专题11 二次函数的图象与性质（中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题题源解密（山东专用）

专题11 二次函数的图象与性质 课标要求 考点 考向 1．通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义． 2．能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系． 3．会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题． 4．知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 二次函数的图象与性质 考向一 二次函数的图象与性质 考向二 二次函数图象与系数的关系 考向三 二次函数图象的应用 考向四 二次函数图象的平移 考点 二次函数的图象与性质 ►考向一 二次函数的图象与性质 解题技巧 （1）a>0时，抛物线开口向上，当时，y随x增大而减小；当时，y取最小值；当时，y随x增大而增大; a<0时，抛物线开口向下，当时，y随x增大而增大；当时，y取最大值；当时，y随x增大而减小; （2）a,b同号时，抛物线对称轴位于y轴左侧; a,b异号时，抛物线对称轴位于y轴右侧； （3）c>0时，抛物线与y轴交于正半轴;c=0时，抛物线过原点;c<0时，抛物线与y轴交于负半轴. 1.（2024•烟台）已知二次函数的与的部分对应值如下表： 下列结论：；关于的一元二次方程有两个相等的实数根；当时，的取值范围为；若点，均在二次函数图象上，则；满足的的取值范围是或．其中正确结论的序号为 ． 2.（2024•德州）已知，是某函数图象上的两点，当时，．该函数的解析式可能是（   ） A． B． C． D． ►考向二 二次函数图象与系数的关系 1.（2024•东营）已知抛物线的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．(为任意实数) 2.（2024•青岛）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（    ）    A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3.（2024•日照）已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4.（2024•泰安）如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5.（2024•潍坊）（多选）如图，已知抛物线的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是．下列结论正确的有（    ） A． B．该抛物线与轴的另一个交点坐标是 C．若点和在该抛物线上，则 D．对任意实数，不等式总成立 ►考向三 二次函数图象的应用 1.（2024•济南）如图1，是等边三角形，点在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为，为．当动点沿匀速运动到点时，与的函数图象如图2所示．有以下四个结论： ①； ②当时，； ③当时，； ④动点沿匀速运动时，两个时刻，分别对应和，若，则．其中正确结论的序号是（    ） A．①②③       B．①②            C．③④              D．①②④ ►考向四 二次函数图象的平移 解题技巧 （1）图象平移的本质是平移点，因此，求平移后解析式的问题，都可以在平移前图象上确定点的坐标，求出平移后点的坐标，结合待定系数法进行求解. （2）向左平移m（m>0）个单位，解析式为； 向右平移m（m>0）个单位，解析式为； 向上平移n（n>0）个单位，解析式为； 向下平移n（n>0）个单位，解析式为. 1.（2024•济宁）将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是 ． 一、单选题 1．（23-24九年级下·山东济南·开学考试）如图1，车前大灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯所在的位置合适时，灯光会沿着水平方向的反射出去，此时我们称灯的位置为抛物线的“焦点”．抛物线的焦点位置有一种特性：如图，抛物线上任意一点到焦点的距离的长，等于点到一条平行于轴的直线的距离的长．若抛物线的表达式为：，那么此抛物线的焦点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东临沂·二模）已知一系列抛物线，，，，，…，（k为非负整数）．抛物线与x轴相交于点，（点在点的左边），顶点为．若轴于点，则k的值是（    ） A．3 B．5 C．2023 D．2024 3．（2024·山东济南·三模）已知点在直线上，点和在抛物线上．当时，有，则可以等于下列哪个值（    ） A．2 B．4 C．8 D．10 4．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）图中与抛物线，，，，的图象对应的是（    ） A．①②④③ B．②①④③ C．①②③④ D．②①③④ 5．（2024·山东日照·二模）在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标互为相反数的点称为“相反点”，例如点，，都是“相反点”，若二次函数的图象上有且只有一个“相反点”，当时，二次函数的最小值为，最大值为，则的取值范围为（    ） A．-1≤m≤4 B． C． D． 6．（2024·山东济南·二模）抛物线，将其图象在轴下方的部分沿轴翻折，其余部分保持不变，组成图形是上的任意一点，当时，的最大值记为，则取得最小值时，的值为(    ) A． B． C． D． 7．（2022·山东青岛·二模）二次函数的图象如图所示，其对称轴是直线，点的坐标为，垂直于轴，连接，则下列说法一定正确的是（　　） A．如图①，四边形是矩形 B．在同一平面直角坐标系中，二次函数，一次函数和反比例函数的图象大致如图②所示 C．在同一平面直角坐标系中，二次函数与反比例函数的图象大致如图③所示 D．在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数在的图象大致如图④所示 8．（22-23九年级上·山东临沂·阶段练习）抛物线的图象上有三点：，下列结论中：（1）抛物线开口向上； （2）抛物线对称轴为直线； （3）抛物线顶点坐标为； （4）抛物线过点； （5）．正确的有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2021·山东菏泽·一模）如图，在平画直角坐标系中，抛物线经过点A(－2，0)和B(4，0)，点C为抛物线的顶点，则下列结论： ①abc＞0； ②关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为－2＜x＜4； ③3a＋c＜0； ④若是直角三角形，则点C的坐标为(1，－3)； ⑤若m为任意实数，则 其中结论正确的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 10．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）把函数的图象在轴下方的部分沿轴向上翻折，轴上方部分图象不变，得到函数的图象，如图所示则下列结论正确的是 填序号． ①；②；③；④将函数的图象向上平移个单位长度后与直线有个交点． 11．（24-25九年级上·山东淄博·期中）已知点在抛物线上．若该抛物线的对称轴与轴的交点在点之间(即点在线段上，但不与E，F重合)，则，的大小关系为 ．(用“>” 连接) 三、解答题 12．（23-24九年级上·山东威海·阶段练习）已知函数的图象与的图象交于点，两点 (1)试求和的值； (2)取何值时，二次函数中的随值的增大而增大? (3)取何值时，？ (4)求抛物线顶点与两个交点构成的三角形的面积． 13．（2024·二模）已知二次函数图象的顶点坐标为，且图象经过点，． (1)求二次函数的表达式 (2)将二次函数的图象向右平移个单位，图象经过点，求m 的值； (3)在由（2）平移后的图象上，当时，函数的最小值为，求n的值． 14．（24-25九年级上·山东淄博·期中）把抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线． (1)请直接写出抛物线的表达式； (2)对于抛物线所对应的函数，当自变量时，其函数值是否存在最小值，若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 15．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）对于函数，请回答下列问题： (1)对于函数的图像可以由什么抛物线，经怎样平移得到的？ (2)函数图像的对称轴、顶点坐标各是什么？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 二次函数的图象与性质 课标要求 考点 考向 1．通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义． 2．能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系． 3．会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题． 4．知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 二次函数的图象与性质 考向一 二次函数的图象与性质 考向二 二次函数图象与系数的关系 考向三 二次函数图象的应用 考向四 二次函数图象的平移 考点 二次函数的图象与性质 ►考向一 二次函数的图象与性质 解题技巧 （1）a>0时，抛物线开口向上，当时，y随x增大而减小；当时，y取最小值；当时，y随x增大而增大; a<0时，抛物线开口向下，当时，y随x增大而增大；当时，y取最大值；当时，y随x增大而减小; （2）a,b同号时，抛物线对称轴位于y轴左侧; a,b异号时，抛物线对称轴位于y轴右侧； （3）c>0时，抛物线与y轴交于正半轴;c=0时，抛物线过原点;c<0时，抛物线与y轴交于负半轴. 1.（2024•烟台）已知二次函数的与的部分对应值如下表： 下列结论：；关于的一元二次方程有两个相等的实数根；当时，的取值范围为；若点，均在二次函数图象上，则；满足的的取值范围是或．其中正确结论的序号为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质， 利用待定系数法求出的值即可判断；利用根的判别式即可判断；利用二次函数的性质可判断；利用对称性可判断；画出函数图形可判断；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：把，，代入得， ， 解得， ∴，故正确； ∵，，， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根，故正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为， 又∵， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，函数取最大值， ∵与时函数值相等，等于， ∴当时， 的取值范围为，故错误； ∵， ∴点，关于对称轴对称， ∴，故正确； 由得， 即， 画函数和图象如下： 由，解得，， ∴，， 由图形可得，当或时，，即，故错误； 综上，正确的结论为， 故答案为：． 2.（2024•德州）已知，是某函数图象上的两点，当时，．该函数的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数、反比例函数、二次函数的增减性． 由题意可得当时，y随x的增大而增大，逐个选项判断函数的增减性，即可额解答． 【详解】解：∵当时，，即， ∴当时，y随x的增大而增大． A、对于函数，y随x的增大而减小，故该函数不合题意； B、对于，当时，y随x的增大而减小，故该函数不合题意； C、函数的图象开口向上，对称轴为， 则当，y随x的增大而增大，故该函数符合题意； D、函数的图象开口向下，对称轴为， 则当，y随x的增大而减小，故该函数不合题意． 故选：C ►考向二 二次函数图象与系数的关系 1.（2024•东营）已知抛物线的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．(为任意实数) 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质及巧用数形结合的思想是解题的关键； 由图象可知：，，根据抛物线的与x轴的交点可求对称轴，根据对称轴及a与b的符号关系可得，则可判断选项A、B、C，由当时，函数有最大值，可判断选项D． 【详解】解：A、抛物线开口往下， ， 抛物线与y轴交于正半轴， 抛物线的与x轴的交点是：和 ∴对称轴为， ， ， ，故选项A错误． ∵， ∴，故选项B错误（否则可得，不合题意）． ，， ∴，故选项C错误． 抛物线的对称轴为直线，且开口向下， 当时，函数值最大为， 当时，， ， ，故选项D正确． 故选：D． 2.（2024•青岛）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（    ）    A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，根据二次函数与y轴交于y轴的正半轴得到，根据对称轴计算公式得到，即，则在x轴正半轴上；由二次函数顶点在第二象限，得到当时，，再由二次函数与x轴无交点，得到，则点在第二象限，据此可得答案． 【详解】解：∵二次函数与y轴交于y轴的正半轴， ∴， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴， ∴在x轴正半轴上； ∵二次函数顶点在第二象限， ∴当时，， ∵二次函数与x轴无交点， ∴， ∴点在第二象限， ∴经过点和点的直线一定经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故选：C． 3.（2024•日照）已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．①根据图像分别判断，，的符号即可；②将点代入函数即可得到答案；③根据题意可得该函数与轴的另一个交点的横坐标为5，即可得到；④由，得到，，将代入函数得，从而推出当时，该抛物线与直线的图象无交点，即可判断． 【详解】解：由题图可知，， ，故①正确； 当时，，即，故②正确； 二次函数与轴的一个交点的横坐标为，对称轴为直线， 二次函数与轴的另一个交点的横坐标为5， 多项式，故③错误； 当时，有最大值，即， 当时，抛物线与直线的图象无交点， 即关于x的方程无实数根，故④正确． 综上，①②④正确． 故选：C． 4.（2024•泰安）如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查的是图象法求一元二次方程的近似值、抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数与方程的关系等知识点，掌握二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次函数的性质逐个判断即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴, ∴，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在2、3之间， ∴与x轴的另一个交点在、0之间， ∴方程一定有一个根在和0之间，故②错误； ∵抛物线与直线有两个交点， ∴方程一定有两个不相等的实数根，故③正确； ∵抛物线与x轴的另一个交点在，0之间， ∴， ∵图象与y轴交点的纵坐标是2， ∴， ∴， ∴．故④错误． 综上，①③正确，共2个． 故选：B． 5.（2024•潍坊）（多选）如图，已知抛物线的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是．下列结论正确的有（    ） A． B．该抛物线与轴的另一个交点坐标是 C．若点和在该抛物线上，则 D．对任意实数，不等式总成立 【答案】ACD 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．根据二次函数的图像和性质进行解题即可． 【详解】解：将代入，可得，由图像可知，此时图像在轴上方，故，故选项A正确； 对称轴是直线， 故该抛物线与轴的另一个交点坐标是，故选项B错误； 时，函数有最大值，距离对称轴更近，故，故选项C正确； 时，函数有最大值，故，即不等式总成立，故选项D正确； 故选ACD． ►考向三 二次函数图象的应用 1.（2024•济南）如图1，是等边三角形，点在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为，为．当动点沿匀速运动到点时，与的函数图象如图2所示．有以下四个结论： ①； ②当时，； ③当时，； ④动点沿匀速运动时，两个时刻，分别对应和，若，则．其中正确结论的序号是（    ） A．①②③       B．①②            C．③④              D．①②④ 【答案】D 【分析】由图知当动点沿匀速运动到点时，，作于点，利用解直角三角形和勾股定理，即可得到，即可判断①，当时，证明是等边三角形，即可判断②，当时，且时，最小，求出最小值即可判断③，利用勾股定理分别表示出和进行比较，即可判断④． 【详解】解：由图知当动点沿匀速运动到点时，， 作于点， 是等边三角形，点在边上，， ，， ，， ， ， 故①正确； 当时，，， ， 是等边三角形， ， ， 故②正确； 当时，且时，最小， ，， ， 最小为，即能取到， 故③错误； 动点沿匀速运动时， ，， ，，， ； 当时，，， ； ， ； 故④正确； 综上所述，正确的有①②④， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数综合，等边三角形性质，解直角三角形，勾股定理，涉及到动点问题、读懂函数图象、正确理解题意，利用数形结合求解是解本题的关键． ►考向四 二次函数图象的平移 解题技巧 （1）图象平移的本质是平移点，因此，求平移后解析式的问题，都可以在平移前图象上确定点的坐标，求出平移后点的坐标，结合待定系数法进行求解. （2）向左平移m（m>0）个单位，解析式为； 向右平移m（m>0）个单位，解析式为； 向上平移n（n>0）个单位，解析式为； 向下平移n（n>0）个单位，解析式为. 1.（2024•济宁）将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据平移的规律写出抛物线向下平移k个单位长度后的抛物线的表达式，再根据平移后得到的抛物线与x轴有公共点可得，由此列不等式即可求出k的取值范围． 此题考查了二次函数图像的平移与几何变换，以及抛物线与x轴的交点问题，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键． 【详解】解：将抛物线向下平移k个单位长度得， ∵与x轴有公共点， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 一、单选题 1．（23-24九年级下·山东济南·开学考试）如图1，车前大灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯所在的位置合适时，灯光会沿着水平方向的反射出去，此时我们称灯的位置为抛物线的“焦点”．抛物线的焦点位置有一种特性：如图，抛物线上任意一点到焦点的距离的长，等于点到一条平行于轴的直线的距离的长．若抛物线的表达式为：，那么此抛物线的焦点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，两点间的距离，利用平方差公式因式分解，设抛物线与轴交点为，与轴交于点，，，则，根据“焦点”定义可知：，，则，根据两点间的距离可得，然后解出即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图， 设抛物线与轴交点为，与轴交于点，，，则， 根据“焦点”定义可知：，， ∵点为抛物线顶点坐标， ∴， ∴， ∴， ∴，则， ∴，， 由得：， ∴， 即：， 整理得：， ∴， ∴，解得：， ∴焦点的坐标为， 故选：． 2．（2024·山东临沂·二模）已知一系列抛物线，，，，，…，（k为非负整数）．抛物线与x轴相交于点，（点在点的左边），顶点为．若轴于点，则k的值是（    ） A．3 B．5 C．2023 D．2024 【答案】A 【分析】该题主要考查了点坐标规律，二次函数图象与性质，解题的关键是确定的解析式． 根据规律确定的顶点坐标是，再根据轴于点，确定点，再代入的解析式即可求解； 【详解】解：根据题意可得：的顶点坐标是， 的顶点坐标是， 的顶点坐标是， 的顶点坐标是， 的顶点坐标是， 观察这列抛物线的顶点坐标， 由规律可知的顶点坐标是， ∴抛物线的解析式是， ， ， 轴于点， ， 把点的坐标代入到的解析式得：， 解得：； 故选：A． 3．（2024·山东济南·三模）已知点在直线上，点和在抛物线上．当时，有，则可以等于下列哪个值（    ） A．2 B．4 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征．求得直线与抛物线的交点的横坐标，把抛物线的顶点纵坐标代入直线解析式，求得对应的的值，即可求得取值范围，根据抛物线的对称性求得，从而求得的取值范围． 【详解】解：令，整理得， 解得，， 直线与抛物线的交点的横坐标为5，0， ， 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点为， 把代入， 解得， 若，，则，， ， 故选：A． 4．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）图中与抛物线，，，，的图象对应的是（    ） A．①②④③ B．②①④③ C．①②③④ D．②①③④ 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象．抛物线的形状与和有关，根据的大小即可确定抛物线的开口的宽窄． 【详解】解：∵①②开口向上，则， ∵②的开口最宽， ∴是②，是①， ∵③④开口向下，则， ∵④的开口最宽， ∴是④，是③， 综上，依次②①④③， 故选：B． 5．（2024·山东日照·二模）在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标互为相反数的点称为“相反点”，例如点，，都是“相反点”，若二次函数的图象上有且只有一个“相反点”，当时，二次函数的最小值为，最大值为，则的取值范围为（    ） A．-1≤m≤4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了新定义及二次函数的最值，由二次函数有且只有一个相反点得出和的值，再根据二次函数最值的求法结合自变量取值范围即可求出的取值范围． 【详解】二次函数的图象上有且只有一个“相反点” 即： 二次函数的图象上有且只有一个“相反点” 解得： 二次函数为： 时， 对称轴为直线： 当时，函数有最大值为 当时，二次函数的最小值为 当时，代入二次函数，即： 解得：或（舍） 综上：的取值范围为 故选：D． 6．（2024·山东济南·二模）抛物线，将其图象在轴下方的部分沿轴翻折，其余部分保持不变，组成图形是上的任意一点，当时，的最大值记为，则取得最小值时，的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．根据题意，结合所给选项画出正确的图形是解决本题的关键．根据二次函数的图象的开口向上，图象过原点，结合的取值范围和所给选项，画出相关图形，得到时，的最大值，比较后得到取得最小值时，的值为多少． 【详解】解：①当时，对称轴在轴的左侧或者轴．所给选项无，所以以对称轴在轴左侧为例，画出图形． 由图象可得：当时， ∴当取的最小值时，最小，即 ②当时，对称轴在轴的右侧． 当时，． 当时， 图象的最高点为顶点． ． 或不合题意，舍去． 取得最小值时，的值为． 故选：C． 7．（2022·山东青岛·二模）二次函数的图象如图所示，其对称轴是直线，点的坐标为，垂直于轴，连接，则下列说法一定正确的是（　　） A．如图①，四边形是矩形 B．在同一平面直角坐标系中，二次函数，一次函数和反比例函数的图象大致如图②所示 C．在同一平面直角坐标系中，二次函数与反比例函数的图象大致如图③所示 D．在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数在的图象大致如图④所示 【答案】A 【分析】根据二次函数、反比例函数与一次函数的图象和性质即可求解． 【详解】根据图①可知，，，所以， A. 二次函数的图象的对称轴是直线， 点与点关于对称轴对称， 垂直于轴， 与也关于对称轴对称， 四边形是矩形，故选项符合题意； B.，，一次函数的图象过第一、三、四象限，故选项不符合题意； C.，二次函数的图象不经过原点，故选项不符合题意； D.，，一次函数的图象过第一、二、四象限，故选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数、反比例函数与一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握函数的性质，灵活应用． 8．（22-23九年级上·山东临沂·阶段练习）抛物线的图象上有三点：，下列结论中：（1）抛物线开口向上； （2）抛物线对称轴为直线； （3）抛物线顶点坐标为； （4）抛物线过点； （5）．正确的有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质以及函数图象上点的坐标特征判断即可． 【详解】解：∵抛物线中，， ∴抛物线开口向上，故（1）正确； ∵， ∴抛物线对称轴为直线，故（2）错误； 把代入得，， ∴抛物线顶点坐标为，故（3）错误； 当时，， ∴抛物线过点，故（4）正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴，故（5）错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键． 9．（2021·山东菏泽·一模）如图，在平画直角坐标系中，抛物线经过点A(－2，0)和B(4，0)，点C为抛物线的顶点，则下列结论： ①abc＞0； ②关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为－2＜x＜4； ③3a＋c＜0； ④若是直角三角形，则点C的坐标为(1，－3)； ⑤若m为任意实数，则 其中结论正确的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据抛物线过点A、B，可得抛物线的解析式为，由抛物线的开口方向知，a>0，所以b=-2a<0，c=-8a<0，因此可分别对①③作出判断；观察图象，即可对②作出判断；，所以点C到x轴的距离为9a，因AB=6，若是直角三角形，根据抛物线的对称性，即可满足条件，此时点C的坐标为(1,-3)，因而可判断④正确；由可得：， 由此可对⑤作出判断． 【详解】由图象知，抛物线的开口向上，故a>0 由题意得： ∴b=-2a<0，c=-8a<0 ∴abc>0，3a+c=3a-8a=-5a<0 即①③正确 观察图象知，当－2＜x＜4时，函数的图象位于x轴下方，即ax2＋bx＋c＜0，故②正确 若是直角三角形，根据抛物线的对称性，则此三角形必是等腰直角三角形，由AB=6，则点C到x轴的距离为3 ∵ ∴9a=3 即抛物线的顶点C的坐标为(1,-3) 故④正确 由可得： 而当x=1时，函数的函数值为a+b+c，且也是函数的最小值 ∵对任意实数m，函数的函数值不小于其最小值 即 则am2+bm≥a+b 故⑤错误 所以正确结论的个数有4个 故选：C． 【点睛】本题综合考查了二次函数的图象与性质，涉及函数表达式的三种形式，抛物线的对称性，最值，函数与不等式的关系等知识，还涉及数形结合的思想，是一道全面考查二次函数图象与性质的好题，因此全面掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键． 二、填空题 10．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）把函数的图象在轴下方的部分沿轴向上翻折，轴上方部分图象不变，得到函数的图象，如图所示则下列结论正确的是 填序号． ①；②；③；④将函数的图象向上平移个单位长度后与直线有个交点． 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据过，，，得到，则，，，即可判断前3个，由与有个交点，相当于抛物线不变，直线向下平移一个单位长度与图象有3个交点，则将图象向上平移1个单位后与直线有个交点，即可求解． 【详解】解：由图象可得：过，，， ∴设函数， 将点代入可得：， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴①错误； ，②正确； ，③错误； ∵与有个交点，即抛物线不变，直线向下平移一个单位长度与图象有3个交点， 将图象向上平移1个单位后与直线有个交点，故④正确； 故答案为：②④． 11．（24-25九年级上·山东淄博·期中）已知点在抛物线上．若该抛物线的对称轴与轴的交点在点之间(即点在线段上，但不与E，F重合)，则，的大小关系为 ．(用“>” 连接) 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据开口向上时，离对称轴越远函数值越大求解即可． 【详解】设对称轴是直线， ∵该抛物线的对称轴与轴的交点在点之间， ∴， ∵， ∴到对称轴的距离分别为， ∵， ∴，， ∴，即点A离对称轴更近，点B离对称轴更远， 又∵，开口向上时，离对称轴越远函数值越大， ∴． 故答案为：． 三、解答题 12．（23-24九年级上·山东威海·阶段练习）已知函数的图象与的图象交于点，两点 (1)试求和的值； (2)取何值时，二次函数中的随值的增大而增大? (3)取何值时，？ (4)求抛物线顶点与两个交点构成的三角形的面积． 【答案】(1)， (2)当时，二次函数中的随值的增大而增大 (3)当时， (4) 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题、二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）将代入计算即可得出的值，从而得出，再利用待定系数法即可得出的值； （2）根据二次函数的性质即可得出答案； （3）求出点的坐标，画出函数图象，结合函数图象即可得出答案； （4）令抛物线的顶点为，过点作轴的平行线交于，求出的长度，再根据计算即可得出答案． 【详解】（1）解：将代入得：， ∴， 将代入得：，解得：； （2）解：由（1）可得， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，二次函数中的随值的增大而增大； （3）解：联立， 解得：或， ∴， 画出大致函数图象如图所示： 由图象可得：当时，； （4）解：如图，令抛物线的顶点为，过点作轴的平行线交于， ∵， ∴， 在中，当时，，即， ∴， ∴． 13．（2024·二模）已知二次函数图象的顶点坐标为，且图象经过点，． (1)求二次函数的表达式 (2)将二次函数的图象向右平移个单位，图象经过点，求m 的值； (3)在由（2）平移后的图象上，当时，函数的最小值为，求n的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数图像性质，求二次函数解析式，二次函数图像平移性质，二次函数最值，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据题意设二次函数解析式为，再代入一个其图象经过点，求出的值即可求得二次函数的表达式； （2）根据二次函数图像平移性质“左加右减，上加下减”，可得平移后二次函数解析式，再将其图象经过的点代入即可求得m 的值； （3）由（2）可得平移后二次函数解析式，先求出函数取值为时，的值，根据二次函数图像性质，可知的取值在左侧或在右侧，根据分别讨论两种情况即可． 【详解】（1）解：二次函数图象的顶点坐标为， 设二次函数解析式为：， 二次函数图象经过点，， ， 解得：， 二次函数解析式为； （2）解：将二次函数的图象向右平移个单位后， 二次函数解析式为， 平移后二次函数图象经过点， ， 解得：，（舍去）， 的值为； （3）解：由（2）可知：平移后二次函数解析式为，函数图像开口向上，对称轴为， 当函数取值为时，则有， 解得：，， 当时，函数的最小值为， 的取值为或， ①当的取值为时， 则有， 解得：， ②当的取值为时， 则有， 解得：， 的值为或． 14．（24-25九年级上·山东淄博·期中）把抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线． (1)请直接写出抛物线的表达式； (2)对于抛物线所对应的函数，当自变量时，其函数值是否存在最小值，若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)存在，当时，取最小值－3 【分析】（1）由平移的性质得的表达式为：； （2）根据函数表达式可知的开口向上，对称轴为，所以当时，函数在顶点处取得最小值，即可求解. 【详解】（1）由平移的性质可得的表达式为：； 抛物线的表达式或 （2）存在 抛物线开口向上，对称轴， 时，先随的增大而减小，再随的增大而增大， 时，取最小值－3. 15．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）对于函数，请回答下列问题： (1)对于函数的图像可以由什么抛物线，经怎样平移得到的？ (2)函数图像的对称轴、顶点坐标各是什么？ 【答案】(1)由向左平移个单位，再向上平移个单位得到 (2)对称轴为直线，顶点为 【分析】（1）化成顶点式，由二次函数解析式在平移中的变化规律：左加右减，上加下减；据此即可求解． （2）由二次函数的对称轴为直线，顶点，即可求解． 【详解】（1）解： ， 可以由向左平移个单位，再向上平移个单位得到． （2）解：由可得 对称轴为直线，顶点为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质及平移规律，掌握性质及规律是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$