精品解析：天津市宝坻区第一中学2024-2025学年高一上学期第二次统练（12月）数学试题

宝坻一中2024-2025学年度第一学期高一年级 第二次统练数学卷 班级: 姓名: 考号: 考场、座位号: 一、选择题(每小题5分，共计45分) 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，，，则的大小关系为 A. B. C. D. 4. 已知为角终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数在上的图象大致为（ ） A. B. C D. 6. 已知函数，若，且，设，则最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，若存在，使得不等式能成立，则实数的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 8. 用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（ ） A. B. C. D. 9. 已知 是奇函数，则不正确的是（ ） A B. 上单调递增 C. 的值域为 D. 的解集为 二、填空题(每小题5分，共计30分) 10. 已知函数是幂函数，且该函数是偶函数，则的值是_________. 11. 若，则________ 12. 若在区间上递减，则实数a的取值范围为_____ 13. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是___________. 14. 已知函数是定义为，对于，有，且，则不等式的解集______． 15. 已知函数，其中.若方程有且只有一个解，则实数a取值范围是________. 三、简答题(16题8分， 17题12分， 18题12分， 19题13分) 16. 计算： （1）. （2）. 17. 已知． （1）化简； （2）若是第三象限角，且，求的值； （3）若，求的值． 18 已知函数，. （1）求函数的最大值； （2）设不等式的解集为，若对任意，存在，使得，求实数的值. 19. 设常数，，. （1）已知的图象过点求实数的值； （2）当时，对任意，都有恒成立，求实数的取值范围； （3）若方程有两个实数根，，且，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 宝坻一中2024-2025学年度第一学期高一年级 第二次统练数学卷 班级: 姓名: 考号: 考场、座位号: 一、选择题(每小题5分，共计45分) 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合交集的概念直接求解即可. 【详解】因为集合，， 所以， 故选：B 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件. 【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件. 故选：C. 3. 已知，，，则的大小关系为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用利用等中间值区分各个数值的大小． 【详解】； ； ． 故． 故选A． 【点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与的大小区别对待． 4. 已知为角终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先应用任意角三角函数的定义求出正切，再应用同角三角函数把弦化切得出等式的值. 【详解】因为为角终边上一点，所以， 所以. 故选：B. 5. 函数在上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，再通过特殊值，利用排除法，得到正确答案. 【详解】因为， 所以， 即为奇函数，排除A、B； 又当时，时， 当时，时，排除D. 故选：C. 6. 已知函数，若，且，设，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助分段函数图象得出的范围，由的关系，化为关于的二次函数，由此可得最大值． 【详解】作出函数的图象如下图， ，令，解得或， 若，且，即有，， 可得，可得， 则，， 对称轴为， 当时，取最大值． 故选：C． 7. 已知，若存在，使得不等式能成立，则实数的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设函数，讨论函数的奇偶性和单调性，利用函数的性质，把函数不等式转化为代数不等式，再结合的取值范围，求的取值范围 【详解】设， 则，所以函数为奇函数； 当时，在上单调递增. 所以函数函数在上为增函数. 所以. 所以. 所以，时能成立. 因为，所以或. 所以或. 故选：B 【点睛】方法点睛：解这种函数不等式问题，不要急于代入函数解析式，转化成代数不等式，而是应该分析函数的性质，利用函数性质把函数不等式转化为代数不等式. 8. 用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断函数的单调性，再判断区间端点处的函数值的符号，结合零点存在性定理判断即可. 【详解】设函数， 因为函数和都是增函数， 所以函数上单调递增； 又，， 因此，所取的第一个区间可以是， 故选：B. 9. 已知 是奇函数，则不正确的是（ ） A. B. 上单调递增 C. 的值域为 D. 的解集为 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性求出即可判断A；利用复合函数的单调性即可判断B；利用反函数法求出函数的值域即可判断C；利用函数的单调性解不等式即可判断D. 【详解】A：由，得，即函数定义域为， 由为奇函数，得， 即，整理得， 又，所以，解得.故A正确； B：由选项A知， 当时，.又函数在上为增函数， 所以在上为减函数，故B错误； C：令，得，解得或， 所以值域为，故C正确； D：因为在上为减函数，且为奇函数， 所以在上为减函数，且， 由得，解得， 即原不等式的解集为，故D正确. 故选：B 二、填空题(每小题5分，共计30分) 10. 已知函数是幂函数，且该函数是偶函数，则的值是_________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据幂函数的定义求出m的值，结合偶函数的定义可得，代入即可得的值． 【详解】解：由题意得：，解得：或， 时，是奇函数，不符合题意， 时，是偶函数，符合题意， 故，，  故答案为： 11. 若，则________ 【答案】## 【解析】 【分析】首先根据商数关系及其诱导公式求出，然后再根据诱导公式化简目标式子，最后根据齐次式思想进行求解即可. 【详解】已知，解得：； ， 构造齐次式可得：， 代入，得：. 故答案为： 12. 若在区间上递减，则实数a的取值范围为_____ 【答案】 【解析】 【分析】将作为复合函数，外层函数是对数函数且递增，而内层函数为二次函数且对称轴为，结合题意知在必递减，据此列不等式组即可求a的范围 【详解】解：令，其对称轴方程为 外函数是对数函数且为增函数， 要使函数在上递减， 则，即： 实数a的取值范围是 故答案为： 【点睛】本题考查了应用对数函数的性质求参数范围，运用对数函数的定义域、单调性结合复合函数的单调性及二次函数的对称轴、单调区间求参数范围 13. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】令，分析可知是函数在时的值域的子集，分、两种情况讨论，利用二次函数和一次函数的基本性质可得出结论. 【详解】令，因为函数的值域为， 则可知是函数在上的值域的子集. ①当时，. 当时，函数在时的值域为，合乎题意； 当时，函数在时的值域为，合乎题意； ②若，则有，解得或. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知函数是定义为，对于，有，且，则不等式的解集______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知不等式可得，令，则在上单调递增，结合的单调性即可求解不等式. 【详解】解：因为函数是定义为，对于，有， 所以， 所以， 令，则在上单调递增， 因为， 所以， 则不等式可化为， 即， 所以， 解得． 故答案为：． 15. 已知函数，其中.若方程有且只有一个解，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】作出函数的图象，令，则，再分和两种情况讨论，结合图象即可得出答案. 【详解】如图，作出函数的图象， 令，则， 当时，由，得或， 即或， 若方程只有一个解， 则，解得， 若方程只有一个解， 则，解得， 此时方程必有解，与题意矛盾，所以， 当时，由，得，即， 令，解得， 要使方程只有一个解， 则，解得， 综上所述，a的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 三、简答题(16题8分， 17题12分， 18题12分， 19题13分) 16. 计算： （1）. （2）. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据对数运算法则计算出答案； （2）利用指数运算法则计算出答案. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 ＝ 17. 已知． （1）化简； （2）若是第三象限角，且，求的值； （3）若，求的值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由诱导公式即可化简； （2）由诱导公式结合计算即可得解； （3）结合诱导公式将代入计算可得解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 因为，所以， 又因为是第三象限角，所以， 所以. 【小问3详解】 当时，. 18. 已知函数，. （1）求函数的最大值； （2）设不等式的解集为，若对任意，存在，使得，求实数的值. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数运算化简为二次函数的复合函数，结合二次函数的值域求出最值即可； （2）先换元把指数函数复合函数转化为二次函数，再分段分类讨论求出最值，再根据已知等式求值即可. 【小问1详解】 ， ，， 当，即时，，当，即时，， 当时，的最大值为2. 【小问2详解】 由，得， 即，， 设，则当，，， ， 设， 由题意，是当时，函数的值域的子集. ①当，即时，函数在上单调递增， 则解得. ②当，即时，函数在上单调递减， 则不等式组无解. ③当，即时，函数在上单调递减，上单调递增， 则函数的最大值是与的较大者. 令，得， 令，得，均不合题意. 综上所述，实数的值为. 【点睛】关键点点睛：本题第2小问解决的关键是，利用换元法将问题转化为是的值域的子集，从而得解. 19. 设常数，，. （1）已知的图象过点求实数的值； （2）当时，对任意，都有恒成立，求实数的取值范围； （3）若方程有两个实数根，，且，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把点的坐标代入解析式，求出值即可； （2）将，代入解析式，得，利用换元法结合二次函数的单调性求出函数的最小值，根据已知条件有，即可求解； （3）利用换底公式化方程为，利用换元法及韦达定理得，根据解出的范围即可. 【小问1详解】 因为图象过点，所以， 所以，解得. 【小问2详解】 当时，， 因为，所以， 令，则有，， 函数的对称轴为，所以， ，所以， 因为对任意，都有恒成立， 所以，所以，即实数的取值范围为：. 【小问3详解】 因为，则， 化为， 整理有：， 因为，所以， 所以原式可化为：， 令，则有， ， 所以方程有两个根，设为、，且，， 所以，， ， 又因为， 所以，因为，所以， 所以，即，， ，，，， 又因为，所以. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用换底公式以及换元法得到：，然后利用解出的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$