第2章 相交线与平行线（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（深圳专用，北师大版2024）

第2章 相交线与平行线（A卷·提升卷） 考试时间：60分钟，满分：100分 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）如图，∠1和∠2是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）如图，固定木条b，c，使∠1＝85°，旋转木条a，要使得a∥b，则∠2应调整为（　　） A．85° B．90° C．95° D．100° 3．（3分）如图，直线a、b被直线c所截，且a∥b，若∠1＝58°，则∠2的度数为（　　） A．58° B．112° C．120° D．132° 4．（3分）如图，AB∥CD，EF⊥AB于点E，EF交CD于点F，EM交CD于点M，已知∠1＝57°，则∠2的度数为（　　） A．33° B．57° C．43° D．123° 5．（3分）如图，把一张对边互相平行的纸条折叠，EF是折痕，若∠EFB＝32°，则∠BFD′的度数为（　　） A．112° B．116° C．138° D．148° 6．（3分）如图，三条直线相交于点O．CO⊥AB，∠1＝54°，则∠2等于（　　） A．34° B．36° C．54° D．56° 7．（3分）如图，AB∥CD∥EF，AF∥CG，则图中与∠A（不包括∠A）相等的角有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 8．（3分）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC（∠ABC＝30°，∠BAC＝60°）按如图方式放置，点A、B分别落在直线m、n上．若∠1＝70°，则∠2的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9．（3分）∠A＝66°32′，∠A的余角是 　 　． 10．（3分）如图所示，易拉罐的上下底面互相平行，吸管吸易拉罐内的饮料时，∠1＝112°，则∠2＝ 　 　． 11．（3分）如图，已知在同一平面内，∠BOC＝90°，OD平分∠AOC，射线OE在∠BOC的内部，若∠AOC＝α（α＜90°），∠BOE＝2∠COE，则∠DOE的余角的度数为 　 　．（用含α的式子表示） 12．（3分）如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，BC＝10．点P为边BC上一动点，连接AP，则AP的最小值是 　 　． 13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝58°，点D，E分别在AB，AC上，将△ADE沿DE折叠得△FDE，且满足EF∥AB，则∠1＝　 　． 三．解答题（共7小题，满分61分） 14．（5分）一个锐角的度数为x°，且比它的余角的2倍小30°，求这个锐角的度数． 15．（7分）如图，已知AC∥ED，EB平分∠AED，∠1＝∠2，求证：AE∥BD． 16．（8分）如图，已知点O在直线AB上，射线OD平分∠BOC，过点O作OE⊥OD，G是射线OB上一点，连接DG，满足∠ODG+∠DOG＝90°． （1）求证：∠AOE＝∠ODG； （2）若∠ODG＝∠C，求证：CD∥OE． 17．（9分）请解答下列各题： （1）阅读并回答： 科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射．此时∠1＝∠2，∠3＝∠4． ①由条件可知：∠1＝∠3，依据是 　 　，∠2＝∠4，依据是 　 　． ②反射光线BC与EF平行，依据是 　 　． （2）解决问题： 如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b镜反射，若b射出的光线n平行于m，且∠1＝42°，则∠2＝　 　；∠3＝　 　． 18．（8分）如图所示是驱逐舰、巡洋舰两艘舰艇参与某次演练的情景，已知∠MAC＝120°，∠NBE＝60°． （1）已知驱逐舰在AC方向上航行，巡洋舰在BE方向上航行，假设在航行过程中各自航行方向保持不变，试判断这两艘舰艇会不会相撞？请说明理由； （2）已知驱逐舰到达点C后沿C﹣D继续航行，巡洋舰到达点E后沿E﹣F继续航行，且MN∥EF，∠ACD＝140°．若驱逐舰在原航向上向左转动α（0°＜α＜180°）后，才能与巡洋舰航向相同，求α的值． 19．（12分）如图，已知AB∥CD，AD∥BC，∠DCE＝90°，点E在线段AB上，∠FCG＝90°，点F在直线AD上，∠AHG＝90°． （1）找出图中与∠D相等的角，并说明理由； （2）若∠ECF＝25°，求∠BCD的度数； （3）在（2）的条件下，点C（点C不与B，H两点重合）从点B出发，沿射线BG的方向运动，其他条件不变，求∠BAF的度数． 20．（12分）点O在直线AB上，射线OC上的点C在直线AB上方，∠AOC＝4∠BOC． （1）如图1，求∠AOC的度数； （2）如图2，点D在直线AB上方，∠AOD与∠BOC互余，OE平分∠COD，求∠BOE的度数； （3）在（2）的条件下，点F，G在直线AB下方，OG平分∠FOB，若∠FOD与∠BOG互补，求∠EOF的度数． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 相交线与平行线（A卷·提升卷） 考试时间：60分钟，满分：100分 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）如图，∠1和∠2是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据对顶角的定义判断即可． 【详解】解：A、∠1和∠2是对顶角，符合题意； B、∠1和∠2不是对顶角，不符合题意； C、∠1和∠2不是对顶角，不符合题意； D、∠1和∠2不是对顶角，不符合题意； 故选：A． 2．（3分）如图，固定木条b，c，使∠1＝85°，旋转木条a，要使得a∥b，则∠2应调整为（　　） A．85° B．90° C．95° D．100° 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补即可． 【详解】解：∵a∥b， ∴∠1+∠2＝180°， ∵∠1＝85°， ∴∠2＝180°﹣85°＝95°， 故选：C． 3．（3分）如图，直线a、b被直线c所截，且a∥b，若∠1＝58°，则∠2的度数为（　　） A．58° B．112° C．120° D．132° 【分析】根据两直线平行同位角相等先求出∠3的度数，再根据邻补角求出结果． 【详解】解：如图， ∵a∥b， ∴∠1＝∠3＝58°， ∴∠2＝∠3＝58°． 故选：A． 4．（3分）如图，AB∥CD，EF⊥AB于点E，EF交CD于点F，EM交CD于点M，已知∠1＝57°，则∠2的度数为（　　） A．33° B．57° C．43° D．123° 【分析】由“两直线平行，同位角相等”得到∠3＝∠1＝57°，由垂直定义得到∠3+∠2＝90°，由此即可得解． 【详解】解：如图所示： ∵AB∥CD，∠1＝57°， ∴∠3＝∠1＝57°， ∵EF⊥AB， ∴∠AEF＝∠3+∠2＝90°， ∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣57°＝33°． 故选：A． 5．（3分）如图，把一张对边互相平行的纸条折叠，EF是折痕，若∠EFB＝32°，则∠BFD′的度数为（　　） A．112° B．116° C．138° D．148° 【分析】先求解∠EFD＝180°﹣∠BFE＝148°，可得∠EFD′＝∠EFD＝148°，再结合角的和差可得答案． 【详解】解：∵∠EFB＝32°， ∴∠EFD＝180°﹣∠BFE＝148°， ∴∠EFD′＝∠EFD＝148°， ∴∠BFD′＝∠EFD′﹣∠BFE＝148°﹣32°＝116°， 故选：B． 6．（3分）如图，三条直线相交于点O．CO⊥AB，∠1＝54°，则∠2等于（　　） A．34° B．36° C．54° D．56° 【分析】根据垂线的定义求出∠3，然后利用对顶角相等解答． 【详解】解：如图所示： ∵CO⊥AB，∠1＝54°， ∴∠3＝90°﹣∠1＝90°﹣54°＝36°， ∴∠2＝∠3＝36°． 故选：B． 7．（3分）如图，AB∥CD∥EF，AF∥CG，则图中与∠A（不包括∠A）相等的角有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【分析】由平行线的性质，可知与∠A相等的角有∠ADC、∠AFE、∠EGC、∠GCD． 【详解】解：∵AB∥CD，∴∠A＝∠ADC； ∵AB∥EF，∴∠A＝∠AFE； ∵AF∥CG，∴∠EGC＝∠AFE＝∠A； ∵CD∥EF，∴∠EGC＝∠DCG＝∠A； 所以与∠A相等的角有∠ADC、∠AFE、∠EGC、∠GCD四个，故选B． 8．（3分）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC（∠ABC＝30°，∠BAC＝60°）按如图方式放置，点A、B分别落在直线m、n上．若∠1＝70°，则∠2的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【分析】根据平行线的性质求得∠ABD，再根据角的和差关系求得结果． 【详解】解：∵m∥n，∠1＝70°， ∴∠1＝∠ABD＝70°， ∵∠ABC＝30°， ∴∠2＝∠ABD﹣∠ABC＝40°， 故选：A． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9．（3分）∠A＝66°32′，∠A的余角是 　23°28′　． 【分析】根据和为90°的两个角互为余角计算即可． 【详解】解：∠A＝66°32′，则∠A的余角是90°﹣66°32′＝23°28′． 故答案为：23°28′． 10．（3分）如图所示，易拉罐的上下底面互相平行，吸管吸易拉罐内的饮料时，∠1＝112°，则∠2＝ 　68°　． 【分析】先根据对顶角相等求出∠1的对顶角，再根据两直线平行，同旁内角互补求解即可． 【详解】解：如图， ∵∠1＝112°， ∴∠3＝∠1＝112°， ∵易拉罐的上下底面互相平行， ∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣112°＝68°． 故答案为：68°． 11．（3分）如图，已知在同一平面内，∠BOC＝90°，OD平分∠AOC，射线OE在∠BOC的内部，若∠AOC＝α（α＜90°），∠BOE＝2∠COE，则∠DOE的余角的度数为 　60°　．（用含α的式子表示） 【分析】利用余角和补角的定义，角平分线的定义列式计算． 【详解】解：∵∠BOC＝90°，∠BOE＝2∠COE， ∴∠COE∠BOC＝30°， ∵OD平分∠AOC，∠AOC＝α（α＜90°）， ∴∠DOC＝∠AOD∠AOCα， ∴∠DOE＝∠COE+∠DOC＝30°α， ∴∠DOE的余角的度数为90°﹣30°60°． 故答案为：60°． 12．（3分）如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，BC＝10．点P为边BC上一动点，连接AP，则AP的最小值是 　　． 【分析】依据垂线段最短，即可得到当AP⊥BC时，AP最短．根据面积法求得垂线段AP的长即可． 【详解】解：如图所示，当AP⊥BC时，AP最短， ∵， ∴， ∴AP的最小值是． 故答案为：． 13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝58°，点D，E分别在AB，AC上，将△ADE沿DE折叠得△FDE，且满足EF∥AB，则∠1＝　74°　． 【分析】先求出∠A＝32°，根据折叠的性质得∠1＝∠FED，再根据EF∥AB得∠CEF＝∠A＝32°，然后根据平角的定义得∠CEF+∠FED+∠1＝180°，据此可得∠1的度数． 【详解】解：在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝58°， ∴∠A＝180°﹣（∠C+∠B）＝180°﹣（90°+58°）＝32°， 由折叠的性质得：∠1＝∠FED， ∵EF∥AB， ∴∠CEF＝∠A＝32°， ∵∠CEF+∠FED+∠1＝180°， ∴32°+2∠1＝180°， ∴∠1＝74°． 故答案为：74°． 三．解答题（共7小题，满分61分） 14．（5分）一个锐角的度数为x°，且比它的余角的2倍小30°，求这个锐角的度数． 【分析】先求出这个角的余角，然后根据这个角的余角的2倍比这个角大30°，列出方程，求出答案即可． 【详解】解：这个锐角的度数为x°，则它的余角的度数为：90°﹣x°，由题意得： 2（90﹣x）﹣x＝30， 180﹣2x﹣x＝30， 3x＝150， x＝50， ∴这个锐角的度数为50°． 15．（7分）如图，已知AC∥ED，EB平分∠AED，∠1＝∠2，求证：AE∥BD． 【分析】要证明AE∥BD，需证∠2＝∠3，由角平分线的性质结合已知进行角的转化即可． 【详解】解：∵AC∥ED， ∴∠1＝∠4； ∵∠1＝∠2， ∴∠2＝∠4； 又∵EB平分∠AED， ∴∠3＝∠4； ∴∠2＝∠3， ∴AE∥BD． 16．（8分）如图，已知点O在直线AB上，射线OD平分∠BOC，过点O作OE⊥OD，G是射线OB上一点，连接DG，满足∠ODG+∠DOG＝90°． （1）求证：∠AOE＝∠ODG； （2）若∠ODG＝∠C，求证：CD∥OE． 【分析】（1）由垂线的定义得出∠DOE＝90°，结合平角的定义得出∠AOE+∠DOG＝90°，结合∠ODG+∠DOG＝90°即可得证； （2）由角平分线的定义得出∠DOG＝∠COD，由垂线的定义得出∠DOE＝90°即∠COE+∠COD＝90°，结合∠ODG+∠DOG＝90°得出∠ODG＝∠COE，从而得出∠C＝∠COE，即可得证． 【详解】证明：（1）∵OE⊥OD， ∴∠DOE＝90°， ∵∠DOE+∠AOE+∠DOG＝180°， ∴∠AOE+∠DOG＝90°， ∵DG⊥AB， ∴∠ODG+∠DOG＝90°， ∴∠AOE＝∠ODG； （2）∵OD平分∠BOC， ∴∠DOG＝∠COD∠BOC， ∵OE⊥OD， ∴∠DOE＝90°， ∴∠COE+∠COD＝90°， 由（1）知，∠ODG+∠DOG＝90°， ∴∠ODG＝∠COE， ∵∠ODG＝∠C， ∴∠C＝∠COE， ∴CD∥OE． 17．（9分）请解答下列各题： （1）阅读并回答： 科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射．此时∠1＝∠2，∠3＝∠4． ①由条件可知：∠1＝∠3，依据是 　两直线平行，同位角相等　，∠2＝∠4，依据是 　等量代换　． ②反射光线BC与EF平行，依据是 　同位角相等，两直线平行　． （2）解决问题： 如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b镜反射，若b射出的光线n平行于m，且∠1＝42°，则∠2＝　84°　；∠3＝　90°　． 【分析】（1）根据平行线的判定与性质逐一求解可得； （2）根据入射角等于反射角得出∠1＝∠4，∠5＝∠7，求出∠6，根据平行线性质即可求出∠2，求出∠5，根据三角形内角和求出∠3即可． 【详解】解：（1）①由条件可知：∠1＝∠3，依据是：两直线平行，同位角相等；∠2＝∠4，依据是：等量代换； ②反射光线BC与EF平行，依据是：同位角相等，两直线平行； 故答案为：①两直线平行，同位角相等；等量代换．②同位角相等，两直线平行． （2）如图， ∵∠1＝42°， ∴∠4＝∠1＝42°， ∴∠6＝180°﹣42°﹣42°＝96°， ∵m∥n， ∴∠2+∠6＝180°， ∴∠2＝84°， ∴∠5＝∠7， ∴∠3＝180°﹣48°﹣42°＝90°． 故答案为：84°，90°． 18．（8分）如图所示是驱逐舰、巡洋舰两艘舰艇参与某次演练的情景，已知∠MAC＝120°，∠NBE＝60°． （1）已知驱逐舰在AC方向上航行，巡洋舰在BE方向上航行，假设在航行过程中各自航行方向保持不变，试判断这两艘舰艇会不会相撞？请说明理由； （2）已知驱逐舰到达点C后沿C﹣D继续航行，巡洋舰到达点E后沿E﹣F继续航行，且MN∥EF，∠ACD＝140°．若驱逐舰在原航向上向左转动α（0°＜α＜180°）后，才能与巡洋舰航向相同，求α的值． 【分析】（1）根据平行线的判定证明AC∥BE，利用平行线的定义判断即可； （2）判断出若与巡洋舰航向相同，则EF∥CG，利用平行公理得到CG∥MN，求出∠ACG，即可求出α的值． 【详解】解：（1）不会，理由是： ∵∠MAC＝120°， ∴∠CAN＝60°， ∵∠NBE＝60°， ∴∠CAN＝∠NBE， ∴AC∥BE， ∴这两艘舰艇不会相撞； （2）如图，若要驱逐舰与巡洋舰航向相同， 则EF∥CG， ∵MN∥EF， ∴CG∥MN， ∴∠ACG＝∠MAC＝120°， ∵∠ACD＝140°， ∴α＝∠ACD﹣∠ACG＝20°． 19．（12分）如图，已知AB∥CD，AD∥BC，∠DCE＝90°，点E在线段AB上，∠FCG＝90°，点F在直线AD上，∠AHG＝90°． （1）找出图中与∠D相等的角，并说明理由； （2）若∠ECF＝25°，求∠BCD的度数； （3）在（2）的条件下，点C（点C不与B，H两点重合）从点B出发，沿射线BG的方向运动，其他条件不变，求∠BAF的度数． 【分析】（1）根据同角的余角相等以及平行线的性质，即可得到与∠D相等的角； （2）根据∠ECF＝25°，∠DCE＝90°，可得∠FCD＝65°，再根据∠BCF＝90°，即可得到∠BCD＝65°+90°＝155°； （3）分两种情况讨论：当点C在线段BH上；点C在BH延长线上，根据平行线的性质，即可得到∠BAF的度数为60°或120°． 【详解】解：（1）与∠D相等的角为∠DCG，∠ECF，∠B，∠AME，∠CMH，理由如下： 如图， ∵AD∥BC， ∴∠D＝∠DCG， ∵∠FCG＝90°，∠DCE＝90°， ∴∠ECF＝∠DCG， ∴∠D＝∠ECF， ∵AB∥DC， ∴∠DCG＝∠B， ∴∠B＝∠D， ∵∠FCG＝90°，∠AHC＝90°， ∴∠HCM+∠CMH＝90°，∠HCM+∠FCM＝90°， ∴∠CMH＝∠FCM， ∴∠CMH＝∠D， ∵∠AME＝∠CMH， ∴∠AME＝∠D， ∴与∠D相等的角为∠DCG，∠ECF，∠B，∠AME，∠CMH； （2）∵∠ECF＝25°，∠DCE＝90°， ∴∠FCD＝65°， 又∵∠BCF＝90°， ∴∠BCD＝65°+90°＝155°； （3）如图，当点C在线段BH上时，点F在DA延长线上， ∠ECF＝∠DCG＝∠B＝25°， ∵AD∥BC， ∴∠BAF＝∠B＝25°； 如图，当点C在BH延长线上时，点F在线段AD上， ∵∠B＝25°，AD∥BC， ∴∠BAF＝180°﹣25°＝155°． 综上所述，∠BAF的度数为25°或155°． 20．（12分）点O在直线AB上，射线OC上的点C在直线AB上方，∠AOC＝4∠BOC． （1）如图1，求∠AOC的度数； （2）如图2，点D在直线AB上方，∠AOD与∠BOC互余，OE平分∠COD，求∠BOE的度数； （3）在（2）的条件下，点F，G在直线AB下方，OG平分∠FOB，若∠FOD与∠BOG互补，求∠EOF的度数． 【分析】（1）设∠BOC＝α，则∠AOC＝4α，根据已知条件列方程即可得到结论； （2）由余角的定义得到∠AOD＝90°﹣∠BOC＝90°﹣36°＝54°，根据角平分线的定义得到∠COE90°＝45°，于是得到结论； （3）①根据角平分线的定义得到∠FOG＝∠BOG，设∠BOG＝x°，∠BOF＝2x°，∠BOD＝∠DOC+∠BOC＝36°+90°＝126°，根据比较的定义列方程即可得到结论；②根据角平分线的定义得到∠FOG＝∠BOG，推出D，O，G共线，根据角的和差即可得到结论． 【详解】解：（1）设∠BOC＝α，则∠AOC＝4α， ∵∠BOC+∠AOC＝180°， ∴α+4α＝180°， ∴α＝36°， ∴∠AOC＝144°； （2）∵∠AOD与∠BOC互余， ∴∠AOD＝90°﹣∠BOC＝90°﹣36°＝54°， ∴∠COD＝180°﹣∠AOD﹣∠BOC＝180°﹣54°﹣36°＝90°， ∵OE平分∠COD， ∴∠COE90°＝45°， ∴∠BOE＝∠COE+∠BOC＝45°+36°＝81°， （3）①如图1，∵OG平分∠FOB， ∴∠FOG＝∠BOG， ∵∠FOD与∠BOG互补， ∴∠FOD+∠BOG＝180°， 设∠BOG＝x°，∠BOF＝2x°，∠BOD＝∠DOC+∠BOC＝36°+90°＝126°， ∵∠FOD＝∠BOD+∠BOF， ∴126+2x+x＝180， 解得：x＝18， ∴∠EOF＝∠BOE+∠BOF＝81°+2×18°＝117°； ②如图2，∵OG平分∠FOB， ∴∠FOG＝∠BOG， ∵∠FOD与∠BOG互补， ∴∠FOD+∠BOG＝180°， ∴∠FOD+∠FOG＝180°， ∴D，O，G共线， ∴∠BOG＝∠AOD＝54°， ∴∠AOF＝180°﹣∠BOF＝72°， ∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝180°﹣81°＝99°， ∴∠EOF＝∠AOF+∠AOE＝72°+99°＝171°． / 学科网（北京）股份有限公司 $$