精品解析：河北省辛集中学2024-2025学年高二上学期第四次阶段考试数学试卷

河北辛集中学2024-2025学年第一学期第四次阶段考试 高二数学试卷 一､单选题（本题共11小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知是椭圆上的一点，分别是椭圆的左，右焦点，则（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 2. “大漠孤烟直，长河落日圆”体现了我国古代劳动人民对于圆的认知.已知，则以为直径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知是等比数列的前项和，，则公比（ ） A. B. C. 3或 D. 或 5. 记为等差数列的前项和，若，则（ ） A. 240 B. 225 C. 120 D. 30 6. 双曲线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列满足，则数列的前30项和（ ） A. B. C. D. 8. 已知等差数列的前和为，则（ ） A. B. C. 3 D. 9. 已知数列中，且，则数列的前项和（ ） A. B. C. D. 10. 已知是椭圆的两个焦点，点在上，且的最大值是它的最小值的2倍，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 11. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），当时，（ ） A. 170 B. 168 C. 130 D. 172 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 12. 经过点的抛物线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 13. 已知直线与圆相切，则下列说法正确的有（ ） A. B. 圆M与圆与圆M的公共弦所在直线的方程为 C. 过作圆M的切线，切线长为 D. 圆M与圆的位置关系为内含． 14. 已知等比数列的前项和为，公比为，且满足，则（ ） A. B. 若，则 C. D. 若，则当最小时， 三，填空题（本题共3小题，每小题5分.） 15. 直线过点与抛物线交于两点，若恰为线段的中点，则直线的斜率为______. 16. 在正方体中，点为棱上，且，则直线与直线所成角的余弦值为________． 17. 已知数列的前项和为，若，且，则__________. 四､解答题（本题共5个大题，共62分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 18. 已知等差数列和等比数列满足，，． （1）求的通项公式； （2）求和：． 19. 已知函数 （1）求在点处的切线方程； （2）若的一条切线恰好经过坐标原点，求切线的方程. 20. 已知数列满足. （1）求的通项公式； （2）在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和. 21. 如图，在直三棱柱中，，，为的中点，点在线段上，且平面． （1）求证：； （2）求平面与平面所成二面角的正弦值． 22. 已知椭圆C:（）的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为. （1）求椭圆C的方程; （2）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北辛集中学2024-2025学年第一学期第四次阶段考试 高二数学试卷 一､单选题（本题共11小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知是椭圆上的一点，分别是椭圆的左，右焦点，则（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的定义计算可得. 【详解】椭圆，则，又是椭圆上的一点， 所以. 故选：A 2. “大漠孤烟直，长河落日圆”体现了我国古代劳动人民对于圆的认知.已知，则以为直径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用中点坐标公式，结合两点之间的距离公式，根据圆的标准方程，可得答案. 【详解】由，则线段的中点为，即圆的圆心为， 圆的半径， 所以圆的方程为. 故选：A. 3. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于A：根据基本初等函数法则求解；对于B：根据导数的乘法法则运算求解；对于C：根据复合函数的链式法则运算求解；对于D：根据导数的加法法则运算求解. 【详解】对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：，故D错误； 故选：C. 4. 已知是等比数列的前项和，，则公比（ ） A. B. C. 3或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列基本量的计算即可求解. 【详解】由可得， 则，化简可得，解得或， 故选：D. 5. 记为等差数列的前项和，若，则（ ） A. 240 B. 225 C. 120 D. 30 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列基本量的计算即可求解公差和首项，代入求和公式中即可求解. 【详解】设等差数列的公差为d， 由可得，解得， 故， 故选：A 6. 双曲线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的性质即可求解. 【详解】的焦点在轴上，且则， 故焦点为， 故选：B. 7. 已知数列满足，则数列的前30项和（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据裂项相消法求和即可求解. 【详解】把代入整理得：， 故. 故选：D 8. 已知等差数列的前和为，则（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据，即可根据等差数列的性质得求解. 【详解】在中取得，故，所以. 故选：A. 9. 已知数列中，且，则数列的前项和（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据为等比数列可得，即可由分组求和，结合等差等比求和公式即可求解. 【详解】由得， 所以数列是首项为，公比为2的等比数列， 所以，即， 所以， 故选：D 10. 已知是椭圆的两个焦点，点在上，且的最大值是它的最小值的2倍，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用椭圆的定义结合二次函数的最值的求法得出最大值及最小值，再结合计算即可得出离心率. 【详解】因为，所以， 所以当时，取得最大值， 因为，所以的最小值为， 因为的最大值是它的最小值的2倍，所以， 所以，所以， 所以椭圆的离心率为. 故选：A. 11. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），当时，（ ） A. 170 B. 168 C. 130 D. 172 【答案】D 【解析】 【分析】先根据题意得到的值，再后续数列的周期性求得，从而得解. 【详解】依题意，， 故， 又，所以． 所以． 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是理解“冰雹猜想”的定义，找到数列的周期性，从而得解. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 12. 经过点的抛物线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据点的坐标，确定抛物线的开口方向，有两种情况，设出抛物线方程，代入点的坐标即可求解. 【详解】因为点在第四象限，所以抛物线有开口向右或开口向下两种情况， 若抛物线开口向右，设抛物线方程为，代入抛物线方程， 有，解得，所以抛物线方程为，所以A正确； 若抛物线开口向下，设抛物线方程为，代入抛物线方程， 有，解得，所以抛物线方程为，所以D正确. 故选：AD 13. 已知直线与圆相切，则下列说法正确的有（ ） A. B. 圆M与圆与圆M的公共弦所在直线的方程为 C. 过作圆M的切线，切线长为 D. 圆M与圆的位置关系为内含． 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用直线与圆的位置关系，勾股定理，判断AC，圆心距可判断圆M与圆的位置关系为相交，根据公共弦所在直线的方程求法即可得出结论判断BD. 【详解】对于A，由直线与圆相切可得： 圆心到直线的距离为，可得，即A正确； 对于B，圆的圆心为，半径为， 与圆M的圆心距为，显然，即两圆相交； 将两圆方程相减可得，即B正确. 对于C，圆心到的距离为， 由勾股定理可得切线长为，即C正确； 对于D，圆可化为，圆心为，半径为； 圆M与圆的两圆心距为，显然， 即可得两圆相交，可知D错误； 故选：ABC 14. 已知等比数列的前项和为，公比为，且满足，则（ ） A. B. 若，则 C. D. 若，则当最小时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据的关系，作差即可根据等比数列的性质求解公比，即可求解A,计算即可判断B，根据等比求和公式即可求解C，根据的单调性，结合时，即可求解D. 【详解】对于A，由可得，由于数列是等比数列，故公比为2， 由，则，A正确； 对于B，，则B错误； 对于C，，所以，C正确； 对于D，，所以数列单调递增，又当时，；当时，，所以当最小时，，D正确. 故选：ACD. 三，填空题（本题共3小题，每小题5分.） 15. 直线过点与抛物线交于两点，若恰为线段的中点，则直线的斜率为______. 【答案】2 【解析】 【分析】 根据题意，利用抛物线的中点弦的“点差法”，即可求解. 【详解】设，可得，两式相减得， 即，可得， 因为点是的中点，所以，可得， 所以直线的斜率为. 故答案为：. 16. 在正方体中，点为棱上，且，则直线与直线所成角的余弦值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算即可. 【详解】如图建系，设正方体的棱长为3， 则，，，， ，， 故直线与直线所成角的余弦值为． 故答案为：． 17. 已知数列的前项和为，若，且，则__________. 【答案】1485 【解析】 【分析】根据为等差数列，即可根据等差求和公式求解. 【详解】由，可知数列是个“类周期数列”， 因此可设数列满足，每三项并项， 则， 于是数列是公差为3的等差数列，且， 于是得到 . 故答案为：1485 四､解答题（本题共5个大题，共62分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 18. 已知等差数列和等比数列满足，，． （1）求的通项公式； （2）求和：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，结合等差数列的项和通项公式求解； （2）由是等比数列，知依然是等比数列，并且公比是，再利用等比数列求和公式求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为. 因为，所以. 解得. 所以. 【小问2详解】 设等比数列的公比为. 因为，所以， 解得， 所以是首项为1，公比为3的等比数列， 所以. 19. 已知函数 （1）求在点处的切线方程； （2）若的一条切线恰好经过坐标原点，求切线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求得答案； （2）设切点坐标，写出切线方程，利用原点在切线上，求出切点坐标，即可求得答案. 【小问1详解】 因为，所以， 故曲线在点处的切线方程为，即； 【小问2详解】 设切点为，则，切线方程为， 因为切线经过原点，故，所以， 故，切点为，切线方程为， 即过原点的切线方程为. 20. 已知数列满足. （1）求的通项公式； （2）在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据递推式，写出前项和项的和，进而作差求通项公式即可； （2）根据等差数列性质求得，再应用错位相减法、等比数列前n项和公式求和. 【小问1详解】 因为①， 当时，②， ①②，得． 所以，当时，，满足上式， 所以的通项公式为． 【小问2详解】 由（1）知，得， 则③， ④， ③④得 ， 所以． 21. 如图，在直三棱柱中，，，为的中点，点在线段上，且平面． （1）求证：； （2）求平面与平面所成二面角的正弦值． 【答案】 （1）如图，连接，交于点，连接，，则为的中点， 因为为的中点，所以， 又，所以，从而，，，四点共面． 因为平面，平面，平面平面，所以． 又，所以四边形为平行四边形， 所以，所以 （2） 【解析】 【分析】 【详解】（1）略 （2）因为，为的中点，所以， 又三棱柱是直三棱柱，， 所以，，互相垂直，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，所以，，，， 所以，，． 设平面的法向量为，则，即， 令，可得，，所以平面的一个法向量为． 设平面的法向量为，则，即， 令，可得，，所以平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面所成二面角的正弦值为． 22. 已知椭圆C:（）的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为. （1）求椭圆C的方程; （2）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求面积的最大值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出即可作答. （2）在直线l斜率存在时，设出其方程，再与C的方程联立，求出弦长最大值，验证直线l斜率不存在的情况作答. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为，依题意，而，解得， 所以所求椭圆方程为． 【小问2详解】 设，，当轴时，直线AB：，由得，， 当与轴不垂直时，设直线的方程为，依题意，，得， 把代入椭圆方程，整理得， ，，当时， ， 当且仅当，即时等号成立，当时，直线AB：，由得，， 综上得，面积， 所以面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $