复习06 直线与圆锥曲线的压轴大题（十大考点）-2025年高二数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019）

2025年高二数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 复习06 直线与圆锥曲线的压轴大题 考点01 面积问题 例1．经过椭圆左焦点的直线与圆相交于，两点，是线段与的公共点，且． （1）求； （2）与的交点为，，且恰为线段的中点，求的面积． 例2．已知双曲线的左､右焦点分别为，且焦距为4，左顶点为，过右焦点的动直线交双曲线于两点，当直线垂直于轴时，. (1)求双曲线的方程； (2)若动直线与双曲线的左支交于点，右支交于点，求的取值范围. 变式1-1．已知抛物线：的焦点为椭圆：的一个焦点，且的短轴长为4. (1)求的方程； (2)过点且倾斜角为的直线与交于，两点，线段AB的中垂线与轴交于点，求的面积. 变式1-2．）已知椭圆经过，两点． (1)求椭圆的方程； (2)斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，且点不在上，，过点作轴的垂线，交直线于点，与椭圆的另一个交点为，记的面积为，的面积为，求． 变式1-3．已知抛物线上一点，过点作圆的两条切线，与抛物线分别交于、两点． (1)当时，求的面积； (2)证明：直线过定点． 考点02 斜率之和、积、差、商问题 例3．如图，已知圆的半径为，，是圆上的一个动点，的中垂线交于点，以直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，    (1)求点的轨迹的方程； (2)若过点的直线与轨迹交于点，， （i）若三角形的面积为，求直线的方程； （ii）探究轴上是否存在一点，使得直线，的斜率之积为定值．若存在，求出点的坐标和定值，若不存在，请说明理由． 例4．已知椭圆的离心率为，且过点，点与点关于原点对称，过点作直线与交于两点（异于点），设直线直线与的斜率分别为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线的斜率为，求的面积； (3)求的值. 变式2-1．已知椭圆的左顶点为，上顶点为，且焦距为. (1)求椭圆的方程和离心率； (2)过点且斜率不为零的直线交椭圆于两点，设直线的斜率分别为，若，求的值. 变式2-2．已知点P在椭圆上，过点P作直线l与椭圆C交于点Q，过点P作关于坐标原点O的对称点，的最小值为，当直线l的斜率为0时，存在第一象限内的一点P使得． (1)求椭圆C的方程； (2)设直线l的斜率为k（k≠0），直线的斜率为，求的值． 变式2-3．知椭圆分别为椭圆的左顶点和上顶点，为右焦点.过的直线与椭圆交于的最小值为，且椭圆上的点到的最小距离为. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知椭圆的右顶点为是椭圆上的动点（不与顶点重合）.若直线与直线交于点，直线与轴交于点.记直线的斜率为，直线的斜率为，求的最小值. 考点03 定值问题 【方法点拨】求定值问题常见的思路和方法技巧：1.从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；2.直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 例5．已知过点的直线与椭圆交于两点．当直线垂直于轴时，． (1)求的方程． (2)探究是否存在实数，使得为定值．若存在，求出该定值；若不存在，说明理由． 例6．现有一双曲线，和分别为的左焦点和右焦点，是双曲线上一动点，的最大值为3． (1)求双曲线的标准方程； (2)过的直线交双曲线左支于A，B两点（点在点上方），判断是否是定值，并给出理由； (3)在（2）的条件下，过点作平行于的直线交双曲线右支于C，D两点（点在点上方），与相交于点，求证：为定值． 变式3-1．已知过点的直线与双曲线的左，右两支分别交于，两点. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)设点，过点且与直线垂直的直线，与双曲线交于，两点.当直线变化时，恒为一定值，求点的轨迹方程. 变式3-2．已知抛物线的准线与轴的交点为 . (1)求的方程，若经点的直线与有且只有一个公共点时，求直线的方程. (2)若过点的直线与抛物线交于，两点.求证： 为定值. 变式3-3．已知椭圆的焦距为4，点在上，直线与交于，两点. (1)求的方程. (2)若，求的最大值. (3)若点与重合，过作斜率与互为相反数的直线，与的另一个交点为，试问直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 考点04 直线过定点问题 【方法点拨】一、引进参数法，引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点； 二、特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 例7．已知椭圆的离心率为，右顶点为． (1)求椭圆的方程； (2)过原点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点．已知点，直线与椭圆的另一个交点分别为．证明：直线过定点． 例8．已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且. (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线交于两点，设直线的斜率分别为，且，求证：直线过定点. 变式4-1．已知（），若点到点的距离和它到轴的距离之比为常数，记点的轨迹为曲线. (1)若，，求曲线的方程； (2)若，试根据的不同取值，讨论曲线的形状； (3)若，，过点且不与轴垂直的直线与交于，两点，若点关于轴的对称点为点，求证：直线恒过定点. 变式4-2．已知，，M是圆O：上任意一点，关于点M的对称点为N，线段的垂直平分线与直线相交于点T，记点T的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)设（）为曲线C上一点，不与x轴垂直的直线l与曲线C交于G，H两点（异于E点）.若直线GE，HE的斜率之积为2，求证：直线l过定点. 变式4-3．已知椭圆与抛物线有相同的焦点，为椭圆上一点，分别为椭圆的左、右焦点，且的面积的最大值为，过点做斜率之和为3的两条直线和与椭圆交于两点，与椭圆交于两点，线段的中点分别为. (1)求的标准方程； (2)直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请给出理由. 考点05 圆过定点问题 【方法点拨】圆过定点，因为通过推导求出定点难度较大，故常见做法有：1.利用以“某线段为直径”，转化为向量垂直计算；2.利用对称性，可以猜想出定点，并证明 例9．已知椭圆的左右焦点为，点为椭圆上异于左右顶点的任意一点，的周长为6，椭圆的离心率为. (1)求该椭圆的方程； (2)已知定点，过点且斜率不为0的直线交椭圆于两点（与点不重合），延长分别与直线交于两点. （i）当直线斜率不存在时，求的面积； （ii）证明：以线段为直径的圆与轴的交点为定点. 例10．已知双曲线，其左顶点，离心率. (1)求双曲线方程及渐近线方程； (2)过右焦点的直线与双曲线右支交于两点，与渐近线分别交于点，直线分别与直线交于. （i）求的取值范围； （ii）求证：以为直径的圆过定点，并求出该定点. 变式5-1．已知抛物线的焦点F到其准线的距离为2. (1)求p的值； (2)直线与抛物线C交于A，B两点，以为直径的圆经过坐标原点，求实数a的值. 变式5-2．已知椭圆：，A点为椭圆短轴的上端点，P点为椭圆上异于A点的任一点，若P点到A点距离的最大值仅在P点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知，椭圆的离心率 (1)求椭圆的标准方程； (2)试判断椭圆是否是“圆椭圆”?并证明你的结论； (3)Q点为P点关于原点O的对称点，Q点也异于A点，直线AP、AQ分别与x轴交于M、N两点，试问以线段MN为直径的圆是否过定点?证明你的结论． 变式5-3．已知双曲线：的右顶点为，实轴长为4，过双曲线的左焦点作直线，当直线与轴垂直时，直线与双曲线的两个交点分别为，，此时为等腰直角三角形． (1)求双曲线的方程； (2)当直线与双曲线的渐近线平行时，求直线与双曲线的交点坐标； (3)当直线与双曲线的左支交于，两点时，直线，分别交直线于，两点，在轴上是否存在定点，使得点始终在以线段为直径的圆上？若存在，求出点坐标，否则，请说明理由． 考点06 三点共线问题 【方法点拨】可利用向量共线或者斜率相等进行证明 例11．已知椭圆的上、下顶点分别为，其右焦点为F，且． (1)求椭圆C的方程； (2)若点，在直线BP上存在两个不同的点满足．若直线与直线分别交C于点M，N（异于点A），证明：P，M，N三点共线． 例12．在平面直角坐标系中，点P到点的距离比点P到直线的距离小2，记动点P的轨迹为W． (1)求W的方程； (2)已知A，B是W上不同的两点，，若A，B，C三点共线，求的值． 变式6-1．已知椭圆的右顶点和下顶点，过其右焦点的直线交椭圆于B，D两点． (1)求的值； (2)若的角平分线交直线于点，证明：E，A，B三点共线． 变式6-2．已知双曲线的左右焦点分别为，，左右顶点分别为M，N，且经过点. (1)求双曲线C的方程； (2)设过点直线l交双曲线C于P，Q两点，求直线l的斜率的取值范围； (3)动点A在圆上，动点B在双曲线C上，设直线MA，MB的斜率分别为，，若N，A，B三点共线，试探索，之间的关系. 变式6-3．已知双曲线 的左、右顶点分别为 与 ，点 在 上，且直线 与 的斜率之和为 . (1)求双曲线 的方程; (2)过点的直线与 交于 两点(均异于点 )，直线 与直线 交于点，求证: 三点共线. 考点07 中点弦问题 【方法点拨】（1）是椭圆的一条弦，中点，则的斜率为， 运用点差法求的斜率；设，，，都在椭圆上， 所以，两式相减得，所以 即，故 （2）运用类似的方法可以推出；若是双曲线的弦，中点，则；若曲线是抛物线，则． 例13．已知椭圆经过点且离心率为，设直线与椭圆相交于两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线的斜率为1，求线段中点的轨迹方程； 例14．已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，其渐近线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)若双曲线的一弦中点为，求此弦所在的直线方程． 变式7-1．已知O为坐标原点，抛物线的焦点为，点在C上，且 (1)求C的标准方程； (2)已知直线l交于两点，且的中点为，求直线l的方程. 变式7-2．设圆与两圆中的一个内切，另一个外切. (1)求圆心的轨迹的方程； (2)已知直线与轨迹交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求实数的值. 变式7-3．已知椭圆的左焦点为F，离心率为，且C经过点. (1)求C的方程； (2)已知是椭圆内一点，过点M任做一条直线与椭圆交于两点，求以M为中点的弦所在的直线方程. 考点08 四点共圆问题 【方法点拨】证明四点共圆的常见方法：①把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，则可肯定这四点共圆 ②把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其中一个外角等于其内对角时，则可肯定这四点共圆 例15．已知双曲线的左、右焦点为，直线与双曲线相交于，且．双曲线上任意一点到的距离与到的距离的比为．    (1)求双曲线的标准方程； (2)斜率存在且不为0的直线与双曲线相切． ①若与相交于点，与相交于点证明：为定值； ②若与直线和分别相交于，证明：四点共圆． 例16．已知椭圆，C的上顶点为B，左、右顶点分别为、，左焦点为，离心率为．过作垂直于轴的直线与交于，两点，且． (1)求的方程； (2)若，是上任意两点， ①若点，点N位于轴下方，直线交轴于点G，设和的面积分别为，若，求线段的长度； ②若直线与坐标轴不垂直，H为线段的中点，直线OH与C交于P，Q两点，已知P，Q，M，N四点共圆，求的最大值． 变式8-1．如图，，分别为椭圆的左、右顶点，为第一象限上一点，且，过点的直线与有唯一的公共点. (1)求的方程； (2)过原点作直线的平行线与椭圆C交于M，N两点，证明：P，M，，N四点共圆，并求该圆的标准方程. 变式8-2．已知双曲线，过的直线与双曲线的右支交于两点. (1)若，求直线的方程， (2)设过点且垂直于直线的直线与双曲线交于两点，其中在双曲线的右支上.     （i）设和的面积分别为，求的取值范围； （ii）若关于原点对称的点为，证明：为的垂心，且四点共圆. 变式8-3．已知抛物线，过点的直线与抛物线交于两点，设抛物线在点处的切线分别为和，已知与轴交于点与轴交于点，设与的交点为. (1)证明：点在定直线上； (2)若面积为，求点的坐标； (3)若四点共圆，求点的坐标. 考点09 切线问题 【方法点拨】1.设切线方程为与椭圆方程联立，由进行求解； 2.椭圆（双曲线）在其上一点的切线方程为，再应用此方程时，首先应证明直线与椭圆（双曲线）相切. 例17．给出如下的定义和定理：定义：若直线l与抛物线有且仅有一个公共点P，且l与的对称轴不平行，则称直线l为抛物线的切线，公共点P称为切点.定理：过抛物线上一点处的切线方程为.运用上述材料解决以下问题.已知过抛物线的焦点F的直线l与C相交于A，B两点，过A，B两点分别作C的切线，两切线交点为M. (1)当线段AB中点的纵坐标为时，求直线l的斜率； (2)求的值； (3)若点D与点F关于原点对称，过点D作直线与C相交于不同的两点P，Q，分别过P，Q作C的切线，两切线相交于点R，问：是否存在直线，使得与的面积相等？若存在，求出的方程；若不存在，试说明理由. 例18．已知第一象限的点在双曲线上，过作圆的两条切线，切点分别为，，直线过点，过作斜率为的直线，与交于点，. (1)求点的坐标； (2)若，求的值. 变式9-1．已知直线l是过椭圆上一点的切线. (1)已知椭圆C的切线l过，求切线l的方程; (2)求两焦点，到直线l的距离之积; (3)若圆心在原点的圆与直线l也相切，且与椭圆C相交于点Q，若P，Q都在第一象限，求面积的最大值. 变式9-2．已知双曲线的实轴长为4，离心率. (1)求的方程； (2)过上任意一点作圆的切线，求切线斜率最大时，与的渐近线围成的三角形面积. 变式9-3．已知双曲线：的离心率为，其左､右焦点分别为，，过焦点且与轴垂直的直线交于，两点，且. (1)求的方程； (2)已知在上一点处的切线方程为.过点分别作的左､右两支的切线，切点分别为，，连接，过线段的中点再分别作的左､右两支的切线，切点分别为，，判断点与直线的位置关系，并说明理由. 考点10 求参数范围及最值 【方法点拨】利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、均值不等式方法等进行求解 例19．已知椭圆：的左、右焦点分别为点和，点在上且轴． (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于不同的两点、，若的面积为，，（为坐标原点），求的最大值． 例20．已知双曲线的离心率，左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，与轴交于点，且，. (1)求双曲线的方程； (2)过右焦点且倾斜角为的直线交双曲线于，两点，若的中点为，为坐标原点，直线交直线于点，求的最小值. 变式10-1．已知焦点为的抛物线上存在不同的两点，（异于原点）． (1)若且，求直线的方程； (2)若，求线段的最小值； (3)若点A，，三点共线，求的取值范围． 变式10-2．已知圆：. (1)若直线平分圆，求的最小值； (2)顶点在原点，焦点在轴上的抛物线的准线与圆相切，为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，点，求的最大值. 变式10-3．已知双曲线的焦距为且左右顶点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)记直线的斜率分别为，证明：是定值； (3)设为直线和的交点，记，的面积分别为，，求的最小值． 1．（2024-25高二上·广西·期末）已知椭圆的离心率是，且点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上的动点，是的内心，求的最大值. 2．（2024-25高三上·重庆·期末）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)设直线与双曲线、圆相切，切点分别为，与渐近线相交于.两点. （i）证明：为定值； （ii）若，求直线的方程. 3．（2023·上海松江·一模）已知椭圆的长轴长为，离心率为，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线的方程为：，椭圆上点关于直线的对称点（与不重合）在椭圆上，求的值； (3)设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，若点和点三点共线，求的值. 4．（2024-25高二上·四川德阳·期末）已知抛物线）的焦点为，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程． (2)已知过点的直线交抛物线于、两点，的面积为，求直线的方程． 5．（2024-25高三上·天津滨海新·期末）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)已知直线与椭交于两点，点的坐标为，且，求实数的值． 6．（2024-25高二上·山东·阶段练习）已知，分别为椭圆的上、下焦点，是椭圆的一个顶点，是椭圆C上的动点，，，三点不共线，当的面积最大时，其为等边三角形． (1)求椭圆的标准方程； (2)若为的中点，为坐标原点，直线交直线于点，过点作交直线于点，证明：． 7．（2024-25高二下·上海·期末）双曲线的左、右焦点分别为、，直线l过且与双曲线交于A、B两点． (1)若双曲线的离心率为2；求b的值； (2)若l的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； (3)设，若l的斜率存在，且，求l的斜率． 8．（2023-24高二下·安徽六安·期末）过抛物线焦点的直线交于两点，特别地，当直线的倾斜角为时，. (1)求抛物线的方程； (2)已知点，若，求的面积（为坐标原点）. 9．（2023-24高二下·上海·期末）已知椭圆. (1)若椭圆的左右焦点分别为为的上顶点，求的周长； (2)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围. 10．（2023-24高二下·四川达州·期末）已知点为抛物线的焦点，过的直线交于点，．当的斜率为1时，． (1)求的方程； (2)已知圆． （i）若直线与，都相切，求的方程； （ii）点是上的动点，点是轴上的动点，若四边形为菱形，求所有满足条件的点的纵坐标之和． 11．（2023-24高二下·河南·期末）已知椭圆的右焦点为，离心率为，过的直线交于两点，为坐标原点，当时，． (1)求的方程； (2)过的另一条直线交于两点，设直线的斜率为，直线的斜率为，若，求的最大值． 12．（2024-25高三上·河北保定·期末）已知椭圆过点，其离心率，点为椭圆的上顶点，过点的两条直线与椭圆分别交于两点，与直线分别交于两点，的重心为点. (1)求椭圆的方程； (2)求弦长的最大值； (3)已知点，若，其中且，证明：当在变化时，重心在一条定直线上，并求出这条定直线方程. 13．（2024-25高三上·广东汕头·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，直线与交于两点（点在轴上方），的面积是面积的2倍. (1)求直线的方程； (2)求. 14．（2024-25高三上·上海松江·期末）如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是一个椭圆的长轴和短轴，则称它们为“共轴”曲线．若双曲线与椭圆是“共轴”曲线，且椭圆，（、分别为曲线、的离心率）．已知点，点为双曲线上任意一点． (1)求双曲线的方程； (2)延长线段到点，且，若点Q在椭圆上，试求点P的坐标； (3)若点P在双曲线的右支上，点A、B分别为双曲线的左、右顶点，直线交双曲线的左支于点R，直线、的斜率分别为、．是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 15．（2023-24高二下·云南红河·期末）已知点，在双曲线（，）上，直线. (1)求双曲线的标准方程； (2)当且时，直线与双曲线分别交于，两点，关于轴的对称点为.证明：直线过定点； (3)当时，直线与双曲线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于，两点.当点运动时，求点的轨迹方程. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年高二数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 复习06 直线与圆锥曲线的压轴大题 考点01 面积问题 例1．经过椭圆左焦点的直线与圆相交于，两点，是线段与的公共点，且． （1）求； （2）与的交点为，，且恰为线段的中点，求的面积． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）求得椭圆的，，运用椭圆的定义，结合圆的定义，可得圆的半径； （2）设，，，，运用圆的性质，结合向量垂直的条件，结合椭圆方程，求得的坐标，可得直线的方程，联立椭圆方程，可得的坐标，再由三角形的面积公式，计算可得所求值． 【详解】解：（1）由得长轴长，半焦距， 因为点在上，所以， 因为，所以； （2）设，，，，为线段的中点，则， 由，，，，，， 所以，又， 解得，或， 若，则，直线的方程为， 联立和椭圆方程，可得， 所以的面积． 若，同理可求得的面积． 综上，的面积为． 【点睛】本题主要考查了椭圆中三角形面积问题，解题关键是掌握圆锥曲线与直线交点问题时，通常用直线和圆锥曲线联立方程组，通过韦达定理建立起目标的关系式，进行一系列的数学运算，从而使问题得以解决．考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 例2．已知双曲线的左､右焦点分别为，且焦距为4，左顶点为，过右焦点的动直线交双曲线于两点，当直线垂直于轴时，. (1)求双曲线的方程； (2)若动直线与双曲线的左支交于点，右支交于点，求的取值范围. 【答案】(1) (2). 【详解】（1）由题意知，双曲线的焦距为4，所以， 当直线垂直于轴时，，可得. 把代入双曲线中得，①，又①， 则联立方程①②解得，. 双曲线的方程为. （2）如图，由双曲线的性质可得：. 设， 则， . 设直线的方程为：， 联立，得， 则恒成立， ， 由于直线与双曲线交于左､右两支，则，解得， 又， 且. 令，且，则， ， 的取值范围为. 变式1-1．已知抛物线：的焦点为椭圆：的一个焦点，且的短轴长为4. (1)求的方程； (2)过点且倾斜角为的直线与交于，两点，线段AB的中垂线与轴交于点，求的面积. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由抛物线：的焦点，所以，即， 又的短轴长为，所以，则，故； （2）依题意有，联立，整理得，    设，，显然，则，， 所以， 设线段的中点为，则，， 故线段的中垂线为，令有，故， 所以到直线的距离为， 所以的面积. 变式1-2．）已知椭圆经过，两点． (1)求椭圆的方程； (2)斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，且点不在上，，过点作轴的垂线，交直线于点，与椭圆的另一个交点为，记的面积为，的面积为，求． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）将，代入椭圆方程中，解得， 则椭圆的方程为． （2）当直线轴时，为钝角三角形，且，不满足题意． 所以直线的斜率存在，设直线的方程为，因为点不在上，所以， 设，，由，可得，    所以． 由，化简得， ． ，， 所以 ， 则， 整理得，因为，所以， 所以直线的方程为，恒过点． 由题意和对称性可知，， 设点到直线的距离为，点到直线的距离为， ． 变式1-3．已知抛物线上一点，过点作圆的两条切线，与抛物线分别交于、两点． (1)当时，求的面积； (2)证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为点在抛物线上，所以，解得， 则抛物线的方程为． 当时，直线为圆的一条切线，不妨设直线为直线，则． 设直线的方程为，即． 因为直线为圆的切线，所以，解得， 则的方程为． 由得． 设，则，解得，所以，则． 又因为，所以直线的方程为，即， 则， 又点到直线的距离为， 所以. （2）设、，若直线的斜率存在，则斜率为， 所以直线的方程为，化简得．① 直线的斜率不存在时也满足①式． 因为直线为圆的切线，所以． 两边平方展开化简得．② 又因为点在抛物线上，所以， 代入②式化简得， 同理可得， 所以直线的方程为， 整理得． 由得，所以直线过定点． 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 考点02 斜率之和、积、差、商问题 例3．如图，已知圆的半径为，，是圆上的一个动点，的中垂线交于点，以直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，    (1)求点的轨迹的方程； (2)若过点的直线与轨迹交于点，， （i）若三角形的面积为，求直线的方程； （ii）探究轴上是否存在一点，使得直线，的斜率之积为定值．若存在，求出点的坐标和定值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）或；（ii）答案见解析 【详解】（1）因为，所以， 所以点的轨迹是以为焦点，长轴为4的椭圆， 又，得到，所以， 由题可知点的轨迹的方程为. （2）（i）由（1）知，，易知直线的斜率不为，设直线，， 由，消得到， 则，由韦达定理知， 所以，整理得到， 解得或（舍去），所以， 故直线的方程为或.    （ii）假设存在满足题意， 则， 所以， 即为定值，所以，解得， 当时，，当时，. 【点睛】方法点晴：（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 (或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系； （2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 例4．已知椭圆的离心率为，且过点，点与点关于原点对称，过点作直线与交于两点（异于点），设直线直线与的斜率分别为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线的斜率为，求的面积； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，所以， 因为点在椭圆上，所以，所以，， 所以椭圆的标准方程为. （2）依题意，得直线：，即， 代入得， 设，，则，， 所以 ， 又点到直线：的距离， 所以的面积. （3）当直线斜率不存在，即：时，，不妨取，， 因为，，则，， 所以， 当直线斜率存在时，设：， 代入：得：， 则， 设，，则，， 则 ， 综上可知，. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 变式2-1．已知椭圆的左顶点为，上顶点为，且焦距为. (1)求椭圆的方程和离心率； (2)过点且斜率不为零的直线交椭圆于两点，设直线的斜率分别为，若，求的值. 【答案】(1)椭圆的方程为，离心率为 (2) 【详解】（1）由题可知，， 所以椭圆的方程为，离心率为. （2）由（1）可知，    设直线， 联立，整理得， 显然，得， 易知， 所以 . 因为，得， 所以. 变式2-2．已知点P在椭圆上，过点P作直线l与椭圆C交于点Q，过点P作关于坐标原点O的对称点，的最小值为，当直线l的斜率为0时，存在第一象限内的一点P使得． (1)求椭圆C的方程； (2)设直线l的斜率为k（k≠0），直线的斜率为，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为的最小值为，所以，所以， 当直线的斜率为零时，点与点关于轴对称，又点与点关于点对称， 由椭圆的对称性可知，此时点与点关于轴对称，则， 由几何关系可解得点坐标为， 代入椭圆的方程：得：，解得， 故椭圆的方程为； （2）设点，，， 因为点和均在上，故，由得：， 即，又， 即. 变式2-3．知椭圆分别为椭圆的左顶点和上顶点，为右焦点.过的直线与椭圆交于的最小值为，且椭圆上的点到的最小距离为. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知椭圆的右顶点为是椭圆上的动点（不与顶点重合）.若直线与直线交于点，直线与轴交于点.记直线的斜率为，直线的斜率为，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得，又，解得， 椭圆的标准方程为. （2）因为.所以直线的方程为， 直线的方程为. 由，解得，所以. 由，得， 由， 则，所以，则， ， 因为不重合，所以，即，又， 所以， 直线的方程为， 令得. ， ， 当时，取得最小值为 考点03 定值问题 【方法点拨】求定值问题常见的思路和方法技巧：1.从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；2.直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 例5．已知过点的直线与椭圆交于两点．当直线垂直于轴时，． (1)求的方程． (2)探究是否存在实数，使得为定值．若存在，求出该定值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在，定值为 【详解】（1）将代入的方程，得，即， 所以，解得， 所以椭圆的方程为． （2）存在． ①当不垂直于轴时，设直线的方程为，，， 联立得， 所以，， 又，， 所以， 所以， 若为定值，则，解得， 代入得； ②当垂直于轴时，由①知，不妨令，，有． 综上所述，存在使得为定值． 【点睛】定值问题需要找到变化的量，如本题的，用表示出目标代数式，若为定值，则需与无关（消去，没有），从而求解． 例6．现有一双曲线，和分别为的左焦点和右焦点，是双曲线上一动点，的最大值为3． (1)求双曲线的标准方程； (2)过的直线交双曲线左支于A，B两点（点在点上方），判断是否是定值，并给出理由； (3)在（2）的条件下，过点作平行于的直线交双曲线右支于C，D两点（点在点上方），与相交于点，求证：为定值． 【答案】(1) (2)，是定值，理由见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）设，则， 由得． 在区间上单调递减， 时，取最大值3， ，解得． ． 由题意可得双曲线的标准方程为． （2）设，， 直线为， 联立得， ， ， ， . （3） 证明：如图：由对称性可知，， ，． 易知， ， 由（2）可知， 代入上式可得， 同理可得， ，为定值. 【点睛】方法点睛：在圆锥曲线中，利用对称性和三角形相似进行转化是解决定值问题的一种非常常用的方法. 变式3-1．已知过点的直线与双曲线的左，右两支分别交于，两点. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)设点，过点且与直线垂直的直线，与双曲线交于，两点.当直线变化时，恒为一定值，求点的轨迹方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，显然符合题意， 当时，设直线的方程为，其中， 设，， 将直线与双曲线方程联立可得， 因为直线与双曲线交于不同的两支，所以，又 所以，解得，即，所以且， 解得或， 综上，的取值范围是；    （2）当时，由（1）知，因为， 所以， 设，则直线的方程为：，设，， 直线与双曲线方程联立可得， 即， 所以， 所以，， 得， 又因为， 所以， 当时，即时，为定值， 所以或，又因为， 所以点的轨迹方程为； 当时，易知， 故，故， 因为，所以，， 故， 满足， 故点的轨迹方程为. 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 变式3-2．已知抛物线的准线与轴的交点为 . (1)求的方程，若经点的直线与有且只有一个公共点时，求直线的方程. (2)若过点的直线与抛物线交于，两点.求证： 为定值. 【答案】(1)，直线的方程为或或 (2)证明见解析 【详解】（1）抛物线的准线方程为，依题意，解得， 所以抛物线， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由， 消去整理得，则，解得或， 所以直线的方程为或， 综上可得直线的方程为或或. （2）依题意直线的斜率存在，设直线的方程为，，， 联立抛物线有，消去得，则， ∴，，又，. ∴. ∴为定值. 变式3-3．已知椭圆的焦距为4，点在上，直线与交于，两点. (1)求的方程. (2)若，求的最大值. (3)若点与重合，过作斜率与互为相反数的直线，与的另一个交点为，试问直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【详解】（1）依题意可得解得 故的方程为. （2）依题意可得直线的方程为，设，， 联立可得， 则，，，， 由弦长公式可得， 当时，取得最大值，且最大值为. （3）根据题意可得直线的方程为，设， 由得， 则，得，， 设直线的方程为，. 由得， 则，得，， 直线的斜率为， 故直线的斜率是定值，且定值为. 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交（过定点、定值）问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于或的一元二次方程； （3）写出韦达定理； （4）将所求问题或题中关系转化为，形式； （5）代入韦达定理求解. 考点04 直线过定点问题 【方法点拨】一、引进参数法，引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点； 二、特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 例7．已知椭圆的离心率为，右顶点为． (1)求椭圆的方程； (2)过原点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点．已知点，直线与椭圆的另一个交点分别为．证明：直线过定点． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以椭圆的方程为． （2）设点，则，且． 直线，即． 由，得． 所以，则． 所以． 所以．同理． 依题意，所以． 所以直线的方程为，整理得． 所以直线过定点． 例8．已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且. (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线交于两点，设直线的斜率分别为，且，求证：直线过定点. 【答案】(1) (2)直线l过定点，证明见解析. 【详解】（1）由题意得：，解得，所以抛物线C的方程为. （2）由（1）得，设，， 则， 则，直线l的方程为， 则， 所以直线l过定点. 变式4-1．已知（），若点到点的距离和它到轴的距离之比为常数，记点的轨迹为曲线. (1)若，，求曲线的方程； (2)若，试根据的不同取值，讨论曲线的形状； (3)若，，过点且不与轴垂直的直线与交于，两点，若点关于轴的对称点为点，求证：直线恒过定点. 【答案】(1) (2)当时，曲线为椭圆； 当时，曲线为抛物线； 当时，曲线为双曲线； (3)证明见解析 【详解】（1）当，时，则，设， 由题意可得，化简得， 所以曲线的方程为； （2）若，则，设， 由题意可得，化简得，即, 当时，方程表示椭圆； 当时，方程表示抛物线； 当时，方程表示双曲线； （3）若，，则，由（2）可得曲线的方程为， 设直线的方程为， 由，消去，得， 设，则， 所以， 直线的方程为，由双曲线关于轴对称，可得定点在轴上， 当时， ， 所以直线恒过定点. 【点睛】方法点睛：本题求定点坐标，关键由对称性可得定点在轴上，进而令直线方程中的，求解可得定点坐标. 变式4-2．已知，，M是圆O：上任意一点，关于点M的对称点为N，线段的垂直平分线与直线相交于点T，记点T的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)设（）为曲线C上一点，不与x轴垂直的直线l与曲线C交于G，H两点（异于E点）.若直线GE，HE的斜率之积为2，求证：直线l过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）连接OM， 由题意可得，且M为的中点，又O为的中点， 所以，且|. 因为线段的中垂线与直线相交于点T， 所以， 所以， 由双曲线的定义知动点T的轨迹是以，为焦点的双曲线. 设其方程为（，），则，，， 故曲线C的方程为. （2）证明：由（1）知 依题意直线l的斜率存在， 设直线l的方程为，，， 由，得， ，由，得， 所以，. 则 ， 整理得， 即， 解得或， 当时，直线l的方程为， 直线l过定点； 当时，直线l的方程为， 直线l过定点，不合题意，舍去. 综上所述，直线l过定点. 【点睛】方法点睛：直线过定点问题可把直线方程中的看成已知，把参数看成未知量，（类似于主元变换的性质）求出所过定点. 变式4-3．已知椭圆与抛物线有相同的焦点，为椭圆上一点，分别为椭圆的左、右焦点，且的面积的最大值为，过点做斜率之和为3的两条直线和与椭圆交于两点，与椭圆交于两点，线段的中点分别为. (1)求的标准方程； (2)直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请给出理由. 【答案】(1) (2)过定点， 【详解】（1）抛物线的焦点坐标为，则椭圆焦点， 设点的纵坐标为，则，， 于是，， 所以的标准方程为. （2）设直线的方程为，直线的方程为，点， 由消去得， 则， 于是点，同理点，而， 因此直线的斜率为 直线的方程为， 即 而 ，因此直线：过定点， 所以直线恒过定点. 考点05 圆过定点问题 【方法点拨】圆过定点，因为通过推导求出定点难度较大，故常见做法有：1.利用以“某线段为直径”，转化为向量垂直计算；2.利用对称性，可以猜想出定点，并证明 例9．已知椭圆的左右焦点为，点为椭圆上异于左右顶点的任意一点，的周长为6，椭圆的离心率为. (1)求该椭圆的方程； (2)已知定点，过点且斜率不为0的直线交椭圆于两点（与点不重合），延长分别与直线交于两点. （i）当直线斜率不存在时，求的面积； （ii）证明：以线段为直径的圆与轴的交点为定点. 【答案】(1)； (2)（i），（ii）证明见详解. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为，则，解得， ，， 所以椭圆的方程为. （2）（i）由题，，当的斜率不存在时，可得， 则，，， 直线，令，解得，即， ， 所以的面积为. （ii）根据题意，设，，，以线段为直径的圆与轴的交点为， 联立，消去整理得， ，则，， 所以直线的方程为：，令，求得， ，同理，可得， ，， 由，即， 又 ， ，解得或， 所以以线段为直径的圆与轴的交点为定点和. 例10．已知双曲线，其左顶点，离心率. (1)求双曲线方程及渐近线方程； (2)过右焦点的直线与双曲线右支交于两点，与渐近线分别交于点，直线分别与直线交于. （i）求的取值范围； （ii）求证：以为直径的圆过定点，并求出该定点. 【答案】(1)； (2)（i）;（ii）证明见解析;定点为. 【详解】（1）依题意，，则得， 则双曲线方程为，其渐近线方程为：，即； （2） （i）显然当过点的直线斜率不能为0，故可设其方程为为， 代入双曲线方程，消元整理得：， 则由,解得：. 设点，则， 于是，， 又由解得，即图中； 由解得，即图中. 则， 于是， 因，则， 即的取值范围为； （ii）因，则直线方程为：，令，则得，即； 同理直线方程为：,令，则得,即. 根据图象的对称性可知以为直径的圆必经过轴上的一定点，设为， 则,代入坐标，可得（*）， 因， ， 则， 代入（*），可得，解得或. 即以为直径的圆过定点和. 【点睛】关键点睛：本题主要考查直线与双曲线相交形成的线段比的范围和定点问题，属于较难题. 解题的关键是根据圆的对称性可判断定点在坐标轴上，结合向量垂直的坐标运算化简求解就可，对计算能力要求较高. 变式5-1．已知抛物线的焦点F到其准线的距离为2. (1)求p的值； (2)直线与抛物线C交于A，B两点，以为直径的圆经过坐标原点，求实数a的值. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）抛物线的焦点为，准线方程为， 因为焦点F到准线的距离为2，所以. （2）由（1）可得抛物线方程为，联立得， 因为直线与抛物线C有两个交点， 所以，，解得且， 设，则， 得， 因为以为直径的圆经过坐标原点，所以， 所以，解得. 变式5-2．已知椭圆：，A点为椭圆短轴的上端点，P点为椭圆上异于A点的任一点，若P点到A点距离的最大值仅在P点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知，椭圆的离心率 (1)求椭圆的标准方程； (2)试判断椭圆是否是“圆椭圆”?并证明你的结论； (3)Q点为P点关于原点O的对称点，Q点也异于A点，直线AP、AQ分别与x轴交于M、N两点，试问以线段MN为直径的圆是否过定点?证明你的结论． 【答案】(1)； (2)椭圆是“圆椭圆”，证明见解析； (3)过定点，证明见解析. 【详解】（1）由，椭圆的离心率，得，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）知，，设，则， 于是， 而，因此当且仅当时，，此时点， 即点P点到A点距离的最大值仅在P点为短轴的另一端点时取到， 所以椭圆是“圆椭圆”. （3）由（2）知，，设，则，， 直线，则， 若以线段为直径的圆过定点，由对称性知点在轴上， 设，则，而， 于是，即，解得， 所以以线段为直径的圆过定点. 变式5-3．已知双曲线：的右顶点为，实轴长为4，过双曲线的左焦点作直线，当直线与轴垂直时，直线与双曲线的两个交点分别为，，此时为等腰直角三角形． (1)求双曲线的方程； (2)当直线与双曲线的渐近线平行时，求直线与双曲线的交点坐标； (3)当直线与双曲线的左支交于，两点时，直线，分别交直线于，两点，在轴上是否存在定点，使得点始终在以线段为直径的圆上？若存在，求出点坐标，否则，请说明理由． 【答案】(1) (2)或. (3)或 【详解】（1）由题意得，解得， 所以双曲线的方程为：. （2）渐近线方程为， 当直线与平行时，直线的方程为：， 联立解得. 当直线与平行时，直线的方程为：， 联立解得， 所以直线与双曲线的交点坐标为或. （3）因为双曲线的渐近线方程为：， 显然当直线与轴重合时，不合题意，故设的方程为，，， 直线的方程为：， 当时，，即P点坐标为， 直线的方程为：， 当时，，即点坐标为， 所以以为直径的圆方程为：， 当时， 联立，消去得，其中， ，且， 所以，. ， 所以， 所以或. 所以轴上存在定点或始终在以为直径的圆上. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是采用设线法并与双曲线方程联立得到韦达定理式，写出两点直径式方程，并代入韦达定理式即可. 考点06 三点共线问题 【方法点拨】可利用向量共线或者斜率相等进行证明 例11．已知椭圆的上、下顶点分别为，其右焦点为F，且． (1)求椭圆C的方程； (2)若点，在直线BP上存在两个不同的点满足．若直线与直线分别交C于点M，N（异于点A），证明：P，M，N三点共线． 【答案】(1) (2)证明见解析. 【详解】（1）依题意，，设，由，得， 则，即， 而，因此， 所以椭圆C的方程为. （2）    由点，，得，则， 设，则，， 于是，即， 依题意，直线MN的斜率存在．设直线MN的方程为，， 由消去得， 则， 由直线AM过点，得，即，解得， 同理得，则 整理得，因此， 即， 由M，N异于点A，得直线MN：不过点，即， 于是，即， 则直线MN的方程为，即恒过点， 因此P，M，N三点共线. 例12．在平面直角坐标系中，点P到点的距离比点P到直线的距离小2，记动点P的轨迹为W． (1)求W的方程； (2)已知A，B是W上不同的两点，，若A，B，C三点共线，求的值． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由点P到点的距离比点P到直线的距离小2， 得点P到点的距离等于点P到直线的距离， 因此点P的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线， 所以点P的轨迹W的方程为. （2）显然直线不垂直于轴，设其方程为，， 由消去得，恒成立，， 所以. 变式6-1．已知椭圆的右顶点和下顶点，过其右焦点的直线交椭圆于B，D两点． (1)求的值； (2)若的角平分线交直线于点，证明：E，A，B三点共线． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由得，， 所以，，即，故椭圆方程为， 将代入椭圆方程得，所以. （2）设直线倾斜角为，则， 得， 所以直线为，得， 又，所以直线斜率为， 直线斜率为， 所以，故E，A，B三点共线． 变式6-2．已知双曲线的左右焦点分别为，，左右顶点分别为M，N，且经过点. (1)求双曲线C的方程； (2)设过点直线l交双曲线C于P，Q两点，求直线l的斜率的取值范围； (3)动点A在圆上，动点B在双曲线C上，设直线MA，MB的斜率分别为，，若N，A，B三点共线，试探索，之间的关系. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意可知：，且经过点， 则，解得， 所以双曲线C的方程为. （2）设直线l的斜率为，则直线l：， 联立方程，消去y可得， 由题意可知：，解得且， 所以直线l的斜率的取值范围. （3）设点，则，即， 由，则①， 又②， 因为N，A，B三点共线，所以，由①②得，即． 变式6-3．已知双曲线 的左、右顶点分别为 与 ，点 在 上，且直线 与 的斜率之和为 . (1)求双曲线 的方程; (2)过点的直线与 交于 两点(均异于点 )，直线 与直线 交于点，求证: 三点共线. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意得，且 （2）由 (1) 得， 设直线 的方程为，则， 由 得， 直线 的方程为，令 ，则， ， 所以三点共线. 考点07 中点弦问题 【方法点拨】（1）是椭圆的一条弦，中点，则的斜率为， 运用点差法求的斜率；设，，，都在椭圆上， 所以，两式相减得，所以 即，故 （2）运用类似的方法可以推出；若是双曲线的弦，中点，则；若曲线是抛物线，则． 例13．已知椭圆经过点且离心率为，设直线与椭圆相交于两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线的斜率为1，求线段中点的轨迹方程； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题可得：，解得：， 所以椭圆的标准方程为：； （2）因为直线的斜率为1，所以可设直线的方程为，， 联立 ，化简得， 则， 解得：， 所以，设弦中点， 则， 消去，得，而， 所以点的轨迹方程为. 例14．已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，其渐近线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)若双曲线的一弦中点为，求此弦所在的直线方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为椭圆的焦点为， ， 所以，则①， 又双曲线的渐近线为，所以，即②，由①②，解得， 所以双曲线的方程为． （2）设弦的两端分别为，． 则有，两式作差得，整理得到， 因为弦中点为，所以， 故直线的斜率， 则所求直线方程为，即． 变式7-1．已知O为坐标原点，抛物线的焦点为，点在C上，且 (1)求C的标准方程； (2)已知直线l交于两点，且的中点为，求直线l的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）过点A作轴于B，易知点 则 所以 在中，由正弦定理得        得                                           所以                                                          解得， 所以C的标准方程为 （2）当直线l的斜率不存在时，MN 的中点不可能为，故直线l的斜率存在且不为零， 设直线l的斜率为 则,两式相减得，整理得 因为的中点为,所以，所以 所以直线l的方程为，即 变式7-2．设圆与两圆中的一个内切，另一个外切. (1)求圆心的轨迹的方程； (2)已知直线与轨迹交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求实数的值. 【答案】(1)； (2)7. 【详解】（1）圆的圆心为，半径为1， 圆的圆心为，半径为1， 设圆的半径为， 若圆与圆内切，与圆外切，则，得； 若圆与圆内切，与圆外切，则，得， 因此，则圆心的轨迹是以为焦点的双曲线， 且实半轴长，半焦距，虚半轴长， 所以圆心的轨迹的方程为. （2）由消去得：， 显然，设，线段的中点， 于是，即， 由在圆上，得，解得，又， 所以实数的值为7.    变式7-3．已知椭圆的左焦点为F，离心率为，且C经过点. (1)求C的方程； (2)已知是椭圆内一点，过点M任做一条直线与椭圆交于两点，求以M为中点的弦所在的直线方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）依题意可得，解得，所以椭圆方程为； （2）若弦所在直线斜率不存在，根据椭圆的对称性，中点的纵坐标一定是， 同理，若斜率为，则中点的横坐标一定是，与已知矛盾， 故所求弦的斜率存在且不为，可设弦的斜率为. 因为M在椭圆内，故直线与椭圆一定有两个交点，设两个交点为， 将两个点代入椭圆，有：，，两式作差得， 由于是的中点，故，代入上式化简可得， 得到，求出， 所以中点弦的方程为，整理得到：. 故以为中点的弦所在直线方程为：. 考点08 四点共圆问题 【方法点拨】证明四点共圆的常见方法：①把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，则可肯定这四点共圆 ②把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其中一个外角等于其内对角时，则可肯定这四点共圆 例15．已知双曲线的左、右焦点为，直线与双曲线相交于，且．双曲线上任意一点到的距离与到的距离的比为．    (1)求双曲线的标准方程； (2)斜率存在且不为0的直线与双曲线相切． ①若与相交于点，与相交于点证明：为定值； ②若与直线和分别相交于，证明：四点共圆． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②证明见解析 【详解】（1）由题意可知在双曲线上，所以， 设，因为，所以， 又，解得，即. （2）设，代入双曲线可得， 所以； ①由可得，所以；由可得，所以， 故， ， 所以，所以为定值； ②同理可求，且， 所以，， 因为，所以， 因为，所以， 故四点在以为直径的圆上.      【点睛】思路点睛：圆锥曲线问题中证明四点共圆时，可以考虑证明对角互补，本题第三问是更特殊的情况：一组对角均为直角，此时也可以确定出一条直径即为直角三角形的斜边. 例16．已知椭圆，C的上顶点为B，左、右顶点分别为、，左焦点为，离心率为．过作垂直于轴的直线与交于，两点，且． (1)求的方程； (2)若，是上任意两点， ①若点，点N位于轴下方，直线交轴于点G，设和的面积分别为，若，求线段的长度； ②若直线与坐标轴不垂直，H为线段的中点，直线OH与C交于P，Q两点，已知P，Q，M，N四点共圆，求的最大值． 【答案】(1) (2)①3；② 【详解】（1）由离心率为，即，得， 由得在椭圆上，即，解得， 所以椭圆的方程为. （2）①由（1）可得， 连接，因为， ， 所以，得; 所以，所以直线的方程为： ， 由，解得或，所以或（舍去）. 所以. ②设直线， ， 则 联立可得， 由，得． 所以，则， 所以中点的坐标为，所以， 故直线.       由P，Q，M，N四点共圆，则， 由; 联立可得，所以， 所以， 所以,得， 所有，得， 所以， 即，当且仅当时取等号，即的最大值为. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是由P，Q，M，N四点共圆，则，进而结合弦长公式即可得出. 变式8-1．如图，，分别为椭圆的左、右顶点，为第一象限上一点，且，过点的直线与有唯一的公共点. (1)求的方程； (2)过原点作直线的平行线与椭圆C交于M，N两点，证明：P，M，，N四点共圆，并求该圆的标准方程. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【详解】（1）法一：，由，得，解得， 代入椭圆方程得，所以，设直线， 联立椭圆方程，得， 即. 由， 整理得，解得， 因此直线的方程为：. 法二：，则，， 令，则， 故直线的方程为：， （2）依题意，直线MN的方程为，联立椭圆可得， 即，即，，，. 设圆的方程为，代入，P，M，可得： ，解得， 此时圆方程为， 将点代入上述方程，得， 所以点也在此圆上，故P，M，，N四点共圆， 其标准方程为. 变式8-2．已知双曲线，过的直线与双曲线的右支交于两点. (1)若，求直线的方程， (2)设过点且垂直于直线的直线与双曲线交于两点，其中在双曲线的右支上.     （i）设和的面积分别为，求的取值范围； （ii）若关于原点对称的点为，证明：为的垂心，且四点共圆. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【详解】（1）设， 结合题意知直线斜率不为0，设直线，因为直线与双曲线右支相交， 故， 联立双曲线方程，得， 则， 故， 即，解得，或（舍去）， 因此，从而直线的方程为. （2）（i）若，则， 由（1）可知，， 此时； 当时，设，直线， 由（1）同理可知， 故 注意到 ， 令，则， 令， 综上可知，的取值范围是. （ii）先证明为的垂心，只需证明， 注意到，， 而 ， 同理， ， 因此，又，故为的垂心，因此， 再证明四点共圆，即只需证明：. 因为关于原点对称，则， 同理可得； 则，即， 因此，因此四点共圆. 变式8-3．已知抛物线，过点的直线与抛物线交于两点，设抛物线在点处的切线分别为和，已知与轴交于点与轴交于点，设与的交点为. (1)证明：点在定直线上； (2)若面积为，求点的坐标； (3)若四点共圆，求点的坐标. 【答案】(1)证明见解析 (2)或 (3) 【详解】（1）由，得， 设. 所以方程为：，整理得：. 同理可得，方程为：. 联立方程，解得. 因为点在抛物线内部，可知直线的斜率存在，且与抛物线必相交， 设直线的方程为，与抛物线方程联立得：， 故， 所以，可知. 所以点在定直线上. . （2）在的方程中，令，得， 所以面积. 故， 代入可得：. 整理得，解得：或. 所以点的坐标为或. （3）若，则重合，与题设矛盾. 抛物线焦点，由得直线斜率， 可知， 同理，所以是外接圆的直径. 若点也在该圆上，则. 由，得直线的方程为：. 又点在定直线上， 联立两直线方程，解得， 所以点的坐标为. 【点睛】关键点点睛：本题第3小问解决的关键是，引入抛物线焦点，利用斜率可得，，可知是外接圆的直径，即可得结果. 考点09 切线问题 【方法点拨】1.设切线方程为与椭圆方程联立，由进行求解； 2.椭圆（双曲线）在其上一点的切线方程为，再应用此方程时，首先应证明直线与椭圆（双曲线）相切. 例17．给出如下的定义和定理：定义：若直线l与抛物线有且仅有一个公共点P，且l与的对称轴不平行，则称直线l为抛物线的切线，公共点P称为切点.定理：过抛物线上一点处的切线方程为.运用上述材料解决以下问题.已知过抛物线的焦点F的直线l与C相交于A，B两点，过A，B两点分别作C的切线，两切线交点为M. (1)当线段AB中点的纵坐标为时，求直线l的斜率； (2)求的值； (3)若点D与点F关于原点对称，过点D作直线与C相交于不同的两点P，Q，分别过P，Q作C的切线，两切线相交于点R，问：是否存在直线，使得与的面积相等？若存在，求出的方程；若不存在，试说明理由. 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【详解】（1）设，，则，， 两式相减得，由线段AB中点的纵坐标为， 得， 所以，即直线的斜率为. （2）设，，则直线，即， 同理得，联立， 解得，则， 再设直线，联立，得， 则，则 ， 而 故，所以. （3）由已知可得，设，，直线， 联立，得，， 则，. 由（2）可知，C在点P处的切线方程为， C在点Q处的切线方程为， 联立得， 所以轴. 故，， 假设存在直线，使得与的面积相等， 则，即. 又，解得或，此时P，Q重合，与题意矛盾， 故不存在直线，使得与的面积相等. 例18．已知第一象限的点在双曲线上，过作圆的两条切线，切点分别为，，直线过点，过作斜率为的直线，与交于点，. (1)求点的坐标； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，，， 则切线的方程为，即， 圆在点处的切线方程为） 切线的方程为， 把点的坐标代入可得，故直线的方程为， 把点的坐标代入直线的方程可得， 将代入的方程可得（舍去负值），点的坐标为. （2）易知直线的方程为，设，， 由，可得， 则，且， 得，且. 故，，（根与系数的关系的应用） 则，， 则 ， ，（另解：，，故 ） 连接，由圆的性质可得，（勾股定理的应用） 由可得，解得或（舍去）. 的值为.    变式9-1．已知直线l是过椭圆上一点的切线. (1)已知椭圆C的切线l过，求切线l的方程; (2)求两焦点，到直线l的距离之积; (3)若圆心在原点的圆与直线l也相切，且与椭圆C相交于点Q，若P，Q都在第一象限，求面积的最大值. 【答案】(1)或 (2) (3) 【详解】（1）设， 则， ，可得， 则l为或； （2）证明椭圆切线方程一般形式： ①当切线斜率存在时，设过点的切线方程为， 联立方程，整理得， 由可得， 所以 由韦达定理可知，即， 把代入中，得， 所以，化简得． ②当切线斜率不存在时，过的切线方程为，满足上式． 综上，椭圆上一点的切线方程为． 因为满足，所以直线， 左右焦点，到直线l的距离分别为，， ； （3）①当l斜率不存在时，此时不满足题意； ②当l斜率存在时，设，，， 其中直线， 对于圆，其中， 则， 可得， ， 令， ， 因为，所以由对勾函数性质可得， 则，即面积的最大值为. 变式9-2．已知双曲线的实轴长为4，离心率. (1)求的方程； (2)过上任意一点作圆的切线，求切线斜率最大时，与的渐近线围成的三角形面积. 【答案】(1) (2). 【详解】（1）由题意可得，又， 所以，则双曲线的方程为. （2） 设切线的方程为，则原点到的距离为1， 得，即. 由，得. 因为切线过上一点， 所以，方程有解. 得，化简得， 又，解得， 所以切线斜率最大为，此时直线为. 不妨取切线方程为， 设与的渐近线交于， 则的渐近线方程与联立得，， 则，得， 又原点到直线的距离为1，所以面积为， 即切线斜率最大时与的渐近线围成的三角形面积为. 变式9-3．已知双曲线：的离心率为，其左､右焦点分别为，，过焦点且与轴垂直的直线交于，两点，且. (1)求的方程； (2)已知在上一点处的切线方程为.过点分别作的左､右两支的切线，切点分别为，，连接，过线段的中点再分别作的左､右两支的切线，切点分别为，，判断点与直线的位置关系，并说明理由. 【答案】(1) (2)在直线上，理由见解析 【详解】（1）在中，不妨令，解得，所以， 又，解得，， 所以双曲线的方程为； （2）点在直线上，证明如下： 设，， 由题可知双曲线在点处的切线方程为， 同理，在点处的切线方程为， 又两切线交点为，所以， 所以直线的方程为， 联立，得， 因为，满足，， 则，，所以， 所以，设，， 由题可知双曲线在，两点处的切线方程分别为，， 又两切线交点为，所以， 可得直线的方程为，即， 当时，，所以点在直线上. 考点10 求参数范围及最值 【方法点拨】利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、均值不等式方法等进行求解 例19．已知椭圆：的左、右焦点分别为点和，点在上且轴． (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于不同的两点、，若的面积为，，（为坐标原点），求的最大值． 【答案】(1)； (2)7 【详解】（1）因为轴，所以， 将代入椭圆得到，又， 解得，所以椭圆的方程为； （2）设直线与椭圆交于不同的两点、， 当直线的斜率不存在时，，两点关于轴对称，则，， 由在椭圆上，则， 的面积为，即， 与联立，解得，， ，故，， 故； 当直线的斜率存在时，设直线为，点到直线的距离为， 联立方程组，整理得到． ，①，， ，， ， 其中， 则， 化简为，， 即，则②，且满足． 将②式代入①式化简可得，， ， 由②可知，解得， 故， ， ， 当且仅当，即时等号成立，故． 综上，的最大值为7． 例20．已知双曲线的离心率，左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，与轴交于点，且，. (1)求双曲线的方程； (2)过右焦点且倾斜角为的直线交双曲线于，两点，若的中点为，为坐标原点，直线交直线于点，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意结合双曲线的对称性可知，得，即轴，把 代入方程，可得， 又， 即，又， 解得，， 双曲线的方程为：. （2）设直线的方程为：，联立方程， 化简得， 设，则，，结合直线的方程得， 即中点坐标为. 于是，（倾斜角，或） 当或时，，直线方程为： ，令得，此时， 于是，令，则， 由知，当时，，故的最小值为. 【点睛】思路点睛：本题考查直线与双曲线的综合问题，其中关于范围的问题一般的解题思路是把题目所求的量表示成函数的形式，然后把问题转化为函数的最值或值域问题，而解决函数最值或值域问题一般的方法有：函数单调性法，复合函数法（换元法），导数法，数形结合法等. 变式10-1．已知焦点为的抛物线上存在不同的两点，（异于原点）． (1)若且，求直线的方程； (2)若，求线段的最小值； (3)若点A，，三点共线，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设直线的方程为， 由，整理可得， 则， 所以，则， 依题意可得，解得，满足， 所以直线的方程为，即； （2）由（1）可得，则， 因为，所以，解得或（舍去）， 所以，， 所以， 当且仅当时取等号， 所以线段的最小值； （3）因为A、、三点共线，而抛物线的焦点， 所以直线AB的方程为，，， 联立有， 故，，，， 所以， ，， 所以 所以， 即 故的取值范围为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 变式10-2．已知圆：. (1)若直线平分圆，求的最小值； (2)顶点在原点，焦点在轴上的抛物线的准线与圆相切，为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，点，求的最大值. 【答案】(1)4 (2) 【详解】（1）由圆的方程，即， 则圆的圆心，半径， 由题意知，直线过圆心， 则，即，，， 由， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值是4. （2）由题意，抛物线的准线为，所以抛物线方程为，焦点， 所以，，，其中， 所以，时有 ， 当且仅当，即时等号成立； 而时，，，则. 所以的最大值是. 变式10-3．已知双曲线的焦距为且左右顶点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)记直线的斜率分别为，证明：是定值； (3)设为直线和的交点，记，的面积分别为，，求的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）由双曲线的焦距为，得，解得， 所以双曲线的方程为. （2）依题意，设直线的方程为，， 由消去x并整理得， 由直线与双曲线的右支交于两点，得可得 ， 解得， 则，，即， 而， 所以 为定值. （3）由（2）知，直线：，直线：， 则点的横坐标为， 于是 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 【点睛】求解圆锥曲线的最值问题的解答策略与技巧： 1、几何方法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆、圆锥曲线的定义、图形，以及几何性质求解； 2、代数方法：当题目给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个目标函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式；③单调性法；④三角换元法；⑤导数法等，要特别注意自变量的取值范围. 1．（2024-25高二上·广西·期末）已知椭圆的离心率是，且点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上的动点，是的内心，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可得解得， 故椭圆的标准方程为. （2）设. 由等面积法得，则. 由题意可得，则直线的方程为， 即. 点到直线的距离. 因为，所以， 所以. 因为是椭圆上的动点，所以，所以， 所以， 整理得，即. 因为，所以. 因为，所以，即， 则. 故当时，取得最大值. 2．（2024-25高三上·重庆·期末）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)设直线与双曲线、圆相切，切点分别为，与渐近线相交于.两点. （i）证明：为定值； （ii）若，求直线的方程. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【详解】（1）由， 解得，故双曲线的标准方程为． （2）（i）①当与轴垂直时，，解得． ②当与轴不垂直时，设． 设与联立可得：， 且有，故， 且． 将与联立可得：． ， 而，故． 综上所述，． （ii）由与圆相切可知：． 设直线为，与联立解得． 由（1）可知，则． 而． 消去可得：， 故． 3．（2023·上海松江·一模）已知椭圆的长轴长为，离心率为，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线的方程为：，椭圆上点关于直线的对称点（与不重合）在椭圆上，求的值； (3)设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，若点和点三点共线，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）椭圆的长轴长为，离心率为， 则，则，则， 则椭圆的方程为. （2）设椭圆上点关于直线的对称点， 则， 解之得，则， 由在椭圆上，可得， 整理得，解之得或， 当时与点重合，舍去， 则. （3）设，则， 又，则，直线的方程为， 由，整理得， 则，则， 又，则， 则，则， 令则，直线的方程为， 由，整理得， 则，则， 又，则， 则，则， 则， ， 由点和点三点共线，可得， 则， 整理得，则.    【点睛】方法点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： （1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； （2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 4．（2024-25高二上·四川德阳·期末）已知抛物线）的焦点为，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程． (2)已知过点的直线交抛物线于、两点，的面积为，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）依题意，点在抛物线上，且， 所以，解得. 所以抛物线方程为. （2）抛物线方程为，焦点坐标为， 设直线的方程为， 由消去并化简得， ，设， 则，则， 所以. 原点到直线的距离为， 所以， 解得，所以直线的方程为或.    5．（2024-25高三上·天津滨海新·期末）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)已知直线与椭交于两点，点的坐标为，且，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵椭圆的离心率，且过点， ∴，解得， ∴椭圆的方程为. （2）设. 联立，得. ∴，即， ∴，， ∴ ∵， ∴，整理得， 解得，满足， 所以. 6．（2024-25高二上·山东·阶段练习）已知，分别为椭圆的上、下焦点，是椭圆的一个顶点，是椭圆C上的动点，，，三点不共线，当的面积最大时，其为等边三角形． (1)求椭圆的标准方程； (2)若为的中点，为坐标原点，直线交直线于点，过点作交直线于点，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为是椭圆C的一个顶点，所以． 当点与的左顶点或右顶点重合时，的面积最大，其为等边三角形，满足，又因为，所以，． 故椭圆C的标准方程为． （2） 证明：设直线的方程为，，． 由得， ，， 所以，， 即点， 所以直线的方程为． 令，得． 又，所以直线的方程为． 令，得． 延长交于，延长交于． 由，得，则． 同理由，得，则． 因为，，显然， 所以． 7．（2024-25高二下·上海·期末）双曲线的左、右焦点分别为、，直线l过且与双曲线交于A、B两点． (1)若双曲线的离心率为2；求b的值； (2)若l的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； (3)设，若l的斜率存在，且，求l的斜率． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【详解】（1），，∴． ∴，∴； （2）设．由题意，，，， 因为是等边三角形，所以，即， 解得．故双曲线的渐近线方程为； （3）由已知，，． 设，，直线l：．显然． 由，得． 因为l与双曲线交于两点，所以，且． 设AB的中点为． 由 即，知，故． 而，，， 所以，得，故l的斜率为． 8．（2023-24高二下·安徽六安·期末）过抛物线焦点的直线交于两点，特别地，当直线的倾斜角为时，. (1)求抛物线的方程； (2)已知点，若，求的面积（为坐标原点）. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）抛物线焦点的坐标为， 当直线的倾斜角为时，直线，联立抛物线方程， 化简并整理得，，显然， 设，则， 则 ，解得， 所以抛物线的方程为； （2）设， 显然直线的斜率不为0，所以设直线，联立抛物线方程， 化简并整理得，显然， 所以， 又，所以， 因为， 所以 ， 所以，则， 设的面积为， 则， 所以的面积为. 9．（2023-24高二下·上海·期末）已知椭圆. (1)若椭圆的左右焦点分别为为的上顶点，求的周长； (2)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得， 所以， 所以的周长为； （2）显然不满足题意，设直线的方程为， 由，得， 由，得， 则， ， 因为为锐角，不共线，所以， 所以，所以， 所以 ， 解得， 因为 所以解得或， 所以实数的取值范围为 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是将为锐角转化为，则，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题. 10．（2023-24高二下·四川达州·期末）已知点为抛物线的焦点，过的直线交于点，．当的斜率为1时，． (1)求的方程； (2)已知圆． （i）若直线与，都相切，求的方程； （ii）点是上的动点，点是轴上的动点，若四边形为菱形，求所有满足条件的点的纵坐标之和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知，， 则过点的直线为，与抛物线方程联立得 ，则， ，得， 所以抛物线的方程为； （2）（ⅰ）由直线与抛物线相切可知，直线得到斜率存在， 设直线，与抛物线方程联立，得， ，即，① 圆的圆心为，圆心到直线得到距离等于半径 即，得，②， 由①②得，得或， 所以直线的方程为或； （ⅱ）设直线，与抛物线方程联立，得 ，， 设的中点为，则， 设，， 因为四边形为菱形，所以，得， 点在圆上， 所以，即， 所以或（舍） 所以，即点的纵坐标为. 即满足条件的纵坐标之和为.    【点睛】关键点点睛：本题最后一问的关键是抓住菱形的性质，从对角线平方，对角线互相垂直这一条件入手. 11．（2023-24高二下·河南·期末）已知椭圆的右焦点为，离心率为，过的直线交于两点，为坐标原点，当时，． (1)求的方程； (2)过的另一条直线交于两点，设直线的斜率为，直线的斜率为，若，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设焦距为，当时，将代入椭圆方程可得， ，解得， 所以，又，解得， 所以的方程为； （2）设直线， 与椭圆线方程联立可得，， 由韦达定理，， 所以 ， 同理可得，， ，因为，所以， 故 ， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值. 12．（2024-25高三上·河北保定·期末）已知椭圆过点，其离心率，点为椭圆的上顶点，过点的两条直线与椭圆分别交于两点，与直线分别交于两点，的重心为点. (1)求椭圆的方程； (2)求弦长的最大值； (3)已知点，若，其中且，证明：当在变化时，重心在一条定直线上，并求出这条定直线方程. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析， 【详解】（1）由得，又， 由在椭圆上，得， 椭圆的方程为. （2）设， ，其中， 当时，取得最大值，最大值为. （3）由知三点共线，且直线斜率存在且不为0，所以设直线方程为， ， 恒成立， ， 直线，令得，同理， ， ， ， 点在定直线上. 【点睛】关键点点睛：本题第三小问的关键是能够表示出直线与的交点坐标，再利用韦达定理化简重心坐标公式. 13．（2024-25高三上·广东汕头·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，直线与交于两点（点在轴上方），的面积是面积的2倍. (1)求直线的方程； (2)求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 由得. ∵直线与交于两点， ∴，解得. 设到的距离为，到的距离为， 由题意得，，则， ∴，解得或（舍）， ∴直线的方程为. （2）由题意得，. 设，则. 由得，解得， ∵点在第一象限，∴，， ∴. 在中，由余弦定理得，, ∴，∴， ∴， ∴，即. 14．（2024-25高三上·上海松江·期末）如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是一个椭圆的长轴和短轴，则称它们为“共轴”曲线．若双曲线与椭圆是“共轴”曲线，且椭圆，（、分别为曲线、的离心率）．已知点，点为双曲线上任意一点． (1)求双曲线的方程； (2)延长线段到点，且，若点Q在椭圆上，试求点P的坐标； (3)若点P在双曲线的右支上，点A、B分别为双曲线的左、右顶点，直线交双曲线的左支于点R，直线、的斜率分别为、．是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或 (3)当重合时，；当不重合时，存在实数，使得，理由见解析 【详解】（1）根据题意双曲线， 因为，解得， 双曲线的方程为； （2）    由（1）知，，， 设， 已知，又， 所以， 由点Q在椭圆上，则， 又点为双曲线上任意一点，则， 联立，解得，或， 所以点P的坐标为或或； （3）当重合时，；当不重合时，存在实数，使得，理由如下， 当重合时，由题意，则，则， 当不重合时，，设直线的方程为，， 由得， 因为双曲线的渐近线方程为， 又直线交双曲线的左支于点R，右支于点P，所以， 由韦达定理得，， 所以 ， 所以存在实数，使得. 【点睛】思路点睛：本题的解题思路是理解题目定义，求出双曲线方程，根据定点位置合理设出直线的方程形式，再利用直线与双曲线的位置关系得到韦达定理，然后利用斜率公式代入消元，即可判断是否为定值. 15．（2023-24高二下·云南红河·期末）已知点，在双曲线（，）上，直线. (1)求双曲线的标准方程； (2)当且时，直线与双曲线分别交于，两点，关于轴的对称点为.证明：直线过定点； (3)当时，直线与双曲线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于，两点.当点运动时，求点的轨迹方程. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）由点，在双曲线， 即，解得， 所以双曲线方程为； （2） 由已知，设，， 联立直线与双曲线，得， 则，即，且， ，， 又点与关于轴的对称， 则， 所以， 即， 即，恒过定点； （3）由已知直线，，且， 联立直线与双曲线，可得， 则,， 即，， 所以，,代入直线可得， 即， 所以直线，即， 所以，， 即，可得. 【点睛】(1)解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$