第2章 一元一次不等式与一元一次不等式组（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（深圳专用，北师大版）

第2章 一元一次不等式与一元一次不等式组 （B卷·培优卷） 考试时间：60分钟，满分：100分 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）如图，数轴上表示的解集是下列哪个不等式的解集（　　） A．12﹣6x＜0 B．12﹣6x≤0 C．12﹣6x＞0 D．12﹣6x≥0 2．（3分）若一个关于x的不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则这个不等式组可以是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）用数轴探究不等式组的解集，下面探究过程表示正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）某企业产品换代升级，决定购买10台新设备，现有A，B两种型号，A型每台12万元，B型每台10万元，经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元．则该企业的购买方案有（　　） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 5．（3分）定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]＝5，[5]＝5，[﹣π]＝﹣4，如果，则x的取值范围是（　　） A．5≤x＜7 B．5＜x＜7 C．5＜x≤7 D．5≤x≤7 6．（3分）若关于x的不等式组，有且只有3个整数解，且关于y的一元一次方程2y+6＝3a的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（　　） A．9 B．17 C．18 D．27 7．（3分）若a+b＝﹣2，且a≥2b，则（　　） A．有最小值 B．有最大值1 C．有最大值2 D．有最小值 8．（3分）若关于x，y的方程组的解满足x﹣y，则m的最小整数解为（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9．（3分）若﹣5a＜﹣5b，则a 　 　b．（填“＞”或“＜”）． 10．（3分）写出满足不等式组的一个整数解 　 　． 11．（3分）关于x，y的二元一次方程2y＝x+1的解满足x﹣y≤2，则x的最大值是 　 　． 12．（3分）关于x的不等式ax﹣b＞2b的解集是x＜1，则不等式bx﹣a＞2a的解集是 　 　． 13．（3分）根据图象，可得关于x的不等式kx＜﹣x+3的解集是 　 　． 三．解答题（共7小题，满分61分） 14．（5分）解一元一次不等式组：． 15． （7分）若a＜3，求关于x的不等式组①②的解集． 16．（8分）已知关于x的不等式组：． （1）若a＝1，求这个不等式组的解集； （2）若这个不等式组的整数解有2个，求a的取值范围． 17．（8分）（1）①如果a﹣b＜0，那么a　 　b；②如果a﹣b＝0，那么a　 　b； ③如果a﹣b＞0，那么a　 　b； （2）由（1）你能归纳出比较a与b大小的方法吗？请用文字语言叙述出来． （3）用（1）的方法你能否比较3x2﹣3x+7与4x2﹣3x+7的大小？如果能，请写出比较过程． 18．（9分）已知一次函数y1＝kx﹣2（k为常数，k≠0）和y2＝﹣2x+6． （1）当k＝﹣3时，若y1＞y2，求x的取值范围． （2）当x＜1时，y1＜y2．结合图象，直接写出k的取值范围． 19．（12分）为了开展全校学生阳光体育运动活动，增强学生身体素质，张老师所在的学校需要购买若干个足球和篮球．他曾三次在某商场购买过足球和篮球，其中有一次购买时，遇到商场打折销售，其余两次均按标价购买．三次购买足球和篮球的数量和费用如下表： 足球数量（个） 篮球数量（个） 总费用（元） 第一次 6 5 750 第二次 3 7 780 第三次 7 8 742 （1）张老师是第　 　次购买足球和篮球时，遇到商场打折销售的； （2）求足球和篮球的标价； （3）如果现在商场均以标价的6折对足球和篮球进行促销，张老师决定从该商场一次性购买足球和篮球50个，且总费用不能超过2200元，那么最多可以购买多少个篮球． 20．（12分）某学校为了改善办学条件，计划购置一批A型电脑和B型电脑．经投标发现，购买1台A型电脑比购买1台B型电脑贵500元；购买2台A型电脑和3台B型电脑共需13500元． （1）购买1台A型电脑和1台B型电脑各需多少元？ （2）根据学校实际情况，需购买A、B型电脑的总数为50台，购买A、B型电脑的总费用不超过145250元． ①请问A型电脑最多购买多少台？ ②从学校教师的实际需要出发，其中A型电脑购买的台数不少于B型电脑台数的3倍，该校共有几种购买方案？试写出所有的购买方案． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 一元一次不等式与一元一次不等式组 （B卷·培优卷） 考试时间：60分钟，满分：100分 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）如图，数轴上表示的解集是下列哪个不等式的解集（　　） A．12﹣6x＜0 B．12﹣6x≤0 C．12﹣6x＞0 D．12﹣6x≥0 【分析】先解每一个选项不等式，再根据利用数轴表示不等式的解集的方法判断即可． 【详解】解：A.12﹣6x＜0的解集为x＞2，不符合题意； B.12﹣6x≤0的解集为x≥2，不符合题意； C.12﹣6x＞0的解集为x＜2，不符合题意； D.12﹣6x≥0的解集为x≤2，符合题意； 故选：D． 2．（3分）若一个关于x的不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则这个不等式组可以是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据数轴信息可得结论． 【详解】解：这个不等式组可以是：． 故选：B． 3．（3分）用数轴探究不等式组的解集，下面探究过程表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可． 【详解】解：由x﹣3＜3x+1，解得x＞﹣2； 由，解得x≤3； 不等式组的解集是﹣2＜x≤3， 故选：A． 4．（3分）某企业产品换代升级，决定购买10台新设备，现有A，B两种型号，A型每台12万元，B型每台10万元，经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元．则该企业的购买方案有（　　） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【分析】设购买A型设备x台，则B型设备（10﹣x）台，根据“该企业购买设备的资金不高于105万元”，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：设购买A型设备x台，则B型设备（10﹣x）台， 由题意得：12x+10（10﹣x）≤105， 解得：x， ∵x为非负整数， ∴x＝0或x＝1或x＝2， ∴购买方案有3种， 故选：B． 5．（3分）定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]＝5，[5]＝5，[﹣π]＝﹣4，如果，则x的取值范围是（　　） A．5≤x＜7 B．5＜x＜7 C．5＜x≤7 D．5≤x≤7 【分析】根据题意可得：34，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： 34， ∴6≤x+1＜8， ∴5≤x＜7， 故选：A． 6．（3分）若关于x的不等式组，有且只有3个整数解，且关于y的一元一次方程2y+6＝3a的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（　　） A．9 B．17 C．18 D．27 【分析】根据关于x的不等式组，有且只有3个整数解，可以求得a的取值范围，再根据关于y的一元一次方程2y+6＝3a的解是正整数，可以得到a的值，然后即可求得所有满足条件的整数a的值之和． 【详解】解：， 解不等式①，得：x≤3， 解不等式②，得：x， ∵不等式组，有且只有3个整数解， ∴该不等式组的三个整数解为3，2，1， ∴01， 解得7.5≤a＜11， 由2y+6＝3a可得y， ∵关于y的一元一次方程2y+6＝3a的解是正整数， ∴a＝8或10， ∴所有满足条件的整数a的值之和为8+10＝18， 故选：C． 7．（3分）若a+b＝﹣2，且a≥2b，则（　　） A．有最小值 B．有最大值1 C．有最大值2 D．有最小值 【分析】由已知条件，根据不等式的性质求得b0和a；然后根据不等式的基本性质求得2 和当a＞0时，0；当a＜0时，；据此作出选择即可． 【详解】解：∵a+b＝﹣2， ∴a＝﹣b﹣2，b＝﹣2﹣a， 又∵a≥2b， ∴﹣b﹣2≥2b，a≥﹣4﹣2a， 移项，得 ﹣3b≥2，3a≥﹣4， 解得，b0（不等式的两边同时除以﹣3，不等号的方向发生改变），a； 由a≥2b，得 2 （不等式的两边同时除以负数b，不等号的方向发生改变）； A、当a＞0时，0，即的最小值不是，故本选项错误； B、当a＜0时，，有最小值是，无最大值；故本选项错误； C、有最大值2；故本选项正确； D、无最小值；故本选项错误． 故选：C． 8．（3分）若关于x，y的方程组的解满足x﹣y，则m的最小整数解为（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0 【分析】方程组中的两个方程相减得出x﹣y＝3m+2，根据已知得出不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解：， ①﹣②得：x﹣y＝3m+2， ∵关于x，y的方程组的解满足x﹣y， ∴3m+2， 解得：m， ∴m的最小整数解为﹣1， 故选：C． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9．（3分）若﹣5a＜﹣5b，则a 　＞　b．（填“＞”或“＜”）． 【分析】根据不等式的基本性质，即可求解． 【详解】解：﹣5a＜﹣5b， 在不等式两边同时除以﹣5，得：a＞b， 故答案为：＞． 10．（3分）写出满足不等式组的一个整数解 　﹣1（答案不唯一）　． 【分析】先解出一元一次不等式组的解集为﹣1≤x＜3，然后即可得出1个整数解． 【详解】解：∵， 由①得：x≥﹣1， 由②得：x＜3， ∴不等式组的解集为：﹣1≤x＜3， ∴不等式组的一个整数解为：﹣1； 故答案为：﹣1． 11．（3分）关于x，y的二元一次方程2y＝x+1的解满足x﹣y≤2，则x的最大值是 　5　． 【分析】根据2y＝x+1和x﹣y≤2，可得关于x的不等式x2，解不等式即可得出答案． 【详解】解：∵2y＝x+1， ∴y， ∵x﹣y≤2， ∴x2， 解得x≤5， ∴x的最大值是5． 故答案为：5． 12．（3分）关于x的不等式ax﹣b＞2b的解集是x＜1，则不等式bx﹣a＞2a的解集是 　x＜9　． 【分析】根据不等式的性质3，可得a、b的关系，根据不等式的性质3，可得答案． 【详解】解：ax﹣b＞2b的解集是x＜1， ∴a＜0，1， ∴a＝3b， ∴bx﹣a＞2a， x， ∴x＜9． 13．（3分）根据图象，可得关于x的不等式kx＜﹣x+3的解集是 　x＜1　． 【分析】先根据函数图象得出交点坐标，根据交点的坐标和图象即可得出答案． 【详解】解：根据图象可知：两函数图象的交点为（1，2）， 所以关于x的一元一次不等式kx＜﹣x+3的解集为x＜1， 故答案为：x＜1． 三．解答题（共7小题，满分61分） 14．（5分）解一元一次不等式组：． 【分析】根据解一元一次不等式组的步骤，对所给一元一次不等式组进行求解即可． 【详解】解：， 解不等式①得，x≤1， 解不等式②得，x＞﹣5， 所以不等式组的解集为：﹣5＜x≤1． 15．（7分）若a＜3，求关于x的不等式组①②的解集． 【分析】根据不等式组解集的口诀取法：同大取大，同小取小，大小小大取中，大大小小取空即可得到答案． 【详解】解：∵a＜3， ∴①的解集为：x＞3； ②的解集为空集，不等式组无解． 16．（8分）已知关于x的不等式组：． （1）若a＝1，求这个不等式组的解集； （2）若这个不等式组的整数解有2个，求a的取值范围． 【分析】（1）首先计算出两个不等式的解集，再根据a＝1，确定不等式组的解集即可； （2）根据两个不等式的解集，结合条件不等式组的整数解有2个，确定a的取值范围． 【详解】解：（1） 解不等式①，得x≤6﹣a， 解不等式②，得x＞﹣2， 当a＝1时，不等式组的解集是﹣2＜x≤5； （2）因为该不等式组的整数解有2个， 所以这两个整数解是﹣1，0， ∴0≤6﹣a＜1， ∴a的取值范围是5＜a≤6． 17．（8分）（1）①如果a﹣b＜0，那么a　＜　b；②如果a﹣b＝0，那么a　＝　b； ③如果a﹣b＞0，那么a　＞　b； （2）由（1）你能归纳出比较a与b大小的方法吗？请用文字语言叙述出来． （3）用（1）的方法你能否比较3x2﹣3x+7与4x2﹣3x+7的大小？如果能，请写出比较过程． 【分析】根据不等式的基本性质（1）即可解答． 【详解】解：（1）①＜②＝③＞ （2）比较a，b两数的大小，如果a与b的差大于0，则a大于b；a与b的差等于0，则a等于b；如果a与b的差小于0，则a小于b． （3）（3x2﹣3x+7）﹣（4x2﹣3x+7）＝﹣x2≤0，∴3x2﹣3x+7≤4x2﹣3x+7． 18．（9分）已知一次函数y1＝kx﹣2（k为常数，k≠0）和y2＝﹣2x+6． （1）当k＝﹣3时，若y1＞y2，求x的取值范围． （2）当x＜1时，y1＜y2．结合图象，直接写出k的取值范围． 【分析】（1）将k＝﹣3代入解析式然后求不等式． （2）把x＝1代入y2＝﹣2x+6求出交点坐标然后作图，通过观察图象求解． 【详解】解：（1）当k＝﹣3时，y1＝﹣3x﹣2，y2＝﹣2x+6． 当y1＞y2时，﹣3x﹣2＞﹣2x+6， 解得x＜﹣8． （2）由题意得，两直线交点横坐标为1， 把x＝1代入y2＝﹣2x+6得y＝4， 即交点坐标为（1，4）． 把（1，4）代入y1＝kx﹣2得k＝6， ∴y1＝6x﹣2． 如图， ∵y1过定点（0，﹣2）， ∴0＜k＜6满足条件． 当k＝﹣2时，直线y1与y2互相平行， ∴﹣2≤k＜0时也满足题意． 综上所述，﹣2≤k＜6且k≠0． 19．（12分）为了开展全校学生阳光体育运动活动，增强学生身体素质，张老师所在的学校需要购买若干个足球和篮球．他曾三次在某商场购买过足球和篮球，其中有一次购买时，遇到商场打折销售，其余两次均按标价购买．三次购买足球和篮球的数量和费用如下表： 足球数量（个） 篮球数量（个） 总费用（元） 第一次 6 5 750 第二次 3 7 780 第三次 7 8 742 （1）张老师是第　三　次购买足球和篮球时，遇到商场打折销售的； （2）求足球和篮球的标价； （3）如果现在商场均以标价的6折对足球和篮球进行促销，张老师决定从该商场一次性购买足球和篮球50个，且总费用不能超过2200元，那么最多可以购买多少个篮球． 【分析】（1）根据图表可得按打折价购买足球和篮球是第三次购买； （2）设足球的标价为x元，篮球的标价为y元，根据图表列出方程组求出x和y的值； （3）设购买a个篮球，根据从该商场一次性购买足球和篮球50个，且总费用不能超过2200元，列出不等式求解即可． 【详解】解：（1）张老师是第三次购买足球和篮球时，遇到商场打折销售． 理由：∵张老师在某商场购买足球和篮球共三次，只有一次购买时，足球和篮球同时打折，其余两次均按标价购买， 且只有第三次购买数量明显增多，但是总的费用不高， ∴按打折价购买足球和篮球是第三次购买； 故答案为：三； （2）设足球的标价为x元，篮球的标价为y元． 根据题意，得， 解得：． 答：足球的标价为50元，篮球的标价为90元； （3）设购买a个篮球，依题意有 0．6×50（50﹣a）+0.6×90a≤2200， 解得a≤29． 故最多可以买29个篮球． 20．（12分）某学校为了改善办学条件，计划购置一批A型电脑和B型电脑．经投标发现，购买1台A型电脑比购买1台B型电脑贵500元；购买2台A型电脑和3台B型电脑共需13500元． （1）购买1台A型电脑和1台B型电脑各需多少元？ （2）根据学校实际情况，需购买A、B型电脑的总数为50台，购买A、B型电脑的总费用不超过145250元． ①请问A型电脑最多购买多少台？ ②从学校教师的实际需要出发，其中A型电脑购买的台数不少于B型电脑台数的3倍，该校共有几种购买方案？试写出所有的购买方案． 【分析】（1）设购买1台A型电脑需要x元，购买1台B型电脑需要y元，根据“购买1台A型电脑比购买1台B型电脑贵500元；购买2台A型电脑和3台B型电脑共需13500元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）①设购买A型电脑m台，则购买B型电脑（50﹣m）台，根据总价＝单价×数量结合购买A、B型电脑的总费用不超过145250元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大整数即可得出结论； ②设购买A型电脑m台，则购买B型电脑（50﹣m）台，根据A型电脑购买的台数不少于B型电脑台数的3倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，结合①的结论即可找出各购买方案． 【详解】解：（1）设购买1台A型电脑需要x元，购买1台B型电脑需要y元， 根据题意得：， 解得：． 答：购买1台A型电脑需要3000元，购买1台B型电脑需要2500元． （2）①设购买A型电脑m台，则购买B型电脑（50﹣m）台， 根据题意得：3000m+2500（50﹣m）≤145250， 解得：m≤40.5， ∵m为整数， ∴m≤40． 答：A型电脑最多购买40台． ②设购买A型电脑m台，则购买B型电脑（50﹣m）台， 根据题意得：m≥3（50﹣m）， 解得：m≥37.5， ∵m为整数， ∴m≥38． ∴有3种购买方案，方案一：购买A型电脑38台，B型电脑12台；方案二：购买A型电脑39台，B型电脑11台；方案三：购买A型电脑40台，B型电脑10台． / 学科网（北京）股份有限公司 $$