复习02 直线的方程及其应用（八大考点）-2025年高二数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019）

2025年高二数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 复习02 直线的方程及其应用 知识点 1 ：直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角 （1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为． （2）范围：直线l倾斜角的范围是 2．斜率公式 （1）若直线l的倾斜角90°，则斜率． （2）在直线l上，且，则直线l的斜率． 知识点 2 ：直线的方程 方程 适用范围 点斜式： 不包含直线 斜截式： 不包含垂直于x轴的直线 两点式： 不包含直线（当时） 和直线（当时） 截距式： 不包含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式：不全为 平面直角坐标系内的直线都适用 知识点 3 ：两条直线的位置关系 位置关系 与 与 相交 垂直 平行 且 或 重合 且 注意： （1）当两条直线平行时，容易遗漏斜率不存在时的情况； （2）当两条直线垂直时，容易遗漏一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况． 知识点 4 ：距离问题 条件 距离公式 点之间的距离 点到直线的距离 两条平行线与的距离 知识点 5 ：对称问题 （1）中心对称：点为点与的中点，中点坐标公式为； （2）轴对称：若点关于直线l的对称点为，则． 考点01 直线的倾斜角与斜率 【方法点拨】（1）求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识判断直线向上方向与轴正向之间所成的角，同时应明确倾斜角的范围：； （2）解决斜率问题的方法：①由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)，利用定义式解决． ②由两点坐标求斜率，运用两点斜率公式求解． 例1．已知直线的斜率为，则该直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 例2．若、、三点共线，则（    ） A． B． C． D． 变式1-1．已知直线过点，，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 变式1-2．若将直线l沿x轴正方向平移2个单位，再沿y轴负方向平移3个单位，又回到了原来的位置，则l的斜率是（   ） A． B． C． D． 变式1-3．已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 考点02 两条直线的平行和垂直 【方法点拨】（一）已知直线与直线,则①,且；②. （二）已知直线,直线,则①且(或)；②. 例3．设与是平面内不重合的直线，甲：与的斜率相等；乙：，则甲是乙的（    ） A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不充分条件也不必要条件 例4．已知直线与直线互相垂直，则实数的值为 ． 变式2-1．设，两直线与垂直，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D．2 变式2-2．集合，集合，从中各任意取一个数相加为，则直线与直线平行的概率为（    ） A． B． C． D． 变式2-3．已知直线过点，直线与直线的交点B在第一象限， 点O为坐标原点. 若三角形OAB为钝角三角形时，则直线的斜率的范围是（    ） A． B． C． D． 考点03 直线的方程 【方法点拨】一般情况下，①已知点和斜率，选择点斜式方程；②已知两点坐标，选择两点式方程； ③已知斜率和轴截距，选择斜截式方程；④已知两轴截距，选择截距式方程 例5．过点且倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 例6．求符合下列条件的直线方程： (1)直线过点，且斜率为； (2)直线过点，且横截距为纵截距的两倍. 变式3-1．在中，已知， (1)求边的高线的方程; (2)求边的中线的方程; (3)求的平分线的方程. 变式3-2．已知直线过点. (1)若直线过点，求直线的方程； (2)若直线在轴和轴上的截距相等求直线的方程． 变式3-3．已知直线l经过点，倾斜角为． (1)若，求直线l的斜截式方程； (2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的一般式方程． 考点04 动直线恒过定点问题及其应用 【方法点拨】若直线方程含参数，将其化成: 的形式，则方程组的解就是直线所过定点 例7．无论为何值，直线过定点 . 例8．已知直线. (1)求证：不论实数取何值，直线恒过一定点； (2)在（1）的条件下，若直线与轴相交于点A，与轴相交于点，且恰为线段的中点，求直线的斜截式方程. 变式4-1．已知直线在轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 变式4-2．（多选）已知直线和直线，下列说法正确的是（    ） A．始终过定点 B．若，则或 C．若，则或2 D．当时，始终不过第三象限 变式4-3．当原点到动直线的距离最大时，实数的值为 . 考点05 直线的交点问题 例9．（多选）已知这三条直线有唯一公共点，则实数的可能取值有（   ） A．-4 B．-2 C．2 D．4 例10．直线与线段没有公共点，其中，，则实数b的取值范围是 . 变式5-1．若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式5-2．已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 变式5-3．判断下列直线是否相交，若相交，求出交点的坐标. (1)，； (2)，. 考点06 直线的距离问题 例11．已知点在直线上的运动，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 例12．已知点到直线的距离为3，则实数等于（   ） A．3 B． C．0或3 D．0或 变式6-1．（多选）过点且与两点距离相等的直线方程（    ） A． B． C． D． 变式6-2．两直线，之间的距离等于（    ） A．2 B． C．1 D． 变式6-3．已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（    ） A．4 B． C． D． 考点07 直线的对称问题 【方法点拨】若点关于直线l的对称点为，则． 例13．已知直线与关于直线对称，求直线的方程. 例14．已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 变式7-1．已知直线，若关于对称的直线为，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 变式7-2．已知直线，，若直线与关于直线l对称，则直线l的方程为 . 变式7-3．唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为 . 考点08 直线的综合问题 例15．暨阳分校环境优美，依山傍水，绿树成荫.某日，小明饭后散步至池塘边，恰好可以在池塘中看到太阳的倒影，即入射光线经池塘水面反射后，反射光线经过小明眼睛.建立适当坐标系后，已知入射光线上有一点，经直线反射后经过点，则入射光线所在直线方程为（   ） A． B． C． D． 例16．直线的方程为，. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值. 变式8-1．人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）．若点，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 变式8-2．2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，出塞诗是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为． (1)求将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的最短总路程； (2)设“将军饮马”路程最短时的饮马点为，在△中，求边中线所在的直线方程． 变式8-3．（1）当光射到两种不同介质的分界面上时，便有部分光自界而射回原介质中的现象，被称为光的反射，一条光线从点出发，经反射后到达点，求反射光线所在直线的方程； （2）已知，直线的斜率小于，且经过点．与坐标轴交于、两点，试问的面积是否存在最值？若存在，求出相应的最值；若不存在，请说明理由． 1．（2023-24高二上·辽宁大连·期中）若直线与直线平行，则的值为（   ） A．2 B． C．2或 D．或 2．（2023-24高二上·辽宁·期末）已知直线的倾斜角为，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2022-2023学年天津市滨海新区高二上学期期末检测卷数学试题）若过点的直线与直线的交点位于第一象限，则直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2023-24高二上·广东江门·期末）直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2023-24高二上·四川南充·阶段练习）经过点，倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·河南·模拟预测）已知为直线上的动点，点满足，记的轨迹为，则（    ） A．是一个半径为的圆 B．是一条与相交的直线 C．上的点到的距离均为. D．是两条平行直线 7．（2024-2025学年广东省大湾区高三上学期新高考适应性测试数学试题）已知点，，，，平面上仅在线段，，所在位置分别放置一个双面镜．现有一道光束沿向量的方向从线段上某点（不含端点）射入，若光束恰好依次在，，各反射一次后从线段上某点射出，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（2023-24高二上·广西玉林·期中）（多选）已知直线，直线，则（    ） A．当时，与的交点为 B．存在，使 C．若，则 D．直线恒过点 9．（2023-24高二上·重庆·阶段练习）（多选）下列四个命题中真命题有（    ） A．直线在轴上的截距为4. B．经过定点的直线都可以用方程表示. C．直线必过定点. D．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是1. 10．（2023-24高二上·内蒙古包头·阶段练习）（多选）下列结论正确的是（   ） A．若、、三点共线，则的值为0 B．经过点，且在两坐标轴上的截距相反的直线方程为 C．已知两点、，过点的直线与线段有公共点，则的斜率的取值范围为 D．经过直线和直线的交点，且和原点相距为的直线一共有三条 11．（2023-24高二上·贵州贵阳·期中）已知两条平行直线：，：间的距离为，则 ． 12．（202023-24高二上·安徽池州·期中）三条直线，，不能围成三角形，则的取值集合是 ． 13．（2023-24高二下·上海·阶段练习）已知直线 (1)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (2)判断直线与直线的位置关系 (3)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 14．（2023-24高二上·浙江·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知直线过点. (1)若直线又过点，求直线的方程； (2)若直线与轴的正半轴，轴的正半轴分别交于，两点，求面积的最小值. 15．（2023-24高一上·上海嘉定·期中）设，直线，直线，记点P为与x轴的交点． (1)若直线与平行，且与的距离为，求m的值； (2)若直线经过点P，且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积为4，求的方程． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年高二数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 复习02 直线的方程及其应用 知识点 1 ：直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角 （1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为． （2）范围：直线l倾斜角的范围是 2．斜率公式 （1）若直线l的倾斜角90°，则斜率． （2）在直线l上，且，则直线l的斜率． 知识点 2 ：直线的方程 方程 适用范围 点斜式： 不包含直线 斜截式： 不包含垂直于x轴的直线 两点式： 不包含直线（当时） 和直线（当时） 截距式： 不包含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式：不全为 平面直角坐标系内的直线都适用 知识点 3 ：两条直线的位置关系 位置关系 与 与 相交 垂直 平行 且 或 重合 且 注意： （1）当两条直线平行时，容易遗漏斜率不存在时的情况； （2）当两条直线垂直时，容易遗漏一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况． 知识点 4 ：距离问题 条件 距离公式 点之间的距离 点到直线的距离 两条平行线与的距离 知识点 5 ：对称问题 （1）中心对称：点为点与的中点，中点坐标公式为； （2）轴对称：若点关于直线l的对称点为，则． 考点01 直线的倾斜角与斜率 【方法点拨】（1）求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识判断直线向上方向与轴正向之间所成的角，同时应明确倾斜角的范围：； （2）解决斜率问题的方法：①由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)，利用定义式解决． ②由两点坐标求斜率，运用两点斜率公式求解． 例1．已知直线的斜率为，则该直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设直线的倾斜角为，则，所以， 故选：B. 例2．若、、三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于、、三点共线，则， 即，解得. 故选：A. 变式1-1．已知直线过点，，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线的斜率为，对应倾斜角为， 故选：B 变式1-2．若将直线l沿x轴正方向平移2个单位，再沿y轴负方向平移3个单位，又回到了原来的位置，则l的斜率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设是直线上任意一点，则平移后得点， 则直线的斜率． 故选：A． 变式1-3．已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示，直线的斜率，直线的斜率． 由图可知，当直线与线段有交点时，直线的斜率， 因此直线的倾斜角的取值范围是． 故选：A. 考点02 两条直线的平行和垂直 【方法点拨】（一）已知直线与直线,则①,且；②. （二）已知直线,直线,则①且(或)；②. 例3．设与是平面内不重合的直线，甲：与的斜率相等；乙：，则甲是乙的（    ） A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不充分条件也不必要条件 【答案】A 【详解】因为若平面内两条不重合的直线的斜率相等，则两直线平行，所以甲是乙的充分条件； 若两直线平行，则两直线的斜率可能都不存在，即斜率可能不相等，则甲不是乙的必要条件， 所以甲是乙的充分条件但不是必要条件. 故选：A. 例4．已知直线与直线互相垂直，则实数的值为 ． 【答案】或 【详解】当时， 直线化为：， 直线化为， 此时两直线垂直，满足题意； 当时， 直线化为：， 直线化为， 此时两直线不垂直，不满足题意； 当且时， 直线的斜率为， 直线的斜率为， 因为两直线垂直，所以，解得， 综上可得：实数的值为或， 故答案为: 或. 变式2-1．设，两直线与垂直，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】因为直线与垂直， 所以，即， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故选：A 变式2-2．集合，集合，从中各任意取一个数相加为，则直线与直线平行的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若直线与直线平行， 则， 取，则取出的有序数对共有个， 其中满足的有序数对有，，，共4个， 所以所求概率为. 故选：B. 变式2-3．已知直线过点，直线与直线的交点B在第一象限， 点O为坐标原点. 若三角形OAB为钝角三角形时，则直线的斜率的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当三角形为直角三角形时，或， 此时的斜率或0. 当从顺时针旋转到轴之间时，三角形为钝角三角形，此时； 当从逆时针旋转到与直线平行之间时，三角形为钝角三角形，此时， 综上，， 故选：C. 故选：C. 考点03 直线的方程 【方法点拨】一般情况下，①已知点和斜率，选择点斜式方程；②已知两点坐标，选择两点式方程； ③已知斜率和轴截距，选择斜截式方程；④已知两轴截距，选择截距式方程 例5．过点且倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由直线倾斜角为，则斜率， 又直线过， 故所求直线方程为，即. 故选：D. 例6．求符合下列条件的直线方程： (1)直线过点，且斜率为； (2)直线过点，且横截距为纵截距的两倍. 【答案】(1) (2)或. 【详解】（1）因为直线过点，且斜率为， 所以，化简可得：. （2）当横、纵截距都是0时，设直线的方程为. ∵直线过点， ∴，即直线的方程为. 当截距均不为0时，设直线的方程为. ∵直线过点， ∴，解得，即直线方程为. 综上，所求直线方程为或. 变式3-1．在中，已知， (1)求边的高线的方程; (2)求边的中线的方程; (3)求的平分线的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）依题意，直线即轴，故边上的高线必垂直于轴，且经过点， 故边的高线的方程为； （2）边的中点为,因边的中线经过点 故中线方程为：，即； （3） 如图，设的平分线的斜率为，而边和的斜率分别为, 则由，解得或. 当时，由图知，显然不符合题意； 当时，因，则的平分线的方程为，即. 变式3-2．已知直线过点. (1)若直线过点，求直线的方程； (2)若直线在轴和轴上的截距相等求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由题意， 直线过点，， ∴直线方程：，即. （2）由题意， 直线过点，且在轴和轴上的截距相等 当直线过原点时，截距为，方程为 当直线不过原点时，设直线， ∴，解得：，、 ∴直线方程为 综上，直线的方程为：或. 变式3-3．已知直线l经过点，倾斜角为． (1)若，求直线l的斜截式方程； (2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的一般式方程． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由题可知：倾斜角为满足，又，且注意到， 所以解得，所以直线l的斜率为， 故直线l的方程为，化成斜截式得． （2）当截距为零时，直线方程为； 当截距不为零时，设所求直线的方程为，将代入得，解得， 直线方程为，即． 所求直线的方程为或． 考点04 动直线恒过定点问题及其应用 【方法点拨】若直线方程含参数，将其化成: 的形式，则方程组的解就是直线所过定点 例7．无论为何值，直线过定点 . 【答案】 【详解】直线方程可化为， 由得， 所以直线过定点， 故答案为：． 例8．已知直线. (1)求证：不论实数取何值，直线恒过一定点； (2)在（1）的条件下，若直线与轴相交于点A，与轴相交于点，且恰为线段的中点，求直线的斜截式方程. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由直线变形得， 令，解得：，                             由于不论实数取何值，总是方程的一个解， 所以直线恒过这一定点. （2）设，则由已知有，联立解得：， 所以直线的截距式方程为，即的方程为，. 变式4-1．已知直线在轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【详解】已知直线，所以 所以直线过点， 由题知，在轴上的截距取值范围是， 所以直线过点时的斜率分别为，如图：    所以或. 故选：D 变式4-2．（多选）已知直线和直线，下列说法正确的是（    ） A．始终过定点 B．若，则或 C．若，则或2 D．当时，始终不过第三象限 【答案】AC 【详解】对于A，直线，由，得，始终过定点，A正确； 对于B，当时，与直线重合，B错误； 对于C，，则，解得或，C正确； 对于D，取，直线过第三象限，D错误. 故选：AC 变式4-3．当原点到动直线的距离最大时，实数的值为 . 【答案】 【详解】由，得，则动直线恒过定点； 故原点到动直线的距离最大时，直线， 因为直线的斜率为，所以，解得； 故答案为： 考点05 直线的交点问题 例9．（多选）已知这三条直线有唯一公共点，则实数的可能取值有（   ） A．-4 B．-2 C．2 D．4 【答案】AC 【详解】由题意可得这三条直线交于同一点，联立 解得直线和直线的交点坐标为， 把交点坐标代入直线的方程可得， 解得或2，经检验，直线有交点，不平行. 故选：AC. 例10．直线与线段没有公共点，其中，，则实数b的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题可知，当直线经过点时， 当直线经过点时， 当直线与线段没有公共点， 则或. 故答案为：. 变式5-1．若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意联立，解得， 即直线：与直线：的交点为， 由题意可得，解得， 即实数的取值范围是， 故选：A 变式5-2．已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】直线的斜率分别为，纵截距分别为 由，解得，即直线的交点为， 由直线不能围成三角形，得直线或或点在直线上， 则或或，解得或或， 所以实数的取值集合为. 故选：C 变式5-3．判断下列直线是否相交，若相交，求出交点的坐标. (1)，； (2)，. 【答案】(1)相交， (2)重合 【详解】（1）解方程组，得， 所以这两条直线相交，交点坐标是. （2）由化为方程可知， 所以有无数多个解， 故与重合， 考点06 直线的距离问题 例11．已知点在直线上的运动，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】表示点与距离的平方， 因为点到直线的距离， 所以的最小值为． 故选：C 例12．已知点到直线的距离为3，则实数等于（   ） A．3 B． C．0或3 D．0或 【答案】D 【详解】由题意可得，解得或， 故选：D 变式6-1．（多选）过点且与两点距离相等的直线方程（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由题意得：满足条件的直线斜率存在， 可设所求直线方程为，即， 因为与点距离相等， 则，可得，解得或， 所以所求直线方程为或. 故选：BC 变式6-2．两直线，之间的距离等于（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【详解】由题意知，两直线的斜率都为且在轴上的截距不相等， 所以， 则两平行线之间的距离为. 故选：A. 变式6-3．已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【详解】由直线平行可得，即，解得， 则直线方程为，即， 则两平行线间的距离是. 故选：D. 考点07 直线的对称问题 【方法点拨】若点关于直线l的对称点为，则． 例13．已知直线与关于直线对称，求直线的方程. 【答案】 【详解】易知，所以与直线平行， 与直线间的距离为， 又因为与关于直线对称， 所以与平行，且两直线间的距离为， 设直线，所以，解得或， 当时，直线与直线间的距离为， 即直线与关于直线不对称； 当时，直线与直线间的距离为，符合， 所以. 例14．已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】直线的方程可化为，由得， 所以，直线过定点，点关于点的对称点为， 因此，直线恒过的定点. 故选：C. 变式7-1．已知直线，若关于对称的直线为，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，设直线的方程为且. 因为直线关于直线对称，所以与间的距离等于与间的距离. 由两平行直线间的距离公式，得，解得或（舍去）. 所以直线的方程为. 故选：D. 变式7-2．已知直线，，若直线与关于直线l对称，则直线l的方程为 . 【答案】或 【详解】    易知与纵轴交于，交横轴于点， 联立直线与方程，得两直线交点为， 如上图所示网格中构造直角三角形，易知， 即， 又， 所以， 即为两直线与夹角的平分线， 所以直线符合题意，易知其方程为； 当直线l过点C且与垂直时，也符合题意，此时直线方程为. 故答案为：或. 变式7-3．唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为 . 【答案】 【详解】设点关于对称点，则，解得， 即，所以“将军饮马”的最短总路程为. 故答案为：    考点08 直线的综合问题 例15．暨阳分校环境优美，依山傍水，绿树成荫.某日，小明饭后散步至池塘边，恰好可以在池塘中看到太阳的倒影，即入射光线经池塘水面反射后，反射光线经过小明眼睛.建立适当坐标系后，已知入射光线上有一点，经直线反射后经过点，则入射光线所在直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设关于直线对称的点为， 则，解得，即， 因为入射光线经过点，所以所在直线的斜率为， 则入射光线所在直线方程为，即． 故选：D. 例16．直线的方程为，. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值. 【答案】(1)或 (2)或 【详解】（1）当即时，直线的方程为，不满足题意； 当，即时，令得，令，得， 由截距相等得，解得或， 当时，直线的方程为，当时，直线的方程为， 故综上所述，所求直线的方程为或． （2）由题意知，，，且在轴、轴上的截距分别为、， 所以，解得， 所以的面积，    由题意知，化简得，解得或，均满足条件， 所以或． 变式8-1．人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）．若点，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则，即， 可知表示正方形，其中， 即点在正方形的边上运动， 因为，由图可知： 当取到最小值，即最大， 点有如下两种可能： ①点为点，则，可得； ②点在线段上运动时，此时与同向，不妨取， 则； 因为，所以的最大值为. 故选：C. 变式8-2．2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，出塞诗是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为． (1)求将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的最短总路程； (2)设“将军饮马”路程最短时的饮马点为，在△中，求边中线所在的直线方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知在的同侧， 设点关于直线的对称点为三点共线满足题意，点为使得总路程最短的“最佳饮水点”， 则，解得，即， 此时“将军饮马”走过的总路程为．    （2）由（1）知,故直线方程为， 故直线的方程是， 联立，解得，即将军在河边饮马的地点的坐标为， 边的中点，则，即， ∴直线斜率， ∴直线的方程为，整理得． ∴△中边中线所在的直线方程为． 变式8-3．（1）当光射到两种不同介质的分界面上时，便有部分光自界而射回原介质中的现象，被称为光的反射，一条光线从点出发，经反射后到达点，求反射光线所在直线的方程； （2）已知，直线的斜率小于，且经过点．与坐标轴交于、两点，试问的面积是否存在最值？若存在，求出相应的最值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） ；（2）面积存在最小值，不存在最大值，且最小值为． 【详解】解：（1）设关于直线的对称点为， 所以，，解得，即点， 所以反射光线所在直线为，其方程为，即． （2）由题意可设直线， 令，可得，令，可得， 不妨假设在轴上，则、， 则的面积， 因为，所以，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 故的面积存在最小值，不存在最大值，且最小值为． 1．（2023-24高二上·辽宁大连·期中）若直线与直线平行，则的值为（   ） A．2 B． C．2或 D．或 【答案】C 【详解】因为，所以，解得或， 当时，，，成立； 当时，，即，，即，成立， 所以或. 故选：C. 2．（2023-24高二上·辽宁·期末）已知直线的倾斜角为，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 即直线的斜率. 又由直线方程可得，所以， 解得， 即实数的取值范围是. 故选：C. 3．（2022-2023学年天津市滨海新区高二上学期期末检测卷数学试题）若过点的直线与直线的交点位于第一象限，则直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图：直线与坐标轴的交点为, 且, 要使过点的直线与的交点位于第一象限，则需， 即， 故选：B 4．（2023-24高二上·广东江门·期末）直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设直线的倾斜角为，， 因为的斜率为，即， 由正切函数的图象及性质得， 所以直线的倾斜角的取值范围是. 故选：B. 5．（2023-24高二上·四川南充·阶段练习）经过点，倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于倾斜角为，所以， 所以直线方程为：， 整理得：， 故选：A 6．（2024·河南·模拟预测）已知为直线上的动点，点满足，记的轨迹为，则（    ） A．是一个半径为的圆 B．是一条与相交的直线 C．上的点到的距离均为. D．是两条平行直线 【答案】C 【详解】设，由，则， 由在直线上，故， 化简得，即的轨迹为直线且与直线平行， 上的点到的距离，故A、B、D错误，C正确. 故选：C. 7．（2024-2025学年广东省大湾区高三上学期新高考适应性测试数学试题）已知点，，，，平面上仅在线段，，所在位置分别放置一个双面镜．现有一道光束沿向量的方向从线段上某点（不含端点）射入，若光束恰好依次在，，各反射一次后从线段上某点射出，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设线段上的入射点为，依次在，，上的反射点为，最后射出的点为 设关于对称的点为，关于对称的点为， 设，且，则， 由可得，所以直线， 由对称性可得，所以直线， 则，所以直线， 故，所以， 故， 则由题可得（*）， 又，所以， ，所以 所以不等式组（*）解得，因为， 函数在上均为增函数，所以， 故的取值范围是. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线方程的应用，涉及光线入射及反射问题，设关键的入射点坐标，利用直线方程的对称性、入射点及反射点的坐标关系，从而建立不等关系求解参数范围. 8．（2023-24高二上·广西玉林·期中）（多选）已知直线，直线，则（    ） A．当时，与的交点为 B．存在，使 C．若，则 D．直线恒过点 【答案】ACD 【详解】选项，当时，直线，直线， 联立，解得， 所以两直线的交点为，A选项正确； B选项，假设存在，使，则，解得或， 当，，，两直线重合，舍去， 当时，，即，，即，两直线重合，舍去， 所以不存在，使，B选项错误； C选项：若，则，解得，C选项正确； D选项，直线，即， 令，即，所以直线恒过点，D选项正确； 故选：ACD. 9．（2023-24高二上·重庆·阶段练习）（多选）下列四个命题中真命题有（    ） A．直线在轴上的截距为4. B．经过定点的直线都可以用方程表示. C．直线必过定点. D．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是1. 【答案】CD 【详解】A，直线在y轴的截距为，错误； B，当斜率不存在时，经过A的直线为，不能用表示，错误； C，将代入直线方程，得，可知其在直线上，正确； D，由于两直线平行，得，则， 两直线方程分别为和， 故两直线距离为，正确. 故选：CD. 10．（2023-24高二上·内蒙古包头·阶段练习）（多选）下列结论正确的是（   ） A．若、、三点共线，则的值为0 B．经过点，且在两坐标轴上的截距相反的直线方程为 C．已知两点、，过点的直线与线段有公共点，则的斜率的取值范围为 D．经过直线和直线的交点，且和原点相距为的直线一共有三条 【答案】AC 【详解】共线时，意味着直线重合，此时，即，解得，A选项正确； 当直线经过原点和时，方程为，在横纵坐标上截距都是，也互为相反数，符合题意，答案不完整，因此B选项错误； 如图，，于是结合图形可知，的取值范围为，C选项正确； 先求得和直线的交点为， 当直线斜率不存在时，，显然和原点距离是； 当斜率存在时，设，由原点到直线的距离是， 解得，即符合题意的直线有，，共两条，D选项错误. 故选：AC 11．（2023-24高二上·贵州贵阳·期中）已知两条平行直线：，：间的距离为，则 ． 【答案】或 【详解】因为，所以，解得， 则：，可化直线为: ， 所以与的距离为，解得或， 则或． 故答案为：或. 12．（202023-24高二上·安徽池州·期中）三条直线，，不能围成三角形，则的取值集合是 ． 【答案】 【解析】由题意可知直线与另外两条直线分别平行或三条直线交于一点，由此可求得实数的取值. 【详解】由于三条直线，，不能围成三角形， 则直线与另外两条直线分别平行或三条直线交于一点. （1）直线与直线平行，则，解得； （2）直线与直线平行，则，解得； （3）若三条直线交于一点，联立，解得， 所以直线，交于点， 由题意可知，点在直线上，可得，解得. 因此，实数的取值集合为. 故答案为：. 【点睛】由三线不能确定三角形问题的求解，除了考虑直线平行外，同时也不能忽略三线交于一点这种情况的讨论. 13．（2023-24高二下·上海·阶段练习）已知直线 (1)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (2)判断直线与直线的位置关系 (3)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 【答案】(1)； (2)当时，两直线平行，当时，两直线相交； (3)4， 【详解】（1）由直线不经过第四象限，又， 则，解得； （2）令，解得，此时直线，显然与平行； 当时，两直线相交， 综上，当时，两直线平行，当时，两直线相交； （3）直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面为， 由直线的方程可得与坐标轴的交点，， 则，解得：． ， 当且仅当，即时取等号． 的最小值为4，及此时直线的方程为：． 14．（2023-24高二上·浙江·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知直线过点. (1)若直线又过点，求直线的方程； (2)若直线与轴的正半轴，轴的正半轴分别交于，两点，求面积的最小值. 【答案】(1) (2)8 【详解】（1）因为过点，，所以斜率为， 所以：，即； （2）由题意可知直线的斜率存在且不为0， 设：， 代入得，得， 当且仅当时，等号成立， 所以，所以面积的最小值是8. 15．（2023-24高一上·上海嘉定·期中）设，直线，直线，记点P为与x轴的交点． (1)若直线与平行，且与的距离为，求m的值； (2)若直线经过点P，且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积为4，求的方程． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）因为直线，直线，直线与平行， 所以且， 因为与的距离为，所以，所以或. （2）直线，与x轴的交点， 因为直线经过点P，所以，即. 直线，令，则， 令，则， 因为直线与两坐标轴正半轴相交，所以， 由直线与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积为， 解得， 所以的方程为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$