复习08 通项公式及求和（十大考点）-2025年高二数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019）

2025年高二数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 复习08 通项公式及求和 考点01 累加法 【方法点拨】累加法：适用于，求 具体过程：两边分别相加得 例1．已知，，则通项公式 . 【答案】 【详解】因为，即， 故，，，，， 以上各式相加得. 又，所以，而也适合上式，故. 故答案为：. 例2．在数列中，，则等于（    ） A．4 B． C．13 D． 【答案】A 【详解】依题意，在数列中，， 即， 所以 ． 故选：A. 变式1-1．对于数列，定义数列为数列的“差数列”．若，数列的“差数列”是首项为，公比为的等比数列，则 ；数列的前项和 ． 【答案】 【详解】由题意， 则， 当时， ， 当时，上式也成立， 所以， 所以. 故答案为：；. 变式1-2．九连环是中国的一种古老智力游戏，它环环相扣，趣味无穷.长期以来，这个益智游戏是数学家及现代电子计算机专家用于数学研究的课堂和例子.现假设有个圆环，用表示某种规则下个圆环所需的最小移动次数.已知数列满足下列条件：，，记的前项和为，则 ； ． 【答案】 341 【详解】由题意可知，， 则当为奇数时，，，，……， ， 所以 ， 所以； 当为偶数时，，，，……， ， 所以 ， 所以， 所以 故答案为：341， 【点睛】关键点点睛：此题考查数列的通项公式和前项和的问题，考查等比数列的求和公式的应用，考查累加法、分组求和，解题的关键是分为奇数和偶数结合已知的递推式求出通项公式，考查分类讨论的思想、转化思想，考查数学计算能力，属于较难题. 变式1-3．已知数列满足，且，若，则正整数为 . 【答案】12 【详解】因为， 令，可得，即，解得 可得，则， 当时，可得， 且符合上式，所以， 又因为，即，故，解得. 故答案为：12. 考点02 累乘法 【方法点拨】累乘法：适用于，求 具体过程： ，两边分别相乘得 例3．数列中，，（为正整数），则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：A 例4．已知数列满足，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【详解】解：， ，∴ ∴，，∴，∴， 故选：A. 变式2-1．数列满足：，，则数列的通项 . 【答案】 【详解】解：因为，， 所以， 当 时，， 所以， ， ， 当时，，适合上式， 所以数列的通项， 故答案为： 变式2-2．已知数列，，，…，，…是首项为1，公比为2的等比数列，则下列数中是数列中的项的是（    ） A．16 B．128 C．32 D．64 【答案】D 【详解】， 当时，． 故选：D． 变式2-3．已知数列满足，.求数列的通项公式. 【答案】 【详解】由题意，,得， 当n=1时，， 当n≥2时，，于是 则，而满足上式. 所以. 考点03 待定系数法 【方法点拨】①形如且，化为的形式，令,即得为等比数列,从而求得数列的通项公式. ①形如且化为的形式，令,即得为等比数列,从而求得数列的通项公式. 例5．设数列满足，且，则数列的通项公式为 . 【答案】 【详解】. ，则数列是以3为首项，3为公比的等比数列. ，所以. 故答案为： 例6．已知数列的首项，且，则 . 【答案】2022 【详解】由，得，又， 所以数列是以4为公比、以4为首项的等比数列， 所以，得. 所以， 则. 故答案为：2022 变式3-1．在数列中，，且，则的通项公式为 ． 【答案】 【详解】因为，设，其中、， 整理可得， 所以，，解得，所以，， 且，所以，数列是首项为，公比也为的等比数列， 所以，，解得. 故答案为：. 变式3-2．（多选）在数列中，，（），前n项和为．则下列结论正确的是（    ） A． B．是等比数列 C．是等比数列 D．是递增数列 【答案】ACD 【详解】因为，可得，且， 可知数列是以首项为4，公比为2的等比数列， 可得，即， 则， 且在上单调递增，可知是递增数列，故ACD正确； 因为，显然，可知不是等比数列，故B错误； 故选：ACD. 变式3-3．已知：，时，，求的通项公式． 【答案】 【详解】设，所以， ∴ ，解得：， 又 ，∴ 是以3为首项， 为公比的等比数列， ∴ ，∴ ． 考点04 同除以指数 【方法点拨】①形如整式，两边同时除以 ②形如且，两边同除,得,令,得,转化为利用累加法求（若为常数,则为等差数列） 例7．已知数列满足，则数列的通项公式为 . 【答案】 【详解】因为， 所以， ∴数列是首项为，公差为的等差数列， ， 所以. 故答案为：. 变式4-1．已知数列中，，若，则正整数的值为 . 【答案】8 【详解】因为，可得， 因为，则，即，可得， 对任意的，所以，等式两边取倒数可得，则， 所以，数列为等差数列，且其首项为，公差为1， 所以，故， 由可得. 故答案为：8. 变式4-1．（多选）数列满足，若，则（    ） A． B． C．的前n项和为 D．的前n项和为 【答案】AC 【详解】因为，则， 可知数列是以首项，公差的等差数列， 可得，所以，故A正确，B错误； 设的前n项和为， 则， 可得， 两式相减得， 所以，故C正确，D错误； 故选：AC. 变式4-2．已知数列满足，，求数列的通项公式． 【答案】 【详解】解法一：因为， 设， 所以， 则，解得， 即， 则数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，即； 解法二：因为，两边同时除以得， 所以，， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则，所以. 变式4-3．已知数列满足，则数列的通项公式为 . 【答案】 【详解】解法一：设，整理得，可得， 即，且， 则数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，即； 解法二：(两边同除以) 两边同时除以得：， 整理得，且， 则数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，即； 解法三：(两边同除以)两边同时除以得：，即， 当时，则 ， 故， 显然当时，符合上式，故. 故答案为：. 考点05 取倒数法 【方法点拨】数列满足:,则有. 所以是以为首项,为公差的等差数列,即.(当分母出现加减时,我们很难将它进行化简运算,所以往往取倒数再运算才能找到突破点). 例9．已知数列满足，且． (1)求的通项公式； (2)设，且数列的前项和为，若，求的最大值． 【答案】(1) (2)3 【详解】（1）因为，所以， 故，又，则， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，解得， 所以数列的通项公式为； （2）由（1）知，则， 所以 ， 因为 恒成立， 所以是单调递增数列， 且，， 故使得的的最大值为3. 例10．已知数列满足，，若成立，则的最大值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【详解】因为数列满足，，可得， 可得数列是首项为3，公差为1的等差数列， 则，即， 则， 可得 ， 因为，可得，解得， 即所求的最大值为6. 故选：B. 变式5-1．若数列满足递推关系式，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 所以，又，所以， 故数列是以为首项，以为公差的等差数列， 则，得， 所以. 故选：A 变式5-2．已知数列满足，且，求数列的通项公式. 【答案】 【详解】因为，且，可知， 则，可得， 且， 可知数列是首项为2，公比为4的等比数列， 可得，所以. 变式5-3．（多选）已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【详解】在等式两边取到数，推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，即可求得数列的通项公式，进而可求得数列的通项公式. 【详解】因为， 当时，，解得； 当时，，则， 整理得，则， 所以是以1为首项，3为公比的等比数列，故A错误， 则数列是递增数列，故B正确， 且，，故CD正确. 故选：BCD. 考点06 已知an与sn关系求通项 【方法点拨】用消的3个步骤：①先利用求出;②用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式;③注意检验时的表达式是否可以与的表达式合并. 例12．（多选）数列满足，记数列的前项和为，则（   ） A． B． C．数列的前项和为 D．的最小值为 【答案】AD 【详解】对于A，由，得①， 当时，；当时，②， 由①－②，得，解得， 当时也成立，所以，故A正确； 对于B， ，故B错误； 对于C，数列的前项和为，故C错误； 对于D，因为，当时，，当时，，且， 故当或9时，的前项和取最小值，最小值为，故D正确. 故选：AD. 变式6-1．已知为数列的前项和，且. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以当时，， 当时，，不满足上式， 所以. （2）由（1）知所以. 所以当时，， 又， 所以不是等差数列，但去掉首项后成等差数列， 所以当时，， 当时，，符合上式，所以. 变式6-2．已知等比数列的前项和为，且.求的通项公式； 【答案】 【详解】在等比数列中，，当时，， 则，即，因此等比数列的公比为， 而，解得， 所以的通项公式是. 变式6-3．（多选）数列的前项和为，若，则有（    ） A． B．为等比数列 C． D． 【答案】AD 【详解】 ，即， 又， 是首项为1，公比为的等比数列， ，故A正确； 又当时， 当时，不符合上式， ，故BC错误； 当时，，故D正确. 故选：AD. 考点07 错位相减法 【方法点拨】如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前项和可用错位相减法求解． 错位相减法求和时，应注意：①在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“”的表达式． 例13．已知递增等比数列的前项和为，，，数列的前项和为，且，是公差为1的等差数列． (1)求数列和的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1)，； (2) 【详解】（1）由题意可设的公比为，又，且为递增的等比数列，可得； 由可得，解得或（舍）； 因此； 易知是首项为，公差为1的等差数列， 所以，即； 可得； 两式相减可得，即，所以； 累乘可得，即； 又当时，满足，可得的通项公式为； 所以可得数列和的通项公式为，； （2）易知， 所以 可得， 两式相减可得 ； 所以. 例14．已知等比数列的公比，，是，的等差中项.等差数列满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）依题有， 因为，解得：，，. 数列是等差数列，设其公差为，， 解得：，. （2）数列的前项和记为，则， 因为， 所以， ， 两式相减有 ， 所以. 变式7-1．若数列的前项和为，且，等差数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）因为①， 所以②，， ①②得，又 所以，故数列是以为公比，首项为的等比数列， ， ， 等差数列的公差为. （2）由（1）可得， ， 两式相减得， 变式7-2．已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，得， 所以， 又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 当时，， 当时，上式不成立， 所以； （2）由（1）得， 则， 即， ， 两式相减得， 所以. 变式7-3．已知数列满足，数列的前项和满足. (1)求的通项公式： (2)设，求数列的前项和 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由有：, 所以数列是以2为公比，首项为的等比数列， 所以，即 因为，当时，. 当时，由有：， 所以，，即 所以 所以 （2）由（1）知， 所以——①， ——②， 由①-②得： 所以 考点08 分组求和与并项求和法 【方法点拨】①适用于的形式,其中数列是等差数列或等比数列 ②适用于的形式； ③一个数列的前项和，可两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解. 例15．已知是公比大于1的等比数列，，且成等差数列. (1)求的通项公式； (2)若是等差数列，且.设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等比数列公比为，因成等差数列， 则. 则； （2）设公差为d，因， 则，得. 则，故 . 例16．已知数列首项为2，且满足，数列满足，且数列前项和为，则（    ） A．5050 B．200 C．100 D． 【答案】C 【详解】由可得， 所以， 即数列为常数列，所以，所以， 则， 所以， 所以. 故选：C. 变式8-1．设为数列的前项和，满足． (1)求证：； (2)记，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为数列的前项和，满足， 当时，可得， 两式相减得，即，所以； 当时，，解得； 所以数列构成首项为，公比为的等比数列，所以的图象公式为． （2）由（1）知，可得， 所以， 则 ． 变式8-2．已知数列的前项和，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，； 当时，. 也满足，故数列的通项公式为. （2）由（1）知，故，记数列的前项和为， 则. 记， 则， . 故数列的前项和. 变式8-3．已知数列的前n项和为，， (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：因为， 所以当，时，， 即 又时，， 所以数列为首项为1，公比为3的等比数列． （2）由（1）知，所以， 又由，可得， 所以 考点09 裂项相消法 【方法点拨】把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 常见的裂项公式： （1）；（2）； （3）；（4）； （5）；（6） 例17．已知公差不为零的等差数列的前项和为，若，且成等比数列. (1)求数列的通项公式： (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据为等差数列，设公差为 由已知，即①， 由成等比数列，②， 由①②解得，数列的通项公式为. （2）由（1）得，所以 由， . 所以， 例18．设等差数列的前n项和，若，，则数列前99项和为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【详解】依题意，，所以，因为，由， 易知， 所以 所以数列的前99项和为， 故选：C. 变式9-1．在数列中，，. (1)求证：数列是等差数列； (2)设数列的前项和为，若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由，可得， 即，所以， 又，所以是以2为首项，2为公差的等差数列， 则. （2）， ， 因为，所以，所以， 又恒成立，即恒成立，，即. 所以的取值范围为. 变式9-2．已知数列满足对任意正整数恒有，且，，则的前30项的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得， 令，，得，可得， 所以，得， 所以是首项为2，公比为2的等比数列， 故，，所以， 所以的前30项的和为. 故选：D. 变式9-3．已知数列的前项和为，，则数列的前项和 . 【答案】 【详解】由， 当时，，所以， 当时，， 即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以， 所以. 故答案为：. 考点10 倒序相加法 【方法点拨】如果一个数列的前项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 例19．已知函数，数列满足，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数对任意都有， 数列满足① 又② ①②得：， 得. 故选：B. 例20．若，已知数列中，首项，，，则 . 【答案】158 【详解】因为，， 所以， 所以，整理得，， 即是常数数列，又，所以，即. 因为， 所以， 所以， 又，所以，， 所以， 即， 所以， 所以. 故答案为：158. 变式10-1．已知函数是上奇函数，若数列的项满足：（）.则数列的通项公式为： . 【答案】 【详解】因为函数是上奇函数，所以 ， 所以， ， 两式相加得：， 即. 故答案为： 变式10-2．已知数列满足：，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由数列满足：， 当时，可得， 两式相减，可得，所以， 当，可得，所以，适合上式， 所以数列的通项公式为. （2）由数列满足， 则. （3）由（2）知， 可得， 则， 两式相加可得，所以. 变式10-3．已知数列满足，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)求数列的前99项的和的值． 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）由 ① 得 ② ①－②得：， 在①式中令得，合适上式，所以对任意的正整数n都有： （2）， 两式相减得： 整理得： （3）， 所以 所以，为定值，则 且，两式相加得，因此 1．（2023-24高二上·天津滨海新·期末）等比数列的前项和为，则数列的公比为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【详解】由于为等比数列，且前项和， 故，故公比， 故选：D. 2．（2023-24高三上·河北承德·阶段练习）已知数列满足，则数列的前30项和（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】把代入整理得：， 故. 故选：D. 3．（2023-24高三上·四川内江·阶段练习）若数列的前项和为，且，则（    ） A．342 B．341 C．170 D．172 【答案】C 【详解】根据题意有； 所以. 故选：C 4．（2024·贵州贵阳·三模）设数列的前项之积为，满足，则（    ） A． B．4049 C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 所以，所以，所以是公差为的等差数列， 因为，所以， 所以，所以， 故选：C. 5．（2023-24高二上·河南驻马店·阶段练习）已知首项为0的数列满足，若，则（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【详解】因为，故由累加法， 得 ， 又因为，所以， 由题意可知， 故，解得（负值舍去）. 故选：D. 6．（2024-2025学年高三上学期TOP二十名校调研考试三数学试题）已知等差数列满足，前8项和；公比为正数的等比数列满足，，设，为数列的前项和，则当时，的最大值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【详解】设的公差为，由得， 解得，所以. 设的公比为，由，得， 解得（舍）或，所以. 因为，所以， 则， 因为对任意的，，所以数列单调递增， 又因为，， 所以当时，，故的最大值是8. 故选：D. 7．（2023-24高二下·安徽亳州·期末）已知数列的前项和为，且，则下列结论中正确的是（    ） A． B．是等比数列 C． D．是递增数列 【答案】ACD 【详解】对于A，由得， ，所以．A正确； 对于B，将与整体相减得，， 所以， 又，即， 所以． 因此不是等比数列，B错误； 对于C,因为， 所以当时，． 当时，． 当时，，因此,C正确； 对于D，因为， 所以， 所以， 因此是递增数列，D正确； 故选:ACD． 8．（2023-24高二上·天津滨海新·阶段练习）已知数列满足，关于数列有下述四个结论：其中正确的是（    ） A．数列为等比数列 B． C． D．若为数列的前项和，则 【答案】ACD 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 所以数列为公比为3的等比数列,所以A正确; 又因为， 所以， 因为， 所以， 所以,故C正确； 由累加法得,所以B错误； 由分组求和得, 所以D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛： 递推关系的解法：理解递推数列的性质，并通过累加法求解通项公式. 等比数列的性质：通过分析递推关系得出等比数列的公比和性质. 分组求和技巧：利用分组求和技巧计算前项和. 9．（2023-24高二下·江西抚州·阶段练习）数列满足，则 . 【答案】 【详解】因为， 当时， 当时， 所以， 所以， 当时不成立，所以. 故答案为： 10．（2022-23高二上·天津·阶段练习）已知数列是等差数列，记，分别为，的前n项和，若，，则 . 【答案】 【详解】设等差数列的公差为．由，得①， 由得②， 联立①②，，解得， 所以． 则， 所以 ． 故答案为：. 11．（2023-24高三上·吉林长春·期末）已知数列的前n项和满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)记，为的前n项和，求使成立的n的最小值． 【答案】(1) (2)5 【详解】（1））由，得数列是公差为1的等差数列， 又，，． 当时，， 又也满足上式， （2）由（1）知，， ． 由得，得， ， ∴n的最小值为5． 12．（2024高二·全国·专题练习）记为数列的前项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)若，求整数的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）已知，， ， 是以为首项、为公比的等比数列， ． （2）由（1）可知，， ， ， ； 由，可得， 为整数， 的最小值为2026． 13．（2023-24高三上·辽宁沈阳·阶段练习）记为等比数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设求数列的前20项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意有：当时， 所以，所以等比数列的公比. 当时，由 有，，解得 所以 所以 （2）由题意得，当为奇数时，， 当偶数时，， 所以 所以 14．（2023-24高二上·江苏南京·阶段练习）设等差数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意，设等差数列的首项为，公差为， 由题意，得，解得． 所以． （2）由（1）得，所以①， 当时，，即， 所以时，②， ①②得，所以，又也适合，所以，， 利用错位相减法，则 ， 上面两式相减得：， 则， 即. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年高二数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 复习08 通项公式及求和 考点01 累加法 【方法点拨】累加法：适用于，求 具体过程：两边分别相加得 例1．已知，，则通项公式 . 例2．在数列中，，则等于（    ） A．4 B． C．13 D． 变式1-1．对于数列，定义数列为数列的“差数列”．若，数列的“差数列”是首项为，公比为的等比数列，则 ；数列的前项和 ． 变式1-2．九连环是中国的一种古老智力游戏，它环环相扣，趣味无穷.长期以来，这个益智游戏是数学家及现代电子计算机专家用于数学研究的课堂和例子.现假设有个圆环，用表示某种规则下个圆环所需的最小移动次数.已知数列满足下列条件：，，记的前项和为，则 ； ． 变式1-3．已知数列满足，且，若，则正整数为 . 考点02 累乘法 【方法点拨】累乘法：适用于，求 具体过程： ，两边分别相乘得 例3．数列中，，（为正整数），则的值为（    ） A． B． C． D． 例4．已知数列满足，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 变式2-1．数列满足：，，则数列的通项 . 变式2-2．已知数列，，，…，，…是首项为1，公比为2的等比数列，则下列数中是数列中的项的是（    ） A．16 B．128 C．32 D．64 变式2-3．已知数列满足，.求数列的通项公式. 考点03 待定系数法 【方法点拨】①形如且，化为的形式，令,即得为等比数列,从而求得数列的通项公式. ①形如且化为的形式，令,即得为等比数列,从而求得数列的通项公式. 例5．设数列满足，且，则数列的通项公式为 . 例6．已知数列的首项，且，则 . 变式3-1．在数列中，，且，则的通项公式为 ． 变式3-2．（多选）在数列中，，（），前n项和为．则下列结论正确的是（    ） A． B．是等比数列 C．是等比数列 D．是递增数列 变式3-3．已知：，时，，求的通项公式． 考点04 同除以指数 【方法点拨】①形如整式，两边同时除以 ②形如且，两边同除,得,令,得,转化为利用累加法求（若为常数,则为等差数列） 例7．已知数列满足，则数列的通项公式为 . 变式4-1．已知数列中，，若，则正整数的值为 . 变式4-1．（多选）数列满足，若，则（    ） A． B． C．的前n项和为 D．的前n项和为 变式4-2．已知数列满足，，求数列的通项公式． 变式4-3．已知数列满足，则数列的通项公式为 . 考点05 取倒数法 【方法点拨】数列满足:,则有. 所以是以为首项,为公差的等差数列,即.(当分母出现加减时,我们很难将它进行化简运算,所以往往取倒数再运算才能找到突破点). 例9．已知数列满足，且． (1)求的通项公式； (2)设，且数列的前项和为，若，求的最大值． 例10．已知数列满足，，若成立，则的最大值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 变式5-1．若数列满足递推关系式，且，则（    ） A． B． C． D． 变式5-2．已知数列满足，且，求数列的通项公式. 变式5-3．（多选）已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ． 考点06 已知an与sn关系求通项 【方法点拨】用消的3个步骤：①先利用求出;②用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式;③注意检验时的表达式是否可以与的表达式合并. 例12．（多选）数列满足，记数列的前项和为，则（   ） A． B． C．数列的前项和为 D．的最小值为 变式6-1．已知为数列的前项和，且. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 变式6-2．已知等比数列的前项和为，且.求的通项公式； 变式6-3．（多选）数列的前项和为，若，则有（    ） A． B．为等比数列 C． D． 考点07 错位相减法 【方法点拨】如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前项和可用错位相减法求解． 错位相减法求和时，应注意：①在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“”的表达式． 例13．已知递增等比数列的前项和为，，，数列的前项和为，且，是公差为1的等差数列． (1)求数列和的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 例14．已知等比数列的公比，，是，的等差中项.等差数列满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)，求数列的前n项和. 变式7-1．若数列的前项和为，且，等差数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 变式7-2．已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 变式7-3．已知数列满足，数列的前项和满足. (1)求的通项公式： (2)设，求数列的前项和 考点08 分组求和与并项求和法 【方法点拨】①适用于的形式,其中数列是等差数列或等比数列 ②适用于的形式； ③一个数列的前项和，可两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解. 例15．已知是公比大于1的等比数列，，且成等差数列. (1)求的通项公式； (2)若是等差数列，且.设，求数列的前项和. 例16．已知数列首项为2，且满足，数列满足，且数列前项和为，则（    ） A．5050 B．200 C．100 D． 变式8-1．设为数列的前项和，满足． (1)求证：； (2)记，求． 变式8-2．已知数列的前项和，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 变式8-3．已知数列的前n项和为，， (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和. 考点09 裂项相消法 【方法点拨】把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 常见的裂项公式： （1）；（2）； （3）；（4）； （5）；（6） 例17．已知公差不为零的等差数列的前项和为，若，且成等比数列. (1)求数列的通项公式： (2)若，求数列的前项和. 例18．设等差数列的前n项和，若，，则数列前99项和为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 变式9-1．在数列中，，. (1)求证：数列是等差数列； (2)设数列的前项和为，若恒成立，求的取值范围. 变式9-2．已知数列满足对任意正整数恒有，且，，则的前30项的和为（    ） A． B． C． D． 变式9-3．已知数列的前项和为，，则数列的前项和 . 考点10 倒序相加法 【方法点拨】如果一个数列的前项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 例19．已知函数，数列满足，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 例20．若，已知数列中，首项，，，则 . 变式10-1．已知函数是上奇函数，若数列的项满足：（）.则数列的通项公式为： . 变式10-2．已知数列满足：，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求的值； (3)求的值. 变式10-3．已知数列满足，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)求数列的前99项的和的值． 1．（2023-24高二上·天津滨海新·期末）等比数列的前项和为，则数列的公比为（    ） A． B． C．2 D．3 2．（2023-24高三上·河北承德·阶段练习）已知数列满足，则数列的前30项和（    ） A． B． C． D． 3．（2023-24高三上·四川内江·阶段练习）若数列的前项和为，且，则（    ） A．342 B．341 C．170 D．172 4．（2024·贵州贵阳·三模）设数列的前项之积为，满足，则（    ） A． B．4049 C． D． 5．（2023-24高二上·河南驻马店·阶段练习）已知首项为0的数列满足，若，则（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 6．（2024-2025学年高三上学期TOP二十名校调研考试三数学试题）已知等差数列满足，前8项和；公比为正数的等比数列满足，，设，为数列的前项和，则当时，的最大值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．（2023-24高二下·安徽亳州·期末）已知数列的前项和为，且，则下列结论中正确的是（    ） A． B．是等比数列 C． D．是递增数列 8．（2023-24高二上·天津滨海新·阶段练习）已知数列满足，关于数列有下述四个结论：其中正确的是（    ） A．数列为等比数列 B． C． D．若为数列的前项和，则 9．（2023-24高二下·江西抚州·阶段练习）数列满足，则 . 10．（2022-23高二上·天津·阶段练习）已知数列是等差数列，记，分别为，的前n项和，若，，则 . 11．（2023-24高三上·吉林长春·期末）已知数列的前n项和满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)记，为的前n项和，求使成立的n的最小值． 12．（2024高二·全国·专题练习）记为数列的前项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)若，求整数的最小值． 13．（2023-24高三上·辽宁沈阳·阶段练习）记为等比数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设求数列的前20项和． 14．（2023-24高二上·江苏南京·阶段练习）设等差数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$