精品解析：江苏省无锡市江阴市某校2024-2025学年高一上学期12月学情调研数学试题

2024-2025学年度秋学期12月学情调研试卷 高一数学 命题人： 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求，再求交集. 【详解】，， 所以. 故选：B 2. 化成弧度制为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由角度，弧度转化公式可得答案. 【详解】因，则. 故选：D 3. 已知角的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆的交点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由任意角的三角函数定义可得答案. 【详解】由题可得，则. 故选：A 4. 若，则的值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】由分段函数解析式可得答案. 【详解】由题可得：. 故选：A 5. “扇形窗下清风徐”.如图所示是一个扇子形窗，其所在的扇形半径为，圆心角为，窗子左右两边的边框长度都为，则该窗的面积约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合扇形的面积公式运算求解. 【详解】由题意可知：扇形的圆心角为，大扇形的半径为，小扇形的半径为， 所以该窗的面积为. 故选：C. 6. 已知函数为幂函数，若函数，则的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用幂函数的定义求出，再根据零点存在性定理可得答案. 【详解】因为函数为幂函数，所以，得， 所以，， 因为，，， ，且在上为增函数， 所以在上有唯一零点. 故选：C 7. 已知，则的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用同角三角函数之间的基本关系和诱导公式计算可得结果. 【详解】易知. 故选：D 8. 设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，分析函数的奇偶性与单调性，计算可得出，然后分情况解不等式，即可得出原不等式的解集. 【详解】对任意的，且，都有不等式， 不妨设，则， 令，则，即函数在上为增函数， 因为函数的定义域上是奇函数，即， 则，所以偶函数， 所以函数在上为增函数，在上为减函数， 因为，则， 当时，即时， 由可得， 则，解得， 当时，即时， 由可得， 则，解得， 综上：不等式的解集是. 故选：C. 【点睛】思路点睛：根据函数单调性求解函数不等式的思路如下： （1）先分析出函数在指定区间上的单调性； （2）根据函数单调性将函数值的关系转变为自变量之间的关系，并注意定义域； （3）求解关于自变量的不等式 ，从而求解出不等式的解集. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 为第三象限角的充要条件为 B. 若为第二象限角，则为第一或第三象限角 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用三角函数角在各象限三角函数值的正负，以及角在各象限范围，诱导公式，同角三角函数基本关系，判断四个选项即可. 【详解】对于A，当为第三象限角时，，所以， 反之，当时，则有 ①当，为第三象限角， ②当时，为第二象限角，故A错误； 对于B，若为第二象限角，即，， 则，，则为第一或第三象限角，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D， ，故D正确； 故选：BD. 10. 已知，设，，则以下四个命题中正确的是（ ） A. 若，则有最小值 B. 若，则有最大值2 C. 若，则 D. 若，则有最大值 【答案】BC 【解析】 【分析】由已知结合基本不等式一一计算可得． 【详解】由题意知，，，，， 对于A：当时，，当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为，故A错误； 对于B：当 时，，当且仅当时等号成立， 令，则，且，解得，即，解得， 所以，即有最大值，当且仅当，时取等号，故B正确； 对于C：当时，，当且仅当，即，时等号成立， 所以，得，所以，故C正确； 对于D：当时，得， 所以， 当且仅当，即、时取等号，即有最小值，故D错误． 故选：BC． 11. 设函数 ，则（ ） A. 直线是函数的对称轴 B. 若函数在上单调递减，则 C. 对，不等式总成立 D. 当时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】先根据绝对值的性质将函数写成分段函数的形式，再根据函数的性质逐一分析选项. 【详解】，画出的图像如图所示， 对于A，由图可知，不是的对称轴，故A错误； 对于B，若函数在上单调递减，由图可知，，故B正确； 对于C，， ，所以总成立，故C正确； 对于D，当时，，，此时，关于直线对称， 所以，成立，当时，，成立， 当时，，，，成立. 综上所述，当时，，故D正确. 故答案为：BCD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 12. 将写成的形式，可写为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据角度制与弧度制的互化计算可得结果. 【详解】易知化成弧度制为， 因此. 故答案为： 13. 函数的单调递减区间是______________. 【答案】 【解析】 【分析】令，根据复合函数单调性的判断方法，考虑该函数在的增区间即可. 【详解】函数的定义域为， 令，则原函数可分解为：，，其中， 在为增函数，在上为减函数， 故的减区间为，填. 【点睛】本题考查与对数有关的复合函数的单调性，注意先考虑函数的定义域，再利用“同增异减”求内函数相应的单调区间即可. 14. 若“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据特称命题的定义和一元二次不等式的恒成立问题求解. 【详解】因为“，使得”是假命题， 所以“，使得”是真命题， 所以，解得， 故答案为: . 15. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为，根据国家规定，100mL血液中酒精含量达到20-79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，血液中的酒精含量达到1mg/mL，如果停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时25%的速度减少，那么他至少经过________小时，才能驾驶?（结果精确到0.1h）（附：，） 【答案】5.6 【解析】 【分析】设经过个小时才能驾驶，则，再根据指数函数的性质及对数的运算计算可得. 【详解】设经过个小时才能驾驶，则， 即， 由于在定义域上单调递减， 所以 ∴他至少经过5.6小时才能驾驶. 故答案为：5.6. 四、解答题：本题共6小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (1)； (2). 【答案】（1）1；（2） 【解析】 【分析】（1）由对数运算性质运算即可求解. （2）由特殊角三角函数值即可计算. 【详解】（1）原式 . （2）原式. 17. 已知全集，集合，. （1）若，求，； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）. （2） 【解析】 【分析】（1）解除分式不等式得到集合，再利用交并补运算即可； （2）根据补集结果得到，从而得到不等式组，解出即可. 【小问1详解】 因为，所以， 所以，即， 当时，， 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 又因为，所以， 解得，即的取值范围为. 18. 在平面直角坐标系xOy中，角的始边为轴的非负半轴，终边经过第四象限内的点，且． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用角的始边为x轴的非负半轴，终边经过第四象限内的点，得出，求解即可； （2）利用诱导公式转化为，结合三角函数定义即可求值. 【小问1详解】 因为角的始边为x轴的非负半轴，终边经过第四象限内的点，， 所以，且， 解得 【小问2详解】 因为， 所以， 所以原式 19. 某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目.经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可以近似地表示为：，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴. （1）当时，判断该项目能否获利?如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损? （2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低? 【答案】（1）不获利，政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损 （2）当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低 【解析】 【分析】（1）先确定该项目获利的函数，再利用配方法确定不会获利，从而可求政府每月至少需要补贴的费用； （2）确定食品残渣的每吨的平均处理成本函数，分别求出分段函数的最小值，即可求得结论. 【小问1详解】 当时，该项目获利为S， 则， 当时，，因此，该项目不会获利, 当时，S取得最大值， 所以政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损. 【小问2详解】 由题意可知，生活垃圾每吨的平均处理成本为：， 当时，， 所以当时，取得最小值240； 当时，， 当且仅当，即时，取得最小值200； 因为，所以当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低. 20. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数a，b的值； （2）判断并证明函数的单调性； （3）对任意，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），； （2） 由（1）知 函数为R上的减函数，证明如下； 设，则 因为，， 故， 则是R上的减函数. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据题意由函数为定义在上的奇函数知，，代入计算并验证即可； （2）首先对解析式变形，用作差法判断函数单调性即可； （3）根据函数的奇偶性，单调性可得恒成立，再利用二次函数性质求出其最值左侧最值即可. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即，此时， ，，则，解得， 则，，则此时为奇函数. 综上，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为为奇函数， 所以， 又是R上的减函数， 所以恒成立， 令， 因为，所以， 当时，， 所以时，即时，不等式恒成立. 故实数的取值范围为. 21. 已知函数，若对于其定义域中任意给定的实数，都有，就称函数满足性质. （1）已知，判断是否满足性质，并说明理由； （2）若满足性质，且定义域为. ①已知时，，求函数的解析式并指出方程是否有正整数解?请说明理由； ②若在上单调递增，证明：在上单调递增. 【答案】（1）不满足，理由如下： 因为不恒成立， 所以不满足性质； （2），没有正整数解，理由如下： 当时，， 此时， 又当时，，所以， 所以， 假设方程有正整数解， 则， 要使上式能成立，则必有，，， 所以， 明显为单调递增函数， 又当时，， 当时，， 故方程没有正整数解； 在上单调递增，证明如下： 任取，则， 则， 因为在上单调递增，且， 所以， 所以， 即 所以在上单调递增． 【解析】 【分析】（1）直接根据性质列式计算验证即可； （2）通过可求得函数的解析式，先假设方程有正整数解，然后列方程找到矛盾即可；任取，计算判断的正负即可证明． 【小问1详解】 不满足，理由略； 【小问2详解】 ，没有正整数解，理由略； 在上单调递增，证明略. 【点睛】方法点睛：对于新定义问题，直接模仿定义中的条件来列式计算即可对（1）问求解，然后结合新定义及函数的单调性从而可对（2）问进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度秋学期12月学情调研试卷 高一数学 命题人： 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 化成弧度制为（ ） A. B. C. D. 3. 已知角的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆的交点，则（ ） A. B. C. D. 4. 若，则的值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 5. “扇形窗下清风徐”.如图所示是一个扇子形窗，其所在的扇形半径为，圆心角为，窗子左右两边的边框长度都为，则该窗的面积约为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数为幂函数，若函数，则的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的值等于（ ） A. B. C. D. 8. 设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 为第三象限角的充要条件为 B. 若为第二象限角，则为第一或第三象限角 C. D. 10. 已知，设，，则以下四个命题中正确的是（ ） A. 若，则有最小值 B. 若，则有最大值2 C. 若，则 D. 若，则有最大值 11. 设函数 ，则（ ） A. 直线是函数的对称轴 B. 若函数在上单调递减，则 C. 对，不等式总成立 D. 当时， 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 12. 将写成的形式，可写为________. 13. 函数的单调递减区间是______________. 14. 若“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是______． 15. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为，根据国家规定，100mL血液中酒精含量达到20-79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，血液中的酒精含量达到1mg/mL，如果停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时25%的速度减少，那么他至少经过________小时，才能驾驶?（结果精确到0.1h）（附：，） 四、解答题：本题共6小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (1)； (2). 17. 已知全集，集合，. （1）若，求，； （2）若，求的取值范围. 18. 在平面直角坐标系xOy中，角的始边为轴的非负半轴，终边经过第四象限内的点，且． （1）求的值； （2）求的值． 19. 某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目.经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可以近似地表示为：，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴. （1）当时，判断该项目能否获利?如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损? （2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低? 20. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数a，b的值； （2）判断并证明函数的单调性； （3）对任意，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 21. 已知函数，若对于其定义域中任意给定的实数，都有，就称函数满足性质. （1）已知，判断是否满足性质，并说明理由； （2）若满足性质，且定义域为. ①已知时，，求函数的解析式并指出方程是否有正整数解?请说明理由； ②若在上单调递增，证明：在上单调递增. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $