精品解析：云南省保山市智源高级中学2024-2025学年高一上学期第二次月考数学试题

保山市智源中学 2024-2025学年上学期高一年级 第二次月考数学试卷 （闭卷考试，考试时间 120 分钟，全卷满分150） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、班级、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案的标号，在试卷上作答无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简集合A,B，再判断得解. 【详解】由题得，， 所以. 故选C 【点睛】本题主要考查集合的化简和关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 2. “”是“为第四象限角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的定义结合充分必要条件定义可判断. 【详解】当时，成立，所以由成立不能推出是第四象限角； 若是第四象限角，则，，则成立， 故是为第四象限角的必要不充分条件. 故选：B. 3. 若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式可得出的范围，由已知可得，取交集可得的取值集合，分析可知为的取值集合的子集，即可得解. 【详解】由可得，因为，则，解得或， 若“，”为假命题，则， 因为或， 由题意可知，. 故选：D. 4. 已知，则函数的最小值是 A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角公式求出，再利用基本不等式，即可求出答案 【详解】，则 故选： 【点睛】本题主要考查了函数的最小值的求法，考查了二倍角公式，注意运用基本不等式，考查了运算能力，属于基础题 5. 集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合，由题意知，是的真子集，分，，三种情况讨论即可求. 【详解】， ， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集， 当时，， 所以，即， 当时，，此时，是的真子集，符合题意； 当时，， 所以，即， 综上，所以实数的取值范围. 故选：A 6. 已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数，且，不等式恒成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得在上单调递增，再由函数为奇函数，可得在上单调递增，且，由此可求出和的解集，从而可求得结果． 【详解】因为对于任意两个实数且时，不等式恒成立，所以在上单调递增， 因为是定义在上的奇函数，所以在上单调递增， 因为，所以， 所以当或时，；当或时，， 所以当或时，， 所以不等式的解集为． 故选：B． 7. 美国数学家柯布（C.W.Cobb）和经济学家保罗道格拉斯（PaulH.Douglas）通过研究1899年至1922年美国制造业，提出了著名的柯布-道格拉斯生产函数，即，其中代表产出，和分别代表资本投入和劳动投入（均为正数），（可视为正值常数）代表综合技术水平，是资本投入与产出的弹性系数，则以下说法正确的是（ ） A. 若各项投入保持不变，则产出是关于的减函数 B. 存在，使资本投入不变而劳动投入增至原先的8倍时，产出仅增至原先的2倍 C. 存在，使各项投入都增至原先的倍时，产出增至原先的倍数超过 D. 将资本投入和劳动投入分别改变成原来的倍与倍，则产出不发生变化 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的信息，按各选项的条件，结合函数计算判断得解. 【详解】记产出､资本投入､劳动投入未改变前分别为，改变后的产出为. 对于A，，其单调性取决于与1的大小关系，而这个大小关系并不确定，A错误； 对于B，令，解得，B正确； 对于C，，不成立，C错误； 对于D，令，解得， 即仅当时，产出不变，当时，产出发生改变，D错误. 故选：B 8. 已知函数在区间上是增函数，若函数在上的图象与直线有且仅有一个交点，则的范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合函数的对称性，及在区间上的单调性，可知，又函数与直线交点的横坐标为，从而得，进而可求出的取值范围. 【详解】因为函数的图象关于原点对称，并且在区间上是增函数，所以，所以， 又，得， 令，得， 所以在上的图象与直线的第一个交点的横坐标为，第二个交点的横坐标为， 所以，解得， 综上所述，. 故选：. 【点睛】关键点点睛：关于三角函数中的取值范围问题，结合三角函数的单调性与最大（小）值列关于的不等式，从而求解即可. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“”的否定形式是“” B. 若函数的定义域是，则函数的定义域为 C. 若，则函数的最小值为2 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】 根据特称命题的否定变换形式可判断A；根据抽象函数的定义域求法可判断B；利用基本不等式可判断C；利用不等式的性质可判断D. 【详解】对于A，命题“”的否定形式是“”，故A正确； 对于B，函数的定义域是，函数的定义域， 则，解得，所以函数的定义域为，故B正确； 对于C，， 等号成立的条件不存在，故C错误； 对于D，由，则，，， 且，所以，故D正确. 故选：ABD 10. 已知函数，则方程的根的个数可能为（ ） A. 2 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】ACD 【解析】 【分析】先画出的图象，再讨论方程的根，求得的范围，再数形结合，得到答案. 【详解】画出的图象如图所示： 令，则，则， 当，即时，，此时，由图与的图象有两个交点， 即方程的根的个数为2个，A正确； 当时，即时，，则 故，， 当时，即，则有2解， 当时，若，则有3解；若，则有2解， 故方程的根的个数为5个或4个，CD正确； 故选：ACD 【点睛】本题考查了函数的根的个数问题，函数图象的画法，考查了分类讨论思想和数形结合思想，难度较大. 11. 已知，则（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是 C. 的最大值是 D. 的最小值是 【答案】AD 【解析】 【分析】已知变形后可设，，即，由确定出的范围，然后分别计算和，结合三角函数知识得最值． 【详解】，因此可设，， 则， ，， ，，即， 所以， ， 由，知， ，所以， 时，取得最大值，A正确，B错误； ， 由知， 因此，时，，D正确，C错误； 故选：AD． 【点睛】方法点睛：求最值的常用方法：一是由函数的性质求解，二是利用基本不等式求解，三是利用导数求解，在由条件求最值时，当已知等式是平方和形式时，可以利用三角换元法把代数式转化为三角式，利用三角恒等变换变形，利用三角函数性质求最值．本题已知条件可以变形为，因此可用三角换元求解． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，且，则的最小值是_________． 【答案】12 【解析】 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】因为，且， 所以. 故答案为：. 13. 函数的单调递增区间为_______________. 【答案】， 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，然后利用复合函数求单调区间的方法求解即可 【详解】由，得， 令，则， 因为在上为减函数，由复合函数的单调性的判断方法， 所以应求在上的单调递减区间， 所以的单调递增区间为， 故答案为：． 【点睛】此题考查复合函数单调区间的求法，利用了换元法，属于基础题 14. 已知，若对任意，不等式 恒成立，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由及题意，可得，然后由单调性及一次函数单调性可得答案. 【详解】由题可得，又注意到在上单调递增， 在上单调递增，，则在R上单调递增. 则 得，由，则. 则关于x的一次函数在上单调递增， 要使恒成立，则， 即，解得：. 结合，可得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，. （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值. 【答案】（1） （2）最大值为，；最小值为－1，. 【解析】 【分析】（1）利用函数的周期公式，及整体代入求得增区间. （2）利用整体代入法求得函数的最大值最小值以及取得最值时的x的值. 【小问1详解】 函数的最小正周期， 由，， 解得：，， 所以函数的单调递增区间是. 【小问2详解】 由，得， 则当，即时， ； 当，即时， ， 所以函数在上的最大值为，此时； 最小值为－1，此时. 16. 已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且． （1）求函数和的解析式； （2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）借助奇函数与偶函数的性质，代入计算即可得； （2）设，则可得，原不等式可转化为对任意，恒成立，利用基本不等式求解即可． 【小问1详解】 由题意可得， 则，即， 则； 【小问2详解】 设，由，可得， 由在上单调递增，可得， 对任意，不等式恒成立， 即， 又，当且仅当，即时，等号成立， 则 的最小值为， 若 在上恒成立，必有， 即的取值范围是 . 17. 主动降噪耳机工作的原理是先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示），已知某噪声声波曲线，其振幅为2，且经过点. （1）求该噪声声波曲线f（x）的解析式以及降噪芯片生成的降噪声波曲线g（x）的解析式； （2）证明：为定值. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）首先根据振幅为2求出A，将点代入解析式即可解得； （2）由（1），结合诱导公式和两角和差的余弦公式化简即可证明. 【小问1详解】 由振幅为2，，可得，， 由噪声声波曲线经过点，得， 而，， 则，则， 又降噪声波曲线与噪声声波曲线的振幅相同、相位相反， 所以. 【小问2详解】 由（1）， 则 ， 即为定值0. 18. 已知函数，，且函数是偶函数. （1）求的解析式； （2）若不等式在上恒成立，求n的取值范围. 【答案】（1） ；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合是偶函数的条件，列出等量关系，求得，得到，进而求得； （2）令，换元，之后将恒成立问题转化为求最值解决，进而求得结果. 【详解】（1）∵， ∴. ∵是偶函数， ∴，∴， ∴， ∴. （2）令， ∵，∴， 不等式在上恒成立， 等价于在上恒成立， ∴. 令，则， ， ∴. 【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有根据偶函数求函数解析式，不等式恒成立求参数的取值范围，注意分离参数转化为参数与新函数的最值关系，属于中档题目. 19. 若函数的定义域为，集合，若存在非零实数，使得对于任意都有，且，则称为上的增长函数. （1）已知函数，，判断和是否为区间上的增长函数，并说明理由； （2）已知函数，且是区间上的增长函数，求正整数的最小值； （3）如果是定义域为的奇函数，当时，，且为上的增长函数，求实数的取值范围. 【答案】（1）函数是，不是，理由如下： 对于函数，因为，， 所以函数为区间上的增长函数； 对于函数，当时，， 所以函数不为区间上的增长函数. （2）9； （3）. 【解析】 【分析】（1）依据增长函数的定义进行验证即可. （2）将增长函数问题转换为不等式在区间恒成立问题进行解决即可. （3）作出的图象，再借助函数图象变换列式求解. 【小问1详解】 为区间上的增长函数；不为区间上的增长函数. 理由略； 【小问2详解】 依题意，对于恒成立， 等价于，即对恒成立， 令，而，则函数在上单调递增， ，因此，又，解得， 所以正整数的最小值为9. 【小问3详解】 依题意， 当时，，当时，， 而函数是R上的奇函数，则函数的图象如图所示： 于是， 又是R上的增长函数，则对任意的，都有， 而函数的图象是函数的图象向左平移4个单位而得，如图， 观察图象知，当且仅当，即时，恒成立， 所以实数a的取值范围为. 【点睛】思路点睛：在解决对恒成立的问题时，利用了主参换位法，可以将看成关于单调递增函数，即转化为对恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 保山市智源中学 2024-2025学年上学期高一年级 第二次月考数学试卷 （闭卷考试，考试时间 120 分钟，全卷满分150） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、班级、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案的标号，在试卷上作答无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则 A. B. C. D. 2. “”是“为第四象限角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合可以是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则函数的最小值是 A. 2 B. C. D. 5. 集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数，且，不等式恒成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 美国数学家柯布（C.W.Cobb）和经济学家保罗道格拉斯（PaulH.Douglas）通过研究1899年至1922年美国制造业，提出了著名的柯布-道格拉斯生产函数，即，其中代表产出，和分别代表资本投入和劳动投入（均为正数），（可视为正值常数）代表综合技术水平，是资本投入与产出的弹性系数，则以下说法正确的是（ ） A. 若各项投入保持不变，则产出是关于的减函数 B. 存在，使资本投入不变而劳动投入增至原先的8倍时，产出仅增至原先的2倍 C. 存在，使各项投入都增至原先的倍时，产出增至原先的倍数超过 D. 将资本投入和劳动投入分别改变成原来的倍与倍，则产出不发生变化 8. 已知函数在区间上是增函数，若函数在上的图象与直线有且仅有一个交点，则的范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“”的否定形式是“” B. 若函数的定义域是，则函数的定义域为 C. 若，则函数的最小值为2 D. 若，则 10. 已知函数，则方程的根的个数可能为（ ） A. 2 B. 6 C. 5 D. 4 11. 已知，则（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是 C. 的最大值是 D. 的最小值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，且，则的最小值是_________． 13. 函数的单调递增区间为_______________. 14. 已知，若对任意，不等式 恒成立，则实数a的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，. （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值. 16. 已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且． （1）求函数和的解析式； （2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 17. 主动降噪耳机工作的原理是先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示），已知某噪声声波曲线，其振幅为2，且经过点. （1）求该噪声声波曲线f（x）的解析式以及降噪芯片生成的降噪声波曲线g（x）的解析式； （2）证明：为定值. 18. 已知函数，，且函数是偶函数. （1）求的解析式； （2）若不等式在上恒成立，求n的取值范围. 19. 若函数的定义域为，集合，若存在非零实数，使得对于任意都有，且，则称为上的增长函数. （1）已知函数，，判断和是否为区间上的增长函数，并说明理由； （2）已知函数，且是区间上的增长函数，求正整数的最小值； （3）如果是定义域为的奇函数，当时，，且为上的增长函数，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $