精品解析：河南省部分名校2024-2025学年高二上学期12月阶段性联合考试数学试题

2024-2025年度河南省高二上学期阶段性考试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册至选择性必修第二册第四章4.2. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列，，，2，，…则该数列的第2025项为（ ） A. 45 B. C. 55 D. 2. 已知直线与直线平行，则（ ） A. 4 B. C. 或5 D. 3. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. 11 D. 4. 已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆与在第一象限内的交点为.若，则点到直线的距离为（ ） A. B. 1 C. D. 2 5. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. 3 C. D. 6. 在平行六面体中，点，分别在棱，上，且，.若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知正项等差数列满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，圆，若为抛物线上一动点，则周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的面积为，则该椭圆的离心率可能为（ ） A. B. C. D. 10. 在正四棱锥中，，则（ ） A. B. 异面直线所成角的余弦值为 C. 向量在向量上的投影向量为 D. 直线与平面所成角的正弦值为 11. 一小孩玩抛硬币跳格子游戏，规则如下：抛一枚硬币，若正面朝上，则往前跳两格；若反面朝上，则往前跳一格.记跳到第格有种情况，数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 抛物线的准线方程是________. 13. 已知数列满足，，则________. 14. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，是满足的阿氏圆上的任意一点，则该阿氏圆的标准方程为________；若该阿氏圆在点处的切线与直线交于点，则的最小值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知公差为整数的等差数列，其前项和为，若，，. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和. 16. 如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，为棱的中点. （1）求点到平面的距离； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知圆经过点，，且圆心在直线上，直线经过点. （1）若直线与圆相切，求直线的方程； （2）若直线与圆相交于，两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程. 18. 已知双曲线. （1）若直线与双曲线相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. （2）若为双曲线右支上的一个动点，为双曲线的右焦点，判断轴负半轴上是否存在一定点，使得.若存在，请求出；若不存在，请说明理由. 19. 已知是椭圆上的一点，是椭圆的右焦点，且，. （1）求椭圆的标准方程. （2）过点的直线与椭圆交于，两点，与椭圆的短轴交于点，试问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025年度河南省高二上学期阶段性考试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册至选择性必修第二册第四章4.2. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列，，，2，，…则该数列的第2025项为（ ） A. 45 B. C. 55 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由给定的前5项具有的共同性质写出通项公式，进而求出第2025项. 【详解】依题意，该数列的奇数项为负数、偶数项为正数，各项绝对值是项数的算术平方根， 因此该数列的第项为，所以该数列的第2025项为. 故选：B 2. 已知直线与直线平行，则（ ） A. 4 B. C. 或5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两直线平行的条件，列式求出值. 【详解】由直线与直线平行，得， 所以. 故选：D 3. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. 11 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由递推求数列的周期可得； 【详解】由已知可得，，， ，，， 所以数列是以4为周期的数列， 所以， 故选：A. 4. 已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆与在第一象限内的交点为.若，则点到直线的距离为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，用半焦距c表示，再结合双曲线定义求出，进而求得答案. 【详解】依题意，，双曲线的半焦距， 由，得，则，而， 于是，即，解得，而点是线段中点， 所以点到直线的距离为. 故选：C 5. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，结合等差数列片段和的性质求解即可； 【详解】由题意设，则， 由是等差数列，所以也成等差数列， 所以，解得； ，解得， 所以， 故选：C. 6. 在平行六面体中，点，分别在棱，上，且，.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合图形，由向量的加法法则求出即可； 【详解】 如图，， 所以，所以， 故选：A. 7. 已知正项等差数列满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列求和公式进行化简，可得，进而得解. 【详解】因为为等差数列，所以，， 则， 所以， 从而， 故， 故选：C. 8. 已知点，圆，若为抛物线上一动点，则周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过平移把抛物线方程化为标准形式，利用抛物线的定义可求得的最小值，进而可得结果. 【详解】因为圆，所以点M的坐标为，即. 由抛物线，可知抛物线顶点坐标为. 将抛物线图象、圆M图象、点P均向左平移2个单位长度，向下平移1个单位长度，如图所示， 则平移后得到的抛物线的方程为，圆，， 可知抛物线的焦点为，准线为，所以，， 故周长的最小值为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的面积为，则该椭圆的离心率可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据“逼近法”可得，由此可确定所有可能的取值，由椭圆离心率求得所有可能的取值. 【详解】根据题意有： 由“逼近法”原理可知， 又因为，所以或或或或或， 当或时，椭圆离心率； 当或时，椭圆离心率； 当或时，椭圆离心率. 故选：ABD. 10. 在正四棱锥中，，则（ ） A. B. 异面直线所成角的余弦值为 C. 向量在向量上的投影向量为 D. 直线与平面所成角的正弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立如图所示空间直角坐标系，由空间两点间距离可得A正确；由异面直线间夹角公式可得B正确；由投影向量可得C错误；由空间线面角公式可得D正确； 【详解】如图，记，连接，以为坐标原点，的方向分别为， 轴的正方向建立空间直角坐标系，则，.因为， 所以，故A正确. 因为，所以，故B正确. 向量在向量上的投影向量为，故C不正确. 设平面的法向量为，因为， 所以令，得. 设直线与平面所成的角为，则，故D正确. 故选：ABD. 11. 一小孩玩抛硬币跳格子游戏，规则如下：抛一枚硬币，若正面朝上，则往前跳两格；若反面朝上，则往前跳一格.记跳到第格有种情况，数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意得出递推公式，逐个代入依次求解出. 【详解】根据题意，跳到第格有两种可能，一种是从第格跳过来，有种方式， 另一种是从第格跳过来，有种方式，所以． 因为 所以. 所以，， 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 抛物线的准线方程是________. 【答案】 【解析】 【分析】化抛物线方程为标准形式，再求出其准线方程. 【详解】抛物线，即的准线方程为. 故答案为： 13. 已知数列满足，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】化简得出数列是等差数列，再写出通项公式计算即可. 【详解】因为数列满足，， 所以， 所以， 所以是首项为，公差为的等差数列， 所以，所以， 则. 故答案为： 14. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，是满足的阿氏圆上的任意一点，则该阿氏圆的标准方程为________；若该阿氏圆在点处的切线与直线交于点，则的最小值为________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设出点的坐标，列出方程并化简求得阿氏圆的标准方程；再由切线长定理求出直线上的点向圆所作切线长的最小值. 【详解】设点，依题意，，即， 则，整理得， 所以所求圆的标准方程为； 该阿氏圆的圆心为，半径， 点到直线的距离， 依题意，，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知公差为整数的等差数列，其前项和为，若，，. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，结合前项和公式及等差数列性质可得，由此求出公差的范围即可求得公差得解. （2）由数列的特性，结合等差数列前项和公式分段求和即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，， ，解得，则， 所以的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知，，，， 则数列是递减等差数列，前49项均为正，从第50项起为负， 当时，， 当时，， 所以. 16. 如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，为棱的中点. （1）求点到平面的距离； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用点到平面的距离公式求解. （2）求出平面的法向量，结合（1）中信息，利用面面角的向量求法求解. 【小问1详解】 在四棱柱中，侧棱底面，平面， 则，又，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量为，则，取，得， 而，所以点到平面的距离. 【小问2详解】 由（1）知，设平面的一个法向量为， 则，令，得， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知圆经过点，，且圆心在直线上，直线经过点. （1）若直线与圆相切，求直线的方程； （2）若直线与圆相交于，两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程. 【答案】（1）或； （2）或. 【解析】 【分析】（1）求出线段的中垂线方程，与已知直线方程联立求出圆心坐标及半径，再按直线的斜率存在与否分类求出方程. （2）利用三角形面积公式求出面积最大时圆心到直线的距离，再利用点到直线距离 公式求出直线方程. 【小问1详解】 线段的中点为，直线的斜率， 则线段的中垂线方程为，即， 由，解得，则圆心，， 圆的方程为，点到直线的距离为2， 因此直线的方程可以为； 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 由，解得，直线的方程为， 所以直线的方程为或. 【小问2详解】 由（1）知的面积，当且仅当时取等号， 此时点到直线的距离， 显然直线的斜率存在，设其方程为，即， 由，解得或， 所以直线的方程为或. 18. 已知双曲线. （1）若直线与双曲线相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. （2）若为双曲线右支上的一个动点，为双曲线的右焦点，判断轴负半轴上是否存在一定点，使得.若存在，请求出；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）利用点差法可求出直线斜率，再求直线方程即可； （2）利用正切二倍角公式结合点在双曲线上化简可得； 【小问1详解】 设， 则，作差可得， 因为线段的中点坐标为， 所以， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 设存在， 焦点， 因为，所以， 即，化简可得， 又点在双曲线上，所以，代入上式可得，整理可得 ， 因为对于恒成立，所以且，解得. 当时，代入双曲线方程可得， 显然，此时为等腰直角三角形，也成立， 综上，. 19. 已知是椭圆上的一点，是椭圆的右焦点，且，. （1）求椭圆的标准方程. （2）过点的直线与椭圆交于，两点，与椭圆的短轴交于点，试问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，结合即可求解； （2）联立直线与椭圆的方程，由根与系数的关系得，，将转化为，再求解即可得到定值. 【小问1详解】 解：因为，，所以，， 所以，，所以， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 解：由（1）可知，设直线方程为， 联立消去化简整理得，， 因为直线与椭圆交于，两点，所以，即. 设交点，， 则，. 因为与椭圆的短轴交于点，所以不妨假设， 所以 （定值） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $