精品解析：广东省汕头市潮阳区贵屿镇2024-2025学年九年级上学期12月期末数学试题

2024~2025学年度第一学期九年级期末质量监测 数学科试题 （考试时间：120分钟；总分：120分） 一、单选题（本大题共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．根据中心对称图形的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意； B、不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 2. 下列运动形式属于旋转的是（ ） A. 荡秋千 B. 飞驰的火车 C. 传送带移动 D. 电梯的运行 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转“把一个平面图形绕平面内某一点转动一个角度，叫做图形的旋转”，熟记旋转的定义是解题关键．根据旋转的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、荡秋千，是属于旋转，则此项符合题意； B、飞驰的火车，是属于平移，则此项不符合题意； C、传送带移动，是属于平移，则此项不符合题意； D、电梯的运行，是属于平移，则此项不符合题意； 故选：A． 3. 下列关于x的方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）是解此题的关键． 根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．方程，只有在时满足题意，不一定是一元二次方程，故本选项不符合题意； B．方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C．方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D．方程是一元二次方程，故本选项符合题意． 故选：D． 4. 下列事件中，属于不可能事件的是（ ） A. x是实数，则 B. 人在月球上所受的重力比在地球上小 C. 任意选择某电视频道，正在播放动画片 D. 一个三角形三个内角的和小于180° 【答案】D 【解析】 【分析】根据不可能事件、必然事件、随机事件的定义逐项分析即可． 【详解】A．x是实数，则，是必然事件； B．人在月球上所受的重力比在地球上小，是必然事件； C．任意选择某电视频道，正在播放动画片，是随机事件； D．一个三角形三个内角的和小于180°，是不可能事件． 故选D． 【点睛】本题考查了不可能事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 5. 关于x的一元二次方程的一个根为1，则m的值为（　　） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的根，把一元二次方程的根代入方程，解关于m的一元一次方程即可． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为1， ∴， 解得， 故选：C． 6. 一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的形状、开口方向与抛物线相同确定二次项系数a，然后根据抛物线的顶点式求解即可． 【详解】解：∵抛物线的形状、开口方向与抛物线相同， ∴， 又∵顶点为， ∴抛物线的解析式为． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，根据二次函数的性质确定二次项系数是解题的关键． 7. 已知圆锥的底面半径是4，母线长是5，则该圆锥的侧面积是（） A. 10π B. 15π C. 20π D. 25π 【答案】C 【解析】 【分析】运用圆锥的侧面积就等于经母线长乘底面周长的一半解题． 【详解】圆锥的侧面积=5×8π÷2=20π． 故选C． 【点睛】查了圆锥的侧面积的计算公式．解题关键是运用圆锥的侧面积就等于经母线长乘底面周长的一半． 8. 如图，已知中，，则圆周角的度数是（ ） A. 50° B. 25° C. 100° D. 30° 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 故选：B 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握同圆（或等圆）中，同弧（或等弧）所对的圆周角等于圆心角的一半是解题的关键． 9. 已知抛物线y＝（x﹣3）2﹣1与y轴交于点C，则点C的坐标为（　　） A. （3，6） B. （0，8） C. （0，﹣1） D. （4，0）或（2，0） 【答案】B 【解析】 【分析】y轴上的点的横坐标为0，所以把x＝0代入二次函数式即可求解． 详解】解：当x＝0时，y＝（0﹣3）2﹣1＝8， 所以抛物线y＝（x﹣3）2﹣1与y轴交点C的坐标是（0，8）． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴交点坐标，牢记y轴上点的坐标x=0是本题的关键 10. 如图，在中，，的半径为1，点是边上的动点，过点作的一条切线，为切点，则线段长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先连接根据勾股定理知可得当时，即线段最短，然后由勾股定理即可求得答案．本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理，注意掌握辅助线的作法，注意得到当时，线段最短是关键． 【详解】解：连接如图： ∵是的切线， 根据勾股定理知 ∴当时， 线段最短， ∵在中， 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分） 11. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B＝108°，则∠D的度数为 _____． 【答案】72°##72度 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质：对角互补，即可解答． 【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠B+∠D＝180°， ∵∠B＝108°， ∴∠D＝180°﹣∠B＝72°． 故答案为：72°． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解答本题的关键． 12. 的两根分别为，则__________． 【答案】4 【解析】 【分析】依据题意，由根与系数的关系可以得解． 【详解】解：∵ ∴根据根与系数的关系可得，， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题时要熟练掌握并理解是关键． 13. 在平面直角坐标系中，的圆心坐标为，半径为5，那么x轴与的位置关系是____． 【答案】相离 【解析】 【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系．由题意易得的圆心到x的距离为6，半径为5，进而可根据直线与圆的位置关系可求解． 【详解】解：∵的圆心坐标为， ∴的圆心到x的距离为6， ∵的半径为5， ∴轴与的位置关系是相离； 故答案为：相离． 14. 如果函数图象与x轴没有公共点，那么m的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】由函数图象与x轴没有公共点，可知，解不等式即可得出答案． 【详解】解：函数的图象与x轴没有公共点， ， 解得：； 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，掌握时抛物线与x轴无交点，是解题的关键． 15. 如图，在中，顶点在轴的负半轴上，，，，将绕点逆时针旋转，每次旋转90°，则第6次旋转结束时点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，点的坐标旋转规律， 正确找到规律是解题的关键． 先利用勾股定理求出点A的坐标，再根据题意得到规律每4次为一个循环，点B回到起始位置，则第6次旋转结束时点的坐标与第2次旋转点B的位置相同，即相当于把点B绕点A逆时针旋转，由此求解即可． 【详解】解：设点A的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴（正值舍去）， ∴， ∵将绕点A逆时针旋转，每次旋转， ∴每4次为一个循环，点B回到起始位置， ∵， ∴ 第6次旋转结束时点的坐标与第2次旋转点B的位置相同，即相当于把点B绕点A逆时针旋转， ∴此时点B的对应点与点关于对称， ∴此时点B的对应点坐标为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共3小题，每题7分，共21分） 16. 年4月日是第个世界读书日，主题是“阅读改变未来”．人间最美四“阅”天，恰是读书好时节，我市某校开展了“书香为伴，阅见美好”主题活动，包括A创意书签我来做，B荐书海报我来绘，C古诗词集我来诵，D书香伴我成长等活动． （1）若小明选择报名参加A，B，C，D中的一项活动，则他选中C的概率为______； （2）若小华和小明各自从A，B，C，D中选择参加一项活动，用列表法或画树状图法求一人选中A一人选中C概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图方法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或的概率． （1）直接利用概率公式求解； （2）画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出一人选中一人选中C的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解： 小明选择报名参加A，B，C，D中的一项活动，则他选中C的概率为：． 故答案为：． 【小问2详解】 画树状图如下： 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中一人选中A一人选中C的结果有2种， 故一人选中A一人选中C的概率为：． 17. 某商场今年二月份的营业额为400万元，三月份由于经营不善，其营业额比二月份下降10%．后来通过加强管理，五月份的营业额达到518.4万元．求三月份到五月份营业额的月平均增长率． 【答案】20% 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程的应用，设三月份到五月份营业额的月平均增长率为x，则四月份的营业额，五月份的营业额为，列出方程求解即可． 【详解】解：设三月份到五月份营业额的月平均增长率为x， 根据题意得， ， 解得，（不合题意,舍去）． 答：三月份到五月份营业额的月平均增长率为20%． 18. 如图，的外接圆直径交于点，已知，，求的度数． 【答案】． 【解析】 【分析】连接BC，则∠ACB=90°，根据圆周角定理可求出∠BCE的度数，再根据三角形外角的性质即可求出∠D的度数． 【详解】连接，如图所示： ∵是圆的直径， ∴，，， ∵， ∴． 【点睛】考查的是圆周角定理及三角形外角的性质，解答此题的关键是连接BC，构造出直角三角形． 四、解答题（本大题共3小题，每题9分，共27分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，点的坐标分别为，，． （1）将平移后得到，若点对应的点的坐标为，画出平移后的； （2）画出关于轴对称的； （3）画出关于原点成中心对称的． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】此题考查了平移、中心对称、轴对称的作图． （1）根据点对应的点的坐标为，得到平移规律，找到平移后的对应点，顺次连接即可得到答案； （2）分别找到关于轴对称的对应点，顺次连接即可； （3）分别找到关于原点成中心对称的对应点，顺次连接即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 如图所示，即为所求， 【小问3详解】 如图所示，即为所求， 20. 某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为米． （1）若苗圃园的面积为72平方米，求； （2）若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由． 【答案】（1）的值为12 （2）这个苗圃园的面积有最大值和最小值，最大值为平方米，最小值为88平方米 【解析】 【分析】（1）根据题意可以得到关于x的一元二次方程，从而可以解答本题，注意平行于墙的一般长不能超过18米； （2）设苗圃园的面积为y，根据题意得到二次函数解析式y=x（30-2x）=-2x2+30x，根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 根据题意知平行于墙的一边的长为米， 则有：， ∴， 解得：， 当时，，不符合题意，故舍去， 当时，， 则当苗圃园的面积为72平方米时，． 【小问2详解】 设苗圃园的面积为y， ∴ ， ∵， ∴苗圃园的面积y有最大值， ∵，且， 解得：， ∴， ∴当时，y取得最大值，此时平方米； 当时，平方米． 【点睛】此题考查了二次函数、一元二次方程的实际应用问题．解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可． 21. 如图，在中，，是边上的点，以为半径的圆分别交边于点，过点作于点． （1）求证：直线是的切线． （2）若，，求劣弧的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）连结OD，根据等腰三角形的性质得到OD∥AB，根据平行线的性质得到∠ODF=90°，根据切线的判定定理证明； （2）根据平行线的性质得到∠AOD=180°-45°=135°，根据弧长公式计算即可． 【详解】（1）连结 ∵，∴ ∵，∴ ∴，∴ ∵，∴ ∵，∴ ∴ ∴有线是切线 （2） ∵，∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查的是切线的判定、弧长的计算，掌握切线的判定定理、弧长的计算公式是解题的关键． 五、解答题（本大题共2小题，22题13分、23题14分，共27分） 22. 综合与实践：开展“矩形的旋转”数学探究活动，同学们用矩形纸片操作实践并探索发现．在矩形纸片中，，． ． 【数学思考】如图1，圆圆将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形，使得点落在边上，点作．求证：； 【解决问题】如图2，连结，求线段的长． 【拓展研究】从图2开始，圆圆将矩形绕着点逆时针转动一周，若直线恰好经过线段中点时，连结，，直接写出的面积是 【答案】【数学思考】见解析；【解决问题】；【拓展研究】或 【解析】 【分析】数学思考：证出，由可证明； 解决问题：求出，过点作，交的延长线于点，由勾股定理求出，则可得出答案； 拓展研究：分两种情况，当线段与交于点时，当的延长线交于点时，结合全等三角形的性质，勾股定理及三角形面积可得出答案． 【详解】数学思考：证明：将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形， ，， ， ， ， ， ， ； 解决问题：解：过点作，交的延长线于点，连接 ， ， 矩形绕着点逆时针旋转得到矩形， ，， ， ， ， ， ∴是等边三角形， ， ， ， ， ， ； 拓展研究：解：当线段与交于点时，作于， 是的中点， ， ，， ， ，， ， ，， ， ， 当的延长线交于点时，由上知， ， ， 综上所述，的面积是或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，通过旋转构造全等三角形，再结合勾股定理计算是解题的关键． 23. 九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践——应用——探究的过程 （1）实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得隧道的路面宽为10米，隧道顶部最高处距地面6.25米，并画出了隧道截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式 （2）应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖起方向上的高度差至少为0.5米，为了确保安全，问该隧道能否让最宽3米，最高3.5米的两辆车居中并列行驶（不考虑两车之间的空隙）？ （3）探究：该课题学习小组为进一步探究抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，提出了以下两个问题，请予解答： ①如图2，在抛物线内作矩形ABCD，使顶点C、D落在抛物线上，顶点A、B落在x轴上，设矩形ABCD的周长为为l，求l的最大值 ②如图3，过原点作一条直线y=x，交抛物线于M，交抛物线的对称轴于N，P为直线OM上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，问在直线OM上是否存在点P，使以点P、N、Q为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由 【答案】（1）y=-0.25（x-5）2+6.25；（2）隧道能让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶；理由见解析；（3）（Ⅰ）；（Ⅱ）P点的坐标为： 或或（4，4）或（10，10）． 【解析】 【详解】解：（1）根据坐标系可知此函数顶点坐标为（5，6.25），且图象过（10，0）点， 代入顶点式得： y=a（x-5）2+6.25， ∴0=a（10-5）2+6.25， 解得：a=-0.25， ∴y=-0.25（x-5）2+6.25； （2）当最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶时， ∴10-3×2=4， 4÷2=2， ∴x=2代入解析式得： y=-0.25（2-5）2+6.25； y=4， 4-3.5=0.5， ∴隧道能让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶； （3）I．假设AO=x，可得AB=10-2x， ∴AD=-0.25（x-5）2+6.25； ∴矩形ABCD周长为l为： ∴l的最大值为： ． II当以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形， ∵P在y=x的图象上，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q． ∴∠POA=∠OPA=45°， ∴Q点的纵坐标为5， ∴5= −m2+10m 4 ， 解得：， 所以P或 当∠P3NQ3=90°时，过点Q3作Q3K1⊥对称轴， 当△NQ3K1为等腰直角三角形时，△NP3Q3为等腰直角三角形， Q点在OM的上方时， P3Q3=2Q3K1，P3Q3=， Q3K1=5-x， Q点在OM的下方时， P4Q4=2Q4K2，P4Q4=， Q4K2=x-5， ∴ ， 解得：x1=4，x2=10， P3（4，4），P4（10，10） ∴使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，P点的坐标为： 或或（4，4）或（10，10）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度第一学期九年级期末质量监测 数学科试题 （考试时间：120分钟；总分：120分） 一、单选题（本大题共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运动形式属于旋转的是（ ） A. 荡秋千 B. 飞驰的火车 C. 传送带移动 D. 电梯的运行 3. 下列关于x的方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列事件中，属于不可能事件的是（ ） A. x是实数，则 B. 人在月球上所受的重力比在地球上小 C. 任意选择某电视频道，正在播放动画片 D. 一个三角形三个内角的和小于180° 5. 关于x的一元二次方程的一个根为1，则m的值为（　　） A. B. C. 1 D. 2 6. 一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆锥的底面半径是4，母线长是5，则该圆锥的侧面积是（） A 10π B. 15π C. 20π D. 25π 8. 如图，已知中，，则圆周角的度数是（ ） A. 50° B. 25° C. 100° D. 30° 9. 已知抛物线y＝（x﹣3）2﹣1与y轴交于点C，则点C的坐标为（　　） A. （3，6） B. （0，8） C. （0，﹣1） D. （4，0）或（2，0） 10. 如图，在中，，的半径为1，点是边上的动点，过点作的一条切线，为切点，则线段长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分） 11. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B＝108°，则∠D的度数为 _____． 12. 的两根分别为，则__________． 13. 在平面直角坐标系中，的圆心坐标为，半径为5，那么x轴与的位置关系是____． 14. 如果函数的图象与x轴没有公共点，那么m的取值范围是___________． 15. 如图，在中，顶点在轴的负半轴上，，，，将绕点逆时针旋转，每次旋转90°，则第6次旋转结束时点的坐标是______． 三、解答题（本大题共3小题，每题7分，共21分） 16. 年4月日是第个世界读书日，主题是“阅读改变未来”．人间最美四“阅”天，恰是读书好时节，我市某校开展了“书香为伴，阅见美好”主题活动，包括A创意书签我来做，B荐书海报我来绘，C古诗词集我来诵，D书香伴我成长等活动． （1）若小明选择报名参加A，B，C，D中的一项活动，则他选中C的概率为______； （2）若小华和小明各自从A，B，C，D中选择参加一项活动，用列表法或画树状图法求一人选中A一人选中C的概率． 17. 某商场今年二月份的营业额为400万元，三月份由于经营不善，其营业额比二月份下降10%．后来通过加强管理，五月份的营业额达到518.4万元．求三月份到五月份营业额的月平均增长率． 18. 如图，的外接圆直径交于点，已知，，求的度数． 四、解答题（本大题共3小题，每题9分，共27分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，点坐标分别为，，． （1）将平移后得到，若点对应的点的坐标为，画出平移后的； （2）画出关于轴对称的； （3）画出关于原点成中心对称的． 20. 某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为米． （1）若苗圃园面积为72平方米，求； （2）若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由． 21. 如图，在中，，是边上的点，以为半径的圆分别交边于点，过点作于点． （1）求证：直线是的切线． （2）若，，求劣弧的长． 五、解答题（本大题共2小题，22题13分、23题14分，共27分） 22. 综合与实践：开展“矩形的旋转”数学探究活动，同学们用矩形纸片操作实践并探索发现．在矩形纸片中，，． ． 【数学思考】如图1，圆圆将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形，使得点落在边上，点作．求证：； 【解决问题】如图2，连结，求线段的长． 【拓展研究】从图2开始，圆圆将矩形绕着点逆时针转动一周，若直线恰好经过线段中点时，连结，，直接写出的面积是 23. 九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践——应用——探究的过程 （1）实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得隧道的路面宽为10米，隧道顶部最高处距地面6.25米，并画出了隧道截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式 （2）应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖起方向上的高度差至少为0.5米，为了确保安全，问该隧道能否让最宽3米，最高3.5米的两辆车居中并列行驶（不考虑两车之间的空隙）？ （3）探究：该课题学习小组为进一步探究抛物线有关知识，他们借助上述抛物线模型，提出了以下两个问题，请予解答： ①如图2，在抛物线内作矩形ABCD，使顶点C、D落在抛物线上，顶点A、B落在x轴上，设矩形ABCD的周长为为l，求l的最大值 ②如图3，过原点作一条直线y=x，交抛物线于M，交抛物线对称轴于N，P为直线OM上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，问在直线OM上是否存在点P，使以点P、N、Q为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$