复习04 椭圆、双曲线的方程及其性质（十大考点）-2025年高二数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019）

2025年高二数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 复习04 椭圆、双曲线的方程及其性质 知识点 1 ：椭圆的定义及标准方程 平面上到两定点的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点的轨迹是椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作. 定义式：. 要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆. 标准方程：焦点在轴上，；焦点在轴上，. 说明：要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道之间的大小关系和等量关系：. 知识点 2 ：椭圆的图形及其简单几何性质 标准方程 图形 焦点位置 几何性质 范围 顶点 焦点 对称性 离心率 在轴上 ， 对称轴：轴，轴，对称中心： 原点 ， 在轴上 ， 注意：求椭圆的标准方程的方法可以采用待定系数法，此时要注意根据焦点的位置选择椭圆的标准方程；也可以利用椭圆的定义及焦点位置或点的坐标确定椭圆的标准方程. 知识点 3 ：双曲线的定义和标准方程 1．双曲线的定义 （1）定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数(小于且大于零)的点的轨迹叫做双曲线． 这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距． （2）符号语言：. （3）当时，曲线仅表示焦点所对应的双曲线的一支； 当时，曲线仅表示焦点所对应的双曲线的一支； 当时，轨迹为分别以为端点的两条射线； 当时，动点轨迹不存在． 2．双曲线的标准方程 双曲线的标准方程有两种形式： （1）焦点在轴上的双曲线的标准方程为(a＞0，b＞0)，焦点分别为焦距为，且，如图1所示； （2）焦点在轴上的双曲线的标准方程为(a＞0，b＞0)，焦点分别为焦距为，且，如图2所示． 图1 图2 注：双曲线方程中的大小关系是不确定的，但必有． 3．必记结论 （1）焦点到渐近线的距离为. （2）与双曲线(a＞0，b＞0)有共同渐近线的双曲线方程可设为． （3）若双曲线的渐近线方程为，则双曲线方程可设为或． （4）与双曲线(a＞0，b＞0)共焦点的双曲线方程可设为 ． （5）过两个已知点的双曲线的标准方程可设为． （6）与椭圆有共同焦点的双曲线方程可设为． 知识点 4 ：双曲线的几何性质 1．双曲线的几何性质 标准方程 图形 范围 ， ， 对称性 对称轴：x轴、y轴；对称中心：原点 焦点 左焦点，右焦点 下焦点，上焦点 顶点 轴 线段是双曲线的实轴，线段是双曲线的虚轴； 实轴长，虚轴长 渐近线 离心率 2．等轴双曲线的概念和性质 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．等轴双曲线具有以下性质： （1）方程形式为； （2）渐近线方程为，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角； （3）实轴长和虚轴长都等于，离心率． 知识点 5 ：直线与双曲线的位置关系 一般地,设直线方程为,双曲线方程为,将代入,消去y并化简,得. ①当,即时,直线与渐近线平行,则直线与双曲线只有一个公共点； ②当,即时, 判别式直线与双曲线相交,有两个公共点； 判别式直线与双曲线相切,有且只有一个公共点； 判别式直线与双曲线相离,没有公共点． 考点01 椭圆、双曲线的标准方程 【方法点拨】（1）若曲线的焦点位置确定，则用待定系数法求标准方程： ①根据焦点位置设方程；②根据已知条件求出，③写出曲线的标准方程 （2）若曲线的焦点位置不确定，则可设椭圆的方程为，，双曲线的方程为，避免因焦点位置不确定而对方程形式进行分类讨论. 例1．已知中心在原点的椭圆的右焦点为，离心率等于，则的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题设，易知椭圆焦点在x轴上，且，，则， 所以椭圆方程为. 故选：D 例2．焦点坐标为，，并且经过点的椭圆方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为焦点坐标为，所以，根据，得.   将点代入椭圆方程，所以，即. 将代入中，得到. 设，则方程变为. 解得或（，舍去）. 所以，则. 故椭圆方程为：. 故选：A. 变式1-1．求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)与椭圆有公共焦点，且离心率为； (2)经过、两点. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据题意，椭圆焦点坐标为， 又双曲线离心率为，所以，则， 所以双曲线的标准方程为； （2）不妨设满足题意的双曲线的标准方程为， 双曲线经过、两点， 则由题意有，解得，显然有， 所以满足题意的双曲线的标准方程为. 变式1-2．已知双曲线与椭圆共焦点，且其虚轴长为2，则的标准方程为 . 【答案】 【详解】由题意可知双曲线的焦点在轴上，且半焦距. 设双曲线的标准方程为，则，所以， 所以，因此的标准方程为. 故答案为： 变式1-3．已知椭圆的焦点为.过点的直线与椭圆交于A，B两点.若的周长为8，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为椭圆的焦点为，，所以； 又过点的直线与交于，两点，的周长为， 则根据椭圆定义可得，， 解得，因此， 所以椭圆的标准方程为. 故选：D. 考点02 椭圆的焦点三角形 【方法点拨】在解椭圆中焦点三角形的有关问题时，可结合椭圆的定义及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解． 例3．设椭圆的左，右焦点是，离心率为，上顶点坐标为 (1)求椭圆的方程； (2)设P为椭圆上一点，且，求焦点三角形的周长和面积． 【答案】(1); (2),. 【详解】（1）由题意知，解得，. ∴椭圆的方程为. （2）由（1）知，∴ 又∵P为椭圆上一点，∴， ∴焦点三角形的周长. 在△中，由余弦定理，得 即 ① 由平方，得 ② ②-①，整理得， 所以三角形的面积. 例4．设是椭圆上的一点，，为焦点，，则的面积为（    ） A． B． C． D．16 【答案】C 【详解】为椭圆上的一点，，为焦点，， ，，可得，即，， 设，，则有，，， ，． 的面积． 故选：C． 变式2-1．已知椭圆的一个短轴端点与两个焦点构成的三角形的内切圆半径为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题设，焦点三角形的周长为，面积为，又其内切圆半径为， 所以. 故选：A 变式2-2．点是椭圆上一点，点分别是椭圆的左、右焦点，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知，记， ，， 中，由余弦定理得，又， ， . 故选：B. 变式2-3．已知椭圆的左、右焦点分别为，若直线与交于两点，且，则的方程为 ． 【答案】 【详解】    易知是的中点，又，所以四边形是矩形，故， 结合可得，，由椭圆的定义可知，， 又知，由两边平方得，， 即，解得，所以，所以的方程为． 故答案为： 考点03 双曲线的焦点三角形 【方法点拨】利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件的变形使用，二是要特别注意与的关系. 例5．如图、是椭圆与双曲线的公共焦点，分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，设双曲线的方程为． ，， ，． 在中，， ， 即， ，． 故选：D． 例6．已知，分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于8，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【详解】因为，所以， 即， 由双曲线定义可得， 所以，即， 又，所以， 所以，解得.    故选：. 变式3-1．双曲线的左，右焦点分别为、，是双曲线的右支上的一点，的内切圆圆心为，记、的面积分别为、，则 . 【答案】 【详解】如图所示： 设圆与三边、、切点分别为、、，则， 由双曲线定义有，从而. 又，，所以， 设，，（为双曲线的半焦距）， 所以，解得，即点在定直线上， 又的内切圆圆心为，所以，内切圆半径， 又，， 所以. 故答案为：. 变式3-2．已知O为坐标原点，双曲线C：的左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆与C在第一象限内的交点为P.若，则点O到直线的距离为 . 【答案】/ 【详解】 由题可知，，设， 则由，得，， 则. 由，得，解得， 则点O到直线的距离. 故答案为： 变式3-3．已知双曲线的左、右焦点分别为，过作倾斜角为的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，则的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以由双曲线的定义得，， 又，所以， 因为直线的倾斜角为，所以． 由余弦定理得，， 即，化简得，则， 解得或（舍去）． 故选：D． 考点04 椭圆、双曲线的距离和差最值问题 【方法点拨】设为曲线上一点，为椭圆的焦点． （1）与有关的最值问题，一般利用曲线的定义，根据基本不等式求解，注意等号成立的条件． （2）与的和、差有关的最值问题，一般利用平面几何知识，转化为三点共线问题求解． 例7．是双曲线的右支上一点，、分别是圆和上的点，则的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【详解】双曲线中，如图所示：   ，，，设左、右焦点为，， ，， ， ，三点共线且在之间时取等号， ，则，共线且在之间时取等号， 所以. 故选：D 例8．已知双曲线的离心率为，为双曲线的右焦点，且点到直线的距离为. (1)求双曲线的方程; (2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值. 【答案】(1) (2)23 【详解】（1）由题意知，解得， 则， 所以双曲线的方程为. （2）设双曲线的左焦点为，则， 由双曲线的定义知：，则， 可得， 当，，三点共线时，最小，且最小值为. 故的最小值为. 变式4-1．已知椭圆的右焦点为，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最大值为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【详解】由题意，椭圆的左焦点为， 由椭圆定义可得，所以， 因为,故在椭圆内， 所以， 当三点共线时，等号成立. 故选：B 变式4-2．已知椭圆的左、右焦点分别为，点M在C上，点N的坐标为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，，，， ，， 所以，当位于线段与椭圆交点处时等号成立. 根据椭圆的定义可知， 如图所示，设的延长线与椭圆相交于， 则当位于时，取得最大值为， 综上所述，的取值范围为. 故选：B 【点睛】在椭圆中，求解椭圆上的点到焦点、定点的距离的和或差的最值，可以考虑通过椭圆的定义进行转化，然后结合三点共线来确定最值.在解题过程中，要画出对应的图象，结合图象来进行求解. 变式4-3．设实数满足的最小值为（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 【答案】A 【详解】设，则在椭圆上， 又， 设，则为椭圆的右焦点， 如图，设椭圆的左焦点为，则： ， 当且仅当三点共线且在之间时等号成立， 而，故的在最小值为， 故选：A.    考点05 求椭圆、双曲线的离心率 【方法点拨】求曲线离心率的值或取值范围，一般先将已知条件转化为关于的方程或不等式，再求解，有以下几种情况：（1）若已知可直接代入求得； （2）若已知，则椭圆使用，双曲线使用求解； （3）若已知，则先求，再利用（1）求解. （4）若已知的关系，可转化为关于离心率的方程(不等式)求值 例9．过点作斜率为的直线与椭圆相交于，，若是线段的中点，则椭圆的离心率为 ． 【答案】 【详解】设，，则①，②， 是线段的中点，，， 过点作斜率为的直线与椭圆相交于，两点， 是线段的中点，①②两式相减可得， ,又 所以，，，． 故答案为：．    例10．已知与分别是椭圆的左、右焦点，M，N是椭圆C上两点，且，，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】连接，设，则，，， 由，则，故， 所以，可得，则， 所以，，又， 所以，可得，即（负值舍）. 故选：C 变式5-1．如图，，是分别是双曲线的左､右焦点，为双曲线右支上的一点，圆与三边所在的直线都相切，切点为，，，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【详解】连接，，， 由直线和圆相切的性质，可得，设， 由双曲线的定义可得，， 则， ，， 由圆外一点作圆的切线，则切线长相等， 即有，即， 所以双曲线的离心率． 故选：D． 变式5-2．已知是双曲线左支上的一个点，，是双曲线的左、右焦点，，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图， 因为， 所以由正弦定理，得， 不妨设，则， 因为，所以， 所以，， 则双曲线的离心率. 故选：B. 变式5-3．双曲线的左、右焦点分别为、，过作斜率为正且与的某条渐近线垂直的直线与双曲线在第一象限交于，，则的离心率为（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令双曲线的半焦距为，则， 令直线与双曲线的渐近线垂直的垂足为， 于是，， 过点作于,则，而为线段的中点, 所以 因为，所以， 由双曲线定义得，即，解得. 所以该双曲线的离心率为. 故选：B. 考点06 求椭圆、双曲线的离心率取值范围 例11．椭圆的左，右焦点分别为，，若椭圆上存在点，使，则椭圆离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设椭圆的上顶点为，连接、，如图所示： 则，， 椭圆上存在点，使得，则需， 则，显然，所以， 所以，所以，又， 所以，即椭圆离心率的取值范围为. 故选：D. 例12．已知双曲线，若有且仅有一对过原点且所成的角为的直线和，使得，其中和分别是这对直线与双曲线的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是 . 【答案】 【详解】由及双曲线的对称性知，与，与关于轴对称， 又因为满足条件的直线只有一对，所以，， 即，所以， 因为，所以， 即，所以， 即，即. 故答案为：. 变式6-1．已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】不妨设点为第一象限的交点，如图所示： 则由椭圆的定义可得，由双曲线的定义可知， 所以，， 因此， 即， 所以，即，令，， 因此，其中， 所以，当时，有最大值， 故选：D 变式6-2．已知椭圆：的左、右焦点分别为、，若总存在一条过的直线，使得点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率的取值范围是 . 【答案】 【详解】设点关于直线的对称点为，则， ， ， ，即，又， 椭圆的离心率的取值范围是. 故答案为：.    变式6-3．设双曲线的左、右焦点分别为，过点作x轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A．已知，，点P是双曲线C右支上的动点，且恒成立，则双曲线离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令代入双曲线的方程可得. 由，可得，即为，即有①. 又恒成立，只要求出的最小值即可. 由双曲线的定义，可得，，即 由共线时， 取得最小值，可得， 即有②，由，结合①②可得，e的范围是. 故选：A. 考点07 双曲线的渐近线 【方法点拨】与双曲线有共同渐近线的双曲线方程可设为； 若已知双曲线的渐近线方程或，则双曲线方程可设为.(当时，焦点在轴上；当时，焦点在轴上.) 例13．已知直线与双曲线的渐近线交于，两点，若的中点坐标为，则双曲线的渐近线方程为 ． 【答案】 【详解】如图，双曲线C的两条渐近线为 联立解得:,所以 联立解得:，所以 因为AB中点为,所以，从而， 化简得，所以双曲线C的两条渐近线为. 故答案为： 例14．已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的方程为 . 【答案】 【详解】设双曲线：， 将代入可得， 故双曲线：. 故答案为：. 变式7-1．已知双曲线的右顶点为，点都在上，且关于轴对称，若直线的斜率之积为，则的渐近线方程为 . 【答案】 【详解】依题意，点，设点，则， 显然，即， 由直线的斜率之积为， 得， 则，又因为双曲线的焦点在轴上， 所以渐近线方程为：. 故答案为：. 变式7-2．已知点为双曲线的左、右焦点，过且斜率为的直线交双曲线左支于点，点在线段上，交双曲线左支于点且，若双曲线右支上任意一点都满足，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】    由， 得， 即， 即， 即，得， 由对任意一点都满足， 可得是线段的中点， 则是等腰三角形， 则，则， 由得， 由余弦定理的推论得， 结合，可得双曲线的渐近线斜率为， 故双曲线的渐近线方程为. 故选：C． 变式7-3．与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的标准方程为 . 【答案】 【详解】设所求的双曲线方程为， 因为双曲线过点，所以，解得， 所以，，化为标准方程得， 即. 故答案为：. 考点08 直线与椭圆、双曲线的位置关系 【方法点拨】（1）判断直线与椭圆的位置关系时，常将直线与椭圆的方程联立，消元后，得到一个一元二次方程，利用判别式求解：⇔直线与椭圆相交；⇔直线与椭圆相切；⇔直线与椭圆相离； （2）判断直线与双曲线的位置关系时，通常是将直线方程与双曲线方程联立方程组，方程组解的个数就是直线与双曲线交点的个数，联立方程消去或中的一个后，得到的形如二次方程的式子中，要注意项或项系数是否为零的情况，否则容易漏解． 例15．（多选）已知直线l的方程为,则下列说法正确的是（    ） A．l与直线有唯一的交点 B．l与椭圆一定有两个交点 C．l与圆一定有两个交点 D．满足与双曲线有且只有一个公共点的直线l有2条 【答案】AC 【详解】直线l过定点， 对于A，法向量为，法向量为， 因为，，所以两条直线垂直，有唯一交点，故A正确； 对于B，M为椭圆的上顶点，则直线l与椭圆相交或相切，有一个或两个交点，故B错误； 对于C，因为，所以M在圆内，l与圆一定有两个交点，故C正确； 对于D，如图，满足题意的直线有4条，两条与双曲线相切，两条与渐近线平行，故D错误. 故选：AC. 例16．直线与双曲线的右支只有一个公共点，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】直线过定点，直线与双曲线图象如图所示，    又双曲线的两条渐近线为， 因为直线与双曲线的右支只有一个公共点， 所以由图可知，， 故答案为： 变式8-1．若集合，，则A∩B所含元素个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】由双曲线的渐近线方程为； 则直线与双曲线的渐近线平行， 所以直线与双曲线仅有一个公共点； 故选：. 变式8-2．已知曲线. （1）若，则由曲线围成的图形的面积是 ． （2）曲线与椭圆有四个不同的交点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 2 或 【详解】（1）若，曲线，易知曲线关于轴，轴对称， 作出当，时的图象，根据对称性得到曲线的图象如下图： 曲线表示对角线长为2的正方形， 故曲线围成的图形的面积是2； （2）由（1）可知，曲线表示对角线长为的正方形， 因为椭圆的长半轴长为2，短半轴长为1， 所以当时，曲线与椭圆有四个不同的交点； 当，时，联立， 可得， 当时，直线与椭圆相切， 此时，，， 根据曲线的对称性知，此时曲线与椭圆有四个不同的交点， 所以或. 故答案为：2；或. 变式8-3．（多选）已知直线：，双曲线：.以下说法正确的是（   ） A．当时，直线与双曲线只有一个公共点 B．直线与双曲线只有一个公共点时，或 C．当或时，直线与双曲线没有公共点 D．当时，直线与双曲线有两个公共点 【答案】AC 【详解】由直线方程知，直线过，双曲线的渐近线为，所以时一个交点， 联立直线与双曲线，得，则， 当，即时直线与双曲线相切， 当，即或时没有公共点， 当且，即或或时两个公共点. 所以A、C对，B、D错. 故选：AC 考点09 椭圆、双曲线的弦长问题 【方法点拨】求弦长的两种方法：①出弦两端点的坐标，然后利用两点间的距离公式求解； ②结合根与系数的关系，利用弦长公式或进行求解 例17．已知是双曲线与直线的交点，求线段的长度. 【答案】30 【详解】设点的坐标为，点的坐标为． 因为是双曲线与直线的交点， 所以点的坐标满足，所以， 此时，由韦达定理可得 因为 ， 所以， 例18．已知椭圆的右焦点为，离心率为，为轴上一动点． (1)求的方程； (2)过点作与直线垂直的直线交于两点，当时，求直线的斜率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，， 所以，解得， 所以，故的方程为． （2）由（1）知，设点，则直线的斜率为． 当直线斜率不存在时判断是否符合题意 当时，直线的方程为， 将代入的方程，解得， 则，不符合题意； 当时，直线的斜率为， 直线的方程为，设，， 联立得． 则，， 所以 ． 因为，所以，解得， 故当时，的斜率为． 变式9-1．已知椭圆的一个顶点为，且离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于A，B两点，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为椭圆：的一个顶点为，所以， 因为椭圆的离心率为，所以， 所以椭圆的方程为. （2）设，， 联立消去得，， 由得，则， 设线段的中点为， 则，所以， 因为，所以， 所以，解得，满足，所以. 变式9-2．已知双曲线的两个焦点分别为，过的直线与双曲线的同一支交于，两点，且，则线段的长度为（    ） A． B．9 C． D．6 【答案】C 【详解】双曲线中，，，则， 根据对称性不妨设过的直线为， 联立，可得， 则 设，，则，，① 由，可得， 即有，② 由①②可得，，所以， 解得（负值已舍去），， 所以． 故选：C． 变式9-3．已知双曲线，直线被所截得的弦长为，则 ． 【答案】 【详解】设双曲线与直线交于两点， 由消去整理得，则，解得，且， 所以． 由，解得，所以． 故答案为： 考点10 有关椭圆、双曲线的实际应用 【方法点拨】利用解决实际问题的基本步骤：（1）建立适当的坐标系；（2）求出曲线的标准方程(待定系数法)；（3）根据曲线的方程及几何性质解决实际问题． 例19．年月，欧内斯特·卢瑟福在《哲学》杂志上发表论文.在这篇论文中，他描述了用粒子轰击厚的金箔时拍摄到的运动情况.在进行这个实验之前，卢瑟福希望粒子能够通过金箔，就像子弹穿过雪一样，事实上，有极小一部分粒子从金箔上反弹.如图显示了卢瑟福实验中偏转的粒子遵循双曲线一支的路径，则该双曲线的离心率为 ；如果粒子的路径经过点，则该粒子路径的顶点距双曲线的中心 cm. 【答案】 【详解】由题意可知双曲线的一条渐近线方程为， 即可得，因此离心率为； 设双曲线的方程为，将代入计算可得， 解得； 所以该粒子路径的顶点距双曲线的中心cm. 故答案为：；； 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用题目信息，根据渐近线倾斜角得出离心率，再由过的点坐标得出实半轴长. 例20．如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为的球体，近地点离地面的距离为，则远地点离地面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，不妨以椭圆中心为坐标原点，建立如图所示坐标系，    则椭圆方程为， 则，且，解得，， 故该卫星远地点离地面的距离为， 又，所以. 故选：A. 变式10-1．油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，北京的阳光与地面夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，伞的伞沿与地面接触点B是椭圆长轴的一个端点，伞沿在地面上最远的投影点A是椭圆长轴的另一个端点， 对应的伞沿为C，O为伞的圆心，F为伞柄底端，即椭圆的左焦点，令椭圆的长半轴长为，半焦距为， 由，得，， 在中，，则，， 由正弦定理得，，解得，则， 所以该椭圆的离心率. 故选：A 变式10-2．3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为，下底直径为，喉部（中间最细处）的直径为8cm，则该塔筒的高为（   ）      A． B．18cm C． D． 【答案】D 【详解】该塔筒的轴截面如图所示，以喉部的中点为原点，建立平面直角坐标系， 设A与分别为上，下底面对应点，设双曲线的方程为， 由双曲线的离心率为，得，则， 由喉部（中间最细处）的直径为，得， 所以双曲线的方程为，设点， 由，得，所以该塔筒的高为. 故选：D    变式10-3．舰A在舰B的正东6 km处，舰C在舰B的北偏西30°方向，且与B相距4 km，它们准备围捕某海洋动物．在某时刻A发现动物信号，4 s后，B，C同时发现这种信号．设舰与动物均为静止的，动物信号的传播速度是1 km/s，试确定海洋动物的位置． 【答案】海洋动物的位置在舰A的北偏东30°方向，且离舰A的距离为10 km． 【详解】解　取AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立如图的平面直角坐标系， 易知A，B，C三点的坐标分别为(3，0)，(－3，0)，(－5，2)， 设动物所在位置为点P处，连接PB，PC．由于B，C同时发现动物信号，因此|PB|＝|PC|， 于是点P在线段BC的垂直平分线上， 线段BC的垂直平分线PD的方程为x－y＋7＝0， 连接PA，由于A，B两舰发现动物信号的时间差4 s，因此|PB|－|PA|＝4＜6， 于是点P在双曲线的右支上， 解方程组 得直线x－y＋7＝0与双曲线右支的交点P(8，5)，所以|AP|＝10，∠PAx＝60°． 因此，海洋动物的位置在舰A的北偏东30°方向，且离舰A的距离为10 km． 1．（2024-25高二上·陕西西安·阶段练习）椭圆的离心率为，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】对于，其长半轴为，半焦距为， 所以，解得. 故选：A. 2．（2024-2025学年广东梅州高一上学期教学质量检测数学试）已知离心率为2的双曲线与椭圆有相同的焦点，则（    ） A．21 B．19 C．13 D．11 【答案】B 【详解】由条件可知，， 则，解得，所以． 故选：B． 3．（2024-25高三上·河南·阶段练习）已知双曲线的离心率为，双曲线的一条渐近线与圆交于两点，则（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【详解】由，有， 可得双曲线的渐近线方程为，即和． 由圆配方得， 到直线的距离为， 可得直线与圆相离，不合题意； 而圆心到直线的距离为， 可得直线与圆相交，即得． 故选：D． 4．（2024-25高二上·辽宁·阶段练习）已知圆，定点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线交于点，则点的轨迹为（    ） A．以为直径的圆 B．以为焦点的椭圆 C．以为焦点的双曲线 D．以为顶点，为焦点的抛物线 【答案】C 【详解】由题意知圆的半径为4，点在圆外， 如图，由中垂线可知，圆的半径, ∴， 即动点到两个顶点的距离差为定值， 故点的轨迹是以为焦点的双曲线中的一支. 故选：C. 5．（2024-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知是曲线：上的动点，是圆：上的动点，，则的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【详解】因为曲线：可化为，为椭圆， 则，故椭圆左焦点，右焦点， 又圆：的圆心恰好是，则，    又在椭圆中，有，， 所以， 当且仅当点在线段与椭圆的交点处，点在线段的延长线与圆的交点处，等号成立. 故选：D. 6．（2024-25高二上·黑龙江·期中）已知椭圆与双曲线有公共的焦点、，是和的一个公共点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如下图所示： 依题意由椭圆定义可得，所以； 即； 依题意由双曲线定义可得，所以； 即； 因此可得； 又易知，即可得； 因此，而， 即满足，所以； 又为的中点，因此. 故选：D 7．（2024-25高二上·陕西西安·阶段练习）若方程所表示的曲线为，下列说法正确的是（    ） A．苦为椭圆，则 B．若为双曲线，则或 C．曲线可能是圆 D．若为焦点在轴上的椭圆，则 【答案】BC 【详解】因为方程，即所表示的曲线为， 对于A，若为椭圆，则，且，故A错误； 对于B，若为双曲线，则，或，故B正确； 对于C，当，即时，曲线为圆，故C正确； 对于D，若为焦点在轴上的椭圆，则，，故D错误. 故选：BC. 8．（2024-25高三上·河南·阶段练习）在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为为椭圆的右顶点，为椭圆的上顶点，为椭圆上与椭圆顶点不重合的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，则（   ） A．椭圆的离心率为 B．当时， C． D．当点在第三象限时，若，则 【答案】ACD 【详解】对于A选项，由，可得，故A选项正确； 对于B选项，由， 可得，故B选项错误； 对于C选项，设点，有，又由， 直线的方程为，令，可得点的纵坐标为， 直线的方程为，令，可得点的横坐标为， 有，故C选项正确； 对于D选项，若，由直线的斜率为，有， 有，代入，有， 有，平方后有，代入， 有，有， 又由，有，可得， 可得，故D选项正确． 故选：ACD 9．（2024-25高二上·海南·阶段练习）已知双曲线左右焦点分别为，，且关于它的一条渐近线的对称点为P，若以P为圆心，为半径的圆过原点，则双曲线的离心率为 . 【答案】2 【详解】如图，由题意可知，， 设与渐近线的交点为M，则M为的中点，且， 则点到直线的距离， 所以， 在中，因为O，M分别为，的中点， 所以，所以， 所以双曲线的离心率. 故答案为： 10．（2024-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知是椭圆的左､右焦点，是上一点，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线，若的交点在上（均在轴上方），且，则的离心率为 . 【答案】 【详解】设，由题意可知，如图所示： 则直线的斜率，可知的方程为， 同理可得：的方程为， 联立方程，解得，即， 因为在上，可知关于轴对称， 且，可得，又因为， 联立，解得或（舍去） 故，所以椭圆的离心率为. 故答案为： 11．（2024-25高二上·江苏苏州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别是是椭圆上两点，四边形为矩形，延长交椭圆C于点P，若，则椭圆C的离心率为 . 【答案】 【详解】 设，则由题意可得，，， 所以， 在中，， 因为，所以，解得， 所以，， 因为，所以， 所以，解得， 所以离心率． 故答案为：． 12．（2024-25高二上·湖北·阶段练习）求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)过点，且与双曲线的离心率相等； (2)两顶点间的距离为8，渐近线方程为. 【答案】(1) (2)或. 【详解】（1）由题意可知：双曲线的焦点在轴上，设双曲线方程为，且， 又双曲线的离心率为，则，得， 故，所以双曲线的方程为. （2）由题意知，当双曲线的焦点在轴上时，则，可得， 所以双曲线的方程为； 当双曲线的焦点在轴上时，则，可得， 所以双曲线的方程为； 综上所述：双曲线的方程为或. 13．（2024-25高二上·山西太原·阶段练习）已知椭圆的长轴长为，且点在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆相交于不同的两点和，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得，解得， 所以椭圆的方程为：． （2）联立，消去后，得关于的一元二次方程， 化简得， 则，，， 所以. 14．（2024-25高二上·河北张家口·阶段练习）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合. (1)求抛物线的方程； (2)已知点，在曲线上是否存在一点，使点到点的距离与点到轴的距离之和取得最小值？若存在点，求出点的坐标以及的最小值. 【答案】(1) (2)存在，，的最小值为13 【详解】（1）由题意知，椭圆的右焦点为，则，， 所以抛物线的方程为. （2）存在一点，使点到点的距离与点到轴的距离之和取得最小值，理由如下： 如图所示，根据抛物线的定义得, 所以当三点共线时，点到点的距离与点到轴的距离之和取得最小值， 此时点为直线与抛物线的交点，又直线的方程为， 联立，解得或（舍去），则点， 此时最小，且最小值为， 因此在曲线上存在一点，使点到点的距离与点到轴的距离之和取得最小值， 且的最小值为13. 15．（2024-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知双曲线：（，）的左顶点为，右焦点为，动点在双曲线上，当时，. (1)求的离心率； (2)已知，，两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、四象限.若，求的面积. 【答案】(1)2； (2). 【详解】（1）设，将代入双曲线方程得，此时， 所以，即，， 则，所以（负值舍去）， 故的离心率为2. （2）因为，由（1）知， 双曲线方程为：，渐近线方程为， 设， 则， 所以， 又在双曲线上，所以，整理得：， 由渐近线方程为得， 所以的面积为 . 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年高二数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 复习04 椭圆、双曲线的方程及其性质 知识点 1 ：椭圆的定义及标准方程 平面上到两定点的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点的轨迹是椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作. 定义式：. 要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆. 标准方程：焦点在轴上，；焦点在轴上，. 说明：要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道之间的大小关系和等量关系：. 知识点 2 ：椭圆的图形及其简单几何性质 标准方程 图形 焦点位置 几何性质 范围 顶点 焦点 对称性 离心率 在轴上 ， 对称轴：轴，轴，对称中心： 原点 ， 在轴上 ， 注意：求椭圆的标准方程的方法可以采用待定系数法，此时要注意根据焦点的位置选择椭圆的标准方程；也可以利用椭圆的定义及焦点位置或点的坐标确定椭圆的标准方程. 知识点 3 ：双曲线的定义和标准方程 1．双曲线的定义 （1）定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数(小于且大于零)的点的轨迹叫做双曲线． 这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距． （2）符号语言：. （3）当时，曲线仅表示焦点所对应的双曲线的一支； 当时，曲线仅表示焦点所对应的双曲线的一支； 当时，轨迹为分别以为端点的两条射线； 当时，动点轨迹不存在． 2．双曲线的标准方程 双曲线的标准方程有两种形式： （1）焦点在轴上的双曲线的标准方程为(a＞0，b＞0)，焦点分别为焦距为，且，如图1所示； （2）焦点在轴上的双曲线的标准方程为(a＞0，b＞0)，焦点分别为焦距为，且，如图2所示． 图1 图2 注：双曲线方程中的大小关系是不确定的，但必有． 3．必记结论 （1）焦点到渐近线的距离为. （2）与双曲线(a＞0，b＞0)有共同渐近线的双曲线方程可设为． （3）若双曲线的渐近线方程为，则双曲线方程可设为或． （4）与双曲线(a＞0，b＞0)共焦点的双曲线方程可设为 ． （5）过两个已知点的双曲线的标准方程可设为． （6）与椭圆有共同焦点的双曲线方程可设为． 知识点 4 ：双曲线的几何性质 1．双曲线的几何性质 标准方程 图形 范围 ， ， 对称性 对称轴：x轴、y轴；对称中心：原点 焦点 左焦点，右焦点 下焦点，上焦点 顶点 轴 线段是双曲线的实轴，线段是双曲线的虚轴； 实轴长，虚轴长 渐近线 离心率 2．等轴双曲线的概念和性质 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．等轴双曲线具有以下性质： （1）方程形式为； （2）渐近线方程为，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角； （3）实轴长和虚轴长都等于，离心率． 知识点 5 ：直线与双曲线的位置关系 一般地,设直线方程为,双曲线方程为,将代入,消去y并化简,得. ①当,即时,直线与渐近线平行,则直线与双曲线只有一个公共点； ②当,即时, 判别式直线与双曲线相交,有两个公共点； 判别式直线与双曲线相切,有且只有一个公共点； 判别式直线与双曲线相离,没有公共点． 考点01 椭圆、双曲线的标准方程 【方法点拨】（1）若曲线的焦点位置确定，则用待定系数法求标准方程： ①根据焦点位置设方程；②根据已知条件求出，③写出曲线的标准方程 （2）若曲线的焦点位置不确定，则可设椭圆的方程为，，双曲线的方程为，避免因焦点位置不确定而对方程形式进行分类讨论. 例1．已知中心在原点的椭圆的右焦点为，离心率等于，则的方程是（    ） A． B． C． D． 例2．焦点坐标为，，并且经过点的椭圆方程为（   ） A． B． C． D． 变式1-1．求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)与椭圆有公共焦点，且离心率为； (2)经过、两点. 变式1-2．已知双曲线与椭圆共焦点，且其虚轴长为2，则的标准方程为 . 变式1-3．已知椭圆的焦点为.过点的直线与椭圆交于A，B两点.若的周长为8，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 考点02 椭圆的焦点三角形 【方法点拨】在解椭圆中焦点三角形的有关问题时，可结合椭圆的定义及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解． 例3．设椭圆的左，右焦点是，离心率为，上顶点坐标为 (1)求椭圆的方程； (2)设P为椭圆上一点，且，求焦点三角形的周长和面积． 例4．设是椭圆上的一点，，为焦点，，则的面积为（    ） A． B． C． D．16 变式2-1．已知椭圆的一个短轴端点与两个焦点构成的三角形的内切圆半径为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 变式2-2．点是椭圆上一点，点分别是椭圆的左、右焦点，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 变式2-3．已知椭圆的左、右焦点分别为，若直线与交于两点，且，则的方程为 ． 考点03 双曲线的焦点三角形 【方法点拨】利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件的变形使用，二是要特别注意与的关系. 例5．如图、是椭圆与双曲线的公共焦点，分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是（   ）    A． B． C． D． 例6．已知，分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于8，则（   ） A． B．2 C． D．4 变式3-1．双曲线的左，右焦点分别为、，是双曲线的右支上的一点，的内切圆圆心为，记、的面积分别为、，则 . 变式3-2．已知O为坐标原点，双曲线C：的左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆与C在第一象限内的交点为P.若，则点O到直线的距离为 . 变式3-3．已知双曲线的左、右焦点分别为，过作倾斜角为的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，则的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 考点04 椭圆、双曲线的距离和差最值问题 【方法点拨】设为曲线上一点，为椭圆的焦点． （1）与有关的最值问题，一般利用曲线的定义，根据基本不等式求解，注意等号成立的条件． （2）与的和、差有关的最值问题，一般利用平面几何知识，转化为三点共线问题求解． 例7．是双曲线的右支上一点，、分别是圆和上的点，则的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 例8．已知双曲线的离心率为，为双曲线的右焦点，且点到直线的距离为. (1)求双曲线的方程; (2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值. 变式4-1．已知椭圆的右焦点为，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最大值为（    ） A． B．5 C． D． 变式4-2．已知椭圆的左、右焦点分别为，点M在C上，点N的坐标为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式4-3．设实数满足的最小值为（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 考点05 求椭圆、双曲线的离心率 【方法点拨】求曲线离心率的值或取值范围，一般先将已知条件转化为关于的方程或不等式，再求解，有以下几种情况：（1）若已知可直接代入求得； （2）若已知，则椭圆使用，双曲线使用求解； （3）若已知，则先求，再利用（1）求解. （4）若已知的关系，可转化为关于离心率的方程(不等式)求值 例9．过点作斜率为的直线与椭圆相交于，，若是线段的中点，则椭圆的离心率为 ． 例10．已知与分别是椭圆的左、右焦点，M，N是椭圆C上两点，且，，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 变式5-1．如图，，是分别是双曲线的左､右焦点，为双曲线右支上的一点，圆与三边所在的直线都相切，切点为，，，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 变式5-2．已知是双曲线左支上的一个点，，是双曲线的左、右焦点，，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 变式5-3．双曲线的左、右焦点分别为、，过作斜率为正且与的某条渐近线垂直的直线与双曲线在第一象限交于，，则的离心率为（   ）. A． B． C． D． 考点06 求椭圆、双曲线的离心率取值范围 例11．椭圆的左，右焦点分别为，，若椭圆上存在点，使，则椭圆离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例12．已知双曲线，若有且仅有一对过原点且所成的角为的直线和，使得，其中和分别是这对直线与双曲线的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是 . 变式6-1．已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 变式6-2．已知椭圆：的左、右焦点分别为、，若总存在一条过的直线，使得点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率的取值范围是 . 变式6-3．设双曲线的左、右焦点分别为，过点作x轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A．已知，，点P是双曲线C右支上的动点，且恒成立，则双曲线离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点07 双曲线的渐近线 【方法点拨】与双曲线有共同渐近线的双曲线方程可设为； 若已知双曲线的渐近线方程或，则双曲线方程可设为.(当时，焦点在轴上；当时，焦点在轴上.) 例13．已知直线与双曲线的渐近线交于，两点，若的中点坐标为，则双曲线的渐近线方程为 ． 例14．已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的方程为 . 变式7-1．已知双曲线的右顶点为，点都在上，且关于轴对称，若直线的斜率之积为，则的渐近线方程为 . 变式7-2．已知点为双曲线的左、右焦点，过且斜率为的直线交双曲线左支于点，点在线段上，交双曲线左支于点且，若双曲线右支上任意一点都满足，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 变式7-3．与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的标准方程为 . 考点08 直线与椭圆、双曲线的位置关系 【方法点拨】（1）判断直线与椭圆的位置关系时，常将直线与椭圆的方程联立，消元后，得到一个一元二次方程，利用判别式求解：⇔直线与椭圆相交；⇔直线与椭圆相切；⇔直线与椭圆相离； （2）判断直线与双曲线的位置关系时，通常是将直线方程与双曲线方程联立方程组，方程组解的个数就是直线与双曲线交点的个数，联立方程消去或中的一个后，得到的形如二次方程的式子中，要注意项或项系数是否为零的情况，否则容易漏解． 例15．（多选）已知直线l的方程为,则下列说法正确的是（    ） A．l与直线有唯一的交点 B．l与椭圆一定有两个交点 C．l与圆一定有两个交点 D．满足与双曲线有且只有一个公共点的直线l有2条 例16．直线与双曲线的右支只有一个公共点，则的取值范围为 . 变式8-1．若集合，，则A∩B所含元素个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 变式8-2．已知曲线. （1）若，则由曲线围成的图形的面积是 ． （2）曲线与椭圆有四个不同的交点，则实数的取值范围是 ． 变式8-3．（多选）已知直线：，双曲线：.以下说法正确的是（   ） A．当时，直线与双曲线只有一个公共点 B．直线与双曲线只有一个公共点时，或 C．当或时，直线与双曲线没有公共点 D．当时，直线与双曲线有两个公共点 考点09 椭圆、双曲线的弦长问题 【方法点拨】求弦长的两种方法：①出弦两端点的坐标，然后利用两点间的距离公式求解； ②结合根与系数的关系，利用弦长公式或进行求解 例17．已知是双曲线与直线的交点，求线段的长度. 例18．已知椭圆的右焦点为，离心率为，为轴上一动点． (1)求的方程； (2)过点作与直线垂直的直线交于两点，当时，求直线的斜率． 变式9-1．已知椭圆的一个顶点为，且离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于A，B两点，且，求的值. 变式9-2．已知双曲线的两个焦点分别为，过的直线与双曲线的同一支交于，两点，且，则线段的长度为（    ） A． B．9 C． D．6 变式9-3．已知双曲线，直线被所截得的弦长为，则 ． 考点10 有关椭圆、双曲线的实际应用 【方法点拨】利用解决实际问题的基本步骤：（1）建立适当的坐标系；（2）求出曲线的标准方程(待定系数法)；（3）根据曲线的方程及几何性质解决实际问题． 例19．年月，欧内斯特·卢瑟福在《哲学》杂志上发表论文.在这篇论文中，他描述了用粒子轰击厚的金箔时拍摄到的运动情况.在进行这个实验之前，卢瑟福希望粒子能够通过金箔，就像子弹穿过雪一样，事实上，有极小一部分粒子从金箔上反弹.如图显示了卢瑟福实验中偏转的粒子遵循双曲线一支的路径，则该双曲线的离心率为 ；如果粒子的路径经过点，则该粒子路径的顶点距双曲线的中心 cm. 例20．如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为的球体，近地点离地面的距离为，则远地点离地面的距离为（   ） A． B． C． D． 变式10-1．油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，北京的阳光与地面夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 变式10-2．3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为，下底直径为，喉部（中间最细处）的直径为8cm，则该塔筒的高为（   ）      A． B．18cm C． D． 变式10-3．舰A在舰B的正东6 km处，舰C在舰B的北偏西30°方向，且与B相距4 km，它们准备围捕某海洋动物．在某时刻A发现动物信号，4 s后，B，C同时发现这种信号．设舰与动物均为静止的，动物信号的传播速度是1 km/s，试确定海洋动物的位置． 1．（2024-25高二上·陕西西安·阶段练习）椭圆的离心率为，则（    ） A． B． C． D．2 2．（2024-2025学年广东梅州高一上学期教学质量检测数学试）已知离心率为2的双曲线与椭圆有相同的焦点，则（    ） A．21 B．19 C．13 D．11 3．（2024-25高三上·河南·阶段练习）已知双曲线的离心率为，双曲线的一条渐近线与圆交于两点，则（   ） A． B． C．3 D． 4．（2024-25高二上·辽宁·阶段练习）已知圆，定点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线交于点，则点的轨迹为（    ） A．以为直径的圆 B．以为焦点的椭圆 C．以为焦点的双曲线 D．以为顶点，为焦点的抛物线 5．（2024-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知是曲线：上的动点，是圆：上的动点，，则的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 6．（2024-25高二上·黑龙江·期中）已知椭圆与双曲线有公共的焦点、，是和的一个公共点，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024-25高二上·陕西西安·阶段练习）若方程所表示的曲线为，下列说法正确的是（    ） A．苦为椭圆，则 B．若为双曲线，则或 C．曲线可能是圆 D．若为焦点在轴上的椭圆，则 8．（2024-25高三上·河南·阶段练习）在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为为椭圆的右顶点，为椭圆的上顶点，为椭圆上与椭圆顶点不重合的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，则（   ） A．椭圆的离心率为 B．当时， C． D．当点在第三象限时，若，则 9．（2024-25高二上·海南·阶段练习）已知双曲线左右焦点分别为，，且关于它的一条渐近线的对称点为P，若以P为圆心，为半径的圆过原点，则双曲线的离心率为 . 10．（2024-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知是椭圆的左､右焦点，是上一点，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线，若的交点在上（均在轴上方），且，则的离心率为 . 11．（2024-25高二上·江苏苏州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别是是椭圆上两点，四边形为矩形，延长交椭圆C于点P，若，则椭圆C的离心率为 . 12．（2024-25高二上·湖北·阶段练习）求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)过点，且与双曲线的离心率相等； (2)两顶点间的距离为8，渐近线方程为. 13．（2024-25高二上·山西太原·阶段练习）已知椭圆的长轴长为，且点在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆相交于不同的两点和，求的值. 14．（2024-25高二上·河北张家口·阶段练习）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合. (1)求抛物线的方程； (2)已知点，在曲线上是否存在一点，使点到点的距离与点到轴的距离之和取得最小值？若存在点，求出点的坐标以及的最小值. 15．（2024-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知双曲线：（，）的左顶点为，右焦点为，动点在双曲线上，当时，. (1)求的离心率； (2)已知，，两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、四象限.若，求的面积. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$