第1章 整式的乘除（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（深圳专用，北师大版2024）

第1章 整式的乘除（B卷·培优卷） 考试时间：60分钟，满分：100分 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）的计算结果是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）“白日不到处，青春恰自来；苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值．苔花也被称为“坚韧之花”．袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的苍蒴，某孢子体的苍蒴直径约为0.0000086m，将数据0.0000086用科学记数法表示为8.6×10n，则n的值是（　　） A．6 B．﹣7 C．﹣5 D．﹣6 3．（3分）下面是某同学的作业题：①4m3n﹣5mn3＝﹣m3n；②3x3•（﹣2x2）＝﹣6x5；③4a3b÷（﹣2a2b）＝﹣2a；④（a3）2＝a5；⑤（﹣a）3÷（﹣a）＝﹣a2．其中正确的个数是（　　）个． A．2 B．3 C．4 D．5 4．（3分）若a＝﹣0.22，b＝﹣2﹣2，c＝（）﹣2，d＝（）0，则（　　） A．a＜b＜c＜d B．a＜b＜d＜c C．c＜a＜d＜b D．b＜a＜d＜c 5．（3分）如图，长宽分别为a、b的长方形周长为16，面积为12，则a（a+b）（a﹣b）﹣a（a+b）2的值为（　　） A．193 B．﹣192 C．384 D．﹣384 6．（3分）已知a，b均为正整数，且2a﹣b＝3，则16a÷4b＝（　　） A．4 B．8 C．16 D．64 7．（3分）若2a＝3，2b＝4，则2a+b等于（　　） A．7 B．12 C．48 D．32 8．（3分）已知a+2b﹣3＝0，则3a•32b＝（　　） A．24 B．27 C．54 D．81 二．填空题（共5小题） 9．已知：x2+kx+9是完全平方式，则k＝　 　． 10．已知（x﹣2）（x2+mx）的乘积项中不含x2项，则m＝　 　． 11．已知4y2﹣（m﹣1）y+9是完全平方式，则m＝　 　． 12．已知关于x的多项式x2+mx+9是一个完全平方式，则常数m的值为 　 　． 13．若（2024﹣x）（x﹣2021）+10＝0，则4045﹣2x的值为 　 　． 三．解答题（共7小题，满分40分） 14．（5分）已知：27x+1﹣33x＝234，求x的值． 15．（7分）先化简，再求值：[（3x+y）2+y（x﹣10y）﹣（x+3y）（x﹣3y）]÷2x，其中x＝1，y＝﹣2． 16．（8分）计算： （1）3（x﹣y）2﹣（2x+y）（﹣y+2x）； （2）[a（a2b2﹣ab）﹣b（a2﹣a3b）]+3a3b． 17．（5分）化简：（2x﹣1）2﹣（2x+5）（2x﹣5） 以下是小明的解题过程：（2x﹣1）2﹣（2x+5）（2x﹣5） ＝4x2﹣1﹣（4x2﹣25）…第一步 ＝4x2﹣1﹣4x2+25…第二步 ＝24…第三步 老师看到后，说小明做错了． （1）请问：小明错在第 　 　步； （2）请写出正确的解题过程，并计算当x＝5时原式的值． 18．（5分）对于任意四个有理数a、b、c、d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d），我们规定：（a，b）*（c，d）＝a2+c2﹣bd．例如：（1，2）*（3，4）＝12+32﹣2×4＝2． （1）求（﹣3，2）*（2，﹣1）的值； （2）若（x，kx）*（3y，﹣y）是一个完全平方式，则k＝　 　； （3）若2x+y＝10，且（3x+y，2x2+3y2）*（x﹣3y，3）＝80，求xy的值． 19．（5分）我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题． 在数学活动课上，胡老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形． （1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式 　 　； （2）运用（1）中的等式解决下列问题． ①已知a2+b2＝10，a+b＝4，求ab的值； ②已知（2025﹣c）（c﹣2023）＝﹣2024，求（2025﹣c）2+（c﹣2023）2的值． 20．（5分）阅读下列材料：若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（9﹣x）2+（x﹣4）2的值． 解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5． ∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17． 请仿照上面“巧妙换元，化繁为简”的思路与方法，解答下列问题： （1）若x满足（7﹣x）（x﹣2）＝2，求（7﹣x）2+（x﹣2）2的值； （2）若x满足（9+x）（2+x）＝4，求（9+x）2+（2+x）2的值； （3）如图，正方形ABCD的边长为x，点E、F分别在AD、DC上，且AE＝2，CF＝5，分别以MF、DF为边作正方形．若长方形EMFD的面积是18，求阴影部分的面积S． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 整式的乘除（B卷·培优卷） 考试时间：60分钟，满分：100分 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）的计算结果是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可． 【详解】解： ＝（）2023×（）2024 ＝（）2023 ＝（﹣1）2023 ＝﹣1 ． 故选：D． 2．（3分）“白日不到处，青春恰自来；苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值．苔花也被称为“坚韧之花”．袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的苍蒴，某孢子体的苍蒴直径约为0.0000086m，将数据0.0000086用科学记数法表示为8.6×10n，则n的值是（　　） A．6 B．﹣7 C．﹣5 D．﹣6 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：∵0.0000086＝8.6×10﹣6， ∴n等于﹣6． 故选：D． 3．（3分）下面是某同学的作业题：①4m3n﹣5mn3＝﹣m3n；②3x3•（﹣2x2）＝﹣6x5；③4a3b÷（﹣2a2b）＝﹣2a；④（a3）2＝a5；⑤（﹣a）3÷（﹣a）＝﹣a2．其中正确的个数是（　　）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据合并同类项运算法则判断①，根据单项式乘单项式的运算法则判断②，根据单项式除以单项式的运算法则判断③，根据幂的乘方运算法则判断④，根据同底数幂的除法运算法则判断⑤． 【详解】解：①两者不是同类项，不能合并计算，故①不符合题意； ②3x3•（﹣2x2）＝﹣6x5，原计算正确，故②符合题意； ③4a3b÷（﹣2a2b）＝﹣2a，原计算正确，故③符合题意； ④计算结果是a6，故④不符合题意； ⑤（﹣a）3÷（﹣a）＝（﹣a）2＝a2，故⑤不符合题意； 正确的是②③，共2个． 故选：A． 4．（3分）若a＝﹣0.22，b＝﹣2﹣2，c＝（）﹣2，d＝（）0，则（　　） A．a＜b＜c＜d B．a＜b＜d＜c C．c＜a＜d＜b D．b＜a＜d＜c 【分析】直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质分别化简得出答案． 【详解】解：∵a＝﹣0.22＝﹣0.04，b＝﹣2﹣2，c＝（）﹣2＝4，d＝（）0＝1， ∴b＜a＜d＜c． 故选：D． 5．（3分）如图，长宽分别为a、b的长方形周长为16，面积为12，则a（a+b）（a﹣b）﹣a（a+b）2的值为（　　） A．193 B．﹣192 C．384 D．﹣384 【分析】根据题意得出a+b＝8，ab＝12，然后将整式因式分解化简整体代入求解即可 【详解】解：由条件可知，ab＝12， 则a（a+b）（a﹣b）﹣a（a+b）2 ＝a（a+b）[（a﹣b）﹣（a+b）] ＝a（a+b）（﹣2b） ＝﹣2ab（a+b） ＝﹣2×12×8 ＝﹣192． 故选：B． 6．（3分）已知a，b均为正整数，且2a﹣b＝3，则16a÷4b＝（　　） A．4 B．8 C．16 D．64 【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：∵2a﹣b＝3， ∴16a÷4b＝42a÷4b＝42a﹣b＝43＝64， 故选：D． 7．（3分）若2a＝3，2b＝4，则2a+b等于（　　） A．7 B．12 C．48 D．32 【分析】根据同底数幂的乘法法则进行解题即可． 【详解】解：2a+b＝2a×2b＝3×4＝12． 故选：B． 8．（3分）已知a+2b﹣3＝0，则3a•32b＝（　　） A．24 B．27 C．54 D．81 【分析】先求得a+2b＝3，进而根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加即可求得答案． 【详解】解：∵a+2b﹣3＝0， ∴a+2b＝3， ∴3a•32b＝3a+2b＝33＝27． 故选：B． 二．填空题（共5小题） 9．已知：x2+kx+9是完全平方式，则k＝　±6　． 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值． 【详解】解：∵x2+kx+9是完全平方公式， ∴k＝±6． 故答案为：±6． 10．已知（x﹣2）（x2+mx）的乘积项中不含x2项，则m＝　2　． 【分析】利用多项式乘多项式的法则对式子进行运算，再结合条件求解即可． 【详解】解：（x﹣2）（x2+mx） ＝x3+mx2﹣2x2﹣2mx ＝x3+（m﹣2）x2﹣2mx， ∵乘积项中不含x2项， ∴m﹣2＝0， 解得：m＝2． 故答案为：2． 11．已知4y2﹣（m﹣1）y+9是完全平方式，则m＝　13或﹣11　． 【分析】根据完全平方公式a2+b2±2ab＝（a±b）2，可得﹣（m﹣1）＝2×2×3或﹣（m﹣1）＝2×2×（﹣3），求出m的值即可． 【详解】解：∵4y2﹣（m﹣1）y+9是完全平方式， ∴﹣（m﹣1）＝2×2×3或﹣（m﹣1）＝2×2×（﹣3）， 解得m＝13或﹣11， 故答案为：13或﹣11． 12．已知关于x的多项式x2+mx+9是一个完全平方式，则常数m的值为 　±6　． 【分析】根据完全平方式的定义解决此题． 【详解】解：∵x2±6x+9是完全平方式， ∴m＝±6． 故答案为：±6． 13．若（2024﹣x）（x﹣2021）+10＝0，则4045﹣2x的值为 　±7　． 【分析】设a＝2024﹣x，b＝x﹣2021，则ab＝﹣10，a+b＝3，那么4045﹣2x＝2024﹣x﹣（x﹣2021）＝a﹣b，利用完全平方公式计算即可． 【详解】解：设a＝2024﹣x，b＝x﹣2021， 则ab+10＝0，a+b＝3， 即ab＝﹣10， 那么（a﹣b）2 ＝（a+b）2﹣4ab ＝32﹣4×（﹣10） ＝49， ∴4045﹣2x ＝2024﹣x﹣（x﹣2021） ＝a﹣b ＝±7， 故答案为：±7． 三．解答题（共7小题，满分40分） 14．（5分）已知：27x+1﹣33x＝234，求x的值． 【分析】先根据幂的乘方的逆运算把原式变形为27x+1﹣27x＝234，进而根据同底数幂乘法的逆运算法则得到26×27x＝234，进一步变形得到33x＝32，则3x＝2，解得． 【详解】解：∵27x+1﹣33x＝234， ∴27x+1﹣（33）x＝234， ∴27x+1﹣27x＝234， ∴27×27x﹣27x＝234 ∴26×27x＝234， ∴27x＝9， ∴（33）x＝32， ∴33x＝32， ∴3x＝2， ∴． 15．（7分）先化简，再求值：[（3x+y）2+y（x﹣10y）﹣（x+3y）（x﹣3y）]÷2x，其中x＝1，y＝﹣2． 【分析】先算括号内的乘法．合并同类项，算除法，最后代入求出即可． 【详解】解：[（3x+y）2+y（x﹣10y）﹣（x+3y）（x﹣3y）]÷2x ＝（9x2+6xy+y2+xy﹣10y2﹣x2+9y2）÷2x ＝（8x2+7xy）÷2x ＝4xy， 当x＝1，y＝﹣2时，原式＝4×1（﹣2）＝﹣3． 16．（8分）计算： （1）3（x﹣y）2﹣（2x+y）（﹣y+2x）； （2）[a（a2b2﹣ab）﹣b（a2﹣a3b）]+3a3b． 【分析】（1）原式利用完全平方公式，以及多项式乘多项式的法则计算，再合并同类项即可； （2）利用单项式乘多项式的法则计算，再合并同类项即可． 【详解】解：（1）3（x﹣y）2﹣（2x+y）（﹣y+2x） ＝3x2﹣6xy+3y2+2xy﹣4x2+y2﹣2xy ＝﹣x2﹣6xy+4y2． （2）[a（a2b2﹣ab）﹣b（a2﹣a3b）]+3a3b ＝a3b2﹣a2b﹣a2b+a3b2+3a3b ＝2a3b2﹣2a2b+3a3b． 17．（5分）化简：（2x﹣1）2﹣（2x+5）（2x﹣5） 以下是小明的解题过程：（2x﹣1）2﹣（2x+5）（2x﹣5） ＝4x2﹣1﹣（4x2﹣25）…第一步 ＝4x2﹣1﹣4x2+25…第二步 ＝24…第三步 老师看到后，说小明做错了． （1）请问：小明错在第 　一　步； （2）请写出正确的解题过程，并计算当x＝5时原式的值． 【分析】（1）观察解题过程，发现小明错在第一步，正确的是（2x﹣1）2＝4x2﹣4x+1，据此即可作答； （2）先根据完全平方公式，平方差公式进行展开，再去括号，合并同类项，即可作答． 【详解】解：（1）根据题意可知，小明错在第一步，这个（2x﹣1）2展开为4x2﹣4x+1． 故答案为：一； （2）原式＝4x2﹣4x+1﹣（4x2﹣25） ＝4x2﹣4x+1﹣4x2+25 ＝﹣4x+26， 当x＝5时， ﹣4x+26＝﹣20+26＝6． 18．（5分）对于任意四个有理数a、b、c、d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d），我们规定：（a，b）*（c，d）＝a2+c2﹣bd．例如：（1，2）*（3，4）＝12+32﹣2×4＝2． （1）求（﹣3，2）*（2，﹣1）的值； （2）若（x，kx）*（3y，﹣y）是一个完全平方式，则k＝　±6　； （3）若2x+y＝10，且（3x+y，2x2+3y2）*（x﹣3y，3）＝80，求xy的值． 【分析】（1）由新定义的运算进行计算即可； （2）根据新定义运算以及完全平方式的结构特征即可得到k的值； （3）根据新定义的运算方法可得4x2+y2＝80，变形为（2x+y）2﹣4xy＝80，将2x+y＝10代入计算即可． 【详解】解：（1）（﹣3，2）*（2，﹣1） ＝（﹣3）2+22﹣2×（﹣1） ＝9+4+2 ＝15； （2）（x，kx）*（3y，﹣y） ＝x2+（3y）2+kxy ＝x2+9y2+kxy， 由于结果是一个完全平方式， ∴k＝±6， 故答案为：±6； （3）∵（3x+y，2x2+3y2）*（x﹣3y，3）＝80， ∴（3x+y）2+（x﹣3y）2﹣3（2x2+3y2）＝80， 即9x2+6xy+y2+x2﹣6xy+9y2﹣6x2﹣9y2＝80， ∴4x2+y2＝80， ∴（2x+y）2﹣4xy＝80， 当2x+y＝10时， 即100﹣4xy＝80， ∴xy＝5． 19．（5分）我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题． 在数学活动课上，胡老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形． （1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式 　x2+y2＝（x+y）2﹣2xy；　； （2）运用（1）中的等式解决下列问题． ①已知a2+b2＝10，a+b＝4，求ab的值； ②已知（2025﹣c）（c﹣2023）＝﹣2024，求（2025﹣c）2+（c﹣2023）2的值． 【分析】（1）利用面积法进行计算，即可解答； （2）①利用（1）的结论可得：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，然后进行计算即可解答； ②设2025﹣c＝a，c﹣2023＝b，则a+b＝2，ab＝﹣2024，然后利用（1）的结论进行计算即可解答． 【详解】解：（1）由题意得：阴影部分的面积＝x2+y2＝（x+y）2﹣2xy， 故答案为：x2+y2＝（x+y）2﹣2xy； （2）①由（1）可得：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab， ∵a2+b2＝10，a+b＝4， ∴10＝16﹣2ab， 解得：ab＝3； ②设2025﹣c＝a，c﹣2023＝b， ∴a+b＝2025﹣c+c﹣2023＝2， ∵（2025﹣c）（c﹣2023）＝﹣2024， ∴ab＝﹣2024， ∵（2025﹣c）2+（c﹣2023）2＝a2+b2 ＝（a+b）2﹣2ab ＝4﹣2×（﹣2024） ＝4+4048 ＝4052． 20．（5分）阅读下列材料：若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（9﹣x）2+（x﹣4）2的值． 解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5． ∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17． 请仿照上面“巧妙换元，化繁为简”的思路与方法，解答下列问题： （1）若x满足（7﹣x）（x﹣2）＝2，求（7﹣x）2+（x﹣2）2的值； （2）若x满足（9+x）（2+x）＝4，求（9+x）2+（2+x）2的值； （3）如图，正方形ABCD的边长为x，点E、F分别在AD、DC上，且AE＝2，CF＝5，分别以MF、DF为边作正方形．若长方形EMFD的面积是18，求阴影部分的面积S． 【分析】（1）设7﹣x＝a，x﹣2＝b，根据完全平方公式计算； （2）设9+x＝a，2+x＝b，根据完全平方公式计算； （3）根据题意用x表示出DF、NR，根据长方形的面积公式用x表示出长方形EMFD的面积，再根据完全平方公式、平方差公式计算即可． 【详解】解：（1）设7﹣x＝a，x﹣2＝b， 则ab＝2，a+b＝（7﹣x）+（x﹣2）＝5， ∴（7﹣x）2+（x﹣2）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×2＝21； （2）设9+x＝a，2+x＝b， 则ab＝4，a﹣b＝（9+x）﹣（2+x）＝7， ∴（9+x）2+（2+x）2＝a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝72+2×4＝57； （3）由题意得：DF＝CD﹣CF＝x﹣5，NR＝DE＝AD＝AE＝x﹣2， 则长方形EMFD的面积＝NR•DF＝（x﹣2）（x﹣5）＝18， S＝NR2﹣DF2＝（x﹣2）2﹣（x﹣5）2， 设x﹣2＝a，x﹣5＝b， 则ab＝18，a﹣b＝（x﹣2）﹣（x﹣5）＝3， ∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝32+4×18＝81， ∴由a+b＞0得，a+b＝9， ∴S＝NR2﹣DF2＝（NR+DF）（NR﹣DF）＝（x﹣2）2﹣（x﹣5）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝9×3＝27． / 学科网（北京）股份有限公司 $$