（新课衔接站）专题04 圆锥的体积-2024-2025学年北师大版数学六年级寒假学习培优真题讲练讲义（学生版+教师版）

2024-2025学年北师大版数学六年级寒假学习培优讲义（新课衔接） 专题04 圆锥的体积 （导图+6个知识点+4个易错点+4个考点讲练+拔尖训练） 目录 导图知识荟萃 2 新知预习强化 2 知识点01：圆锥的体积定义 2 知识点02：圆锥的体积公式 2 知识点03：圆锥体积的计算步骤 2 知识点04：圆锥体积的单位 3 知识点05：圆锥体积与圆柱体积的关系 3 知识点06：圆锥体积的应用 3 易错知识指引 3 易错知识点01：公式记忆与应用易错 3 易错知识点02：单位换算易错 3 易错知识点03：实际问题解决易错 4 易错知识点04：计算过程易错 4 考点培优讲练 4 考点1：圆锥的体积（容积） 4 考点2：圆柱与圆锥体积的关系 8 考点3：组合体的体积（圆柱、圆锥） 10 考点4：体积的等积变形（圆柱、圆锥） 15 真题汇编拔尖练 18 知识点01：圆锥的体积定义 圆锥的体积是指圆锥所占空间的大小，它是三维几何中的一个重要概念。 知识点02：圆锥的体积公式 圆锥的体积V可以通过其底面积S底和高h来计算。由于圆锥的底面是一个圆，其面积S底可以用公式πr²来表示（其中r是底面半径）。因此，圆锥的体积公式为： V=×S底×h=×πr²×h 这个公式表明，圆锥的体积是其底面积与高的乘积的三分之一。 知识点03：圆锥体积的计算步骤 1. 确定底面半径和高： 首先，需要确定圆锥的底面半径rrr和高hhh。这两个值通常是通过题目给出的，或者需要通过测量获得。 2. 计算底面积： 使用公式S底=πr2S_{底} = \pi r^{2}S底​=πr2计算圆锥的底面积。 3. 计算体积： 将底面积S底和高h代入圆锥体积的公式V=×S底×h，计算出圆锥的体积。 知识点04：圆锥体积的单位 圆锥的体积单位与圆柱相同，通常是立方厘米（cm³）、立方米（m³）等，表示三维空间的大小。在计算时，需要确保底面半径和高使用相同的单位。 知识点05：圆锥体积与圆柱体积的关系 圆锥的体积是与其等底等高的圆柱体积的三分之一。这意味着，如果一个圆锥与一个圆柱有相同的底面半径和高，那么圆锥的体积就是圆柱体积的三分之一。 知识点06：圆锥体积的应用 圆锥体积的计算在实际生活中有广泛的应用，如计算圆锥形容器的容量、估算圆锥形物体的重量（需要知道物体的密度）等。通过计算圆锥的体积，我们可以更好地理解和利用圆锥这一几何形状。 易错知识点01：公式记忆与应用易错 1. 公式记忆不准确 易错点：学生可能会忘记圆柱体积的公式是V=πr²h，或者将公式中的π、r²和h的位置混淆。 解析：需要反复记忆和练习圆柱体积的公式，确保能够准确应用。 2. 公式应用不当 易错点：学生在应用公式时，可能会忘记将题目中给出的数据代入公式，或者代入数据时出错。 解析：在应用公式前，需要仔细审题，明确题目中给出的数据，并正确代入公式进行计算。 易错知识点02：单位换算易错 1. 单位不统一 易错点：在计算圆柱体积时，学生可能会忽略单位换算，导致底面半径和高使用不同的单位，从而得出错误的结果。 解析：在计算前，需要确保底面半径和高使用相同的单位（如厘米或米），如果单位不统一，需要进行换算。 2. 单位换算错误 易错点：在进行单位换算时，学生可能会忘记换算系数，或者计算错误。 解析：需要熟练掌握常见的单位换算关系，如1米=100厘米等，并在换算时仔细计算。 易错知识点03：实际问题解决易错 1. 实际问题抽象化困难 易错点：在解决实际问题时，学生可能无法将问题抽象化为圆柱体积的计算问题。 解析：需要培养学生的抽象思维能力，引导他们将实际问题转化为数学模型进行计算。 2. 计算结果解释不清 易错点：在计算得出结果后，学生可能无法准确解释结果的实际意义。 解析：需要引导学生理解圆柱体积的实际意义，如表示圆柱所占空间的大小等，并能够根据计算结果进行合理解释。 易错知识点04：计算过程易错 1. 计算步骤遗漏 易错点：在计算圆柱体积时，学生可能会遗漏某些计算步骤，如忘记计算底面积等。 解析：需要强调计算步骤的完整性，确保学生在计算过程中不遗漏任何步骤。 2. 计算错误 易错点：在进行计算时，学生可能会出现计算错误，如乘法运算错误等。 解析：需要提高学生的计算能力，确保他们在计算过程中能够准确进行运算。 考点1：圆锥的体积（容积） 【典例精讲】（23-24六年级下·四川成都·期末）小明家把今年收获的小麦堆成了圆锥形，高3米，底面直径是4米。 （1）如果每立方米小麦重700千克，这堆小麦重多少千克？ （2）如果把这堆小麦倒入一个底面直径为2米的圆柱形铁桶中刚好装满，那么铁桶高多少米？ 【答案】（1）8792千克 （2）4米 【思路点拨】（1）根据圆锥体积＝底面积×高÷3，求出小麦体积，小麦体积×每立方米质量＝这堆小麦的质量； （2）根据圆柱的高＝体积÷底面积，列式解答即可。 【规范解答】（1）3.14×（4÷2）2×3÷3 ＝3.14×22×3÷3 ＝3.14×4×3÷3 ＝12.56（立方米） 12.56×700＝8792（千克） 答：这堆小麦重8792千克。 （2）12.56÷[3.14×（2÷2）2] ＝12.56÷[3.14×12] ＝12.56÷[3.14×1] ＝12.56÷3.14 ＝4（米） 答：铁桶高4米。 【变式1】（2024·四川成都·小升初真题）一个组合零件是由圆柱和圆锥粘合而成的（如图），若把圆柱和圆锥重新掰开，表面积就会增加50.42cm2，那么原来这个组合零件的体积是( )cm3。 【答案】201.68 【思路点拨】根据题意，若把圆柱和圆锥重新掰开，表面积就会增加50.42cm2，增加的是2个底面圆的面积；用增加的表面积除以2，求出底面积； 原来这个组合零件的体积＝圆柱的体积＋圆锥的体积，根据圆柱的体积公式V＝Sh，圆锥的体积公式V＝Sh，代入数据计算即可求解。 【规范解答】底面积：50.42÷2＝25.21（cm2） 25.21×6＋×25.21×（12－6） 25.21×6＋×25.21×6 ＝151.26＋50.42 ＝201.68（cm3） 原来这个组合零件的体积是201.68cm3。 【变式2】（23-24六年级下·山西吕梁·期末）下列情况不能ab表示的是（    ）。 A．“五一”期间，水果店里的苹果搞促销活动，每千克苹果a元，卖出正好是b千克，求这些苹果卖出的钱 B．植树节到了，六（1）班要去山坡上栽树，结果3天只栽了b棵树，求a天他们栽树的棵数 C．求底面积为a，高为b的圆锥的体积 D．求阴影部分的面积 【答案】A 【思路点拨】A选项，根据单价×数量＝总价，代入数据即可解答。 B选项，先用总棵数b除以天数3，即可求出每天种的棵数，再乘天数a即可求出a天他们栽树的棵数； C选项，根据圆锥体积＝×底面积×高，代入数据即可解答。 D选项，根据长方形的面积＝长×宽，代入数据即可求出长方形的面积，长方形平均分成3份，阴影部分占1份，根据分数的意义，可知阴影部分占长方形面积的，根据分数乘法的意义，长方形的面积×＝阴影部分的面积。 【规范解答】A．a×b＝ab（元） 根据分析可知，这些苹果卖出的钱是ab元。 B．b÷3×a ＝b×a ＝ab（棵） a天他们栽树的棵数是ab棵。 C．×a×b＝ab 圆锥的体积是ab。 D．a×b×＝ab 阴影部分的面积是ab。 不能ab表示的是“这些苹果卖出的钱”。 故答案为：A 【变式3】（22-23六年级下·安徽阜阳·期中）直角梯形ABCD如图所示，请根据图中信息回答下列问题。 （1）如果以AB所在直线为轴进行旋转，所形成的立体图形是（    ）（填序号，下同）；如果以CD所在直线为轴进行旋转，所形成的立体图形是（    ）。 （2）请选择其中一个立体图形计算它的体积。 【答案】（1）①；② （2）150.72立方厘米（答案不唯一） 【思路点拨】（1）判断旋转得到的立体图形时，要知道：以直角三角形的直角边为轴旋转时，所形成的立体图形是圆锥，以其斜边为轴旋转时，所形成的立体图形是沙漏模型。 （2）①立体图形的体积是圆柱的体积与圆锥的体积的和；②立体图形的体积是圆柱的体积与圆锥的体积的差。利用圆柱和圆锥的体积公式，代入数据即可得解。 【规范解答】（1）如果以AB所在直线为轴进行旋转，所形成的立体图形是①；如果以CD所在直线为轴进行旋转，所形成的立体图形是②。 （2）求图形①的体积： （立方厘米） 立体图形①的体积是150.72立方厘米。 考点2：圆柱与圆锥体积的关系 【典例精讲】（23-24六年级下·浙江金华·期末）如图，长方形ABCD的长是4厘米。宽是3厘米，对角线AC把长方形分成阴影和空白两个三角形。以AB所在的直线为轴，把长方形旋转一周，空白三角形扫过的空间大小和阴影三角形扫过的空间的大小比是多少？ 【答案】1∶2 【思路点拨】根据题意可知，长方形扫过的空间是一个底面半径是4厘米，高是3厘米的圆柱；空白三角形出扫过的空间是一个底面半径是4厘米，高是3厘米的圆锥，由此可知，圆柱与圆锥的等底等高；圆柱的体积是圆锥体积的3倍；阴影三角形扫过的体积等于圆柱的体积－圆锥的体积；可以将圆锥的体积看做1，那么圆柱的体积就是3，那么阴影扫过的空间的大小就是3－1＝2，据此求出空白三角形扫过的空间大小和阴影三角形扫过的空间的大小的比。 【规范解答】长方形扫过的空间是一个圆柱体；空白三角形扫过的空间是一个圆锥体；它们是等底等高； 设圆锥的体积是1； 则圆柱的体积是：1×3＝3； 阴影三角形扫过的体积是：3－1＝2； 三角形扫过的空间大小和阴影三角形扫过的空间的大小比是＝1∶2。 答：三角形扫过的空间大小和阴影三角形扫过的空间的大小比是1∶2。 【变式1】（23-24六年级下·陕西西安·期末）如图，直角三角形绕着6cm的直角边旋转一周，形成的立体图形是( )，它的底面积是( )cm2，体积是( )cm3，与它等底等高的圆柱的体积是( )cm3。 【答案】 圆锥 28.26 56.52 169.56 【思路点拨】根据圆锥的特征可知，直角三角形绕着6cm的直角边旋转一周，形成圆锥，那么这条直角边6cm是圆锥的高，另一条直角边3cm是圆锥的底面半径。 根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆锥的底面积； 根据V锥＝Sh，求出圆锥的体积； 由V柱＝Sh，V锥＝Sh可知，当圆柱和圆锥等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，据此求出圆柱的体积。 【规范解答】圆锥的底面积： 3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（cm2） 圆锥的体积：×28.26×6＝56.52（cm3） 圆柱的体积：56.52×3＝169.56（cm3） 填空如下： 直角三角形绕着6cm的直角边旋转一周，形成的立体图形是（圆锥），它的底面积是（28.26）cm2，体积是（56.52）cm3，与它等底等高的圆柱的体积是（169.56）cm3。 【变式2】（23-24六年级下·辽宁锦州·期末）一个等底等高的圆柱和圆锥，如果圆锥的高增加18cm，那么圆柱和圆锥的体积相等。已知圆锥的底面半径是5cm，则原来圆锥的体积是（    ）立方厘米。 A．50π B．75π C．100π D．200π 【答案】B 【思路点拨】等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，圆锥的高增加18厘米后，圆锥与圆柱的体积相等，说明圆锥体积增加了2倍，即高增加了2倍，先算出圆锥原来的高，再根据公式：圆锥的体积＝×底面积×高，算出原来圆锥的体积，据此解答。 【规范解答】18÷2＝9（厘米） ×π×52×9 ＝×π×25×9 ＝75π（立方厘米） 即原来圆锥的体积是75π立方厘米。 故答案为：B 【变式3】（23-24六年级下·陕西渭南·期末）如图，这是一个由等底等高的圆柱和圆锥组合而成的计时工具，圆锥内灌满了水。圆锥的高为12厘米，底面半径为3厘米。已知水的流速是1.884立方厘米/分。 （1）圆锥里的水漏完需要多少分？ （2）圆锥里的水全部漏到圆柱里，圆柱里水面的高度是多少厘米？ 【答案】（1）60分 （2）4厘米 【思路点拨】（1）圆锥的体积＝底面积×高，据此求出水的体积，再用水的体积除以水的流速，求出水漏完需要的时间； （2）等底等高的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥的3倍，则圆柱内水的高是圆锥高的，据此解答即可。 【规范解答】（1） （分） 答：圆锥里的水漏完需要60分。 （2）12（厘米） 答：圆柱里水面的高度是4厘米。 【考点评析】本题考查圆柱和圆锥的体积，解答本题的关键是掌握圆柱和圆锥的体积计算公式。 考点3：组合体的体积（圆柱、圆锥） 【典例精讲】（23-24六年级下·陕西榆林·期末）如图，一个长方体的上面有一个圆锥，计算这个组合图形的体积。 【答案】102.28m3 【思路点拨】长方体体积＝长×宽×高，圆锥体积＝×底面积×高，由此先分别求出长方体和圆锥的体积，再相加求出组合体的体积。 【规范解答】8×6×2＋×3.14×（2÷2）2×6 ＝96＋×3.14×12×6 ＝96＋×3.14×1×6 ＝96＋6.28 ＝102.28（m3） 【变式1】（23-24六年级下·广东惠州·期末）航模小组制作了一个火箭助推器模型（如下图），它的上半部分是圆锥形的，下半部分是圆柱形的。    （1）要解决“这个火箭助推器模型的体积是多少立方厘米？”的问题，三位同学分别给出了三种解法。谁的解法正确？请在该同学名字后面的里画“√”。 （2）请你选择以上解法中正确的一种，写出你的解题思路。 解题思路： 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【思路点拨】（1）这个火箭助推器模型由一个圆柱和一个圆锥组成。 圆柱的体积＝底面积×高，圆锥的体积＝×底面积×高。 圆柱的底面积＝3.14×32，高为6厘米，所以圆柱体积＝3.14×32×6 。 圆锥的底面积与圆柱相同，高为6厘米，所以圆锥体积＝×3.14×32×6 。 那么火箭助推器模型的体积＝圆柱体积＋圆锥体积。 小白的解法：先分别算出圆柱和圆锥的体积，然后相加，即 3.14×32×6＋ ×3.14×32×6 ，思路清晰，计算正确。 小明的解法：把圆柱体积看作单位“1”，圆锥体积是圆柱体积的 ，所以总体积就是圆柱体积的（1＋）倍，即 3.14×32×6×（1＋），这种方法巧妙且结果正确。 佳佳的解法：3.14×32×（6＋6），将圆锥的高和圆柱的高直接相加来计算总体积，这种思路是错误的。 （2）小白和小明的解法是对的，但我更倾向于小明的解法，在小明的解法中小明的解法是把圆柱体积看作单位“1”。因为圆锥体积是与它等底等高圆柱体积的 ，所以圆锥体积就是圆柱体积的。那么火箭助推器模型的总体积就是圆柱体积的（1＋）倍。 即先算出圆柱体积为 3.14×32×6 ，然后总体积就是 3.14×32×6×（1＋），这种方法非常巧妙，先找出两者体积的关系，再通过倍数计算总体积，思路清晰且计算简便，结果也是正确的。 【规范解答】（1）小白的解法是先分别算出圆柱和圆锥的体积，然后相加，小白的解法是对的。 小明的解法：把圆柱体积看作单位“1”，圆锥体积是圆柱体积的 ，所以总体积就是圆柱体积的（1＋）倍，小明的解法是对的。 佳佳的解法：将圆锥的高和圆柱的高直接相加来计算总体积，这个组合体中，一个是圆锥，一个是圆柱，佳佳的做法里看成2个圆柱了，这种思路是错误的。 （2）在小白与小明的解法中，我更喜欢小明的解法，小明的解法将复杂的分别计算圆柱和圆锥体积再相加的过程进行了简化。他通过分析得出圆锥体积是圆柱体积的这一关键关系，以圆柱体积为基础，直接计算出总体积是圆柱体积的倍，从而得出算式 3.14×32×6×（1＋），大大简化了计算步骤。 3.14×32×6×（1＋） ＝ 3.14×32×6× ＝226.08（立方厘米） 得出这个火箭助推器模型的体积是226.08立方厘米。 【变式2】（23-24六年级下·广东惠州·期末）2023年5月30日，我国长征二号F运载火箭搭载神舟十六号载人飞船顺利升空并取得园满成功。整流置是运载火箭的重要组成部分，外形通常由近似的圆柱和圆锥组成。学校创客小组制作了运载火箭整流置的模型（如图所示），请问这个整流置模型的体积是多少？ 【答案】18.84立方分米 【思路点拨】这个整流置模型的体积等于底面直径是2分米，高是5分米的圆柱的体积加上底面直径是2分米，高是（8－5）分米的圆锥的体积，根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，即可解答。 【规范解答】3.14×（2÷2）2×5＋3.14×（2÷2）2×（8－5）× ＝3.14×12×5＋3.14×12×3× ＝3.14×1×5＋3.14×1×3× ＝3.14×5＋3.14×3× ＝15.7＋9.42× ＝15.7＋3.14 ＝18.84（立方分米） 答：这个整流置模型的体积是18.84立方分米。 【变式3】（19-20六年级下·辽宁·期中）一个直角三角形的两条直角边分别是3cm和4cm，斜边是5cm，分别以三条边所在的直线为轴把三角形旋转一周，得到一个立体图形，比较这3个立体图形 的体积，（    ）的体积最大。 A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断 【答案】B 【解析】将直角三角形以4cm为轴旋转，得到立体图形甲，高为4cm，底面半径为3cm，再利用圆锥的体积公式代入数据解答；以3cm为轴旋转，得到立体图形乙，高为3cm，底面半径为4cm，再利用圆锥的体积公式代入数据解答；以5cm为轴旋转，得到立体图形丙，底面半径可以借助三角形的面积4×3÷2＝5×r÷2求出，进而求出底面积，进而求出两个圆锥的体积即可。分别算出体积后，进行比较即可得解。 【规范解答】甲的体积：×3.14×3×4 ＝×3.14×9×4 ＝37.68（立方厘米） 乙的体积：×3.14×4×3 ＝×3.14×16×3 ＝50.24（立方厘米） 丙的体积： r＝3×4÷5＝2.4（厘米） h＋h＝5（厘米） ×3.14×2.4×h＋×3.14×2.4×h ＝×3.14×2.4×（h＋h） ＝×3.14×2.4×5 ＝30.144（立方厘米） 50.24＞37.68＞30.144，即乙的体积＞甲的体积＞丙的体积，所以乙的体积最大。 故答案为：B。 【考点评析】本题考查图形旋转的应用以及圆锥体积公式的应用。 考点4：体积的等积变形（圆柱、圆锥） 【典例精讲】（23-24六年级下·山西吕梁·期中）在一个底面半径为1分米的圆柱形杯里装满水，一个底面半径为5厘米的圆锥形铅锤浸没在水里，当铅锤从水中取出后，杯里的水面下降了5厘米，这个铅锤的体积是多少立方厘米？ 【答案】1570立方厘米 【思路点拨】由题意知：铅锤取出来后，下降的水的体积就是圆锥的体积；根据圆柱的体积V＝Sh可求出下降的水的体积，即铅锤的体积，注意单位换算，据此解答即可。 【规范解答】1分米＝10厘米 铅锤体积： （立方厘米） 答：这个铅锤的体积是1570立方厘米。 【考点评析】本题考查圆柱的体积，解答本题的关键是掌握下降的水的体积就是圆锥的体积。 【变式1】（22-23六年级下·安徽阜阳·期末）在一只底面半径是30厘米，高50厘米的圆柱形水桶里，装有水和一个半径为10厘米的圆锥形钢材（钢材完全浸没在水中），如果把钢材从水中完全取出后桶里的水面下降了1厘米，这个圆锥形钢材的高是多少厘米？ 【答案】27厘米 【思路点拨】根据题意，把圆锥形钢材从水中完全取出后桶里的水面下降了1厘米，那么水下降的体积等于这个圆锥形钢材的体积；水下降部分是一个底面半径为30厘米、高1厘米的圆柱体，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出水下降部分的体积，也就是圆锥的体积； 已知圆锥形钢材的底面半径为10厘米，根据圆的面积公式S＝πr2，求出钢材的底面积；再根据圆锥的高h＝3V÷S，求出这个圆锥形钢材的高。 【规范解答】水下降部分的体积（圆锥的体积）： 3.14×302×1 ＝3.14×900×1 ＝2826（立方厘米） 圆锥的底面积： 3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） 圆锥的高： 2826×3÷314 ＝8478÷314 ＝27（厘米） 答：这个圆锥形钢材的高是27厘米。 【变式2】（23-24六年级下·陕西咸阳·期中）如图，将等底等高的圆柱和圆锥形铁块同时放入盛有水的容器中，水面由原来的600mL上升到800mL。放进去的圆柱的体积是( )cm3，圆锥的体积是( )cm3。 【答案】 150 50 【思路点拨】800mL＝800 cm3，600mL＝600 cm3。由题意可知：等底等高的圆柱和圆锥的体积和是800－600＝200 cm3，而等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍。根据和倍公式和÷（倍＋1）求出圆锥的体积，再用圆锥的体积乘3求出圆柱的体积；据此解答。 【规范解答】800mL＝800cm3，600mL＝600cm3 800－600＝200（cm3） 200÷（3＋1） ＝200÷4 ＝50（cm3） 50×3＝150（cm3） 放进去的圆柱的体积是150cm3，圆锥的体积是50cm3。 【变式3】（2024六年级下·辽宁·专题练习）实践出真知。有一个圆柱形容器，从里面量得底面直径为6厘米。高为15厘米，里面装了10厘米高的水。将一个底面直径为4厘米的圆锥体铁块浸没到水中，水面升高了2厘米。这个圆锥体铁块的体积是多少立方厘米？ 【答案】56.52立方厘米 【思路点拨】根据题意可知，把圆锥铁块浸没到水中，上升部分水的体积就等于这个圆锥的体积，上升的部分恰好是一个圆柱，底面直径是6厘米，底面半径是3厘米，高是2厘米，再根据圆柱的体积公式：，把数据代入公式解答。 【规范解答】 （立方厘米） 答：这个圆锥体铁块的体积是56.52立方厘米。 【变式4】（23-24六年级下·陕西宝鸡·期末）一个底面半径是3厘米的圆锥，高为20厘米，将这个圆锥铁块熔铸成一个宽5厘米、高4厘米的长方体，长方体的长是多少厘米？ 【答案】9.42厘米 【思路点拨】根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，求出圆锥的体积，圆锥铁块熔铸成长方体，体积不变，用圆锥的体积除以长方体的宽，再除以长方体的高，即可求出长方体的长。 【规范解答】3.14×32×20×÷5÷4 ＝3.14×9×20×÷5÷4 ＝28.26×20×÷5÷4 ＝565.2×÷5÷4 ＝188.4÷5÷4 ＝37.68÷4 ＝9.42（厘米） 答：长方体的长是9.42厘米。 【变式5】（23-24六年级下·广东深圳·期中）一个高为8厘米的圆柱形容器装满了水，把水倒入与它等底的圆锥形容器中，刚好装满，圆锥形容器的高是( )厘米。 【答案】24 【思路点拨】根据题意可知，水的体积不变，圆柱的底面积与圆锥的底面积相等，根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，由此可知，圆柱的高＝圆锥的高×，进而求出圆锥的高。 【规范解答】8÷ ＝8×3 ＝24（厘米） 一个高为8厘米的圆柱形容器装满了水，把水倒入与它等底的圆锥形容器中，刚好装满，圆锥形容器的高是24厘米。 1．（23-24六年级下·四川成都·期末）下面说法中，正确的有（    ）。 ①通常规定海平面的海拔高度为0m，珠穆朗玛峰高出海平面8848.86m，其海拔高度记作﹢8848.86m；吐鲁番盆地的最低处低于海平面154.31m，其海拔高度记作﹣154.31m。 ②一个自然数（0除外）不是奇数就是偶数，不是质数就是合数。 ③一个圆柱和一个圆锥体积相等，底面积也相等，圆柱的高是6cm，那圆锥的高一定是18cm。 ④甲、乙两人掷骰子决定胜负，大于3的面朝上甲赢，小于3的面朝上乙赢，这个规则是公平的。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路点拨】①正负数可以表示相反意义的量，以海平面为标准，高于海平面记为正，低于海平面记为负，据此分析； ②整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。连续自然数中的奇数和偶数是相间排列的，一个整数，要么是奇数，要么是偶数，二者必居其一。除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 ③等体积等底面积的圆柱和圆锥，圆锥的高是圆柱高的3倍，据此分析。 ④确定一个游戏是否公平，要先找出事件发生的所有可能，然后看对于游戏双方，获胜的可能性是否相同。若相同，则游戏规则公平；若不相同，则游戏规则不公平。 【规范解答】①通常规定海平面的海拔高度为0m，珠穆朗玛峰高出海平面8848.86m，其海拔高度记作﹢8848.86m；吐鲁番盆地的最低处低于海平面154.31m，其海拔高度记作﹣154.31m，说法正确。 ②一个自然数（0除外）不是奇数就是偶数，1既不是质数也不是合数，原说法错误。 ③一个圆柱和一个圆锥体积相等，底面积也相等，圆柱的高是6cm，6×3＝18（cm），那圆锥的高一定是18cm，说法正确。 ④大于3的数有4、5、6，共3个，小于3的数有1、2，共2个，3＞2，甲、乙两人掷骰子决定胜负，大于3的面朝上甲赢，小于3的面朝上乙赢，这个规则是不公平的，原说法错误。 正确的有2个。 故答案为：B 2．（23-24六年级下·广西贺州·期末）下面能用方程“”来表示的是（    ）。 ①            ② ③            ④ A．①②③④ B．①③④ C．①② D．③④ 【答案】A 【思路点拨】 ①，根据题意可知，线段总长是80，平均分成4份，其中三份是x，则一份是x，一份＋三份＝80，列方程：x＋x＝80；所以可知用x＋x＝80来表示； ②；由图可知，大三角形和小三角形是等高的三角形，小三角形的底是5，大三角形的底是15，5是15的，所以小三角形的面积是大三角形的面积的，即小三角形的面积是x（cm2），大三角形的面积＋小三角形的面积＝60，所以列式是x＋x＝80，所以可以用x＋x＝80表示； ③，等底等高的圆锥的体积是圆柱的，圆柱的体积是xcm3，则圆锥的体积是xcm3，圆锥的体积＋圆柱的体积＝80cm3，列方程：x＋x＝80，所以可以用x＋x＝80表示； ④，下面线段长时x，上面线段是下图线段的，上图线段长是x，上图线段的长＋下图线段的长＝80，列方程：x＋x＝80；所以可以用x＋x＝80表示。据此解答。 【规范解答】根据分析可知，①②③④都可以用方程“x＋x＝80”来表示。 故答案为：A 3．（23-24六年级下·陕西渭南·期末）将一个底面半径是5厘米，高是6厘米的圆锥形实心铁块，锻压成一个底面半径是2厘米的圆柱形实心铁块，这个圆柱形铁块的高是（    ）厘米。 A．37.5 B．10 C．7.85 D．12.5 【答案】D 【思路点拨】我们需要利用圆锥和圆柱的体积公式来解决问题。 圆锥的体积公式为V＝πr2h，其中r是圆锥底面半径，h是圆锥的高。 圆柱的体积公式为V＝πR2H，其中R是圆柱底面半径，是H圆柱的高。 因为圆锥形实心铁块被锻压成圆柱形实心铁块，所以它们的体积是相等的。首先来看圆锥，已知其底面半径是2厘米，高是6厘米。根据圆锥体积公式，我们可以计算出圆锥的体积。再看圆柱，已知其底面半径是厘2米。由于圆锥和圆柱体积相等，我们可以通过这个等量关系，将圆锥的体积表达式代入到圆柱体积公式中，从而求出圆柱的高H。 【规范解答】×3.14×52×6 ＝×π×25×6 ＝50π 50π＝π×22×H 50π＝4πH H＝50÷4 H＝12.5（厘米） 这个圆柱形铁块的高是12.5厘米。 故答案为：D 4．（20-21六年级下·安徽亳州·期末）将一个棱长是6分米的正方体木块削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是（    ）立方分米。 A．169.56 B．56.52 C．226.08 D．28.26 【答案】B 【思路点拨】当把一个正方体削成一个最大的圆锥时，圆锥的底面直径和高都等于正方体的棱长，所以圆锥的高为6分米，底面半径为6÷2＝3分米。利用圆锥的体积公式解答即可。 【规范解答】3.14×（6÷2）²×6× ＝3.14×9×2 ＝28.26×2 ＝56.52（立方分米） 故答案为：B 【考点评析】理解，圆锥的底面直径和高都等于正方体的棱长是解答本题的关键。 5．（23-24六年级下·四川成都·期末）一个圆柱和一个圆锥的体积和高都相等，圆锥的底面积是45平方厘米，圆柱的底面积是( )平方厘米。 【答案】15 【思路点拨】根据圆柱的体积公式V＝Sh，圆锥的体积公式V＝Sh，当圆柱和圆锥的体积、高分别相等时，圆锥的底面积是圆柱的底面积的3倍，由此求出圆柱的底面积即可。 【规范解答】45÷3＝15（平方厘米） 所以圆柱的底面积是15平方厘米。 6．（23-24六年级下·辽宁锦州·期末）一个棱长为6厘米的正方体木块，削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是( )立方厘米；材料的利用率大约为( )。（百分号前保留一位小数） 【答案】 159.48 26.2% 【思路点拨】一个棱长为6厘米的正方体木块，削成一个最大的圆锥，削去部分的体积等于正方体的体积减去圆锥的体积，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出正方体的体积，圆锥的底面直径是6厘米，圆锥的高也是6厘米，根据圆锥的体积公式：V＝÷3，据此求出圆锥的体积，再用正方体的体积减去圆锥的体积即可求出消去部分的体积；求一个数的是另一个数的百分之几，用除法解答，据此用圆锥的体积除以正方体的体积即可解答。 【规范解答】6×6×6－3.14××6÷3 ＝36×6－3.14×9×6÷3 ＝216－28.26×2 ＝216－56.52 ＝159.48（立方厘米） 3.14××6÷3÷（6×6×6） ＝3.14×9×6÷3÷216 ＝28.26×2÷216 ＝56.52÷216 ≈26.2％ 所以削去部分的体积是159.48立方厘米，材料的利用率大约为26.2％。 7．（23-24六年级下·广东湛江·期中）把一块底面积是24cm2，高是3cm的圆柱形橡皮泥捏成同样底面大小的圆锥，圆锥的高是( )cm。如果把它捏成同样高的圆锥，圆锥的底面积是( )cm2。 【答案】 9 72 【思路点拨】（1）求圆锥的高，已知橡皮泥的体积不变，则圆柱和圆锥等体积等底面积； 根据V柱＝Sh，V锥＝Sh可知，圆柱的高h柱＝V÷S，圆锥的高h锥＝3V÷S，所以当圆柱和圆锥等体积等高时，圆锥的高是圆柱高的3倍。 （2）求圆锥的底面积，已知橡皮泥的体积不变，则圆柱和圆锥等体积等高； 根据V柱＝Sh，V锥＝Sh可知，圆柱的底面积S柱＝V÷h，圆锥的底面积S锥＝3V÷h，所以当圆柱和圆锥等体积等高时，圆锥的底面积是圆柱底面积的3倍。 【规范解答】（1）3×3＝9（cm） 圆锥的高是9cm。 （2）24×3＝72（cm2） 圆锥的底面积是72cm2。 8．（2024六年级下·辽宁·专题练习）如图一个圆锥形容器中装4.5L水，水面高度正好是圆锥高度的一半。这个圆锥形容器一共能装水( )L。 【答案】36 【思路点拨】 水面高度正好是圆锥高度的一半，说明圆锥容器的高是容器内水面高的2倍，则圆锥容器的半径也水面半径的2倍，圆锥体积＝圆周率×底面半径的平方×高÷3，所以容器的容积是容器内水的体积的（22×2）倍，据此分析。 【规范解答】22×2＝4×2＝8 4.5×8＝36（L） 这个圆锥形容器一共能装水36L。 【考点评析】关键是掌握并灵活运用圆锥体积公式，理解圆锥容积和水的体积之间的关系。 9．（22-23六年级下·陕西咸阳·期末）将一个实心圆柱锻造成一个底面积与它相等的实心圆锥，这个实心圆锥的高是这个圆柱的3倍。( ) 【答案】√ 【思路点拨】锻造前后体积不变，圆柱的体积公式为：V＝Sh，圆锥的体积公式为V＝Sh，设圆柱的体积为V，底面积为S，则圆锥的体积为V，底面积是S，由此分别表示出圆柱、圆锥的高，进而得出圆锥高是圆柱高的几倍；据此解答。 【规范解答】假设圆柱的体积为V，底面积为S，则圆锥的体积为V，底面积是S； 圆柱的高为：h圆柱＝ 圆锥的高为：h圆锥＝ 圆锥的高是圆柱高的÷＝×＝3倍，原说法正确。 故答案为：√ 【考点评析】等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，等积等底的圆锥的高是圆柱高的3倍。 10．（21-22六年级下·广东揭阳·期末）把一个圆锥沿高垂直切开后，表面积增加了72平方厘米，而且切面是一个等腰直角三角形，这个圆锥的体积是( )。 【答案】226.08立方厘米/226.08cm3 【思路点拨】圆锥沿高切开，会增加两个切面的面积，由于增加了72平方厘米，则一个切面的面积是72÷2＝36（平方厘米），这个等腰直角三角形以斜边为底，则它的底是圆锥的底面直径，高是圆锥的高，由于这是一个等腰直角三角形，等腰直角三角形的底是高的2倍，可以设高是r厘米，则底是2r厘米，根据三角形的面积公式：底×高÷2，即2r×r÷2＝36，据此即可求出r2＝36，由此即可知道r＝6，根据圆锥的体积公式：V＝πr2h×，把数代入公式即可求解。 【规范解答】72÷2＝36（平方厘米） 设圆锥的底面半径是r厘米，则高也是r厘米。 2r×r÷2＝36 r2＝36 r＝6 体积：3.14×62×6×＝226.08（立方厘米） 所以圆锥的体积是226.08立方厘米。 【考点评析】本题主要考查圆锥的体积公式，关键是要清楚等腰直角三角形以斜边为底，那么它的长度是斜边上的高的2倍。 11．（22-23六年级下·陕西咸阳·期末）一个圆柱与一个圆锥等底等高，则这个圆柱的体积是这个圆锥体积的3倍。( ) 【答案】√ 【思路点拨】设圆柱、圆锥的底均为r，高均为h，代入圆柱的体积公式V＝πr2h及圆锥的体积公式V＝πr2h，表示出各自的体积，进而得出它们的体积关系；据此解答。 【规范解答】设圆柱、圆锥的底均为r，高均为h 圆柱的体积为：V＝πr2h 圆锥的体积为：V＝πr2h （πr2h）÷（πr2h） ＝（πr2h）÷÷（πr2h） ＝（πr2h）×3÷（πr2h） ＝3 圆柱的体积是圆锥体积的3倍，原说法正确。 故答案为：√ 【考点评析】通过解答本题，进一步理解等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍。 12．（22-23六年级下·陕西西安·期中）把一个底面积是9.42平方厘米的圆柱形实心铁块，锻造成一个与它高相等的实心圆锥，圆锥的底面积是3.14平方厘米。( ) 【答案】× 【思路点拨】根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高；圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×；圆柱的体积＝圆锥的体积，即圆柱底面积×圆柱的高＝圆锥的底面积×圆锥的高×；圆柱的高＝圆锥的高，由此可知，圆柱的底面积×3＝圆锥的底面积，据此求出圆锥的底面积，再进行比较，即可解答。 【规范解答】9.42×3＝28.26（平方厘米） 把一个底面积是9.42平方厘米的圆柱形实心铁块，锻造成一个与它高相等的实心圆锥，圆锥的底面积是28.26平方厘米。 原题干说法错误。 故答案为：× 【考点评析】熟练掌握圆柱的体积公式和圆锥的体积公式是解答本题的关键。 13．（2017六年级下·天津河北·学业考试）一个圆锥的底面半径和高相等，过顶点和直径把这个圆锥切开，切面一定是等腰直角三角形。( ) 【答案】√ 【思路点拨】圆锥纵切面是一个三角形，三角形的底是圆锥底面直径，三角形高是圆锥的高，如果圆锥的底面半径和高相等，纵切面如图，切面是一个等腰直角三角形。 【规范解答】根据分析，一个圆锥的底面半径和高相等，过顶点和直径把这个圆锥切开，切面一定是等腰直角三角形，说法正确。 故答案为：√ 【考点评析】关键是熟悉圆锥特征，想清楚纵切面和圆锥之间的关系。 14．（23-24六年级下·陕西西安·期末）计算下面图形的体积。 【答案】84.56立方厘米 【思路点拨】根据题意，图中有2个立体图形：圆锥体、长方体，那么他们的体积之和即为整个图形的体积。圆锥体的体积：圆锥体积＝底面积×高÷3，长方体的体积＝长×宽×高，将数值代入公式计算出结果即可。 【规范解答】圆锥体积＝底面积×高÷3＝πr2×3÷3 底面圆半径＝4÷2＝2（厘米） 3.14×22×3÷3 ＝3.14×4×3÷3 ＝12.56（立方厘米） 长方体的体积＝长×宽×高 ＝6×6×2 ＝36×2 ＝72（立方厘米） 12.56＋72＝84.56（立方厘米） 答：图形的体积是84.56立方厘米。 15．（23-24六年级下·陕西西安·期中）求出下面形体的体积。 【答案】15.7cm3 【思路点拨】图形是由一个圆柱和一个圆锥组成，圆柱的体积，圆锥的体积，图形的体积＝圆柱的体积＋圆锥的体积，将数据带入公式即可。 【规范解答】 （cm3） 16．（23-24六年级下·山西吕梁·期末）把一瓶475毫升的汾酒倒入下图(单位：厘米)的高脚杯中，最多可以倒满多少杯？ 【答案】6杯 【思路点拨】根据圆锥的体积：V＝πr2h，代入数据求出一杯酒的体积。再用475÷一杯酒的体积，商用去尾法保留整数，即可求出能倒满几杯。 【规范解答】 ×（6÷2）2×3.14×8 ＝ ×32×3.14×8 ＝ ×9×3.14×8 ＝75.36（立方厘米） ＝75.36（毫升） 475÷75.36≈6（杯） 答：最多可以倒满6杯。 17．（23-24六年级下·辽宁大连·期末）李叔叔把一车沙子卸到地面上形成一个圆锥形沙堆，这个沙堆的底面直径是2米，高1.5米，这堆沙子的占地面积是多少平方米？如果每立方米沙子120元，李叔叔买这堆沙子需要花多少元？ 【答案】3.14平方米；188.4元 【思路点拨】这堆沙子的占地面积，就是圆锥形沙堆的底面积，根据圆的面积公式：S＝，代入数据解答即可；根据圆锥的体积＝底面积×高÷3，求出圆锥形沙堆的体积，再用体积乘每立方米沙子的钱数即可解答。 【规范解答】2÷2＝1（米） 3.14×＝3.14（平方米） 3.14×1.5÷3×120 ＝4.71÷3×120 ＝1.57×120 ＝188.4（元） 答：这堆沙子的占地面积是3.14平方米，李叔叔买这堆沙子需要花188.4元。 18．（23-24六年级下·广东茂名·期末）请写出下图中圆柱和圆锥的体积计算公式之间的联系，并通过计算说明理由。（单位：分米） 【答案】见详解 【思路点拨】圆柱的体积计算公式：圆柱的体积＝底面积×高；圆锥的体积计算公式：圆锥的体积＝×底面积×高。通过观察图可知，圆锥与圆柱等底等高，我们可以通过计算来比较两者的关系。 【规范解答】半径：6÷2＝3（分米） 圆柱的体积：3.14×32×3.5 ＝3.14×9×3.5 ＝28.26×3.5 ＝98.91（立方分米） 圆锥的体积：×3.14×32×3.5 ＝×3.14×9×3.5 ＝×9×3.14×3.5 ＝3×3.14×3.5 ＝9.42×3.5 ＝32.97（立方分米） 98.91÷32.97＝3 32.97÷98.91＝ 答：通过计算发现，当圆柱与圆锥等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，圆锥的体积是圆柱的体积的。圆柱和圆锥的体积计算公式之间的有以下联系：圆柱的体积＝3×圆锥的体积，圆锥的体积＝×圆柱的体积。 19．（23-24六年级下·山西吕梁·期末）如图，一个圆柱形的玻璃容器，底面直径是12厘米，里面装满水，把容器里的水倒出60%后，还剩452.16毫升水。在里面放入等底等高的圆柱和圆锥（水完全浸没），已知它们的高均为6厘米，这时水面升高了0.5厘米。 （1）圆柱形容器的高是多少厘米？ （2）放到水里的圆柱和圆锥的体积分别是多少立方厘米？它们的底面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）10厘米 （2）圆柱的体积：42.39立方厘米；圆锥的体积：14.13立方厘米；7.065平方厘米 【思路点拨】（1）把圆柱形容器的体积看作单位“1”，已知把容器里的水倒出60%后，还剩452.16毫升水，则剩下的水占容器里的（1－60%），用剩下的水除以剩下的水占总体积的分率，即可求出圆柱形容器的体积，再根据圆柱的高＝V圆柱÷r2÷π，代入数据解答即可； （2）看图可知，水面上升的体积就是圆柱和圆锥的体积之和，圆柱容器的底面积×水面上升的高度＝圆柱和圆柱的体积之和，再等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍。以体积之和为单位“1”，圆柱的体积占体积之和的。根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用圆柱和圆锥的体积之和乘，即可求出圆柱的体积，再用体积之和减去圆柱的体积，即可求出圆锥的体积；最后根据圆柱的底面积＝V圆柱÷h，代入数据求出圆柱和圆锥的底面积。 【规范解答】（1）452.16毫升＝452.16立方厘米 452.16÷（1－60%） ＝452.16÷40% ＝1130.4（立方厘米） 1130.4÷（12÷2）2÷3.14 ＝1130.4÷62÷3.14 ＝1130.4÷36÷3.14 ＝31.4÷3.14 ＝10（厘米） 答：圆柱形容器的高是10厘米。 （2）（12÷2）2×0.5×3.14 ＝62×0.5×3.14 ＝36×0.5×3.14 ＝18×3.14 ＝56.52（立方厘米） 56.52×＝42.39（立方厘米） 56.52－42.39＝14.13（立方厘米） 42.39÷6＝7.065（平方厘米） 答：放到水里的圆柱的体积是42.39立方厘米，圆锥的体积是14.13立方厘米，它们的底面积是7.065平方厘米。 20．（22-23六年级下·河南洛阳·期末）数学实践课上老师布置了这样两个作业： 请你把一个棱长总和为96厘米，且长、宽、高的比是3∶4∶5的长方体石蜡块，削成一个最大的圆锥体，然后把这个圆锥体完全浸入一个装满水的圆柱形容器中，圆锥的底面直径是圆柱形容器底面直径的。1分钟后把圆锥体状的石蜡块从水中取出。 作业一：问最大的圆锥体积是多少立方厘米？ 作业二：1分钟后把圆锥体蜡块从水中取出时，水面下降了几厘米？ 【答案】作业一：100.48立方厘米； 作业二：0.5厘米 【思路点拨】作业一：长方体的棱长和＝（长＋宽＋高）×4，据此用96÷4求出长、宽、高的和是24厘米；再把24厘米按3∶4∶5分配分别求出长是6厘米、宽8厘米、高是10厘米；圆锥的体积，据此分别求出以10厘米、8厘米、6厘米为高的圆锥的体积，从而得到最大的圆锥体积。 作业二：先用圆锥的底面直径÷求出圆柱形容器的底面直径；再根据圆的面积求出圆柱形容器的底面积；把这个圆锥体完全浸入一个装满水的圆柱形容器中，溢出的水的体积等于圆锥体蜡块的体积，圆柱的体积＝底面积×高，据此用溢出的水的体积÷圆柱形容器的底面积即可求出水面下降了几厘米。 【规范解答】作业一： 96÷4＝24（厘米） 长：24× ＝24× ＝6（厘米） 宽：24× ＝24× ＝8（厘米） 高：24× ＝24× ＝10（厘米） ＝ ＝ ＝94.2（立方厘米） ＝ ＝ ＝75.36（立方厘米） ＝ ＝100.48（立方厘米） 100.48＞94.2＞75.36 答：最大的圆锥体积是100.48立方厘米。 作业二： 8÷ ＝8×2 ＝16（厘米） 3.14×（16÷2）2 ＝3.14×82 ＝3.14×64 ＝200.96（平方厘米） 100.48÷200.96＝0.5（厘米） 答：水面下降了0.5厘米。 【考点评析】此题主要考查了长方体的棱长和、按比分配、圆锥的体积公式、圆柱的体积公式的应用。 21．（19-20六年级下·浙江金华·期末）下图是一个装满水的无盖长方体容器。（单位：分米，π取3.14） （1）在容器中放入一个底面直径为2分米，高为4分米的实心圆柱铁柱。会溢出多少升水？ （2）如果把这个铁柱锻造成一个实心圆锥。使得圆锥能垂直放入长方体容器，并且底面积最大。这个圆锥的高是多少？ 【答案】（1）12.56升；（2）分米 【思路点拨】（1）已知一个装满水的无盖长方体容器，长8分米、宽6分米、高4分米；要在其中放入一个圆柱铁柱，且铁柱的直径为2分米，高为4分米；求放入后，会溢出多少升水；因为铁柱与长方体一样高，所以，放入后溢出的水的体积就相当于圆柱的体积；最后再把体积化为容积即可；可列式为：3.14×（2÷2）2×4＝12.56（升）。 （2）把这个铁柱锻造成一个实心圆锥。使得圆锥能垂直放入长方体容器，并且底面积最大。意思是以长方体的宽为直径，锻造一个实心圆锥，求圆锥的高；可列式为：12.56×3÷[3.14×（6÷2）2]。 【规范解答】（1）3.14×（2÷2）2×4 ＝3.14×4 ＝12.56（立方分米） ＝12.56（升） 答：会溢出12.56升水。 （2）12.56×3÷[3.14×（6÷2）2] ＝37.68÷28.26 ＝（分米） 答：这个圆锥的高是分米。 【考点评析】本题要求我们熟练应用圆柱、圆锥的体积公式，必要的时候，还要会将公式逆用；此外，对于盛满水的容器放入实心体这一类问题要能够结合具体题意进行分析，计算。 22．（20-21六年级下·辽宁·期末）一个底面是正方形的容器里放着水，从里面量边长是14厘米，水的高度是8厘米。把一个铁质实心圆锥直立在容器里以后，水的高度上升到12厘米，正好是圆锥高的。圆锥的底面积是多少平方厘米？ 【答案】112平方厘米 【思路点拨】根据题意可知，水面升高部分等圆锥浸在水中的部分体积，升高部分的高等于水面升高减去容器里水的高度，即12－8＝4厘米；根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，求出浸在水中部分的圆锥的体积；水面升高到12厘米，这好是圆锥高的，则露在水面上部分的高是12厘米的小圆锥；高是圆锥的，半径也是大圆锥的；所以露出水面的小圆锥的体积是大圆锥的（）3＝；即露在水面上小圆锥体积与大圆锥的体积比是1∶8；所以浸在水中的体积是大圆锥体积的1－；再用求出圆锥在水中部分的体积，除以（1－），求出大圆锥的体积；再根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，底面积＝体积÷（高×）。代入数据，即可解答。 【规范解答】浸在水中部分体积： 14×14×（12－8） ＝196×4 ＝784（立方厘米） 露出水面部分的小圆锥的高为12厘米；则大锥的高是12×2＝24（厘米）； 其高是大圆锥的，半径也是大圆锥的； 露在水面上小圆锥的体积是大圆锥体积的（）3＝ 小圆锥体积∶大圆锥＝体积1∶8 浸在水中部分体积： （1－）＝ 784÷ ＝784× ＝896（立方厘米） 大圆锥底面积： 896÷（12×2×） ＝896÷（24×） ＝896÷8 ＝112（平方厘米） 答：圆锥的底面积是112平方厘米。 【考点评析】解答本题的关键是明确露在水面外面的小圆锥的体积与大圆锥的体积之间的关系，即求出小圆锥是大圆锥的几分之几，进而解答问题。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北师大版数学六年级寒假学习培优讲义（新课衔接） 专题04 圆锥的体积 （导图+6个知识点+4个易错点+4个考点讲练+拔尖训练） 目录 导图知识荟萃 2 新知预习强化 2 知识点01：圆锥的体积定义 2 知识点02：圆锥的体积公式 2 知识点03：圆锥体积的计算步骤 2 知识点04：圆锥体积的单位 3 知识点05：圆锥体积与圆柱体积的关系 3 知识点06：圆锥体积的应用 3 易错知识指引 3 易错知识点01：公式记忆与应用易错 3 易错知识点02：单位换算易错 3 易错知识点03：实际问题解决易错 4 易错知识点04：计算过程易错 4 考点培优讲练 4 考点1：圆锥的体积（容积） 4 考点2：圆柱与圆锥体积的关系 6 考点3：组合体的体积（圆柱、圆锥） 7 考点4：体积的等积变形（圆柱、圆锥） 8 真题汇编拔尖练 10 知识点01：圆锥的体积定义 圆锥的体积是指圆锥所占空间的大小，它是三维几何中的一个重要概念。 知识点02：圆锥的体积公式 圆锥的体积V可以通过其底面积S底和高h来计算。由于圆锥的底面是一个圆，其面积S底可以用公式πr²来表示（其中r是底面半径）。因此，圆锥的体积公式为： V=×S底×h=×πr²×h 这个公式表明，圆锥的体积是其底面积与高的乘积的三分之一。 知识点03：圆锥体积的计算步骤 1. 确定底面半径和高： 首先，需要确定圆锥的底面半径rrr和高hhh。这两个值通常是通过题目给出的，或者需要通过测量获得。 2. 计算底面积： 使用公式S底=πr2S_{底} = \pi r^{2}S底​=πr2计算圆锥的底面积。 3. 计算体积： 将底面积S底和高h代入圆锥体积的公式V=×S底×h，计算出圆锥的体积。 知识点04：圆锥体积的单位 圆锥的体积单位与圆柱相同，通常是立方厘米（cm³）、立方米（m³）等，表示三维空间的大小。在计算时，需要确保底面半径和高使用相同的单位。 知识点05：圆锥体积与圆柱体积的关系 圆锥的体积是与其等底等高的圆柱体积的三分之一。这意味着，如果一个圆锥与一个圆柱有相同的底面半径和高，那么圆锥的体积就是圆柱体积的三分之一。 知识点06：圆锥体积的应用 圆锥体积的计算在实际生活中有广泛的应用，如计算圆锥形容器的容量、估算圆锥形物体的重量（需要知道物体的密度）等。通过计算圆锥的体积，我们可以更好地理解和利用圆锥这一几何形状。 易错知识点01：公式记忆与应用易错 1. 公式记忆不准确 易错点：学生可能会忘记圆柱体积的公式是V=πr²h，或者将公式中的π、r²和h的位置混淆。 解析：需要反复记忆和练习圆柱体积的公式，确保能够准确应用。 2. 公式应用不当 易错点：学生在应用公式时，可能会忘记将题目中给出的数据代入公式，或者代入数据时出错。 解析：在应用公式前，需要仔细审题，明确题目中给出的数据，并正确代入公式进行计算。 易错知识点02：单位换算易错 1. 单位不统一 易错点：在计算圆柱体积时，学生可能会忽略单位换算，导致底面半径和高使用不同的单位，从而得出错误的结果。 解析：在计算前，需要确保底面半径和高使用相同的单位（如厘米或米），如果单位不统一，需要进行换算。 2. 单位换算错误 易错点：在进行单位换算时，学生可能会忘记换算系数，或者计算错误。 解析：需要熟练掌握常见的单位换算关系，如1米=100厘米等，并在换算时仔细计算。 易错知识点03：实际问题解决易错 1. 实际问题抽象化困难 易错点：在解决实际问题时，学生可能无法将问题抽象化为圆柱体积的计算问题。 解析：需要培养学生的抽象思维能力，引导他们将实际问题转化为数学模型进行计算。 2. 计算结果解释不清 易错点：在计算得出结果后，学生可能无法准确解释结果的实际意义。 解析：需要引导学生理解圆柱体积的实际意义，如表示圆柱所占空间的大小等，并能够根据计算结果进行合理解释。 易错知识点04：计算过程易错 1. 计算步骤遗漏 易错点：在计算圆柱体积时，学生可能会遗漏某些计算步骤，如忘记计算底面积等。 解析：需要强调计算步骤的完整性，确保学生在计算过程中不遗漏任何步骤。 2. 计算错误 易错点：在进行计算时，学生可能会出现计算错误，如乘法运算错误等。 解析：需要提高学生的计算能力，确保他们在计算过程中能够准确进行运算。 考点1：圆锥的体积（容积） 【典例精讲】（23-24六年级下·四川成都·期末）小明家把今年收获的小麦堆成了圆锥形，高3米，底面直径是4米。 （1）如果每立方米小麦重700千克，这堆小麦重多少千克？ （2）如果把这堆小麦倒入一个底面直径为2米的圆柱形铁桶中刚好装满，那么铁桶高多少米？ 【变式1】（2024·四川成都·小升初真题）一个组合零件是由圆柱和圆锥粘合而成的（如图），若把圆柱和圆锥重新掰开，表面积就会增加50.42cm2，那么原来这个组合零件的体积是( )cm3。 【变式2】（23-24六年级下·山西吕梁·期末）下列情况不能ab表示的是（    ）。 A．“五一”期间，水果店里的苹果搞促销活动，每千克苹果a元，卖出正好是b千克，求这些苹果卖出的钱 B．植树节到了，六（1）班要去山坡上栽树，结果3天只栽了b棵树，求a天他们栽树的棵数 C．求底面积为a，高为b的圆锥的体积 D．求阴影部分的面积 【变式3】（22-23六年级下·安徽阜阳·期中）直角梯形ABCD如图所示，请根据图中信息回答下列问题。 （1）如果以AB所在直线为轴进行旋转，所形成的立体图形是（    ）（填序号，下同）；如果以CD所在直线为轴进行旋转，所形成的立体图形是（    ）。 （2）请选择其中一个立体图形计算它的体积。 考点2：圆柱与圆锥体积的关系 【典例精讲】（23-24六年级下·浙江金华·期末）如图，长方形ABCD的长是4厘米。宽是3厘米，对角线AC把长方形分成阴影和空白两个三角形。以AB所在的直线为轴，把长方形旋转一周，空白三角形扫过的空间大小和阴影三角形扫过的空间的大小比是多少？ 【变式1】（23-24六年级下·陕西西安·期末）如图，直角三角形绕着6cm的直角边旋转一周，形成的立体图形是( )，它的底面积是( )cm2，体积是( )cm3，与它等底等高的圆柱的体积是( )cm3。 【变式2】（23-24六年级下·辽宁锦州·期末）一个等底等高的圆柱和圆锥，如果圆锥的高增加18cm，那么圆柱和圆锥的体积相等。已知圆锥的底面半径是5cm，则原来圆锥的体积是（    ）立方厘米。 A．50π B．75π C．100π D．200π 【变式3】（23-24六年级下·陕西渭南·期末）如图，这是一个由等底等高的圆柱和圆锥组合而成的计时工具，圆锥内灌满了水。圆锥的高为12厘米，底面半径为3厘米。已知水的流速是1.884立方厘米/分。 （1）圆锥里的水漏完需要多少分？ （2）圆锥里的水全部漏到圆柱里，圆柱里水面的高度是多少厘米？ 考点3：组合体的体积（圆柱、圆锥） 【典例精讲】（23-24六年级下·陕西榆林·期末）如图，一个长方体的上面有一个圆锥，计算这个组合图形的体积。 【变式1】（23-24六年级下·广东惠州·期末）航模小组制作了一个火箭助推器模型（如下图），它的上半部分是圆锥形的，下半部分是圆柱形的。    （1）要解决“这个火箭助推器模型的体积是多少立方厘米？”的问题，三位同学分别给出了三种解法。谁的解法正确？请在该同学名字后面的里画“√”。 （2）请你选择以上解法中正确的一种，写出你的解题思路。 解题思路： 【变式2】（23-24六年级下·广东惠州·期末）2023年5月30日，我国长征二号F运载火箭搭载神舟十六号载人飞船顺利升空并取得园满成功。整流置是运载火箭的重要组成部分，外形通常由近似的圆柱和圆锥组成。学校创客小组制作了运载火箭整流置的模型（如图所示），请问这个整流置模型的体积是多少？ 【变式3】（19-20六年级下·辽宁·期中）一个直角三角形的两条直角边分别是3cm和4cm，斜边是5cm，分别以三条边所在的直线为轴把三角形旋转一周，得到一个立体图形，比较这3个立体图形 的体积，（    ）的体积最大。 A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断 考点4：体积的等积变形（圆柱、圆锥） 【典例精讲】（23-24六年级下·山西吕梁·期中）在一个底面半径为1分米的圆柱形杯里装满水，一个底面半径为5厘米的圆锥形铅锤浸没在水里，当铅锤从水中取出后，杯里的水面下降了5厘米，这个铅锤的体积是多少立方厘米？ 【变式1】（22-23六年级下·安徽阜阳·期末）在一只底面半径是30厘米，高50厘米的圆柱形水桶里，装有水和一个半径为10厘米的圆锥形钢材（钢材完全浸没在水中），如果把钢材从水中完全取出后桶里的水面下降了1厘米，这个圆锥形钢材的高是多少厘米？ 【变式2】（23-24六年级下·陕西咸阳·期中）如图，将等底等高的圆柱和圆锥形铁块同时放入盛有水的容器中，水面由原来的600mL上升到800mL。放进去的圆柱的体积是( )cm3，圆锥的体积是( )cm3。 【变式3】（2024六年级下·辽宁·专题练习）实践出真知。有一个圆柱形容器，从里面量得底面直径为6厘米。高为15厘米，里面装了10厘米高的水。将一个底面直径为4厘米的圆锥体铁块浸没到水中，水面升高了2厘米。这个圆锥体铁块的体积是多少立方厘米？ 【变式4】（23-24六年级下·陕西宝鸡·期末）一个底面半径是3厘米的圆锥，高为20厘米，将这个圆锥铁块熔铸成一个宽5厘米、高4厘米的长方体，长方体的长是多少厘米？ 【变式5】（23-24六年级下·广东深圳·期中）一个高为8厘米的圆柱形容器装满了水，把水倒入与它等底的圆锥形容器中，刚好装满，圆锥形容器的高是( )厘米。 1．（23-24六年级下·四川成都·期末）下面说法中，正确的有（    ）。 ①通常规定海平面的海拔高度为0m，珠穆朗玛峰高出海平面8848.86m，其海拔高度记作﹢8848.86m；吐鲁番盆地的最低处低于海平面154.31m，其海拔高度记作﹣154.31m。 ②一个自然数（0除外）不是奇数就是偶数，不是质数就是合数。 ③一个圆柱和一个圆锥体积相等，底面积也相等，圆柱的高是6cm，那圆锥的高一定是18cm。 ④甲、乙两人掷骰子决定胜负，大于3的面朝上甲赢，小于3的面朝上乙赢，这个规则是公平的。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24六年级下·广西贺州·期末）下面能用方程“”来表示的是（    ）。 ①            ② ③            ④ A．①②③④ B．①③④ C．①② D．③④ 3．（23-24六年级下·陕西渭南·期末）将一个底面半径是5厘米，高是6厘米的圆锥形实心铁块，锻压成一个底面半径是2厘米的圆柱形实心铁块，这个圆柱形铁块的高是（    ）厘米。 A．37.5 B．10 C．7.85 D．12.5 4．（20-21六年级下·安徽亳州·期末）将一个棱长是6分米的正方体木块削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是（    ）立方分米。 A．169.56 B．56.52 C．226.08 D．28.26 5．（23-24六年级下·四川成都·期末）一个圆柱和一个圆锥的体积和高都相等，圆锥的底面积是45平方厘米，圆柱的底面积是( )平方厘米。 6．（23-24六年级下·辽宁锦州·期末）一个棱长为6厘米的正方体木块，削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是( )立方厘米；材料的利用率大约为( )。（百分号前保留一位小数） 7．（23-24六年级下·广东湛江·期中）把一块底面积是24cm2，高是3cm的圆柱形橡皮泥捏成同样底面大小的圆锥，圆锥的高是( )cm。如果把它捏成同样高的圆锥，圆锥的底面积是( )cm2。 8．（2024六年级下·辽宁·专题练习）如图一个圆锥形容器中装4.5L水，水面高度正好是圆锥高度的一半。这个圆锥形容器一共能装水( )L。 9．（22-23六年级下·陕西咸阳·期末）将一个实心圆柱锻造成一个底面积与它相等的实心圆锥，这个实心圆锥的高是这个圆柱的3倍。( )（判断对错） 10．（21-22六年级下·广东揭阳·期末）把一个圆锥沿高垂直切开后，表面积增加了72平方厘米，而且切面是一个等腰直角三角形，这个圆锥的体积是( )。（判断对错） 11．（22-23六年级下·陕西咸阳·期末）一个圆柱与一个圆锥等底等高，则这个圆柱的体积是这个圆锥体积的3倍。( )（判断对错） 12．（22-23六年级下·陕西西安·期中）把一个底面积是9.42平方厘米的圆柱形实心铁块，锻造成一个与它高相等的实心圆锥，圆锥的底面积是3.14平方厘米。( )（判断对错） 13．（2017六年级下·天津河北·学业考试）一个圆锥的底面半径和高相等，过顶点和直径把这个圆锥切开，切面一定是等腰直角三角形。( )（判断对错） 14．（23-24六年级下·陕西西安·期末）计算下面图形的体积。 15．（23-24六年级下·陕西西安·期中）求出下面形体的体积。 16．（23-24六年级下·山西吕梁·期末）把一瓶475毫升的汾酒倒入下图(单位：厘米)的高脚杯中，最多可以倒满多少杯？ 17． （23-24六年级下·辽宁大连·期末）李叔叔把一车沙子卸到地面上形成一个圆锥形沙堆，这个沙堆的底面直径是2米，高1.5米，这堆沙子的占地面积是多少平方米？如果每立方米沙子120元，李叔叔买这堆沙子需要花多少元？ 18．（23-24六年级下·广东茂名·期末）请写出下图中圆柱和圆锥的体积计算公式之间的联系，并通过计算说明理由。（单位：分米） 19．（23-24六年级下·山西吕梁·期末）如图，一个圆柱形的玻璃容器，底面直径是12厘米，里面装满水，把容器里的水倒出60%后，还剩452.16毫升水。在里面放入等底等高的圆柱和圆锥（水完全浸没），已知它们的高均为6厘米，这时水面升高了0.5厘米。 （1）圆柱形容器的高是多少厘米？ （2）放到水里的圆柱和圆锥的体积分别是多少立方厘米？它们的底面积是多少平方厘米？ 20．（22-23六年级下·河南洛阳·期末）数学实践课上老师布置了这样两个作业： 请你把一个棱长总和为96厘米，且长、宽、高的比是3∶4∶5的长方体石蜡块，削成一个最大的圆锥体，然后把这个圆锥体完全浸入一个装满水的圆柱形容器中，圆锥的底面直径是圆柱形容器底面直径的。1分钟后把圆锥体状的石蜡块从水中取出。 作业一：问最大的圆锥体积是多少立方厘米？ 作业二：1分钟后把圆锥体蜡块从水中取出时，水面下降了几厘米？ 21．（19-20六年级下·浙江金华·期末）下图是一个装满水的无盖长方体容器。（单位：分米，π取3.14） （1）在容器中放入一个底面直径为2分米，高为4分米的实心圆柱铁柱。会溢出多少升水？ （2）如果把这个铁柱锻造成一个实心圆锥。使得圆锥能垂直放入长方体容器，并且底面积最大。这个圆锥的高是多少？ 22．（20-21六年级下·辽宁·期末）一个底面是正方形的容器里放着水，从里面量边长是14厘米，水的高度是8厘米。把一个铁质实心圆锥直立在容器里以后，水的高度上升到12厘米，正好是圆锥高的。圆锥的底面积是多少平方厘米？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$