精品解析：吉林省长春市第十七中学2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题

长春市第十七中学 2024—2025学年度上学期第三学程考试高一 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式结合集合的补集及交集定义计算即可. 【详解】集合， 则， 则. 故选：C. 2. 点位于(　　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式可得，从而可得结果. 【详解】，为第三象限角， ， 在第三象限. 故选：C 3. 已知函数则（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】直接代值计算即可. 【详解】由题意，. 故选：B. 4. 扇形圆心角为2，弧长为12cm，则扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形的圆心角和弧长求出半径，再根据扇形的面积公式即可求解. 【详解】因为扇形圆心角为2，弧长为12cm， 所以扇形的半径， 所以扇形的面积为. 故选：. 5. 若函数在区间上是减函数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次函数、对数函数的单调性及复合函数的单调性，结合对数函数的定义域列式求解即得. 【详解】设，则函数由函数和复合而成， 而是减函数，则在上是增函数， 从而，所以， 由当时，恒成立， 所以当时，，解得， 综上，的取值范围为. 故选：. 6. 已知，且，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同角三角函数的平方式，求得已知角的正弦值和余弦值，结合余弦的差角公式，可得答案. 【详解】由，，可得，则， ，则或， 由于，所以，， ， 故选：B 7. 已知为第四象限角，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据为第四象限角得到，利用同角三角函数的基本关系可得结果. 【详解】∵为第四象限角，∴， ∵，则， 即，故， 所以， ∴， ∴. 故选：B. 8. 已知函数有两个零点，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将有两个零点转化为与有两个交点,然后在同一坐标系中画出两函数的图像得到零点在和内,即可得到和,然后两式相加即可求得的范围. 【详解】 有两个零点,,即与有两个交点 由题意,分别画和的图像 发现在和有两个交点 不妨设在内，在内， 在上有,即——① 在有——② ①②相加有 ,即 故选:D . 【点睛】本题主要考查确定函数零点所在区间的方法,转化为两个函数的交点问题.函数的零点等价于函数与x轴的交点的横坐标,等价于对应方程的根. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确是（ ） A. 命题“若，则”为真命题. B. “”是“”的充分不必要条件 C. 已知命题“若，则方程有实数根”，则命题的否定为真命题 D. 命题“若，则且”的为真命题 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：把代入,即可判断；对于B：利用集合法判断； 对于C：先判断出命题为真命题，可以得到命题的否定为假命题；对于D：直接判断. 【详解】对于A：把代入成立， 所以命题“若，则”为真命题.故A正确； 对于B：由解得：.而是的真子集, 所以“”是“”的充分不必要条件.故B正确； 对于C：因为，所以，所以方程有实数根. 故命题为真命题，所以命题的否定为假命题.故C错误； 对于D：因为，所以且.故D正确. 故选：ABD 10. 若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有 ②对于定义域上任意，当 时，恒有 ，则称函数为“ 函数”，下列函数中的“ 函数” （ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数的单调性、奇偶性的知识来确定正确答案. 【详解】由于，所以是奇函数； 由于对于定义域上任意，当 时，恒有， 所以在上单调递增. A选项，是偶函数，不符合题意. B选项，是奇函数，且在上单调递增，符合题意. C选项，， 所以奇函数，且在上单调递增，符合题意. D选项，是偶函数，不符合题意. 故选：BC 11. 已知函数，则（ ） A. 最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 的图象关于点中心对称 D. 在上单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据三角恒等变换的化简计算可得，结合正弦函数的图象与性质依次判断选项即可. 【详解】. A：，所以的最小正周期为，故A正确； B：令，得， 当时，， 所以为函数的一条对称轴，故B正确； C：令，得， 当时，， 所以为函数的一个对称中心，故C错误； D：令，得， 当时，，即的单调递增区间为， 而为的真子集，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据，结合诱导公式可得结果. 【详解】∵， ∴. 故答案为：. 13. 已知角为第二象限角，，角为第四象限角，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】结合角、所在象限与同角三角函数基本关系可得，，再利用两角和的正切公式计算即可得. 【详解】由角为第二象限角，则， 由角为第四象限角，则， 故，， 则. 故答案为：. 14. 已知函数，方程有四个不同根，，，，且满足，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】作出函数的图象，可得出当直线与函数的图象有四个交点时的各根取值范围，求出实数t的取值范围，将代数式转化为关于t的函数，利用双勾函数的基本性质求出的取值范围. 【详解】作出函数图像可得， 从而得，且，从而得， 原式， 令，，， 令，则，， 在单调递增，， 最大值为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助指数幂的运算法则计算即可得； （2）借助对数运算法则计算即可得. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 . 16. 已知 （1）化简 （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简即可； （2）利用同角三角函数关系求解即可. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 由（1）得，则， 所以. （23-24高一下·湖南邵阳·阶段练习） 17. 已知． （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）若，求的值域． 【答案】（1）；单调递增区间为； （2） 【解析】 【分析】（1）利用求出最小正周期，并整体法求解单调递增区间； （2）求出，结合图象得到函数的最值，得到值域. 【小问1详解】 的最小正周期， 令，解得， 故单调递增区间为； 【小问2详解】 时，， 故当，即时，取得最大值，最大值为1， 当，即时，取得最小值，最小值为， 故值域为. 18. 已知函数. （1）求函数的最值 （2）求方程在上的解. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式、和差公式及辅助角公式化简，再根据三角函数的值域即可求解； （2）由（1）得，结合题意利用三角函数的周期性即可求解. 【小问1详解】 由题意得 ， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得，即， 所以或， 解得或， 又，所以或. 19. 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”． （1）求证：函数是“局部奇函数”； （2）若函数是定义域为上的“局部奇函数”，求实数取值范围； （3）类比“局部奇函数”，写出“局部偶函数”的定义，并由此判断函数是这两种函数吗？说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）对于函数，若在定义域内存在实数，满足，称为“局部偶函数”；是“局部偶函数”，不是“局部奇函数”，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意分析方程，即的解的情况，即可得证； （2）根据题意分析可得在上有解，根据条件得，，从而转化成在上有解，或在上有解，即可求解； （3）由“局部奇函数”的定义类比可得“局部偶函数”的定义，再分析，的解得情况，即可得答案. 【小问1详解】 因为，所以， 若，即，整理可得：，解得：， 所以方程有解，则函数是“局部奇函数”. 【小问2详解】 因为函数是定义域为上的“局部奇函数”， 则在上有解， 当时，，，当时，，， 又时，，所以， 又，易知，，即不是的解， 当时，由，得到， 当且仅当时取等号，所以， 当时，由，得到，当且仅当时取等号， 综上，实数取值范围. 【小问3详解】 根据题意“局部偶函数”的定义为：对于函数，若在定义域内存在实数，满足，称为“局部偶函数”． 对于函数，， 当时，成立，即“局部偶函数”， 若为局部奇函数，因为，， 则，， 设，则，即， 整理得到，解得，不合题意， 设，则，解得，不合题意， 设，则，解得，即，不合题意， ∴不是局部奇函数， 故是“局部偶函数”不是“局部奇函数”. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是理解“局部奇函数”的定义，在定义域内存在实数，满足，将函数问题转化为方程有解问题，即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市第十七中学 2024—2025学年度上学期第三学程考试高一 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 点位于(　　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知函数则（ ） A. B. C. 1 D. 4 4. 扇形圆心角为2，弧长为12cm，则扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 若函数在区间上是减函数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，且，则（    ） A. B. C. D. 7. 已知为第四象限角，，则值为（ ） A. B. C. D. 8 已知函数有两个零点，，则有（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 命题“若，则”为真命题. B. “”是“”的充分不必要条件 C. 已知命题“若，则方程有实数根”，则命题的否定为真命题 D. 命题“若，则且”为真命题 10. 若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有 ②对于定义域上任意，当 时，恒有 ，则称函数为“ 函数”，下列函数中的“ 函数” （ ） A. B. C. D. 11 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 的图象关于点中心对称 D. 在上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则的值为______． 13. 已知角为第二象限角，，角为第四象限角，，则的值为______． 14. 已知函数，方程有四个不同根，，，，且满足，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 计算： （1） （2） 16. 已知 （1）化简 （2）若，求的值. （23-24高一下·湖南邵阳·阶段练习） 17. 已知． （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）若，求的值域． 18. 已知函数. （1）求函数的最值 （2）求方程在上的解. 19. 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”． （1）求证：函数“局部奇函数”； （2）若函数是定义域为上的“局部奇函数”，求实数取值范围； （3）类比“局部奇函数”，写出“局部偶函数”的定义，并由此判断函数是这两种函数吗？说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $