数学（北京卷02）-学易金卷：2025年高考第一次模拟考试

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年高考数学第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 2．若复数满足，则复平面内表示的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知直线与圆相交于，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 4．已知是抛物线上的动点，是抛物线的准线上的动点，，则的最小值是（   ） A．5 B．4 C． D． 5．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 6．已知函数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．如图，三棱柱中，E，F分别是AB、AC的中点，平面将三棱柱分成体积为（左为，右为）两部分，则（    ） A．5:6 B．3:4 C．1:2 D．5:7 8．春天是一个美丽、神奇，充满希望的季节，我们每个人都应当保持像春天一样朝气蓬勃的生命力，去创造属于我们自己的美好生活．随着2022年春天的深入，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每经过一天的生长，荷叶覆盖水面面积都是前一天的倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶大约生长了（参考数据）（    ） A．15天 B．16天 C．17天 D．18天 9．已知函数在区间上对任意的，都满足，则实数a的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 10．已知等差数列和等比数列，，则满足的数值m（   ） A．有且仅有1个值 B．有且仅有2个值 C．有且仅有3个值 D．有无数多个值 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11．已知双曲线的虚轴长为2，则双曲线的渐近线方程是 . 12．已知展开式中的第4项是一次项，则 ，展开式中系数最大的项是 ． 13．△ABC中，AC = BC，∠BAC = ，D为BC中点，E为AB中点，M为线段CE上动点，= 4，则| AC | = ；的最小值为 . 14．我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，，记作数列，则 ；若数列的前项和为，则 . 15．已知曲线，点，，则下列结论正确的有 ①．曲线关于直线对称 ②．曲线上存在点，使得 ③．直线与曲线只有一个交点 ④．曲线上第一象限内的点到直线与的距离之积为定值 3、 解答题：本题共5小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（满分13分）在中，内角的对边分别为.已知. (1)求角的大小； (2)已知.求的面积. 17．（满分14分）羡除是《九章算术》中记载的一种五面体.如图，五面体是一个羡除，其中四边形与四边形均为等腰梯形，且，，，为中点，平面与平面交于. (1)求证：平面； (2)已知点是线段上的动点，从条件①、条件②中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 条件①：平面平面； 条件②：. 18．（满分13分）随着“中华好诗词”节目的播出，掀起了全民诵读传统诗词经典的热潮．某社团为调查大学生对于“中华诗词”的喜好，从甲、乙两所大学各随机抽取了40名学生，记录他们每天学习“中华诗词”的时间，按照，，，，，分组，并整理得到如下频率分布直方图：    根据学生每天学习“中华诗词”的时间，可以将学生对于“中华诗词”的喜好程度分为三个等级： 学习时间：（分钟/天） 等级 一般 爱好 痴迷 (1)从甲大学中随机选出一名学生，试估计其“爱好”中华诗词的概率； (2)从这两组“痴迷”的同学中随机选出2人，记ξ为选出的两人中甲大学的人数，求ξ的分布列和数学期望； (3)试判断选出的这两组学生每天学习“中华诗词”时间的平均值与的大小，及方差与的大小．（只需写出结论） 19．（满分15分）已知函数． (1)若，证明：； (2)若过坐标原点的直线能与曲线相切，求的取值范围． 20．（满分15分）已知是椭圆上的一点，且的离心率为，斜率存在且不过点的直线与相交于，两点，直线与直线的斜率之积为 (1)求的方程. (2)证明：的斜率为定值. (3)设为坐标原点，若与线段（不含端点）相交，且四边形的面积为，求的方程. 21．（满分15分）定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列1，2，3经过第一次“和扩充”后得到数列1，3，2，5，3；第二次“和扩充”后得到数列1，4，3，5，2，7，5，8，3.设数列a，b，c经过n次“和扩充”后得到的数列的项数为，所有项的和为. (1)若，，，求，； (2)若，求正整数n的最小值； (3)是否存在实数a，b，c，使得数列为等比数列?若存在，求a，b，c满足的条件；若不存在，请说明理由. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考数学第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据韦恩图表达的集合和之间的关系，求解阴影部分所表达的集合即可． 【详解】集合，集合，则或， 又因为图中阴影部分表示的集合为，所以. 故选：B. 2．若复数满足，则复平面内表示的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据复数的乘法运算法则求得，再求，根据复数的几何意义进行判断. 【详解】，则．其对应的点在第四象限． 故选：D. 3．已知直线与圆相交于，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆心到直线的距离，利用垂径定理求得的长，可得面积． 【详解】圆，圆心，半径， 则圆心到直线的距离为， 所以， 则的面积为. 故选：B. 4．已知是抛物线上的动点，是抛物线的准线上的动点，，则的最小值是（   ） A．5 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】借助抛物线定义计算即可得. 【详解】抛物线的焦点为，准线的方程为， 当时，的值最小，此时，由抛物线的定义，可得， 则. 故选：A. 5．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用正弦定理化角为边，再利用余弦定理求得，根据基本不等式及三角形面积公式求解面积的最大值． 【详解】在中，， 由正弦定理得，即， 由余弦定理得， ∵，∴， ∵，当且仅当时取等号，因此， ∴面积， ∴当时，的面积取得最大值． 故选：C． 6．已知函数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据给定函数，利用充分条件/必要条件的定义，结合奇函数的性质推理判断. 【详解】函数定义域为R，，即是奇函数， 由，得，则， 反之，取，满足，而， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 7．如图，三棱柱中，E，F分别是AB、AC的中点，平面将三棱柱分成体积为（左为，右为）两部分，则（    ） A．5:6 B．3:4 C．1:2 D．5:7 【答案】D 【分析】设面积为，和的面积为，三棱柱高为；；；总体积为：，根据棱台体积公式求；以及面积关系，求出体积之比． 【详解】由题：设面积为，和的面积为，三棱柱高为；； ；总体积为： 计算体积： ① ② ③ 由题意可知，④ 根据①②③④解方程可得：，；则. 故选：D． 8．春天是一个美丽、神奇，充满希望的季节，我们每个人都应当保持像春天一样朝气蓬勃的生命力，去创造属于我们自己的美好生活．随着2022年春天的深入，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每经过一天的生长，荷叶覆盖水面面积都是前一天的倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶大约生长了（参考数据）（    ） A．15天 B．16天 C．17天 D．18天 【答案】C 【分析】分析可得初始面积与天数对应的面积关系式，再根据题意取对数化简求解即可 【详解】设荷叶覆盖水面的初始面积为，则天后荷叶覆盖水面的面积，根据题意，令，即，两边取以10为底的对数得，所以解得． 故选：C． 9．已知函数在区间上对任意的，都满足，则实数a的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得函数在区间上单调递减，进而结合分段函数的单调性求解即可. 【详解】由题意，函数在区间上单调递减， 则，解得， 即实数a的取值范围是. 故选：C. 10．已知等差数列和等比数列，，则满足的数值m（   ） A．有且仅有1个值 B．有且仅有2个值 C．有且仅有3个值 D．有无数多个值 【答案】A 【分析】根据题意求公差和公比，令，分情况讨论，结合数列单调性分析即可判断. 【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因， 则有，解得， 令， 可得，此时满足的只有成立； 当时，显然， ①若是奇数，则，显然不满足； ②若是偶数，则，且， 即，可得即不成立； 综上所述：满足的数值有且仅有1个值，即. 故选：A. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11．已知双曲线的虚轴长为2，则双曲线的渐近线方程是 . 【答案】 【分析】首先求，再求双曲线的渐近线方程. 【详解】由条件可知，，所以双曲线的渐近线方程为. 故答案为： 12．已知展开式中的第4项是一次项，则 ，展开式中系数最大的项是 ． 【答案】 10 【分析】写出的通项，由展开式中的第4项是一次项，可得答案；由第一空，可得展开式中各项系数为，后由组合数性质结合函数单调性比较这六项系数即可得答案. 【详解】设展开式中的第项为，因展开式中的第4项是一次项，则； 由上可知，展开式中各项系数为，又，函数函数值随着增大而减小，则系数最大项只能出现在这6项中，注意到，则系数最大的项是第4项，即. 故答案为：10；. 13．△ABC中，AC = BC，∠BAC = ，D为BC中点，E为AB中点，M为线段CE上动点，= 4，则| AC | = ；的最小值为 . 【答案】 4 【分析】根据即可条件可判断出△ABC为等边三角形，再根据向量的数量积运算公式展开题中式子即可算出三角形边长，最后根据三角形边长建立平面直角坐标系将各点表示出来运用向量的坐标运算即可得出答案. 【详解】空1：由题可知△ABC为等边三角形，， 解得，因此； 空2：如图，设，，，其中， ，，， 当时，，即为的最小值. 故答案为：4；. 14．我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，，记作数列，则 ；若数列的前项和为，则 . 【答案】 【分析】由题意可知是第5行第4个数，故而直接能得到答案； 令每行的序数与该行的项数相等可得第行最后项在数列中的项数为；根据可求得，进而可确定位于第行第个；根据每一行数字和的规律可知，计算可得结果. 【详解】由题意可知是第5行第4个数，所以； 使得每行的序数与该行的项数相等，则第行最后项在数列中的项数为： 设位于第行，则：，解得： 且第行最后一项在数列中的项数为：， 位于杨辉三角数阵的第行第个 而第一行各项和为，第二行各项和为，第三行各项的和为 依此类推，第行各项的和为 故答案为：4，. 15．已知曲线，点，，则下列结论正确的有 ①．曲线关于直线对称 ②．曲线上存在点，使得 ③．直线与曲线只有一个交点 ④．曲线上第一象限内的点到直线与的距离之积为定值 【答案】②③④ 【分析】数形结合并由双曲线的性质、定义结合直线与双曲线的位置关系和点到直线的距离即可依次求解判断各选项. 【详解】由题当，时，曲线； 当，时，曲线； 当，时，曲线不存在； 当，时，曲线，故作出曲线如图所示： 选项①：法一：由图可知，曲线不关于直线对称，故①错误； 法二：将中的替换为替换为，得， 与不相同，故曲线不关于直线对称，故①错误； 选项②：易知，为双曲线的上、下焦点， 所以当点在第三象限时，根据双曲线的定义可知，故②正确； 选项③：易知直线为双曲线与双曲线的一条共同渐近线， 直线的斜率小于直线的斜率， 故直线与曲线在第一、四象限内没有交点，在第三象限内只有一个交点，故③正确； 选项④：设曲线上第一象限内的点为， 则，即， 所以点到直线的距离， 点到直线的距离， 所以，故④正确. 故选：②③④. 3、 解答题：本题共5小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（满分13分）在中，内角的对边分别为.已知. (1)求角的大小； (2)已知.求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由两角和的余弦公式化简结合二倍角的余弦公式即可求出的值，进而可求角； （2）由余弦定理可得，再利用三角形面积公式即可求出. 【详解】（1）因为， 即，解得或.........................4分 因为在中，， 所以.........................6分 （2）在中，由余弦定理，........................7分 得， 整理得， 由，解得， 所以的面积为.........................13分 17．（满分14分）羡除是《九章算术》中记载的一种五面体.如图，五面体是一个羡除，其中四边形与四边形均为等腰梯形，且，，，为中点，平面与平面交于. (1)求证：平面； (2)已知点是线段上的动点，从条件①、条件②中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 条件①：平面平面； 条件②：. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）证明四边形为平行四边形，利用线面平行的判定定理即可证明； （2）若选条件①，则需先证两两垂直，进而建立空间直角坐标系，利用向量法表示出与平面所成角的正弦值，借助二次函数即可解决；若选条件②，取的中点，连接，证明得到平面平面，进而转化为条件①的解题过程. 【详解】（1）因为，且为中点，所以 又因为，，且为中点，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面........................4分 （2） 若选条件①：平面平面， 取的中点，取的中点，连接， 因为四边形与四边形均为等腰梯形，所以，， 因为平面平面，且平面平面，面， 所以平面， 因为平面，所以，所以两两垂直........................6分 故以为原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系； 因为，， 所以， 所以，， 因为点是线段上的动点，所以， 所以， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 所以平面的法向量为，.......................11分 设直线与平面所成角， 则， 结合二次函数的知识可知： 当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为........................14分 若选条件②：， 取的中点，连接， 因为四边形与四边形均为等腰梯形， 且，， 所以， 在中，，所以. 所以二面角为直二面角，所以平面平面， 又平面平面，面，所以平面， 因为平面，所以，所以两两垂直........................6分 故以为原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系； 因为，， 所以， 所以，， 因为点是线段上的动点，所以， 所以， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 所以平面的法向量为，.......................11分 设直线与平面所成角， 则， 结合二次函数的知识可知： 当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为........................14分 18．（满分13分）随着“中华好诗词”节目的播出，掀起了全民诵读传统诗词经典的热潮．某社团为调查大学生对于“中华诗词”的喜好，从甲、乙两所大学各随机抽取了40名学生，记录他们每天学习“中华诗词”的时间，按照，，，，，分组，并整理得到如下频率分布直方图：    根据学生每天学习“中华诗词”的时间，可以将学生对于“中华诗词”的喜好程度分为三个等级： 学习时间：（分钟/天） 等级 一般 爱好 痴迷 (1)从甲大学中随机选出一名学生，试估计其“爱好”中华诗词的概率； (2)从这两组“痴迷”的同学中随机选出2人，记ξ为选出的两人中甲大学的人数，求ξ的分布列和数学期望； (3)试判断选出的这两组学生每天学习“中华诗词”时间的平均值与的大小，及方差与的大小．（只需写出结论） 【答案】(1)0.65 (2)分布列见解析， (3)； 【分析】（1）根据频率分布直方图直接用频率估计概率即可得答案； （2）由题知甲大学随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有人，乙大学随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有人，进而根据超几何分布求解即可； （3）根据频率分布直方图的分布，结合平均值，方差的意义分析求解即可. 【详解】（1）解：由甲大学的频率分布直方图，结合等比分布表知， 甲大学随机选取的40名学生中，“爱好”中华诗词的频率为： ， 所以从甲大学中随机选出一名学生，“爱好”中华诗词的概率为0.65．........................4分 （2）解：由题知：甲大学随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有人， 乙大学随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有人， 所以，随机变量ξ的取值为，1，2． 所以，，，． 所以ξ的分布列为 0 1 2 ξ的数学期望为........................10分 （3）解：由甲乙大学的频率分布直方图可知，乙大学的学生每天学习“中华诗词”的时间相对较长，且集中， 所以，；........................13分 19．（满分15分）已知函数． (1)若，证明：； (2)若过坐标原点的直线能与曲线相切，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，并求其最小值，即可证得结论成立； （2）设切点坐标为，利用导数的几何意义化简得出，分析可知，可得出，从而可知的取值范围即为函数的值域，利用导数求解即可. 【详解】（1）当时，，其中，， 因为函数、在上均为增函数， 所以，函数在上为增函数，且， 当时，；当时，. 所以，函数的减区间为，增区间为，所以，， 因此，对任意的，.........................6分 （2）设切点坐标为，由题意可得， 所以，， 可得，即，其中， 当时，等式显然不成立，所以，， 所以，，令，其中，........................10分 则实数的取值范围即为函数的值域，， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减，所以，， 当时，；当时，， 且当时，；当时，. 所以，函数的值域为， 由可得或，即实数的取值范围是.........................15分 20．（满分15分）已知是椭圆上的一点，且的离心率为，斜率存在且不过点的直线与相交于，两点，直线与直线的斜率之积为 (1)求的方程. (2)证明：的斜率为定值. (3)设为坐标原点，若与线段（不含端点）相交，且四边形的面积为，求的方程. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）将点的坐标代入椭圆方程，并与离心率联立求出，，； （2）设直线的方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理，再根据条件即可证明. （3）利用（2）中直曲联立的结果，结合弦长公式求出，再利用点到直线距离求出四边形面积，得到方程，求解方程即可. 【详解】（1）由题可知，解得，， 故的方程为..........................4分 （2）设的方程为，，. 联立方程组 整理得，.........................5分 即，则，， ， 整理得，则或， 若，则，则过点，不符合题意， 故，即的斜率为定值..........................10分 （3）由（2）可得直线，，， 因为与线段（不含端点）相交，所以， ， 点到的距离， 点到的距离， 四边形的面积， 解得或（舍去）， 故的方程为：.........................15分 21．（满分15分）定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列1，2，3经过第一次“和扩充”后得到数列1，3，2，5，3；第二次“和扩充”后得到数列1，4，3，5，2，7，5，8，3.设数列a，b，c经过n次“和扩充”后得到的数列的项数为，所有项的和为. (1)若，，，求，； (2)若，求正整数n的最小值； (3)是否存在实数a，b，c，使得数列为等比数列?若存在，求a，b，c满足的条件；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)， (2)10 (3)答案见解析 【分析】（1）由题意计算可得第二次“和扩充”后得到数列，计算即可得解； （2）由题意可得，计算出首项后，可得数列为等比数列，即可计算出，在解出不等式即可得； （3）计算出、、后，可得， 计算即可得，再借助等比数列的定义即可得需满足的关系. 【详解】（1），第一次“和扩充”后得到数列， 第二次“和扩充”后得到数列， ，；.........................4分 （2）数列经每一次“和扩充”后是在原数列的相邻两项中增加一项， 数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为， 则经第次“和扩充”后增加的项数为， 所以，所以， 其中数列经过1次“和扩充”后，得到， 故，故是首项为4，公比为2的等比数列， 所以，故， 则，即， 又，解得，最小值为10；.........................10分 （3）因为， ，依次类推，， 故 ， 若使为等比数列，则或..........................15分 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考数学第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 2．若复数满足，则复平面内表示的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知直线与圆相交于，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 4．已知是抛物线上的动点，是抛物线的准线上的动点，，则的最小值是（   ） A．5 B．4 C． D． 5．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 6．已知函数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．如图，三棱柱中，E，F分别是AB、AC的中点，平面将三棱柱分成体积为（左为，右为）两部分，则（    ） A．5:6 B．3:4 C．1:2 D．5:7 8．春天是一个美丽、神奇，充满希望的季节，我们每个人都应当保持像春天一样朝气蓬勃的生命力，去创造属于我们自己的美好生活．随着2022年春天的深入，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每经过一天的生长，荷叶覆盖水面面积都是前一天的倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶大约生长了（参考数据）（    ） A．15天 B．16天 C．17天 D．18天 9．已知函数在区间上对任意的，都满足，则实数a的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 10．已知等差数列和等比数列，，则满足的数值m（   ） A．有且仅有1个值 B．有且仅有2个值 C．有且仅有3个值 D．有无数多个值 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11．已知双曲线的虚轴长为2，则双曲线的渐近线方程是 . 12．已知展开式中的第4项是一次项，则 ，展开式中系数最大的项是 ． 13．△ABC中，AC = BC，∠BAC = ，D为BC中点，E为AB中点，M为线段CE上动点，= 4，则| AC | = ；的最小值为 . 14．我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，，记作数列，则 ；若数列的前项和为，则 . 15．已知曲线，点，，则下列结论正确的有 ①．曲线关于直线对称 ②．曲线上存在点，使得 ③．直线与曲线只有一个交点 ④．曲线上第一象限内的点到直线与的距离之积为定值 3、 解答题：本题共5小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（满分13分）在中，内角的对边分别为.已知. (1)求角的大小； (2)已知.求的面积. 17．（满分14分）羡除是《九章算术》中记载的一种五面体.如图，五面体是一个羡除，其中四边形与四边形均为等腰梯形，且，，，为中点，平面与平面交于. (1)求证：平面； (2)已知点是线段上的动点，从条件①、条件②中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 条件①：平面平面； 条件②：. 18．（满分13分）随着“中华好诗词”节目的播出，掀起了全民诵读传统诗词经典的热潮．某社团为调查大学生对于“中华诗词”的喜好，从甲、乙两所大学各随机抽取了40名学生，记录他们每天学习“中华诗词”的时间，按照，，，，，分组，并整理得到如下频率分布直方图：    根据学生每天学习“中华诗词”的时间，可以将学生对于“中华诗词”的喜好程度分为三个等级： 学习时间：（分钟/天） 等级 一般 爱好 痴迷 (1)从甲大学中随机选出一名学生，试估计其“爱好”中华诗词的概率； (2)从这两组“痴迷”的同学中随机选出2人，记ξ为选出的两人中甲大学的人数，求ξ的分布列和数学期望； (3)试判断选出的这两组学生每天学习“中华诗词”时间的平均值与的大小，及方差与的大小．（只需写出结论） 19．（满分15分）已知函数． (1)若，证明：； (2)若过坐标原点的直线能与曲线相切，求的取值范围． 20．（满分15分）已知是椭圆上的一点，且的离心率为，斜率存在且不过点的直线与相交于，两点，直线与直线的斜率之积为 (1)求的方程. (2)证明：的斜率为定值. (3)设为坐标原点，若与线段（不含端点）相交，且四边形的面积为，求的方程. 21．（满分15分）定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列1，2，3经过第一次“和扩充”后得到数列1，3，2，5，3；第二次“和扩充”后得到数列1，4，3，5，2，7，5，8，3.设数列a，b，c经过n次“和扩充”后得到的数列的项数为，所有项的和为. (1)若，，，求，； (2)若，求正整数n的最小值； (3)是否存在实数a，b，c，使得数列为等比数列?若存在，求a，b，c满足的条件；若不存在，请说明理由. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025年高考数学第一次模拟考试 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题5分，共25分） 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 三、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考数学第一次模拟考试 高三数学·参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B D B A C A D C C A 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11． 12． 10 13． 4 14． 15．②③④ 三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16． （满分13分） 【详解】（1）因为， 即，解得或.........................4分 因为在中，， 所以.........................6分 （2）在中，由余弦定理，........................7分 得， 整理得， 由，解得， 所以的面积为.........................13分 17．（满分14分） 【详解】（1）因为，且为中点，所以 又因为，，且为中点，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面........................4分 （2） 若选条件①：平面平面， 取的中点，取的中点，连接， 因为四边形与四边形均为等腰梯形，所以，， 因为平面平面，且平面平面，面， 所以平面， 因为平面，所以，所以两两垂直........................6分 故以为原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系； 因为，， 所以， 所以，， 因为点是线段上的动点，所以， 所以， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 所以平面的法向量为，.......................11分 设直线与平面所成角， 则， 结合二次函数的知识可知： 当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为........................14分 若选条件②：， 取的中点，连接， 因为四边形与四边形均为等腰梯形， 且，， 所以， 在中，，所以. 所以二面角为直二面角，所以平面平面， 又平面平面，面，所以平面， 因为平面，所以，所以两两垂直........................6分 故以为原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系； 因为，， 所以， 所以，， 因为点是线段上的动点，所以， 所以， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 所以平面的法向量为，.......................11分 设直线与平面所成角， 则， 结合二次函数的知识可知： 当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为........................14分 18．（满分14分） 【详解】（1）解：由甲大学的频率分布直方图，结合等比分布表知， 甲大学随机选取的40名学生中，“爱好”中华诗词的频率为： ， 所以从甲大学中随机选出一名学生，“爱好”中华诗词的概率为0.65．........................4分 （2）解：由题知：甲大学随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有人， 乙大学随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有人， 所以，随机变量ξ的取值为，1，2． 所以，，，． 所以ξ的分布列为 0 1 2 ξ的数学期望为........................10分 （3）解：由甲乙大学的频率分布直方图可知，乙大学的学生每天学习“中华诗词”的时间相对较长，且集中， 所以，；........................13分 19．（满分15分） 【详解】（1）当时，，其中，， 因为函数、在上均为增函数， 所以，函数在上为增函数，且， 当时，；当时，. 所以，函数的减区间为，增区间为，所以，， 因此，对任意的，.........................6分 （2）设切点坐标为，由题意可得， 所以，， 可得，即，其中， 当时，等式显然不成立，所以，， 所以，，令，其中，........................10分 则实数的取值范围即为函数的值域，， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减，所以，， 当时，；当时，， 且当时，；当时，. 所以，函数的值域为， 由可得或，即实数的取值范围是.........................15分 20．（满分15分） 【详解】（1）由题可知，解得，， 故的方程为..........................4分 （2）设的方程为，，. 联立方程组 整理得，.........................5分 即，则，， ， 整理得，则或， 若，则，则过点，不符合题意， 故，即的斜率为定值..........................10分 （3）由（2）可得直线，，， 因为与线段（不含端点）相交，所以， ， 点到的距离， 点到的距离， 四边形的面积， 解得或（舍去）， 故的方程为：.........................15分 21．（满分15分） 【详解】（1），第一次“和扩充”后得到数列， 第二次“和扩充”后得到数列， ，；.........................4分 （2）数列经每一次“和扩充”后是在原数列的相邻两项中增加一项， 数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为， 则经第次“和扩充”后增加的项数为， 所以，所以， 其中数列经过1次“和扩充”后，得到， 故，故是首项为4，公比为2的等比数列， 所以，故， 则，即， 又，解得，最小值为10；.........................10分 （3）因为， ，依次类推，， 故 ， 若使为等比数列，则或..........................15分 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$