都探讨、研究它的证明，新的证法不断出现，如图2是将图1中的直角三角形通过旋转、平移得到的正方形．    (1)请你利用图2证明勾股定理； (2)如图3，以为直径画圆O，延长交于点E，判断直线与⊙的位置关系，并说明理由； (3)若，则图3中阴影部分的面积为____________（用含a的式子表示） 39．（2022·广东佛山·三模）几千年来，在勾股定理的多种证明方法中，等面积法是典型的一种证法，清代数学家李锐运用这一方法借助三个正方形也证明了勾股定理．如图，四边形，四边形，四边形均为正方形，交于点，交于点，点，，，在同条直线上，若，，记四边形的面积为，四边形的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 40．（2024·陕西西安·模拟预测）如图所示的图案是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》中“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，点是的中点，阴影部分的面积为27，则的长为 ． 41．（2024·广东清远·模拟预测）三国时代吴国数学家赵爽第一次对勾股定理加以证明：用 4 个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图 ”．中，， ，， ，大正方形的面积小正方形的面积 个直角三角形的面积，化简证得勾股定理：． (1)若 ，则 ； (2)如果大正方形的面积是 13， ，求小正方形的面积． 👉题型11 赵爽弦图 42．（2024·河北·模拟预测）如图1，嘉嘉用四个全等的直角三角形拼接了一个“赵爽弦图”，其中大正方形的面积为25，小正方形的面积为1． （1）如图2，连接得到一个风车图案（阴影部分），则风车图案的周长为 ． （2）如图3，连接，交于点P，交于点M，则 ． 43．（2024·山东济南·二模）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”．将两个大小相同的“赵爽弦图”（如图1）中的两个小正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成边长为10的正方形，则空白部分面积为    44．（2024·浙江杭州·一模）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形． （1）连接，若恰为中点，则的度数为 °； （2）连接，若与的面积相等，，则的长为 ． 👉题型12 利用勾股定理构造图形解决实际问题 45．（2023·四川泸州·一模）我国古代伟大的数学家刘徽将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成．若，，则该矩形的面积为（　　　　）    A．96 B． C． D．90 46．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）如图是一所大型游乐场，工人在对游乐设施进行测试．大摆锤从高为的房屋A处，划过到达与房屋A水平距离为，高为的房屋B处，求大摆锤的长度 m． 47．（2024·贵州·模拟预测）意大利著名画家达芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，图2是将图1沿直线剪开，将右半部分上下翻转得到的图形，其中四边形，四边形与四边形均为正方形，若图1中空白部分面积为37，线段的长为7，则图2中两个直角三角形的面积和为（    ） A．6 B．12 C．15 D．25 48．（2022·江西九江·二模）俊俊和霞霞共同合作将一张长为，宽为1的矩形纸片进行裁剪（共裁剪三次），裁剪出来的图形刚好是4个等腰三角形（无纸张剩余）．霞霞说：“有一个等腰三角形的腰长是1”；俊俊说：“有一个等腰三角形的腰长是”；那么另外两个等腰三角形的腰长可能是 ． 👉题型13 在网格中判断直角三角形 49．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）如图，网格纸中每个小正方形的边长均为1，线段，的端点均在小正方形的顶点上： (1)在图中画出以为斜边的等腰直角，点E在小正方形的顶点上； (2)在图中画出以为腰的等腰，其的面积为4，点F在正方形的顶点上； (3)连接，请直写出线段EF的长． 50．（23-24九年级下·吉林·阶段练习）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点为格点，的顶点均在格点上．在图①、图②、图③给定的网格中，只用无刻度的直尺，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)图①中，的形状是 ． (2)图②中，在边上取一点，连接，使． (3)图③中，在边上取一点，连接，使为的平分线． 51．（2024·江苏无锡·一模）如图，在网格图中（每个小正方形的边长为1），点均为格点，给出下列三个命题： ①点到点的最短距离为； ②点到直线的距离为； ③直线所交的锐角为； 其中，所有正确命题的序号为 ．（填序号） 52．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点，，都在格点上，是边上的中线，则的长为（   ） A． B． C． D． 👉题型14 利用勾股定理逆定理求解 53．（2024·湖南·模拟预测）如图，在中，，交于点D，，交的延长线于点E． (1)试判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由． (2)若，请证明是等腰直角三角形． 54．（2024·广东广州·一模）如图，点为菱形的边上一点，且，，点为对角线上一动点，若的周长最小值为6，则 ． 55．（2023·贵州铜仁·三模）如图，平行四边形中以点为圆心，适当长为半径作弧，交于，分别以点为圆心大于长为半作弧，两弧交于点，作交于点，连接，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 56．（2023·山东济宁·一模）将一张以为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片，其中∠，则剪掉的两个直角三角形的斜边长可能是①②③10④其中正确的序号是 ． 👉题型15 利用勾股定理解决实际问题 57．（2024·河南周口·模拟预测）如图，A，B两地之间被一座大山挡在中间，导致一直没有直通的公路，需要绕行C地，严重阻碍了A，B两地间的区域经济发展．为促进区域经济发展，A，B两地准备通过开挖隧道的方式修建一条直通两地的公路．已知，，，求的长．（结果保留根号） 58．（2024·福建三明·三模）综合实践：阅读下列材料，解答问题． 任务：如图1，现要测量某校旗杆的高度（系在旗杆顶端的绳子垂到地面，并多出一小段）． 工具：一把皮尺（测量长度达不到旗杆长一半）． 李明学习小组测量过程和部分求解过程如下（如图2）： 测量过程： 步骤1：测得多出一小段绳子的长度为； 步骤2：将绳子拉直，绳子末端与地面接触点为A，测得A点到旗杆底部C点距离． 部分求解过程： 设旗杆高度， ∵在中，， ． ∵， (1)根据李明学习小组求解过程，请直接写出旗杆高度　　（用含a，b的代数式表示）； (2)李明学习小组求解过程，所用到的几何知识是　　； (3)请你利用所提供的工具，通过2次测量，设计另外一种方案，写出你的测量和求解过程．（测量得到的长度用字母m，n表示） 59．（2024·安徽·一模）甲、乙两船同时从码头开出，分钟后，甲船到达码头，乙船到达码头；已知甲船航行的速度是海里/时乙船航行的速度是海里/时，甲船航行的方向是北偏东，乙船航行的方向是南偏东，求甲、乙两船之间的距离    60．（22-23八年级上·广东深圳·期中）如图所示，一艘轮船由A港口沿着北偏东的方向航行到达B港口，然后再沿北偏西方向航行到达C港口． (1)求A，C两港口之间的距离；（结果保留根号） (2)C港口在A港口的什么方向． 👉题型16 利用勾股定理逆定理解决实际问题 61．（2024·广东清远·二模）综合与实践 主题：检测雕塑(下图)底座正面的边和边是否分别垂直于底边． 素材：一个雕塑，一把卷尺． 步骤1：利用卷尺测量边，边和底边的长度，并测量出点之间的距离； 步骤2：通过计算验证底座正面的边和边是否分别垂直于底边． 解决问题： (1)通过测量得到边的长是60厘米，边的长是80厘米，的长是100厘米，边垂直于边吗？为什么？ (2)如果你随身只有一个长度为的刻度尺，你能有办法检验边是否垂直于边吗？如果能，请写出你的方法，并证明． 62．（23-24八年级下·河北衡水·阶段练习）如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且． (1)求边的长； (2)连接，判断的形状； (3)求这块空地的面积． 👉题型17 最短距离问题 63．（2024·广东·模拟预测）综合与实践 “转化”是一种重要的数学思想，将空间问题转化为平面问题是转化思想的一个重要方面．为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题： 问题情境： 如图1，一只蚂蚁从点出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段，若圆柱的高为．底面直径为． 问题解决： （1）判断最短路线的依据是______； （2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长（结果保留根号和）； 拓展迁移： 如图2，为圆锥的顶点，为底面圆周上一点，点是的中点，母线，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点出发绕圆锥侧面爬行回到点时所经过的路径的痕迹． （3）请求出蚂蚁爬行的最短距离． 64．（2023·湖北十堰·一模）如图，这是一个供滑板爱好者使用的形池，该形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是弧长为的半圆，其边缘（边缘的宽度忽略不计），点在上，一滑板爱好者从点滑到点，则他滑行的最短距离为（    ）    A． B． C． D． 65．（2023·湖北十堰·三模）如图，地面上有一个长方体盒子，一只蚂蚁在这个长方体盒子的顶点A处，盒子的顶点处有一小块糖粒，蚂蚁要沿着这个盒子的表面A处爬到处吃这块糖粒，已知盒子的长和宽为均为，高为，则蚂蚁爬行的最短距离为（    ）．    A．10 B．50 C．10 D．70   66．（2024·四川德阳·二模）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为18，底面周长为12，在容器内壁离容器底部7的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿1的点B处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 ． 1．（2024·江苏常州·中考真题）对于平面内有公共点的两个图形，若将其中一个图形沿着某个方向移动一定的距离后与另一个图形重合，则称这两个图形存在“平移关联”，其中一个图形叫做另一个图形的“平移关联图形”． (1)如图，是线段的四等分点．若，则在图中，线段的“平移关联图形”是________，________（写出符合条件的一种情况即可）； (2)如图，等边三角形的边长是．用直尺和圆规作出的一个“平移关联图形”，且满足（保留作图痕迹，不要求写作法）； (3)如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是、、，以点为圆心，为半径画圆．若对上的任意点，连接所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足，直接写出的取值范围． 2．（2024·江苏徐州·中考真题）在中，点在边上，若，则称点是点的“关联点”． (1)如图（1），在中，若，于点．试说明：点是点的“关联点”． (2)如图（2），已知点在线段上，用无刻度的直尺和圆规作一个，使其同时满足下列条件：①点为点的“关联点”；②是钝角（保留作图痕迹，不写作法）． (3)若为锐角三角形，且点为点的“关联点”．设，，用含、的代数式表示的取值范围（直接写出结果）． 3．（2024·江苏镇江·中考真题）图1、2是一个折叠梯的实物图．图3是折叠梯展开、折叠过程中的一个主视图．图4是折叠梯充分展开后的主视图，此时点E落在上，已知，，点D、F、G、J在上，、、、均与所在直线平行，，．点N在上，、的长度固定不变．图5是折叠梯完全折叠时的主视图，此时、重合，点、、、、、在上的位置如图所示． 【分析问题】 （1）如图5，用图中的线段填空：_________； （2）如图4，_________，由，且的长度不变，可得与之间的数量关系为_________； 【解决问题】 （3）求的长． 4．（2024·吉林长春·中考真题）【问题呈现】 小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边中，，点、分别在边、上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】 小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】 如图②，过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）的大小为 度，线段长度的最小值为________． 【方法应用】 某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，是等腰三角形，四边形是矩形，米，．是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点在上，点在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．钢丝绳长度的最小值为多少米． 5．（2024·河南·中考真题）综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． (1)操作判断 用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有________（填序号）． (2)性质探究 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 如图2，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线． ①写出图中相等的角，并说明理由； ②若，，，求的长（用含m，n，的式子表示）． (3)拓展应用 如图3，在中，，，，分别在边，上取点M，N，使四边形是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出的长． 1．（2024·山东济宁·中考真题）如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，连接．若，则菱形的边长为（    ）    A．6 B．8 C．10 D．12 2．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，内接于，是直径，若，则 ． 3．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，等腰中，，，将沿其底边中线向下平移，使的对应点满足，则平移前后两三角形重叠部分的面积是 ． 4．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，在徐州云龙湖旅游景区，点为“彭城风华”观演场地，点为“水族展览馆”，点为“徐州汉画像石艺术馆”．已知，，．求“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离（精确到）．（参考数据：，） 5．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，，，分别以点A，B为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N，作直线分别交于点D，E，连接 (1)求的长； (2)求的周长． 6．（2024·山东淄博·中考真题）《九章算术》中提到：今有户高多于广六尺八寸．两隅相去适一丈．问户高、广各几何？其大意为：已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（1丈尺，1尺寸）若设门的高和宽分别是尺和尺．则下面所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·海南·中考真题）如图，菱形的边长为2，，边在数轴上，将绕点A顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是（    ） A．1 B． C．0 D． 8．（2024·江苏南通·中考真题）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 9．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，平面直角坐标系中，原点为正六边形的中心，轴，点在双曲线为常数，上，将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，则的值为（    ） A． B． C． D．3 10．（2024·西藏·中考真题）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线交于点F．已知，，则的长为 ． 11．（2024·山东东营·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416，如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为．若用圆内接正八边形近似估计的面积，可得的估计值为 ． 12．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为 ． 13．（2024·四川广元·中考真题）如图，在中，，，则的最大值为 ．    14．（2024·江苏南通·中考真题）如图，中，，，，与相切于点D．    (1)求图中阴影部分的面积； (2)设上有一动点P，连接，．当的长最大时，求的长． 15．（2024·山东济南·中考真题）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究． （一）拓展探究 如图1，在中，，垂足为． （1）兴趣小组的同学得出．理由如下： ①______ ②______ 请完成填空：①______；②______； （2）如图2，为线段上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由． （二）学以致用 （3）如图3，是直角三角形，，平面内一点，满足，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，求线段的长． 16．（2024·四川广元·中考真题）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决． 在中，点为边上一点，连接． (1)初步探究 如图2，若，求证：； (2)尝试应用 如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长； (3)创新提升 如图4，点为中点，连接，若，，，求的长． $$