专题1.3 直角三角形（2大知识点5大考点12类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.3 直角三角形（2大知识点5大考点12类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】直角三角形的性质 1.直角三角形的两锐角互余 2.直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方； 3.在直角三角形中，若一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半； 4.在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。 【知识点2】直角三角形判定 1. 定义：有一个角为90度的三角形是直角三角形； 2.两个锐角互余：两个锐角互余的三角形是直角三角形. 3.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边a, b, c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形； 4.直角三角形斜边中线定理的逆定理：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形； 考点与题型目录 【考点一】直角三角形的性质 【题型1】直角三角形两锐角互余...............................................2 【题型2】直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）.............3 【题型3】在直角三角形中，若一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半.3 【题型4】在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.........................4 【考点二】直角三角形的判定 【题型5】两个锐角互余的三角形是直角三角形...................................5 【题型6】如果三角形的三边a, b, c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形...6 【题型7】三角形一条边上的中线等于这条边的一半，则这个三角形是直角三角形.....7 【考点三】用HL证明直角三角形全等 【题型8】用HL证直角三角形全等..............................................7 【题型9】全等的性质与HL综合................................................8 【考点四】直角三角形性质与判定综合 【题型10】直角三角形性质与判定综合..........................................9 【考点五】中考链接与拓展延伸 【题型11】中考链接.........................................................10 【题型12】拓展延伸.........................................................10 第二部分【题型展示与方法点拨】 【特别说明】序号前“★”难度系数0.65，“★★”难度系数0.4，“★★★”难度系数0.15. 【题型1】直角三角形两锐角互余 ★【例1】（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图所示，已知，且点，，在同一条直线上，延长交于点F． (1)若，，求的长度； (2)①求的度数；②求证：． 【变式1】（24-25八年级上·辽宁·阶段练习）如图，是直角三角形，，，过边上一点剪下，点在上，当是直角三角形时，则的度数是（   ） A． B． C． D．或 ★【变式2】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，，，，垂足分别为、、，若，，则 ． 【题型2】直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理） ★【例2】（2023·浙江温州·一模）在中，，D是边上一点，于点F，． (1)求证：． (2)当，求的长． 【变式1】（2024·辽宁·模拟预测）已知中，边上的高，则 的长是(　　) A．21或6 B．15或21 C．6或15 D．21或9 【变式2】（2024·云南楚雄·模拟预测）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点E，交于点F，连接．若，则的长为 ． 【题型3】在直角三角形中，若一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半 ★【例3】（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，为等边三角形，，，相交于点P，于，，． (1)求证：； (2)求的长． ★【变式1】（24-25八年级上·北京·阶段练习）如图，两直线与相交于点，他们相交所形成的锐角等于，若点是直线上一定点，，点、分别是直线、上的动点，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D．6 【变式2】（24-25八年级上·吉林·期末）如图，是等边三角形，是边上的中线，，垂足为，若，则 ． 【题型4】在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半 ★【例4】（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，，M是上一点，连结，． (1)求证：M是中点； (2)在的另一侧取点D，使得，连结，求证：． ★【变式1】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，，点D在上，且，点E和点F分别是和的中点，则的长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 ★【变式2】（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于点G，且．若，则的度数是 ． 【题型5】两个锐角互余的三角形是直角三角形 ★【例5】（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，在中，是上一点，延长至点，使得，连接． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【变式1】（23-24八年级上·安徽六安·期中）具备下列条件的中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． ★【变式2】（22-23八年级下·四川达州·阶段练习）如图，在中，，，点在边上，将沿折叠，使得点落在边上的点处，则的度数为 ．    ★【题型6】如果三角形的三边a, b, c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形 【例6】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于A，B两点，点坐标为，直线与交于点   (1)求直线的表达式； (2)求证： (3)直线，且，，不能围成三角形，直接写出所有满足条件的的值． 【变式1】（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，已知．则的度数为（   ） A． B． C． D． ★【变式2】（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，在中，是上一点，延长至点，使得，连接． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【题型7】三角形一条边上的中线等于这条边的一半，则这个三角形是直角三角形 【例7】（19-20八年级上·上海杨浦·期中）求证：如果三角形一边上的中线等于这边长的一半，那么这个三角形是直角三角形. 已知： 求证： 作图： 证明： 【变式】（22-23八年级下·江西宜春·期中）如图，在中，，，是边的中点，且．求证：是直角三角形． 【题型8】用HL证直角三角形全等 【例8】（24-25八年级上·吉林·阶段练习）如图，已知，若用“”证明，需添加什么条件？写出来并证明． 【变式】（22-23八年级上·浙江湖州·期中）已知：如图，，为的高，E为上一点，交于F且有．求证：． ★【题型9】全等的性质与HL综合 【例9】（24-25八年级上·全国·期末）如图，垂直平分交于O，，点E、F分别在的延长线上，连接． (1)求证：； (2)探究之间的关系，并证明； (3)若，，，求的面积． ★【变式1】（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，中，，于点D，于点E，于点F，，则的长为（　　） A． B． C． D．以上答案都不对 ★【变式2】（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数是 ．（请用含有的代数式表示） 【题型10】直角三角形性质与判定综合 ★★【例10】（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，已知中，，点为外一点，连接、，过点作于点，交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)已知，请直接写出的度数______． ★★【变式1】（24-25八年级上·河南开封·期中）如图，，，以A点为顶点、为腰在第三象限作等腰直角三角形． (1)点C的坐标为______． (2)如图②，，P为y轴负半轴上一个动点，当P点沿y轴负半轴向下运动时，以P为直角顶点，为腰向右作等腰直角三角形，过D作轴于E点，求的值． ★★【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，，垂足为D ，，． (1)求的度数？并说明理由； (2)P是边上一点，连接，当为等腰三角形时，求的长． 第二部分【中考链接与拓展延伸】 【题型11】中考链接 【例1】（2024·海南·中考真题）设直角三角形中一个锐角为x度（），另一个锐角为y度，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． ★★【例2】（2023·四川遂宁·中考真题）如图，以的边、为腰分别向外作等腰直角、，连结、、，过点的直线分别交线段、于点、，以下说法：①当时，；②；③若，，，则；④当直线时，点为线段的中点．正确的有 ．(填序号)    【题型12】拓展延伸 ★★【例1】（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，，是边上的动点，点关于直线的对称点为，连接交于，当为直角三角形时，的长是 ． ★★【例2】（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图1，已知长方形，，点P是射线上的动点，连接，是由沿翻折所得到的图形． (1)当点Q落在边上时， _____； (2)当直线经过点D时，求的长； (3)如图2，点M是的中点，连接． ①的最小值为_____； ②当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 直角三角形（2大知识点5大考点12类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】直角三角形的性质 1.直角三角形的两锐角互余 2.直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方； 3.在直角三角形中，若一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半； 4.在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。 【知识点2】直角三角形判定 1. 定义：有一个角为90度的三角形是直角三角形； 2.两个锐角互余：两个锐角互余的三角形是直角三角形. 3.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边a, b, c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形； 4.直角三角形斜边中线定理的逆定理：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形； 考点与题型目录 【考点一】直角三角形的性质 【题型1】直角三角形两锐角互余...............................................2 【题型2】直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）.............5 【题型3】在直角三角形中，若一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边一半.....7 【题型4】在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半........................10 【考点二】直角三角形的判定 【题型5】两个锐角互余的三角形是直角三角形..................................13 【题型6】如果三角形的三边a, b, c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形..15 【题型7】三角形一条边上的中线等于这条边的一半，则这个三角形是直角三角形....19 【考点三】用HL证明直角三角形全等 【题型8】用HL证直角三角形全等.............................................21 【题型9】全等的性质与HL综合...............................................22 【考点四】直角三角形性质与判定综合 【题型10】直角三角形性质与判定综合.........................................27 【考点五】中考链接与拓展延伸 【题型11】中考链接.........................................................33 【题型12】拓展延伸.........................................................35 第二部分【题型展示与方法点拨】 【特别说明】序号前“★”难度系数0.65，“★★”难度系数0.4，“★★★”难度系数0.15. 【题型1】直角三角形两锐角互余 ★【例1】（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图所示，已知，且点，，在同一条直线上，延长交于点F． (1)若，，求的长度； (2)①求的度数；②求证：． 【答案】(1)； (2)①；②见解析 【分析】本题考查三角形全等的性质．掌握两个全等三角形的对应角相等和对应边相等是解题关键． （1）由三角形全等的性质可得出，，从而可求出； （2）①由三角形全等的性质可得出，．根据点B，C，D在同一条直线上，即可求出； ②由①得．由对顶角相等即得出，从而即可求出，即可证明． 解：（1）解；∵， ∴，， ∴； （2）证明：①∵， ∴，． ∵点B，C，D在同一条直线上， ∴； ②∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即． 【变式1】（24-25八年级上·辽宁·阶段练习）如图，是直角三角形，，，过边上一点剪下，点在上，当是直角三角形时，则的度数是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握三角形内角和为．分两种情况讨论：当点为直角顶点时，当点D为直角顶点时，分别求出结果即可． 解：当点D为直角顶点时，如图所示： 则， ∵， ∴； 当点E为直角顶点时，如图所示： 则； 综上分析可知：或． 故选：D． ★【变式2】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，，，，垂足分别为、、，若，，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．根据直角三角形的性质、勾股定理求出，，根据证明，进而利用全等三角形的性质解答即可． 解：，，， ， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：1． 【题型2】直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理） ★【例2】（2023·浙江温州·一模）在中，，D是边上一点，于点F，． (1)求证：． (2)当，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）先证明，推出，再利用可证明； （2）由，推出，再在中，利用勾股定理即可求解. 解：（1）证明：∵ ∴， ∴ ∴ 又∵ ∴ （2）解：∵， ∴， ∴， 在 中， 【变式1】（2024·辽宁·模拟预测）已知中，边上的高，则 的长是(　　) A．21或6 B．15或21 C．6或15 D．21或9 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理，在解答此题时要进行分类讨论，不要漏解． 高线可能在三角形的内部也可能在三角形的外部，本题应分两种情况进行讨论．分别依据勾股定理即可求解． 解：如图所示，在中， ∵， ∴； 在中， ∵， ∴， ∴当在三角形的内部时，如图1，； 当在三角形的外部时，如图2，． ∴的长是21或9． 故选：D． 【变式2】（2024·云南楚雄·模拟预测）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点E，交于点F，连接．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等，以及勾股定理等知识点，由题意得得出直线垂直平分线段是解题关键． 由题意得：直线垂直平分线段，可得出，根据角的和差可得出，再根据勾股定理即可得出答案． 解：由题意得：直线垂直平分线段， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【题型3】在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 ★【例3】（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，为等边三角形，，，相交于点P，于，，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)7 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质和三角形外角的性质，理解并掌握以上知识是解答本题的关键． （1）本题要先得到，再根据全等三角形的性质即可得到． （2）根据（1）中，得到，再根据三角形外角的性质和等边三角形每个内角是，得到，即可求解得到的长． 解：（1）证明：∵为等边三角形， ∴，． ∴在和中， ， ∴． ∴． （2）∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ★【变式1】（24-25八年级上·北京·阶段练习）如图，两直线与相交于点，他们相交所形成的锐角等于，若点是直线上一定点，，点、分别是直线、上的动点，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称、垂线段最短、含角的直角三角形的性质等知识，解题关键是牢记并灵活运用相关概念．先利用轴对称作出点关于直线的对称点，再利用垂线段最短得到它的最小值等于线段的长，最后利用直角三角形中的角所对的直角边等于斜边的一半求解即可． 解：如图，作点关于直线的对称点，作直线， ∴，，， ∴ 过点作，垂足为点， 则当点、、，共线，与重合时，的值最小，等于， ∴， ∴的最小值为3 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·吉林·期末）如图，是等边三角形，是边上的中线，，垂足为，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，由是等边三角形，得，，由等腰三角形“三线合一”得，最后由含角的直角三角形得性质即可求解，掌握等腰三角形“三线合一”性质，含角的直角三角形性质是解题的关键． 解：∵是等边三角形， ∴，， ∴是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型4】在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半 ★【例4】（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，，M是上一点，连结，． (1)求证：M是中点； (2)在的另一侧取点D，使得，连结，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的性质，准确识图，熟练掌握直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的性质是解决问题的关键． （1）根据得，再根据得，则，进而得，由此可以得出结论； （2）连接，根据直角三角形斜边中线的性质得，即可得到答案． 解：（1）证明：∵， ∴    ， ∵， ∴， ， ∴， ∴， 即M是的中点 ， （2）证明：∵，M是的中点， ∴， ∴． ★【变式1】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，，点D在上，且，点E和点F分别是和的中点，则的长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形，直角三角形，解题的关键是熟练掌握三线合一，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 连接，根据等腰三角形的性质得，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半进行解答即可得． 解：如图，连接， ∵，点F是的中点， ∴，， ∵，点E是的中点， ∴， 故选：B． ★【变式2】（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于点G，且．若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】连接，如图所示，证得是线段的垂直平分线，得到，则有，再根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得到，从而，结合三角形外角性质有，最后根据三角形内角和定理得到，解方程求出，从而得到的度数． 解：连接，如图所示： 于点，且， 是线段的垂直平分线， ， ， 在中，，是边上的中线， ， ， 是的一个外角， ， 设，则， 在中，，根据三角形内角和定理可得， 解得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形中求角度问题，涉及垂直平分线的判定与性质、直角三角形斜边上中线等于斜边的一半、外角性质及三角形内角和定理等知识，根据题意准确作出辅助线，并灵活运用相关几何判定与性质是解决问题的关键． 【题型5】两个锐角互余的三角形是直角三角形 ★【例5】（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，在中，是上一点，延长至点，使得，连接． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）延长交于点，证明，得，由，，得，进而，即可得证； （2）根据，，得，从而，，进而利用面积公式即可得解． 解：（1）解：如图，延长交于点， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了邻补角的性质，全等三角形的判定及性质，垂线定义，直角三角形的两锐角互余，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【变式1】（23-24八年级上·安徽六安·期中）具备下列条件的中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了直角三角形以及三角形的内角和定理．根据三角形内角和等于，，得到，，得到具备条件A的不是直角三角形；根据，得到，得到具备条件B的是直角三角形；根据得到，得到具备条件C的是直角三角形；根据得到，得到具备条件D的是直角三角形．熟练掌握三角形内角和定理，直角三角形定义，是解决问题的关键． 解：A、由及可得，，不是直角三角形，故符合题意； B、由及可得，是直角三角形，故不符合题意； C、由及可得， 是直角三角形，故不符合题意； D、由及可得，，，是直角三角形，故不符合题意． 故选：A． ★【变式2】（22-23八年级下·四川达州·阶段练习）如图，在中，，，点在边上，将沿折叠，使得点落在边上的点处，则的度数为 ．    【答案】/度 【分析】本题考查了折叠的性质、直角三角形的特征及三角形外角的性质，根据直角三角形的特征得，再根据折叠的性质得，再根据三角形的外角的性质即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 解：，， ， 沿折叠得到， ， 是的一个外角， ， 故答案为：． ★【题型6】如果三角形的三边a, b, c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形 【例6】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于A，B两点，点坐标为，直线与交于点   (1)求直线的表达式； (2)求证： (3)直线，且，，不能围成三角形，直接写出所有满足条件的的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)或或 【分析】本题考查一次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）将点代入，求出的值，再利用待定系数法求出的表达式即可； （2）求出即可证明结论； （3）分过点，，，三种情况求出的值即可． 解：（1）解：∵与交于点， ∴把代入， ∴， ∴， ∴， ∴把代入， 得：， 解得： ∴的表达式为：； （2）解：， ，， ， 是直角三角形，， ； （3）解：∵三条直线不能围成三角形， ①当过点时，三条直线交于一点，满足题意， 此时：，解得：； ②当时，满足题意，此时； ③当时，满足题意，此时； 综上：或或． 【变式1】（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，已知．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质．根据勾股定理可得，再由勾股定理的逆定理可得，即可求解． 解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． ★【变式2】（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，在中，是上一点，延长至点，使得，连接． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）延长交于点，证明，得，由，，得，进而，即可得证； （2）根据，，得，从而，，进而利用面积公式即可得解． 解：（1）解：如图，延长交于点， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了邻补角的性质，全等三角形的判定及性质，垂线定义，直角三角形的两锐角互余，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【题型7】三角形一条边上的中线等于这条边的一半，则这个三角形是直角三角形 【例7】（19-20八年级上·上海杨浦·期中）求证：如果三角形一边上的中线等于这边长的一半，那么这个三角形是直角三角形. 已知： 求证： 作图： 证明： 【答案】在△ABC中，CD是AB边上的中线，且CD=；△ABC是直角三角形；图见详解；证明见详解. 【分析】根据题意，写出已知、求证、画出图形；然后由等腰三角形性质，得到∠1=∠A，∠2=∠B，利用三角形内角和定理，即可得到结论成立. 解：已知：在△ABC中，CD是AB边上的中线，且CD=. 求证：△ABC是直角三角形. 作图： 证明：∵CD是AB边上的中线， ∴， ∵CD=， ∴， ∴∠1=∠A，∠2=∠B， ∵∠1+∠A+∠2+∠B=180°， ∴， ∴， 即∠ACB=90°， ∴△ABC是直角三角形. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理，解题的关键是熟练运用等腰三角形性质以及三角形内角和定理进行解题. 【变式】（22-23八年级下·江西宜春·期中）如图，在中，，，是边的中点，且．求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【分析】延长至，使得，证明得出，，，根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，根据平行线的性质得出，即可得证． 解：证明：如图所示，延长至，使得， ∵， 又是边的中点，则， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴, ∴， ∴是直角三角形，且， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【题型8】用HL证直角三角形全等 【例8】（24-25八年级上·吉林·阶段练习）如图，已知，若用“”证明，需添加什么条件？写出来并证明． 【答案】，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据“”证明，已知，则添加（斜边相等）即可证明． 解：条件是， ， ， 和是直角三角形， 证明：在和中， ， ． 【变式】（22-23八年级上·浙江湖州·期中）已知：如图，，为的高，E为上一点，交于F且有．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题主要考查直角三角形全等的判定，由为的高得到，根据等腰三角形的判定得出，再根据即可证明 解：证明：∵为的高， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． ★【题型9】全等的性质与HL综合 【例9】（24-25八年级上·全国·期末）如图，垂直平分交于O，，点E、F分别在的延长线上，连接． (1)求证：； (2)探究之间的关系，并证明； (3)若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)6 【分析】（1）在上取点G，连接，使，则，证明，即可得出结论； （2）过点作于，于，依次证明，，，进而得出，最后用等量代换即可得出结论； （3）先求出，进而求出，，利用勾股定理求出，最后用三角形的面积公式即可得出结论． 解：（1）证明：在上取点G，连接，使，则， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，过点作于，于， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：，，， ， ， 在中，根据勾股定理得，， 由（2）知，， ， ， 由（2）知，， ． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，垂直平分线定理，勾股定理，三角形内角和定理及三角形的面积公式，正确作出辅助线是解本题的关键． ★【变式1】（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，中，，于点D，于点E，于点F，，则的长为（　　） A． B． C． D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，利用面积公式得出等式是解题的关键，先利用证明，得出，又，将代入即可求出的值． 解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． ★【变式2】（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数是 ．（请用含有的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查的是翻折变换，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等，连接，过点作于E，于F，可得是等边三角形，得出，，运用可证得，得出，再运用三角形内角和定理即可求得答案． 解：如图，连接，过点作于E，于F， 则， 由折叠可知，，，， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ，， ∵平分， ∴， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 【题型10】直角三角形性质与判定综合 ★★【例10】（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，已知中，，点为外一点，连接、，过点作于点，交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)已知，请直接写出的度数______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）证明，得出即可； （2）根据，得出，求出，证明，得出，最后求出结果即可． 解：（1）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． ★★【变式1】（24-25八年级上·河南开封·期中）如图，，，以A点为顶点、为腰在第三象限作等腰直角三角形． (1)点C的坐标为______． (2)如图②，，P为y轴负半轴上一个动点，当P点沿y轴负半轴向下运动时，以P为直角顶点，为腰向右作等腰直角三角形，过D作轴于E点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作轴于点，于是可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由是等腰直角三角形可得，，进而可得，于是可得，利用可证得，于是可得，，进而可得，据此即可得出点的坐标； （2）过点作轴于点，于是可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由是等腰直角三角形可得，，进而可得，于是可得，利用可证得，于是可得，由轴可得，根据题意可知，再结合，进而可得，则，于是得解． 解：（1）解：如图，过点作轴于点， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 故答案为：； （2）解：如图，过点作轴于点， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 轴， ， ∴； 根据题意可知：， 又， ∴， ， ， 即：的值为． 【点睛】本题主要考查了垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，等腰三角形的定义，等式的性质，全等三角形的判定与性质，已知两点坐标求两点距离，线段的和与差，写出直角坐标系中点的坐标等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． ★★【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，，垂足为D ，，． (1)求的度数？并说明理由； (2)P是边上一点，连接，当为等腰三角形时，求的长． 【答案】(1) (2)4或或5 【分析】（1）先由勾股定理求出和，再由勾股定理逆定理证出为直角三角形即可； （3）分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别求解即可． 解：（1）解：， 理由：∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：分三种情况：①当时，如图， ∵，， ∴， ∴； ②当时，如图， ∵ ∴， ∴； ③当时，过点P作于E，如图， ∵，， ∴，， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，当为等腰三角形时，的长为4或或5． 【点睛】本题考查勾股定理和逆定理，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握勾股定理和逆定理、等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键，注意分类讨论，以免漏解． 第二部分【中考链接与拓展延伸】 【题型11】中考链接 【例1】（2024·海南·中考真题）设直角三角形中一个锐角为x度（），另一个锐角为y度，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数关系式．利用直角三角形的两锐角互余可得到y与x的关系式． 解：∵直角三角形中一个锐角的度数为x度，另一个锐角为y度， ∴． 故选：D． ★★【例2】（2023·四川遂宁·中考真题）如图，以的边、为腰分别向外作等腰直角、，连结、、，过点的直线分别交线段、于点、，以下说法：①当时，；②；③若，，，则；④当直线时，点为线段的中点．正确的有 ．(填序号)    【答案】①②④ 【分析】①当时，是等边三角形，根据等角对等边，以及三角形的内角和定理即可得出，进而判断①；证明，根据全等三角形的性质判断②；作直线于点， 过点作于点，过点作于点，证明，，，即可得是的中点，故④正确，证明，可得，在中，，在中，，得出 ，在中，勾股定理即可求解． 解：①当时，是等边三角形， ∴ ∴ ∵等腰直角、， ∴ ∴ ∴；故①正确； ②∵等腰直角、， ∴， ∴ ∴ ∴；故②正确； ④如图所示，作直线于点， 过点作于点，过点作于点，    ∵， ∴， 又， ∴ 又∵， ∴ 同理得，， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴，即是的中点，故④正确， ∴， 设，则 在中， 在中， ∴ ∴ 解得： ∴， ∴， ∴ ∴ 在中， ∴,故③错误 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 【题型12】拓展延伸 ★★【例1】（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，，是边上的动点，点关于直线的对称点为，连接交于，当为直角三角形时，的长是 ． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论：当时，由三线合一可得，由勾股定理可得，由轴对称的性质可得，，进而可得，设，则，在中，根据勾股定理可得，即，解方程即可求出的长；当时，作于点，利用邻补角互补可得，由轴对称的性质可得，利用邻补角互补可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，由等角对等边可得，根据即可求出的长；综上，即可得出答案． 解：分两种情况讨论： 当时， 如图， ， ，， ， ， ， 由轴对称的性质可得：，， ， 设，则， 在中，根据勾股定理可得： ， 即：， 解得：， ； 当时， 如图，作于点， ， ， ， 由轴对称的性质可得： ， ， ， ， ， ； 综上，的长是或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了三线合一，勾股定理，轴对称的性质，线段的和与差，解一元一次方程，垂线的性质，利用邻补角互补求角度，直角三角形的两个锐角互余，等角对等边等知识点，运用分类讨论思想是解题的关键． ★★【例2】（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图1，已知长方形，，点P是射线上的动点，连接，是由沿翻折所得到的图形． (1)当点Q落在边上时， _____； (2)当直线经过点D时，求的长； (3)如图2，点M是的中点，连接． ①的最小值为_____； ②当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长． 【答案】(1)；(2)或；(3)①；②或或． 【分析】本题考查折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，综合性强，难度大，属于压轴题．利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）根据折叠的性质和勾股定理进行求解即可； （2）分点在线段上，点在线段的延长线上，两种情况，进行讨论求解； （3）①连接，勾股定理求出的长，折叠求出的长，根据，求出最小值即可； ②分和两种情况，再分点在线段上，点在线段的延长线上，进行讨论求解即可． 解：（1）解：当点Q落在边上时，如图所示， ∵长方形，，， ∴，， ∵翻折， ∴， ∴， 在中，； 故答案为：； （2）当直线经过点D时，分两种情况： 当点在线段上时，如图： ∵翻折， ∴，，， ∴， ∴， 设，则：，， 在中，，即：， ∴； ∴； ②当在线段的延长线上时： ∵翻折， ∴，， ∴， 设，则：，， 在中，，即：， ∴； ∴； 综上：或； （3）①连接， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵翻折， ∴， ∵， ∴当三点共线时，的值最小， 即：； 故答案为：； ②当时，如图： ∵翻折， ∴， 设，则：， 在中，，即：， 解得：， 即：； 当，点在线段上时，如图： ∵，， ∴， ∴，点在上， 由（1）知：， ∴， ∴； 当点在的延长线上时：如图：此时点在上，连接， ∵翻折， ∴， ∵， ∴； 综上：或或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$