精品解析：河南省新乡市封丘县金瀚学校2024-2025学年九年级上学期期末教学质量监测数学试卷

河南省封丘县金瀚学校九年级期末教学质量监测 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点B是线段的黄金分割点，，若，则的长约为（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，在中，分别是的中点，，是线段上一点，连接，．若，则的长度是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 6. 中国古代“四大发明”有造纸术、指南针、火药和活字印刷术．小明购买了以“四大发明”为主题的四张纪念卡片，他将卡片背面朝上放在桌面上（纪念卡片背面完全相同），小亮从中随机抽取两张，则他抽到的两张纪念卡片恰好是“造纸术”和“指南针”的概率是（　　） A. B. C. D. 7. 关于的一元二次方程的根的情况是（　　） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 实数根的个数与实数的取值有关 8. 一抛物线的形状与抛物线相同，且存在最小值，顶点坐标为，则此抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连结AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连结GH．若，，则GH的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 10. 如图，抛物线分别交x轴，y轴于点A，B，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若点，在抛物线的图象上，则．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 的值等于_________． 12. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得抛物线的表达式为________________． 13. 如图，在中，，点，，分别是边，，的中点，连接，．若，，则的长为_________． 14. 一个不透明的口袋中装有10个红球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同，从口袋中随机摸出1个球记下它的颜色后，放回摇匀，经过大量摸球试验发现摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中黄球大约有______个． 15. 如图，在中，，，，、分别是、的中点，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，同时动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，连接，设运动时间为，则当___时，为等腰三角形． 三、解答题（共75分） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 17. 已知，关于x的一元二次方程． （1）试说明：不论m取何值时，该方程总有实数根； （2）若这个一元二次方程的一根大于2，另一根小于2，求m的取值范围． 18. 某市将开展以“走进中国数学史”为主题的知识竞赛活动，红树林学校对本校100名参加选拔赛的同学的成绩按A，B，C，D四个等级进行统计，绘制成如下不完整的统计表和扇形统计图： 成绩等级 频数（人数） 频率 A 4 0.04 B m 0.51 C n D 合计 100 1 （1）求m=　 　，n=　 　； （2）在扇形统计图中，求“C等级”所对应心角的度数； （3）成绩等级为A的4名同学中有1名男生和3名女生，现从中随机挑选2名同学代表学校参加全市比赛，请用树状图法或者列表法求出恰好选中“1男1女”的概率． 19. 开封电视塔位于黄河大街中段，是河南省第二座建成的电视塔，是市内最高建筑物，某数学活动预测量电视塔的高度，设计了如下的测量方案： 课题 测量电视塔的高度 实物图 测量工具 卷尺、测角仪… 测量示意图 说明： 表示电视塔，点C、E与点B在同一直线上，测角仪的高度 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 的度数 33.05° 32.95° 33° 的度数 45.07° 44.93° 45° D，F之间的距离 143.60m 143.40m 143.50m 参考数据 ，， … … 请帮助该小组的同学根据上表中测量数据的平均值，计算出电视塔的高度．（结果精确到0.1m） 20. 灵宝苹果细脆多汁，酸甜爽口，深受大家喜爱．某水果批发商销售一批灵宝苹果，每箱苹果的成本是元，经过调查发现当每箱苹果的售价是元时，每天可售出箱．如果降价销售，每降价1元，每天可多售出箱． （1）若水果批发商某天销售灵宝苹果的利润为元，且使顾客得到最大优惠，求每箱灵宝苹果的售价； （2）这批灵宝苹果在市场一售而空，水果批发商又以同样的价格购进一批灵宝苹果，当每箱灵宝苹果的售价为多少元时，每天可以获得最大利润？最大利润为多少元？ 21. 如图，抛物线经过点和点，与y轴交于点C，点P在直线下方的抛物线上，过点P作轴交于点Q，连接，，设点P的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式及点C的坐标； （2）求线段长度的最大值． 22. 从地面竖直向上发射的物体离地面的高度（单位： m）满足关系式，其中（s）是物体运动的时间，（）是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球． （1）小球被发射后_________s时离地面的高度最大（用含的式子表示）； （2）若小球离地面的最大高度为20 m，求小球被发射时的速度； （3）按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同，小明说“这两次间隔的时间为2 s”．已知实验楼高15 m，请判断他的说法是否正确，并说明理由． 23. 如图，四边形和四边形均为正方形，点分则在，上，，分别为两正方形的对角线． （1）猜想∶图1中的值为_________； （2）探究：将正方形绕点旋转到图位置，连接，，判断的值是否保持不变？并说明理由． （3）延伸：若将正方形绕点旋转到图位置，其中三点在一条直线上，延长交边于点，若，，请直接写出正方形与正方形的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省封丘县金瀚学校九年级期末教学质量监测 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将二次根式化简为最简二次根式，再看被开方数是否相同即可． 【详解】解：A、与是同类二次根式，故A符合题意； B、与不是同类二次根式，故B不符合题意； C、与是同类二次根式，故C不符合题意； D、与不是同类二次根式，故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查同类二次根式和化简二次根式，熟练掌握同类二次根式的概念是解题的关键． 2. 用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．先根据等式的性质移项，再方程两边都加9，即可得出答案． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， ． 故选：D 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的加减乘除的运算法则计算判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算正确，符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式的加减乘除运算，熟练掌握运算法则是解答的关键． 4. 黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点B是线段的黄金分割点，，若，则的长约为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割的有关计算，根据黄金分割的定义得到，把代入计算即可得到答案． 【详解】解：点是线段的黄金分割点， ， ， ， 故选：B． 5. 如图，在中，分别是的中点，，是线段上一点，连接，．若，则的长度是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、三角形中位线定理，由直角三角形的性质得出，结合得出，再由三角形中位线定理即可得出． 【详解】解：，点是的中点，， ， ， ， ， 分别是的中点， 是的中位线， ， 故选：B． 6. 中国古代“四大发明”有造纸术、指南针、火药和活字印刷术．小明购买了以“四大发明”为主题的四张纪念卡片，他将卡片背面朝上放在桌面上（纪念卡片背面完全相同），小亮从中随机抽取两张，则他抽到的两张纪念卡片恰好是“造纸术”和“指南针”的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了画树状图或列表求概率，正确画出树状图或列表是解题关键．画树状图可得出所有等可能的结果数以及他抽到的两张纪念卡片恰好是“造纸术”和“指南针”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将造纸术、指南针、火药和活字印刷术四张纪念卡片分别记为，，，， 画树状图如下： 共有种等可能的结果， 其中他抽到的两张纪念卡片恰好是“造纸术”和“指南针”的结果有：，，共种， ∴他抽到的两张纪念卡片恰好是“造纸术”和“指南针”的概率为， 故选：C． 7. 关于的一元二次方程的根的情况是（　　） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 实数根的个数与实数的取值有关 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式求出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 8. 一抛物线的形状与抛物线相同，且存在最小值，顶点坐标为，则此抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，根据二次函数的性质确定二次项系数是解题的关键．根据抛物线形状一样得到相同，再根据存在最小值，说明开口向上，确定，最后即可写出顶点式． 【详解】解：∵一抛物线的形状与抛物线相同，且存在最小值， ∴， ∵顶点坐标为， ∴解析式为：， 故选：D． 9. 如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连结AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连结GH．若，，则GH的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】连接AF，利用三角形中位线定理，可知GH =AF，求出AF的最小值即可解决问题． 【详解】解：连接AF，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB= BC= 2， ∵ G， H分别为AE，EF的中点， ∴GH是△AEF的中位线， ∴GH =AF， ∴当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值，则∠AFB = 90°， ∵∠B= 45°， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴GH =， 即GH的最小值为， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 10. 如图，抛物线分别交x轴，y轴于点A，B，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若点，在抛物线的图象上，则．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数图象的性质等等，根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴得到，再由对称轴为直线，得到，由此即可判断①③；由函数图象可知，抛物线与x轴有两个不相同的交点，即可判断②；由抛物线开口向下，可得离对称轴越远函数值越小，由此即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，，故①③正确； 由函数图象可知，抛物线与x轴有两个不相同的交点， ∴，故②错误； ∵抛物线开口向下， ∴离对称轴越远函数值越小， ∵点，在抛物线的图象上，且， ∴，故④错误； ∴正确的有2个， 故选B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 的值等于_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊的三角值的混合运算．根据即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得抛物线的表达式为________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移．熟练掌握二次函数图象平移左加右减，上加下减是解题的关键． 根据左加右减，上加下减进行求解作答即可． 【详解】解：由题意知，平移后的抛物线的表达式为，即， 故答案为：． 13. 如图，在中，，点，，分别是边，，的中点，连接，．若，，则的长为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到长，然后根据勾股定理求出长时解题的关键． 【详解】解：∵在中，是边的中点， ∴， ∴， 又∵是的中点， ∴， 故答案为：． 14. 一个不透明的口袋中装有10个红球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同，从口袋中随机摸出1个球记下它的颜色后，放回摇匀，经过大量摸球试验发现摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中黄球大约有______个． 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量问题，熟知大量反复试验下频率的稳定值即概率值是解题的关键．设袋子中黄球约有x个，根据题意可知从袋子中随机摸出一个红球的概率为，由此根据概率公式建立方程求解即可． 【详解】解：设袋子中黄球约有x个， ∵通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在附近， ∴从袋子中随机摸出一个红球的概率为， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴袋子中黄球约有15个， 故答案为：15． 15. 如图，在中，，，，、分别是、的中点，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，同时动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，连接，设运动时间为，则当___时，为等腰三角形． 【答案】或 【解析】 【分析】先根据直角三角形角的性质和勾股定理计算和的长，由中位线定理计算，根据速度、时间可得、的运动路程分别为和的长；分三种情况讨论：分别令任意两边相等，画图，根据等腰三角形的性质列方程可得结论． 【详解】解：，，， ，， 、分别是、的中点， ，， 由题意得：，， ，， 分三种情况： ①当时，如图1，为等腰三角形． 则， ； ②如图2，当时，为等腰三角形，过作于， ， ， ， 、分别是、的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ③因为当时，， ， 而在、运动过程中，最大为，所以此种情况不成立； 综上，当或 时，为等腰三角形． 故答案为：或． 【点睛】本题是动点型问题，解题关键是掌握动点运动过程中的图形形状、线段长的表示方法．所考查的知识点涉及到勾股定理、三角形中位线定理、直角三角形角的性质、直角三角形斜边中线的性质、解方程（包括一元一次方程）等，有一定的难度．注意题中求的方法：最终都是转化为一元一次方程求解，学会用分类讨论的思想思考问题． 三、解答题（共75分） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，一元二次方程的解法； （1）先计算乘方，化简二次根式，二次根式的乘法，再合并即可； （2）先计算，再利用求根公式解方程即可． 【详解】解：（1） ； （2）， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 17. 已知，关于x的一元二次方程． （1）试说明：不论m取何值时，该方程总有实数根； （2）若这个一元二次方程的一根大于2，另一根小于2，求m的取值范围． 【答案】（1） 解：由题可知：，，， 即 ， 不论m取何值，原方程有两个实数根． （2）m的取值范围是 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式及解一元二次方程，正确运用判别式是解题的关键． （1）根据一元二次方程判别式为即可解答； （2）解方程，求得，，根据题意得到，解不等式即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解方程得， ， ，， 因为， ，即 所以m的取值范围是． 18. 某市将开展以“走进中国数学史”为主题的知识竞赛活动，红树林学校对本校100名参加选拔赛的同学的成绩按A，B，C，D四个等级进行统计，绘制成如下不完整的统计表和扇形统计图： 成绩等级 频数（人数） 频率 A 4 0.04 B m 0.51 C n D 合计 100 1 （1）求m=　 　，n=　 　； （2）在扇形统计图中，求“C等级”所对应心角的度数； （3）成绩等级为A的4名同学中有1名男生和3名女生，现从中随机挑选2名同学代表学校参加全市比赛，请用树状图法或者列表法求出恰好选中“1男1女”的概率． 【答案】（1）51，30；（2）C等级所对应扇形的圆心角度数为108°．（3）P（选中1名男生和1名女生）=． 【解析】 【详解】（1）m=0.51×100=51（人），D组人数=100×15%=15（人）， ∴n=100﹣4﹣51﹣15=30（人） 故答案为51，30； （2）C等级所对应扇形的圆心角度数为：360°×=108°； （3）列表如下： 男 女 女 女 男 ﹣﹣﹣ （女，男） （女，男） （女，男） 女 （男，女） ﹣﹣﹣ （女，女） （女，女） 女 （男，女） （女，女） ﹣﹣﹣ （女，女） 女 （男，女） （女，女） （女，女） ﹣﹣﹣ ∵共有12种等可能的结果，选中1名男生和1名女生结果的有6种． ∴P（选中1名男生和1名女生）=． 【点睛】本题考查了统计表、扇形统计图、列表法与树状图法求概率，从统计表和统计图中找到必要的信息是解题的关键．本题还用到了：概率=所求情况数与总情况数之比． 19. 开封电视塔位于黄河大街中段，是河南省第二座建成的电视塔，是市内最高建筑物，某数学活动预测量电视塔的高度，设计了如下的测量方案： 课题 测量电视塔的高度 实物图 测量工具 卷尺、测角仪… 测量示意图 说明： 表示电视塔，点C、E与点B在同一直线上，测角仪的高度 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 的度数 33.05° 32.95° 33° 的度数 45.07° 44.93° 45° D，F之间的距离 143.60m 143.40m 143.50m 参考数据 ，， … … 请帮助该小组的同学根据上表中测量数据的平均值，计算出电视塔的高度．（结果精确到0.1m） 【答案】268.0m 【解析】 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．由等腰三角形的判定证得，在 中，根据三角函数的定义得到，进而得到关于的方程，解方程求出即可得到结论． 【详解】解：由题意得，，，四边形为矩形． ， ， ， 在 中，，，， ， ， ， ． ， 答：电视塔的高度约为268.0m． 20. 灵宝苹果细脆多汁，酸甜爽口，深受大家喜爱．某水果批发商销售一批灵宝苹果，每箱苹果的成本是元，经过调查发现当每箱苹果的售价是元时，每天可售出箱．如果降价销售，每降价1元，每天可多售出箱． （1）若水果批发商某天销售灵宝苹果的利润为元，且使顾客得到最大优惠，求每箱灵宝苹果的售价； （2）这批灵宝苹果在市场一售而空，水果批发商又以同样的价格购进一批灵宝苹果，当每箱灵宝苹果的售价为多少元时，每天可以获得最大利润？最大利润为多少元？ 【答案】（1）元 （2）当售价为元时，每天可以获得最大利润，最大利润为元 【解析】 【分析】（1）设每箱灵宝苹果的售价为元，根据题意，得，计算求出满足要求的解即可； （2）设每箱灵宝苹果的售价为元，销售利润为元，依题意得，，然后根据二次函数的图象与性质求最值即可． 【小问1详解】 解：设每箱灵宝苹果的售价为元， 根据题意，得，整理得， 解得，， 要使顾客得到最大优惠，， ∴， 答：每箱灵宝苹果的售价为60元． 【小问2详解】 解：设每箱灵宝苹果的售价为元，销售利润为元， 依题意得，． ∵， 当时，有最大值，， 答：当每箱灵宝苹果的售价为元时，每天可以获得最大利润，最大利润为元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数的最值．熟练掌握一元二次方程的应用，二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数的最值是解题的关键． 21. 如图，抛物线经过点和点，与y轴交于点C，点P在直线下方的抛物线上，过点P作轴交于点Q，连接，，设点P的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式及点C的坐标； （2）求线段长度的最大值． 【答案】（1）抛物线的解析式为，； （2）长度的最大值是． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合运用，线段周长问题，求出函数解析式，利用数形结合的思想求解． （1）待定系数法求解析式，令，进而求得点的坐标； （2）由，两点的坐标可求得直线的解析式为．设，．得出，进而根据二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得，， 解得，， 抛物线的解析式为， 当时，， ； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 将点代入得，， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵轴，点的横坐标为， ，， ， ，， 当时，取最大值，最大值为． 长度的最大值是． 22. 从地面竖直向上发射的物体离地面的高度（单位： m）满足关系式，其中（s）是物体运动的时间，（）是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球． （1）小球被发射后_________s时离地面的高度最大（用含的式子表示）； （2）若小球离地面的最大高度为20 m，求小球被发射时的速度； （3）按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同，小明说“这两次间隔的时间为2 s”．已知实验楼高15 m，请判断他的说法是否正确，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 小明的说法正确． 理由如下： 由（2），得， 当时，， 解方程，得，， ∴两次间隔的时间为， ∴小明的说法正确． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用： （1）把函数解析式化成顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可； （2）把，代入求解即可； （3）由（2），得，把代入，求出t的值，即可作出判断. 【小问1详解】 解： ， ∴当时，h最大， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意，得 当时，， ∴， ∴（负值舍去）； 【小问3详解】 略 23. 如图，四边形和四边形均为正方形，点分则在，上，，分别为两正方形的对角线． （1）猜想∶图1中的值为_________； （2）探究：将正方形绕点旋转到图位置，连接，，判断的值是否保持不变？并说明理由． （3）延伸：若将正方形绕点旋转到图位置，其中三点在一条直线上，延长交边于点，若，，请直接写出正方形与正方形的边长． 【答案】（1） （2）的值不变，是定值 （3）正方形的边长为3，正方形的边长为 【解析】 【分析】（）设，，分别求出即可求解； （）的值保持不变．证明即可求证； （）证明得到，设，根据比例式可得，进而得到，由勾股定理得到，再由比例式可得，即可求出，进而可求出正方形的边长． 【小问1详解】 解：∵四边形和四边形均为正方形， ∴，，， 设，， 则，，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：的值保持不变，理由如下： ∵四边形和四边形均为正方形， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：同理（）可得， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 由得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴正方形的边长为，正方形的边长为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，掌握正方形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $