精品解析：江西省上高二中2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

2026届高二年级第四次月考数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 0 3. 已知三个向量共面，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，直线的方向向量与直线的方向向量共线，则这两条直线之间的距离为（ ） A. 4 B. C. D. 5. 如图，一个底面边长为cm的正四棱柱形状的容器内装有部分水，现将一个底面半径为1cm的铁制实心圆锥放入容器，圆锥放入后完全沉入水中，并使得水面上升了1cm．若该容器的厚度忽略不计，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知分别为双曲线的左､右焦点，为上的一点，且，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 过抛物线焦点作倾斜角为的直线交抛物线于两点，过的中点作另一条直线交轴于点，若，且，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 8. 古希腊几何学家用一个不过顶点的平面去截一个圆锥，将所截得的不同的截口曲线统称为圆锥曲线.在如图所示的圆锥中，为底面圆的直径，为的中点，某同学用平行于母线且过点的平面去截圆锥，所得截口曲线为抛物线.若该圆锥的高为，，则该抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. 2 B. C. D. 4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，已知正方体棱长为2，，分别为，的中点，为线段上的动点，下列选项正确的是（ ） A. 不存在使得 B. 存在使面 C. 存在两个使与成角 D. 任意满足 10. 已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与交于两点，若，则（ ） A. B. 的面积等于 C. 的斜率为 D. 的离心率为 11. 已知点，直线，其中是的等差中项，过点作直线的垂线，垂足为，则（ ） A. 直线过定点 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线与双曲线交于、两点，且弦的中点为，则直线的方程为__________. 13. 在平面直角坐标系中，，，直线上存在点满足，则的取值范围为______． 14. 如图，将两个相同的四棱锥与对称摆放组成一个多面体，已知平面，四边形是边长为2的正方形，若平面与平面的夹角为，则该多面体的体积为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）求准线为的抛物线标准方程； （2）求中心在原点，焦点在轴上，渐近线为，且实轴长为双曲线标准方程. 16. 已知圆经过，，三点. （1）求标准方程，并说明的圆心坐标与半径； （2）过点作圆的切线，且直线的斜率存在，求的一般式方程. 17. 已知椭圆的长轴长为，且点在椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆相交于不同的两点和，当时，求实数的值． 18. 如图，四棱柱中，侧棱底面，为棱中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 19. 已知双曲线的一条渐近线方程为，左、右顶点分别为，，且. （1）求的方程； （2）若点为直线上的一点，直线交于另外一点（不同于点）. ①记，的面积分别为，，且，求点的坐标； ②若直线交于另外一点，点是直线上的一点，且，其中为坐标原点，试判断是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2026届高二年级第四次月考数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式及共轭复数的定义得到，再根据复数的几何意义判断即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以在复平面内对应的点，位于第三象限. 故选：C 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线的方程可得出其倾斜角. 【详解】因为直线，其中为常数，故直线的倾斜角为. 故选：A. 3. 已知三个向量共面，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量共面设出对应向量关系式，解方程组可求出结果. 【详解】因为共面，所以设，所以，解得， 故选：C. 4. 已知，直线的方向向量与直线的方向向量共线，则这两条直线之间的距离为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行可得的值，再根据平行线之间的距离公式求解即可. 【详解】由题意可得，所以，解得， 故两直线方程分别为，， 故这两条平行线之间的距离为. 故选：B. 5. 如图，一个底面边长为cm的正四棱柱形状的容器内装有部分水，现将一个底面半径为1cm的铁制实心圆锥放入容器，圆锥放入后完全沉入水中，并使得水面上升了1cm．若该容器的厚度忽略不计，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由水上升的体积得圆锥体积，然后求得圆锥的高、母线得侧面积． 【详解】依题意可得圆锥的体积， 又（其中h为圆锥的高），则cm， 则圆锥的母线长为cm，故圆锥的侧面积为． 故选：A． 6. 已知分别为双曲线的左､右焦点，为上的一点，且，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件结合勾股定理和双曲线定义求解出的值，由此可知渐近线方程. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 又因为，所以，所以， 所以渐近线方程为， 故选：C. 7. 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于两点，过的中点作另一条直线交轴于点，若，且，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得直线方程为，代入抛物线方程，求出的坐标，进而得，由得，可得直线的方程，可求得的坐标，由列方程求出． 【详解】抛物线的焦点， 直线的斜率为，则直线的方程为， 代入抛物线方程得， 即，解得， ∴， ∴， 因为的中点，所以，即， 又，∴，∴，∴， 所以直线的方程为， 令，得，所以， ∴， ∴，解得． 故选：B． 8. 古希腊的几何学家用一个不过顶点的平面去截一个圆锥，将所截得的不同的截口曲线统称为圆锥曲线.在如图所示的圆锥中，为底面圆的直径，为的中点，某同学用平行于母线且过点的平面去截圆锥，所得截口曲线为抛物线.若该圆锥的高为，，则该抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先利用中位线计算，结合对称性判断抛物线以为对称轴，焦点在上，再以顶点为原点建立坐标系，设抛物线标准方程，根据点在抛物线上求得参数p即得结果. 【详解】因为为底面圆的直径，，，则都是等腰直角三角形. 可求出.M是PB的中点，O是AB的中点，则，， 截圆锥平面平行于母线PA且过母线PB中点M，故O在截面上， 根据对称性可知抛物线的对称轴为，焦点在上， 建立以M为原点，为x轴，过M点的垂线为y轴， 设抛物线与底面交点为E，则， 设抛物线为，则，解得， 即该抛物线焦点到准线的距离为p，即为. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，已知正方体棱长为2，，分别为，的中点，为线段上的动点，下列选项正确的是（ ） A. 不存在使得 B. 存在使面 C. 存在两个使与成角 D. 任意满足 【答案】BD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，根据条件，求得，选项A，通过计算，即可求解；选项B，易得平面的一个法向量为，利用线面位置关系判断的向量法，即可求解；选项C，求得，，利用，即可求解；选项D，利用，求得，即可求解. 【详解】如图，建立空间直角坐标系， 因为， 又为的中点，则， 设，又， 由，得到， 对于选项A，因为， 又，所以，故选项A错误， 对于选项B，易知平面的一个法向量为，由选项A知， 由，得到，解得， 所以当为中点时，面，所以选项B正确， 对于选项C，因为，， 则由， 整理得到，解得或（舍去）， 即存在1个使与成角，所以选项C错误； 对于选项D，因为， 得， 当时，等号成立，所以选项D正确， 故选：BD. 10. 已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与交于两点，若，则（ ） A. B. 面积等于 C. 的斜率为 D. 的离心率为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据线段之间的比例设出边长，依据椭圆的定义得到的长，结合椭圆的性质可得到点的位置，根据余弦定理可得到选项A，根据三角形的面积公式得到选项B，根据角度之间的关系以及倾斜角可得到选项C，根据离心率可得到选项D. 【详解】根据，设， 根据椭圆的定义可得，所以， 则，所以，即， 因为，所以点在下顶点或上顶点，如图所示： 对于A，， 所以，不能得到，故A错误； 对于B，由A可得，所以， ， 因为，所以，故B正确； 对于C，若点在下顶点，则该直线的倾斜角为，此时斜率为， 若点在上顶点，则该直线的倾斜角为，此时斜率为， 所以的斜率为，故C正确； 对于D，在中，， 所以，离心率为，故D错误； 故选：BC. 【点睛】方法点睛：（1）椭圆上一点到两焦点的距离和为； （2）椭圆既是轴对称图形又是中心对称图形； （3）在椭圆中满足. 11. 已知点，直线，其中是等差中项，过点作直线的垂线，垂足为，则（ ） A. 直线过定点 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据条件得到，即可得到直线过定点，即可判断选项A的正误；再利用，可得到点的轨迹是以为直径的圆，结合图形及圆的性质，即可判断出选项B、C和D的正误. 【详解】因为是的等差中项，得到，直线， 即， 由，得到，所以直线过定点，所以选项A正确， 又因为，又， 所以点的轨迹是以为直径，即以点为圆心，5为半径的圆， 方程为， 对于选项B，如图，当时，即与重合，此时最大，最大值为，所以选项B正确， 又易知，，，得到， 所以选项C错误，选项D正确， 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线与双曲线交于、两点，且弦的中点为，则直线的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用点差法可得直线斜率，进而可得直线方程. 【详解】设，，则，， 又，两式相减， 得， 即，整理得， 直线的方程为， 化简得， 故答案为：. 13. 在平面直角坐标系中，，，直线上存在点满足，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】设点，结合，可得，即直线与圆有公共点，根据圆心与直线的距离可得解. 【详解】设，则， 整理化简得， 若直线上存在点满足， 即直线与圆有公共点， 易知圆的圆心为，半径为， 故圆心到直线的距离， 解得， 故答案为：． 14. 如图，将两个相同的四棱锥与对称摆放组成一个多面体，已知平面，四边形是边长为2的正方形，若平面与平面的夹角为，则该多面体的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题中条件可得平面，以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，求出平面与平面的法向量，根据题中条件和向量夹角公式求出，然后利用棱锥的体积公式求解. 【详解】∵平面，平面，∴，， 又，，平面，∴平面， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，则, ， 设平面的法向量为， 由，令，则，， 设平面的法向量为， 由，令，则，， 若平面与平面的夹角为， 则，解得， 所以该多面体的体积为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）求准线为的抛物线标准方程； （2）求中心在原点，焦点在轴上，渐近线为，且实轴长为的双曲线标准方程. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据准线为，得到p及焦点的位置求解； （2）设双曲线标准方程为，根据实轴长为得到a，再由渐近线求得b即可； 【详解】解：（1）因为准线为， 所以，且焦点在x轴的正半轴上， 所以抛物线标准方程为； （2）设双曲线标准方程为， 由实轴长为得， 由渐近线得，即， 所以双曲线标准方程为. 16. 已知圆经过，，三点. （1）求标准方程，并说明的圆心坐标与半径； （2）过点作圆的切线，且直线的斜率存在，求的一般式方程. 【答案】（1）圆的标准方程为，圆心为，半径 （2） 【解析】 【分析】（1）设圆的一般方程，代入三点坐标，求出圆的一般方程，再化为标准方程. （2）直线设点斜式方程，利用圆心到切线的距离等于半径求解. 【小问1详解】 由题意可设圆的一般方程为， 代入三点坐标可得，解得， 所以圆的一般方程为， 则圆的标准方程为， 易得圆心为，半径. 【小问2详解】 因为过点的切线的斜率存在， 所以设切线的方程为，即， 则圆心到切线的距离，解得， 故的一般式方程为. 17. 已知椭圆的长轴长为，且点在椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆相交于不同的两点和，当时，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得关于，的方程，求解即可； （2）联立方程，根据求出的范围，再利用韦达定理和弦长公式列出关于的方程，求解即可. 【小问1详解】 由题意得：，所以， 点在椭圆上，所以，解得， 所以椭圆的方程为：． 【小问2详解】 直线的方程为： 联立，消去后，得关于的一元二次方程， 化简得， 由题意知，解得或， 由韦达定理可得，， 所以， 所以，化简得，解得，即， 经检验符合题意. 18. 如图，四棱柱中，侧棱底面，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法证明即可； （2）利用向量法求解即可； （3）设，再根据线面角利用向量法求解即可. 【小问1详解】 如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 故， 则， 所以， 又平面， 所以平面； 【小问2详解】 由（1）得即为平面的一个法向量， ， 设平面的法向量为， 则有，令，则， 所以， 则， 所以二面角的正弦值为； 【小问3详解】 设， 则， 因为轴垂直平面， 则可取平面的法向量为， 则， 解得（舍去）， 所以. 【点睛】 19. 已知双曲线一条渐近线方程为，左、右顶点分别为，，且. （1）求的方程； （2）若点为直线上的一点，直线交于另外一点（不同于点）. ①记，的面积分别为，，且，求点的坐标； ②若直线交于另外一点，点是直线上的一点，且，其中为坐标原点，试判断是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2）①或；②是， 【解析】 【分析】（1）根据条件，直接求出，即可求解； （2）①设，直线：，联立直线与双曲线方程，消得到，进而可得，再结合条件，即可求解；②设直线：，联立双曲线方程，求得，， 结合①中结果，可求直线的方程，进而判断直线恒过定点，即可求解. 【小问1详解】 由题意知 解得，， 所以的方程为. 【小问2详解】 由题意可知，，，设，因为直线交于另外一点（不同于点）， 所以，又双曲线的渐近线为，故，解得， 所以直线，即， 由，消得， 所以，解得， 所以. ①因为，， 又，所以， 解得或，即点的坐标为或. ②直线，即， 由，消得，， 即，所以，解得， 所以， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为， 令，得，解得， 所以直线恒过定点， 又，即，又点是的中点，所以， 所以是定值，且定值为. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）问中的②小问，设，直线的方程分别为，，通过联直线与双曲线方程，求得两点坐标，进而求出直线的方程，再判断出直线过定点，即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$