压轴专题02 二次函数（特殊三角形存在性问题）-2025年中考数学压轴题专项训练（江苏专用）

压轴专题02 二次函数（特殊三角形存在性问题） 一、等腰三角形存在性问题解题策略 1. 分类讨论： 如图1，⑴ 若△ABC是锐角等腰三角形，那么有以下三种情况； 图1 图3 图2 ① AB＝AC ② AB＝BC ③ AC＝BC ⑵ 如图2，若△ABC是直角等腰三角形，那么有以下一种情况；AB＝AC； ⑶ 如图3，若△ABC是钝角等腰三角形，那么有以下一种情况；AB＝AC； 2. 两圆一线模型： 图5 图4 如图4,线段AB,在平面内找一点C使得△ABC为等腰三角形.这样的点C如图5所示. 在分别以点A,B为圆心，AB为半径的圆和AB的垂直平分线上除了与AB在同一直线上的点外的以与点A,B构成等腰三角形,这个模型简称“两圆一线” ． 3. 相关公式： ⑴ 平面上两点间的距离公式： 如图6，已知点，，则点A，点B间的距离为AB＝． 图6 图7 ⑵ 中点坐标公式： 如图7，已知点，，点C为线段AB的中点，则点C的坐标为． 方法总结： 几何法：⑴ 两圆一线作出点；⑵ 利用勾股，相似，三角函数等求线段长，由线段长得点坐标． 代数法：⑴ 表示出三点A，B，C坐标； ⑵ 由点坐标表示出三条线段：AB，AC，BC； ⑶ 分类讨论 ① AB＝AC，② AB＝BC，③ AC＝BC ； ⑷ 列出方程求解. 二、直角三角形存在性问题解题策略 1. 直角三角形的定义：有一个内角为90°的三角形，叫直角三角形. 图1 图2 图3 若一个三角形为直角三角形，存在以下三种情况： ⑴ 如图1，若∠A＝90°，则 ⑵ 如图2，若∠B＝90°，则 ⑶ 如图3，若∠C＝90°，则 2. “两线一圆”模型 如图，线段AB，在平面内找一点C使得△ABC为直角三角形，这样的点C分别在： ⑴ 过点A，B作AB的垂线上； ⑵ 以AB的中点为圆心，AB为半径的圆上，这个模型简称“两线一圆”模型. 3. “一线三垂直” 模型 已知：当点C在线段DE上，∠D＝∠ACB＝∠E, 结论：△ADC∽△CEB 方法小结： 几何法：⑴ 两线一圆作出点； ⑵ ① 以两定点为直角顶点时，两直线互相垂直，则 ② 以已知线段为斜边时，构造“一线三垂直”模型，最后利用相似或三角函数求解. 代数法：⑴ 表示点A，B，C坐标； ⑵ 表示线段AB，AC，BC； ⑶ 分类讨论①；②；③； ⑷ 代入列方程，求解. 三、等腰直角三角形存在性问题解题策略 方法：【三垂直构造等腰直角三角形】 【模型呈现】 如图，在Rt△ADC，∠ADC=90°，将斜边AC绕点C顺时针旋转得到CB，过点B作DE⊥MN于点，∵AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC＝∠BEC＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°， ∴∠DAC＝∠BCE， 在△ADC和△CEB中 ∴△ADC≌△CEB（AAS）． ∴AD＝CE，CD＝BE，我们把这个数学模型成为“K型”． 例题1 （24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接． (1)求A、B、C三点的坐标； (2)若点P为线段上的一点（不与B、C重合），轴，且交抛物线于点M，交x轴于点N，当线段的长度最大时，求点M的坐标； (3)在（2）的条件下，当线段的长度最大时，在抛物线的对称轴上有一点Q，使得为直角三角形，直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)，， (2) (3)或或或 【分析】（1）在抛物线解析式中，令可求得点坐标，令则可求得、的坐标； （2）由、的坐标可求得直线的解析式为，设点的坐标，则可表示出点坐标，从而可用表示出的长，再利用二次函数的性质求得线段的长度最大时的值，可求得点坐标； （3）由（2）可知点坐标，设点坐标为，则可用分别表示出、及，分点为直角顶点、点为直角顶点和点为直角顶点三种情况，分别根据勾股定理可得到关于的方程，可求出的值，可求得点坐标． 【详解】（1）解：对于，令，则， ， 令，则， 解得：，， ，； （2）解：设的表达式为，则， 解得， 直线的表达式为， 设点的坐标为，则点的坐标为， ， ∴时，最大， 此时点坐标； （3）解：， 抛物线的对称轴为直线， 设， ∵，， ，， ， 为直角三角形， 分点为直角顶点、点为直角顶点和点为直角顶点三种情况， ①当点为直角顶点时，则有 即， 解得：， 此时点坐标为， ②当点为直角顶点时，则有， 即， 解得：，， 此时点坐标为或， ③当点为直角顶点时，则有， 即， 解得：， 此时点坐标为， 综上所述，点坐标为或或或． 例题2 如图，一次函数与x轴、y轴分别交于A、C两点，二次函数的图象经过A、C两点，与x轴交于另一点B，其对称轴为直线 (1)求该二次函数表达式； (2)在对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点P的坐标为：或或或或 【分析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，等腰三角形的性质，两点之间距离公式，分类讨论是本题求解的关键． （1）分别求出点，点的坐标，根据对称轴求出另一交点，再根据交点式得出答案； （2）分、、三种情况，利用线段长度相等，列出等式求解即可． 【详解】（1）解：对于，当时，，即点， 令，则，即点. ∵抛物线的对称轴为直线，则点， 设二次函数表达式为：， ∵抛物线过点， 则， 解得：， 故抛物线的表达式为：； （2）解：存在，理由： 根据题意对称轴，设点， 由点A、C、P的坐标得：，，， 当时，则， 解得：， 即点P的坐标为：或； 当时，则， 解得：， 即点； 当时，则， 解得：， 即点P的坐标为：或． 综上，点P的坐标为：或或或或． 例题3 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D． (1)请直接写出点A，C，D的坐标； (2)若P是第二象限的抛物线上的一个动点（不与D重合），过点P作轴交于点E，求线段长度的最大值； (3)若F为直线上的动点，在抛物线上是否存在点Q，使得为等腰直角三角形？若存在，求出Q坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)或 【分析】（1）令抛物线解析式中，解关于x的一元二次方程即可得出点A、B的坐标，再令抛物线解析式中求出y值即可得出点C坐标，利用配方法将抛物线解析式配方即可找出顶点D的坐标； （2）先求出直线的解析式，设，则，可求，然后根据二次函数的性质求解即可； （3）假设存在，设点，分、和三种情况考虑．根据等腰直角三角形的性质结合点A、F点的坐标找出点Q的坐标，将其代入抛物线解析式中即可得出关于m的一元二次方程，解方程求出m值，再代入点Q坐标中即可得出结论． 【详解】（1）解：令，则， 解得，， ∴，， 令，则， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴， 设，则， ∴ ， ∴当时，有最大值为； （3）解：假设存在，设点，为等腰直角三角形，分三种情况： ①当时，设与x轴交于G，， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴ ∵点Q在抛物线上， ∴， 解得：（舍去），， 此时点Q的坐标为； ②当时， 为等腰直角三角形， ， 又， ∴在上， 过F作于F， 则， ， ， ∴， ， ∵点Q在抛物线， ∴， 解得：（舍去），， 此时点Q的坐标为； ③当时，， ， ∵点Q在抛物线上， ∴， 解得：（舍去），， 此时点Q的坐标为，， ∴． 综上可知：在抛物线上存在点Q，使得为等腰直角三角形，点Q的坐标为或． 1．（24-25九年级下·江苏徐州·阶段练习）如图①，二次函数与x轴交于点A、C，且点A在点C的右侧，与y轴交于点B，连接． (1)求抛物线的对称轴； (2)求直线的解析式； (3)如图②，点P是x轴下方、抛物线对称轴右侧图象上的一动点，连接，过点P作，与抛物线的另一个交点为Q，M、N为上的两点，且轴，轴． ①当为直角三角形时，求点P的坐标； 【答案】(1)直线 (2) (3)①或 【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线，代值即可求解； （2）当时，当时，解方程即可求求出、的坐标，用待定系数法即可求 （3）①设点的横坐标为，则，，可求，（ⅰ）当时，，即可求解；（ⅱ）当时，，即可求解 【详解】（1）解：由题意得： ， 抛物线的对称轴为直线； （2）解：当时，， 当时， ， 解得：，， ，； 设直线的解析式为，则： ， 解得， 直线的解析式为； （3）解：①设点的横坐标为， 则， ， ； （ⅰ）如图②，当时， ， ， 轴， ， ， ， ， ， ； （ⅱ）如图③，当时， 由（ⅰ）得：， 过作轴交于， ， ， ， ，（舍去）， ， ， 综上所述：点的坐标为或 2．如图，已知：关于y的二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点，抛物线的对称轴与x轴交于点D． (1)求二次函数的表达式． (2)在y轴上是否存在一点P，使为直角三角形．若存在，请求出点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质，面积的计算，分类求解是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）分，两种情况，列出等式，即可求解； 【详解】（1）解：由的坐标知，， 即抛物线的表达式为：， 将点A的坐标代入上式得：， 解得：， 则二次函数的表达式为：； （2）解：令，则， 解得：或， ，抛物线对称轴是直线， ， 设P点坐标为， 则，， 当时， 则，即， 解得：， 则P点坐标为； 当时， 则，即， 解得：或6（舍去）， 则P点坐标为； 综上所述，点P的坐标为：或． 3．如图，二次函数的图象交轴于，，交轴于． (1)求二次函数的解析式； (2)二次函数的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？如果存在，请直接写出答案，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或或 【分析】（1）运用待定系数法解二次函数解析式即可求解； （2）由抛物线解析式可求得其对称轴，则可设出点的坐标，则可表示出、和，分、和三种情况，分别根据勾股定理得到关于点坐标的方程，可求得点的坐标． 【详解】（1）解：二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，代入得： ， 解得， 二次函数的解析式为； （2）解：二次函数的对称轴上存在点，使是直角三角形；理由如下： ， 对称轴为， 可设点坐标为， ，， ， 为直角三角形， 有、和三种情况， ①当时，则有， 即， 解得或， 此时点坐标为或； ②当时，则有， 即， 解得， 此时点坐标为； ③当时，则有， 即， 解得， 此时点坐标为； 综上可知，二次函数的对称轴上存在点，使是直角三角形；点的坐标为或或或． 4．在平面直角坐标系中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：交x轴于点A，B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线与是“共根抛物线”，其顶点为P． (1)若抛物线经过点，求抛物线对应的函数关系式； (2)是否存在以点A，C，P为顶点的三角形是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出抛物线对应的函数关系式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）根据抛物线求出点A，B的坐标，由抛物线与是“共根抛物线”，可设出抛物线的解析式，最后把点代入即可求解； （2）设点P的坐标为，求得，，，分点P在x轴上方和点P在x轴下方，利用勾股定理列式，求得点P的坐标，据此即可求解． 【详解】（1）解：在抛物线中， 令， 则， 解得或， 即点，点， 根据题意，设抛物线的函数关系式为：， 将点代入得：， 解得：， ∴抛物线的函数关系式为：； （2）解：假设存在，设点P的坐标为， ，， ，，， 当点P在x轴上方时， 由题意得，即， 解得， 即点P的坐标为， 将点代入得：， 解得：， ∴抛物线的函数关系式为：； 当点P在x轴下方时， 由题意得， 即， 解得， 即点P的坐标为， 将点代入得：， 解得：， ∴抛物线的函数关系式为：； 综上，抛物线L2的函数关系式为： 或． 5、（24-25九年级下·江苏宿迁·阶段练习）．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，交轴于点，点是第四象限内抛物线上的一个动点． (1)求二次函数的解析式； (2)在二次函数的图象上是否存在点M，使三角形是以为直角边的直角三角形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由题意得：结合二次函数的两点式，即，进行求解； （2）当以点为直角顶点时，结合，得出，则，代入求出，再求出线的解析式为；根据当以点为直角顶点时，设直线与抛物线交于点，因为， 设直线的解析式为．把代入，求出直线的解析式为，即可作答． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于，两点， ∴， 整理得 则抛物线的表达式为：； （2）解：存在，理由如下： 的图象交轴于点， ， ， ， 当以点A为直角顶点时，设直线与抛物线交于点，过点作轴 则， ∵ ∴， 即， ∴， 即， 设 则， 即点， 把代入， 解得， 解得或（舍去）， ∴， 则， 设直线的解析式为， ，， ∴， 解得， 直线的解析式为． 当以点C为直角顶点时，设直线与抛物线交于点， 则， ∵， ∴， 设直线的解析式为． 把代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：（舍去）或3， 把代入，解得， 即点． 综上所述，，． 6．（24-25九年级上·江苏盐城 ·阶段练习）综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接．若点P在线段上运动（点P不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F．设点P的横坐标为m． (1)求点A，B，C的坐标，并直接写出直线的函数解析式． (2)在点P的运动过程中，是否存在m使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，， (2)存在，m的值为3或2 【分析】本题是二次函数的综合，考查了二次函数的图象与性质，求一次函数解析式，等腰直角三角形的性质等知识： （1）令，求出x的值，得点A，B的坐标，令，得y的值，可得点C坐标，再设直线的解析式为，把代入并求出k的值即可； （2）分和两种情况利用勾股定理列出关于m的方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得或， ∴，， 当时，， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入可得， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：存在m使得为等腰直角三角形，理由如下： ∵点P的横坐标为m，且， ∴点P的坐标为， ∴，， ∴， ， ； ∵，， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴，即， 解得或（舍）或（舍）； 当时，， ∴， ∴，即， 解得或（舍）； 综上所述：m的值为3或2． 7．综合与探究 如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，交轴于点，点为抛物线上一动点，过点作轴的垂线，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)当点在直线下方的抛物线上运动时，求出长度的最大值； (3)当以，，为顶点的三角形是等腰三角形时，求此时的值． 【答案】(1) (2)的长度的最大值为； (3)的值为6或或或3 【分析】（1）令即可得出点A的坐标，再根据点B的坐标利用待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）由点D的横坐标，可知点P和点D的坐标，再根据点在直线下方的抛物线上，即可表示解析式，并转化为顶点式就可得出答案； （3）根据题意分别表示出，，，分当时，当时，当时三种情况分别求出m的值即可． 【详解】（1）解：对于，取，得， ∴． 将，代入， 得解得 ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵点的横坐标为， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∵点在直线下方的抛物线上， ∴ ． ∵， 当时，线段的长度有最大值，最大值为； （3）解：由，，， 得，，． 当为等腰三角形时，有三种情况： ①当时，，即， 解得（不合题意，舍去），； ②当时，，即， 解得，； ③当时，，即， 解得． 综上所述，的值为6或或或3． 【点睛】本题考查了待定系数求二次函数解析式、二次函数的最值、等腰三角形的性质，综合性比较强，需要注意的是求m的值时，等腰三角形要分情况讨论． 8．已知抛物线)交x轴于点和点，交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)如图，点P是抛物线上位于直线上方的动点，过点P分别作x轴，y轴的平行线，交直线于点D，当取最大值时，求点P的坐标； (3)点P是抛物线上位于直线上方的动点，是以为腰的等腰三角形，求出P点坐标． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）将点，坐标代入抛物线解析式中，解方程组即可得出结论； （2）先求出，进而得出，进而判断出，即可得出当的长度最大时，取最大值，设出点坐标，表示出点坐标，建立，即可得出结论； （3）根据，，表示出，，再根据或列方程求解即可． 【详解】（1）解：抛物线经过点，， ， 解得，， 抛物线的解析式为． ， 抛物线的解析式为，顶点坐标为． （2）解：令得，， ， ． ， ， ， ． 平行于轴，平行于轴， ，， ， ， ， ， 当的长度最大时，取最大值． 设直线的函数关系式为， 把，代入，得， 解得，， 直线解析式为， 设，则， ． ， 当时，最大，此时取最大值，， ； （3）解：∵是以为腰的等腰三角形， ∴或， 由（2）可得，，，， ∴，， 当时，， ∴，即 整理得， ∵ ∴，此时； 当时，， ∵， ∴ ∴，此时； 综上所述，是以为腰的等腰三角形时，P点坐标为或． 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法确定函数解析式，解一元二次方程，等腰三角形的定义，勾股定理的应用，二次函数的性质，清晰的分类讨论是解本题的关键. 9．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）综合与探究 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，是轴上的一个动点（不与点，，重合），过点作轴，分别交抛物线，直线于点，．设点的横坐标为． (1)求抛物线的函数解析式及点的坐标，并直接写出直线的函数解析式． (2)当点在线段上运动，且为的中点时，求的值． (3)连接，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)存在，或或或． 【分析】（1）利用待定系数法求得抛物线的函数解析式，进而即可求得点的坐标，再利用待定系数法求得直线的函数解析式； （2）根据题意，得．则，根据为的中点，构造方程，求解即可得解； （3）分当点为顶角顶点时，，当点为顶角顶点时，，当点为顶角顶点时，，三种情况，利用勾股定理构造方程求解即可． 【详解】（1）解：把分别代入，得 ， 解得， ∴抛物线的函数解析式为， 当时，， ∴， ∴设直线为， ∵， ∴，解得， ∴直线的函数解析式为； （2）解：根据题意，得． ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述，的值为； （3）解：存在，点的坐标为或或或， 根据题意，得， ∴， 可分为以下三种情况讨论： ①当点为顶角顶点时，，即， ∴， 解得或舍去， ∴， ②当点为顶角顶点时，，即， ∴， 解得或舍去， ∴， ③当点为顶角顶点时，，即， ∴， 解得或， ∴或； 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，勾股定理，待定系数法求一次函数，二次函数的解析式，等腰三角形的定义，熟练掌握二次函数的图像及性质，勾股定理是解题的关键． 10．如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，点D在抛物线上． (1)求该抛物线的解析式； (2)当点D在x轴上方抛物线上，的面积为3时，求点D的坐标； (3)当点D在x轴上方抛物线上时，在对称轴上是否存在点P，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，点P的坐标为或 【分析】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求解析式，二次函数与面积问题，二次函数与等腰三角形； （1）把，代入计算即可； （2）设根据的面积为3列方程计算即可； （3）设点P的坐标为，，由是以为斜边的等腰直角三角形可得，，据此列方程求解即可． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：设， ∵点D在x轴上方抛物线上， ∴到x轴的距离为， ∵的面积为3， ∴，即， 整理得：， 解得：， ∴点D的坐标为或； （3）解：抛物线的对称轴为直线， 设，， ∴，，， ∵由是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，， 由，可得， 整理得，， 由，可得， 把代入得， ∴， ∵点D在x轴上方抛物线上， ∴， ∴， ∴，， 把代入得时，解得， ∴， ∴点P的坐标为或． 11．如图，抛物线过，两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线轴，交x轴于点H． (1)求抛物线的表达式； (2)直接写出点C的坐标，并求出的面积； (3)点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当的面积为6时，求出点P的坐标； (4)若点M在直线上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时点M的坐标． 【答案】(1) (2)， (3) (4)点坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可； （2）求出抛物线的对称轴，再根据对称性求出点的坐标即可解决问题； （3）设点，根据，建立方程求解即可； （4）分别以点、、为直角顶点分三类进行讨论，利用全等三角形和勾股定理求的长即可． 【详解】（1）解：抛物线过，两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为． （2）解： ， 对称轴为直线， ，关于对称轴对称，， ， ， ． （3）解：如图，过点P作于点H，设点， 根据题意，得：，，， ， ， 解得：，， 点是抛物线上一动点，且位于第四象限， ， ，， ； （4）解：点在直线上，点在轴上，为等腰直角三角形时，分三类情况讨论： ①以点为直角顶点且在轴上方时，如图2，，， ， ， ， ， ，， ； ②以点为直角顶点且在轴下方时，如图3， 过点作轴，过点作轴，过点作轴交于点，交于， ，， ， ， ， ，， ， 四边形是矩形， ， ； ③以点为直角顶点且在轴左侧时，如图4，，， 过点作轴，过点作轴交的延长线于， 同理可得：， ，则， ∴， ； ④以点为直角顶点且在轴右侧时，如图5， 过点作轴，过点作轴交延长线于， 同理可得：， ，， ， ； ⑤以为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形； 综上所述，当为等腰直角三角形时，点坐标为或或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法、三角形的面积、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 12．如图，已知抛物线经过点、，过点作轴，交抛物线于点，的平分线交线段于点，点是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)若动点在线段下方的地物线上连接、，当的面积最大时，求点的坐标； (3)将抛物线向上平移个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在内（包括的边界），求的取值范围； (4)若是抛物线的对称轴上的一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)存在，或 【分析】对于（1），将两个点的坐标代入关系式得出方程组，求出解可得答案； 对于（2），作轴，设点，根据等腰直角三角形的性质可得点E的坐标， 进而求出直线的关系式，再表示点G的坐标，可表示，然后根据 得出二次函数关系式，讨论最大值时点的坐标即可； 对于（3），先求出抛物线的对称轴是，顶点坐标是，可得抛物线向上平移h个单位长度后顶点坐标为，再设直线交于点M，交于点N，并得出两个点的坐标，然后结合点Q在内得出不等式组，求出解集即可； 对于（4），分两种情况讨论，根据全等三角形的对应边相等得出方程，求出解即可得出答案． 【详解】（1）∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为； （2）如图，过点P作轴交于点G， 设点， ∵平分，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 设直线的关系式为， 将点代入，得， 解得， ∴直线的关系式为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积最大， 此时， ∴； （3）由抛物线， ∴抛物线的对称轴是，顶点坐标是． 抛物线向上平移h个单位长度后顶点坐标为． 设直线交于点M，交于点N，则． 如图， ∵直线的关系式为， ∴． ∵点Q在内， ∴， 解得； （4）存在．设，分两种情况： 当点P在对称轴右侧，且在x轴下方时， 如图，过点P作，过点F作于点M， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 即, 解得， ∵，不符合题意，舍去， ∴， 则， ∴； 当点P在对称轴右侧，且在x轴上方时，如图， 同理可得， 解得（舍）， ∴点P的坐标是． 综上所述，点P的坐标是或． 【点睛】这是一道关于二次函数的综合问题，考查了待定系数法求二次函数的关系式，二次函数与一元二次方程，等腰直角三角形的性质和判定，二次函数的顶点式及最大值，二次函数的平移等，理解数形结合思想是解题的关键． 13．在平面直角坐标系中，抛物线（b、c是常数）与x轴交于点，与y轴交于点．点P在抛物线上，其横坐标为m． (1)求该抛物线对应的函数表达式． (2)若抛物线在P、A之间的部分（包含端点）满足，则m的取值范围是______． (3)过点P作x轴垂线，交直线于点N． ①连结，当是以为底边的等腰三角形时，求m的值． ②点M在坐标平面内，坐标为，连结．当线段与抛物线有公共点时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①；②或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用二次函数的性质解答即可； （3）①根据题意得到，先求出直线的解析式，得到点P，点N的坐标，再利用两点间距离公式求出，建立方程求解即可；②过点M作x轴垂线，交抛物线与点K，分点P在点A左侧和右侧两种情况讨论，求出的坐标，即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线（b、c是常数）与x轴交于点，与y轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线对应的函数表达式为：； （2）解：∵，且， ∴当时，函数有最小值， 令， 解得：， ∴当或时，函数值为， ∵， ∴当时，； （3）解：①根据题意：， ∵点P在抛物线上，其横坐标为m， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， 根据题意：， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴或， 解得：或（舍去）或（舍去） ∴当是以为底边的等腰三角形时，m的值为； ②如图，过点M作x轴垂线，交抛物线与点K，当点P在点A左侧时， 则， ∵，，， ∴， ∴， 当点重合时，则，即， 解得：（舍去）或， 当点重合时，则， ∴； 如图，当点P在点A右侧时， 同理，当点重合时，则，即， 解得：或（舍去）， 当点重合时，则， ∴； 综上，m的取值范围为或． 14．如图，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，点是抛物线上的动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，当的面积是3时，求点P的坐标； (3)如图2，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）把，点代入二次函数中列方程组可解答； （2）过点作与轴交于点；可求得的解析式为 ，得，再由列方程求出m即可解答 （3）作辅助线构建全等三角形，过点作轴，交轴于，交对称轴于点，证明，得，列方程可解答． 【详解】（1）解：把，点代入二次函数中得： ， 解得：， 抛物线的表达式为：； （2）设的解析式为：，过点作与轴交于点， 把和代入得：， ， 的解析式为：， ∵， ∴，， ∴ ∵, ∴，即 解得：， 当，，即， 当，，即， 综上所述： （3）如图2，过点作轴，交轴于，交对称轴于点， 由题意得：， ， 抛物线对称轴是直线， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， （如图3），； 如图4，过点作轴，交轴于，交对称轴于点， 同理可得：， ， ， 解得：，， 综上，的值是或． 15 ．如图①，已知抛物线：经过点，，过点A作轴交抛物线于点C，的平分线交线段于点E，点P是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的关系式： (2)若动点P在直线下方的抛物线上，连接，当面积最大时，求出P点坐标； (3)将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在内（包括的边界），求h的取值范围； (4)如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3) (4)存在，点的坐标为或或或 【分析】（1）将，的坐标代入解析式，利用待定系数法解答即可； （2）过点作轴，交于点，设，利用的代数式表示出线段，再利用得到关于的二次函数解析式，利用二次函数的性质即可求得值，则结论可求； （3）求出原抛物线的对称轴和顶点坐标以及对称轴与的交点坐标、与的交点坐标，用含h的代数式表示平移后的抛物线的顶点坐标，列出不等式组求出h的取值范围； （4）由可知点的横坐标为2，设，抛物线的对称轴交轴于点，则，分四种情况：①当点在对称轴左侧的抛物线上且在轴的下方时，②当点在对称轴左侧的抛物线上且在轴的上方时，③当点在对称轴右侧的抛物线上且在轴的下方时，④当点在对称轴右侧的抛物线上且在轴的上方时，利用等腰直角三角形的性质结合全等三角形分别进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵已知抛物线经过点，， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）∵，， ∴，． 过点作轴，交于点，如图，    设， ∵平分，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时， 的面积最大，此时， ∴点的坐标为； （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点为， ∴抛物线L向上平移h个单位长度，新的抛物线的顶点坐标为：． 设直线交于点M，交于点N，则，如图2， ∵平分， ∴直线为一三象限的角平分线， ∴直线的解析式为：， ∴， ∵点F在内（包括的边界）， ∴， ∴； （4）存在，点的坐标为或或或，理由如下： ∵， ∴抛物线的对称轴为直线：， ∵是抛物线的对称轴上的一点， ∴点的横坐标为2． 设，抛物线的对称轴交轴于点，则． ①当点在对称轴左侧的抛物线上且在轴的下方时，如图，    过点作轴于点，延长交抛物线的对称轴于点，则，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形，则，， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴， 解得：（不合题意，舍去）或， 当时，， ∴点的坐标为； ②当点在对称轴左侧的抛物线上且在轴的上方时，如图，    过点作轴于点，延长交抛物线的对称轴于点，则，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， 同上可得， ∴， ∴， 解得：（不合题意，舍去）或， 当时，， ∴点的坐标为； ③当点在对称轴右侧的抛物线上且在轴的下方时，如图，    过点作轴于点，过点作，交的延长线于点，则， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵为等腰直角三角形，则，， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）， 当时，， ∴点的坐标为； ④当点在对称轴右侧的抛物线上且在轴的上方时，如图，    过点作轴于点，过点作，交的延长线于点，则， ∴四边形为矩形， ∴，， 同上可得， ∴， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）， 当时，， ∴点的坐标为； 综上，存在，点的坐标为或或或． 16．如图、抛物线与轴交于点和，与轴交于点，点是抛物线的顶点． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)连接，在轴上是否存在点，使得为直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将点和代入得到关于、的二元一次方程组，求解即可； （2）设，，分两种情况：当时，当时，分别求得点的坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点和， ∴， 解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）∵抛物线与与轴交于点，点是抛物线的顶点， 当时，， ∴， ∵， ∴， 在轴上存在点，使得为直角三角形，理由如下： 设， ∵，，， ∴与轴不垂直，即， ，，， 当时，如图，轴， ∴； 当时，如图， 在中，， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，点的坐标为或． 17．如图，抛物线经过点，与y轴交于点B． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，若点P是y轴正半轴上一点，且是等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 【分析】本题考查了二次函数解析式的解析式以及等腰三角形的性质，本题解题的关键在于理解并应用二次函数的性质、几何知识、分类讨论的思想． （1）将A点的坐标代入抛物线中，即可得出二次函数的解析式； （2）本题要分两种情况进行讨论：先根据抛物线的解析式求出B点的坐标，即可得出的长进而可求出的长，①，由此可求出P点的坐标；②，此时P与B关于x轴对称，由此可求出P点的坐标． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得． 抛物线的解析式为． （2）解：当时，． ． ． ， ． 在中，由勾股定理，得． 点是轴正半轴上一点， 当时，P、B关于x轴对称， ； 当时，， ， ； 当时，点P在y轴负半轴上，不合题意． 综上，点的坐标为或． 18．抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，已知． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线与抛物线相交于点，当面积最大时，求点的坐标及的最大值． 【答案】(1)； (2)存在，点P的坐标为或或； (3)，． 【分析】（1）由A、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式； （2）可设出P点坐标，则可表示出和的长，分、两种情况分别得到关于P点坐标的方程，可求得P点坐标； （3）由B、C的坐标可求得直线的解析式，可设出E点坐标，则可表示出F点的坐标，从而可表示出的长，可表示出的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值及此时点E的坐标． 【详解】（1）解：在抛物线上， 则， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）存在， 理由：， ∴抛物线对称轴为直线， ，且， ， ∵点P在对称轴上， ∴可设， ， 当时，则有， 解得，此时P点坐标为或； 当PC=CD时，则有， 解得（与D重合，舍去）或， 此时P点坐标为， 综上可知存在满足条件的点P，其坐标为或或； （3）当时，即， 解得或， ，， 设直线解析式为， 由题意可得， 解得， ∴直线解析式为， ∵点E是线段上的一个动点， ∴可设，则， ， ， ∴当时，S△CBF有最大值，最大值为， 此时， ， ∴当时，的面积最大，最大面积为4，此时E点坐标为． 19．在平面直角坐标系中，规定：抛物线的“伴随直线”为． 例如：抛物线的“伴随直线”为，即． (1)在上面规定下，抛物线的顶点坐标为__________，“伴随直线”为__________． (2)如图，顶点在第一象限的抛物线与其“伴随直线”相交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，．若为等腰三角形时，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，以及新定义，是解题的关键． （1）由抛物线的顶点式可求得其顶点坐标，由伴随直线的定义可求得伴随直线的解析式； （2）联立伴随直线和抛物线解析式可求得其交点A、B的坐标，还可求得抛物线与x轴的交点C、D的坐标，从而可求得，根据图形可知为等腰三角形时，只能是，从而可求得a的值； 【详解】（1）解：的顶点坐标为，“伴随直线”为； 故答案为：，； （2）解：的伴随直线为，即， 联立抛物线与伴随直线的解析式可得， 解得或， ，， 在中，令可解得或， ，， ，， 当为等腰三角形时，只存在一种可能为，如图所示， ，即，解得（抛物线开口向下，正值舍去） 若为等腰三角形时，a的值为． 20．如图, 一条抛物线经过点和原点O，连接，线段交y轴于点C．已知实数m，分别是方程的两个根． (1)求m，n的值； (2)求这条抛物线对应的函数解析式； (3)若P为线段上的一个动点（不与点O，B重合），当为等腰三角形时，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点的坐标为 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用、待定系数法求函数解析式以及等腰三角形的性质等知识，同时考查了分类思想的应用． （1）运用因式分解法解方程即可得出m，n的值； （2）将A，B两点的坐标代入，进而利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （3）首先求出的直线解析式以及解析式，再利用等腰三角形的性质得出当时，当时，点P在线段的中垂线上，当时分别求出x的值即可 【详解】（1）解：， ， 解得，，， ∵， ∴，； （2）解：∵，， ∴ ∵抛物线经过原点， ∴设抛物线的解析式为， 把代入解析式得， ， 解得，， ∴抛物线的解析式为； （3）解：设直线的解析式为， 把代入解析式得， ， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为； ∵直线过点， ∴直线的解析式为， ∵为等腰直角三角形， ∴或或， 设， ①当时，， 解得，，（舍去）， ∴； ②当时，点在线段的垂直平分线上， ∴； ③当时，可得， 解得，（舍去）， ∴； 综上，点的坐标为 21．已知：如图，抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧．点B的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否存在一点D，使，若存在，求出点D的坐标，若不存在，说明理由； (3)若点E是x轴上一个动点，是否存在以A、C、E为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或或 (3)存在，或或或 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与图形面积，二次函数与等腰三角形等知识，综合性强，有难度． （1）由，，求出点C坐标，进而可将B、C的坐标代入抛物线中，求出待定系数的值，即可得出抛物线的解析式； （2）设，则，根据，可得，解方程即可； （3）设，表示出三边，再根据等腰三角形分情况讨论，列方程求解即可． 【详解】（1）解：（1）∵，， ∴， ∴由图可得， 把，代入可得 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：令可得， 解得 ∴， 设， ∴， ∵，， ∴， ∴或， 解得或或， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，与重合不合题意， ∴或或； （3）解：∵点E是x轴上一个动点， ∴设， ∵，， ∴，，， ∵以A、C、E为顶点的三角形为等腰三角形， ∴当时，，则，解得，此时或； 当时，，则，解得，此时（时与重合，舍去）； 当时，，则，解得，此时； 综上所述，存在使以A、C、E为顶点的三角形为等腰三角形，或或或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 压轴专题02 二次函数（特殊三角形存在性问题） 一、等腰三角形存在性问题解题策略 1. 分类讨论： 如图1，⑴ 若△ABC是锐角等腰三角形，那么有以下三种情况； 图1 图3 图2 ① AB＝AC ② AB＝BC ③ AC＝BC ⑵ 如图2，若△ABC是直角等腰三角形，那么有以下一种情况；AB＝AC； ⑶ 如图3，若△ABC是钝角等腰三角形，那么有以下一种情况；AB＝AC； 2. 两圆一线模型： 图5 图4 如图4,线段AB,在平面内找一点C使得△ABC为等腰三角形.这样的点C如图5所示. 在分别以点A,B为圆心，AB为半径的圆和AB的垂直平分线上除了与AB在同一直线上的点外的以与点A,B构成等腰三角形,这个模型简称“两圆一线” ． 3. 相关公式： ⑴ 平面上两点间的距离公式： 如图6，已知点，，则点A，点B间的距离为AB＝． 图6 图7 ⑵ 中点坐标公式： 如图7，已知点，，点C为线段AB的中点，则点C的坐标为． 方法总结： 几何法：⑴ 两圆一线作出点；⑵ 利用勾股，相似，三角函数等求线段长，由线段长得点坐标． 代数法：⑴ 表示出三点A，B，C坐标； ⑵ 由点坐标表示出三条线段：AB，AC，BC； ⑶ 分类讨论 ① AB＝AC，② AB＝BC，③ AC＝BC ； ⑷ 列出方程求解. 二、直角三角形存在性问题解题策略 1. 直角三角形的定义：有一个内角为90°的三角形，叫直角三角形. 图1 图2 图3 若一个三角形为直角三角形，存在以下三种情况： ⑴ 如图1，若∠A＝90°，则 ⑵ 如图2，若∠B＝90°，则 ⑶ 如图3，若∠C＝90°，则 2. “两线一圆”模型 如图，线段AB，在平面内找一点C使得△ABC为直角三角形，这样的点C分别在： ⑴ 过点A，B作AB的垂线上； ⑵ 以AB的中点为圆心，AB为半径的圆上，这个模型简称“两线一圆”模型. 3. “一线三垂直” 模型 已知：当点C在线段DE上，∠D＝∠ACB＝∠E, 结论：△ADC∽△CEB 方法小结： 几何法：⑴ 两线一圆作出点； ⑵ ① 以两定点为直角顶点时，两直线互相垂直，则 ② 以已知线段为斜边时，构造“一线三垂直”模型，最后利用相似或三角函数求解. 代数法：⑴ 表示点A，B，C坐标； ⑵ 表示线段AB，AC，BC； ⑶ 分类讨论①；②；③； ⑷ 代入列方程，求解. 三、等腰直角三角形存在性问题解题策略 方法：【三垂直构造等腰直角三角形】 【模型呈现】 如图，在Rt△ADC，∠ADC=90°，将斜边AC绕点C顺时针旋转得到CB，过点B作DE⊥MN于点，∵AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC＝∠BEC＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°， ∴∠DAC＝∠BCE， 在△ADC和△CEB中 ∴△ADC≌△CEB（AAS）． ∴AD＝CE，CD＝BE，我们把这个数学模型成为“K型”． 例题1 （24-25九年级·江苏泰州）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接． (1)求A、B、C三点的坐标； (2)若点P为线段上的一点（不与B、C重合），轴，且交抛物线于点M，交x轴于点N，当线段的长度最大时，求点M的坐标； (3)在（2）的条件下，当线段的长度最大时，在抛物线的对称轴上有一点Q，使得为直角三角形，直接写出点Q的坐标． 例题2 如图，一次函数与x轴、y轴分别交于A、C两点，二次函数的图象经过A、C两点，与x轴交于另一点B，其对称轴为直线 (1)求该二次函数表达式； (2)在对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 例题3 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D． (1)请直接写出点A，C，D的坐标； (2)若P是第二象限的抛物线上的一个动点（不与D重合），过点P作轴交于点E，求线段长度的最大值； (3)若F为直线上的动点，在抛物线上是否存在点Q，使得为等腰直角三角形？若存在，求出Q坐标；若不存在，请说明理由． 1．（24-25九年级下·江苏徐州·阶段练习）如图①，二次函数与x轴交于点A、C，且点A在点C的右侧，与y轴交于点B，连接． (1)求抛物线的对称轴； (2)求直线的解析式； (3)如图②，点P是x轴下方、抛物线对称轴右侧图象上的一动点，连接，过点P作，与抛物线的另一个交点为Q，M、N为上的两点，且轴，轴． ①当为直角三角形时，求点P的坐标； 2．如图，已知：关于y的二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点，抛物线的对称轴与x轴交于点D． (1)求二次函数的表达式． (2)在y轴上是否存在一点P，使为直角三角形．若存在，请求出点P的坐标． 3．如图，二次函数的图象交轴于，，交轴于． (1)求二次函数的解析式； (2)二次函数的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？如果存在，请直接写出答案，如果不存在，请说明理由． 4．在平面直角坐标系中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：交x轴于点A，B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线与是“共根抛物线”，其顶点为P． (1)若抛物线经过点，求抛物线对应的函数关系式； (2)是否存在以点A，C，P为顶点的三角形是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出抛物线对应的函数关系式；若不存在，请说明理由． 5、（24-25九年级下·江苏宿迁·阶段练习）．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，交轴于点，点是第四象限内抛物线上的一个动点． (1)求二次函数的解析式； (2)在二次函数的图象上是否存在点M，使三角形是以为直角边的直角三角形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（24-25九年级·江苏盐城 ·阶段练习）综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接．若点P在线段上运动（点P不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F．设点P的横坐标为m． (1)求点A，B，C的坐标，并直接写出直线的函数解析式． (2)在点P的运动过程中，是否存在m使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 7．综合与探究 如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，交轴于点，点为抛物线上一动点，过点作轴的垂线，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)当点在直线下方的抛物线上运动时，求出长度的最大值； (3)当以，，为顶点的三角形是等腰三角形时，求此时的值． 8．已知抛物线)交x轴于点和点，交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)如图，点P是抛物线上位于直线上方的动点，过点P分别作x轴，y轴的平行线，交直线于点D，当取最大值时，求点P的坐标； (3)点P是抛物线上位于直线上方的动点，是以为腰的等腰三角形，求出P点坐标． 9．（24-25九年级·江苏徐州·阶段练习）综合与探究 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，是轴上的一个动点（不与点，，重合），过点作轴，分别交抛物线，直线于点，．设点的横坐标为． (1)求抛物线的函数解析式及点的坐标，并直接写出直线的函数解析式． (2)当点在线段上运动，且为的中点时，求的值． (3)连接，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，点D在抛物线上． (1)求该抛物线的解析式； (2)当点D在x轴上方抛物线上，的面积为3时，求点D的坐标； (3)当点D在x轴上方抛物线上时，在对称轴上是否存在点P，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，抛物线过，两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线轴，交x轴于点H． (1)求抛物线的表达式； (2)直接写出点C的坐标，并求出的面积； (3)点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当的面积为6时，求出点P的坐标； (4)若点M在直线上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时点M的坐标． 12．如图，已知抛物线经过点、，过点作轴，交抛物线于点，的平分线交线段于点，点是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)若动点在线段下方的地物线上连接、，当的面积最大时，求点的坐标； (3)将抛物线向上平移个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在内（包括的边界），求的取值范围； (4)若是抛物线的对称轴上的一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 13．在平面直角坐标系中，抛物线（b、c是常数）与x轴交于点，与y轴交于点．点P在抛物线上，其横坐标为m． (1)求该抛物线对应的函数表达式． (2)若抛物线在P、A之间的部分（包含端点）满足，则m的取值范围是______． (3)过点P作x轴垂线，交直线于点N． ①连结，当是以为底边的等腰三角形时，求m的值． ②点M在坐标平面内，坐标为，连结．当线段与抛物线有公共点时，直接写出m的取值范围． 14．如图，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，点是抛物线上的动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，当的面积是3时，求点P的坐标； (3)如图2，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 15 ．如图①，已知抛物线：经过点，，过点A作轴交抛物线于点C，的平分线交线段于点E，点P是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的关系式： (2)若动点P在直线下方的抛物线上，连接，当面积最大时，求出P点坐标； (3)将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在内（包括的边界），求h的取值范围； (4)如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 16．如图、抛物线与轴交于点和，与轴交于点，点是抛物线的顶点． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)连接，在轴上是否存在点，使得为直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在请说明理由． 17．如图，抛物线经过点，与y轴交于点B． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，若点P是y轴正半轴上一点，且是等腰三角形，求点的坐标． 18．抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，已知． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线与抛物线相交于点，当面积最大时，求点的坐标及的最大值． 19．在平面直角坐标系中，规定：抛物线的“伴随直线”为． 例如：抛物线的“伴随直线”为，即． (1)在上面规定下，抛物线的顶点坐标为__________，“伴随直线”为__________． (2)如图，顶点在第一象限的抛物线与其“伴随直线”相交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，．若为等腰三角形时，求的值． 20．如图, 一条抛物线经过点和原点O，连接，线段交y轴于点C．已知实数m，分别是方程的两个根． (1)求m，n的值； (2)求这条抛物线对应的函数解析式； (3)若P为线段上的一个动点（不与点O，B重合），当为等腰三角形时，求点P的坐标． 21．已知：如图，抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧．点B的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否存在一点D，使，若存在，求出点D的坐标，若不存在，说明理由； (3)若点E是x轴上一个动点，是否存在以A、C、E为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$