复习专题07 三角函数的概念与诱导公式（12考点）-【寒假自学课】2025年高一数学寒假提升精品讲义（苏教版2019）

专题07 三角函数的概念与诱导公式 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点1：任意角与弧度制 1、任意角的定义 （1）定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。 （2）角的表示： ①始边：射线的起始位置． ②终边：射线的终止位置． ③顶点：射线的端点O． ④记法：图中的角可记为“角”或“”或“”． （3）角的分类： ①正角：按照逆时针方向旋转形成的角叫做正角； ②负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角； ③零角：一条射线没有作任何旋转形成的角叫做零角 2、象限角与轴线角 （1）象限角的定义与表示：在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角。 象限角 集合表示 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 （2）轴线角的定义与表示：在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，可称为轴线角。 角的终边位置 集合表示 轴的非负半轴 轴的非正半轴 轴上 轴非负半轴 轴非正半轴 轴上 3、角度制与弧度制 （1）角度制与弧度制的定义 ①规定周角的为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制. ②弧度制的定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度，这种用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制. （2）角度制与弧度制的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30° 度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数 4、弧长与扇形面积公式 设扇形的半径为，弧长为，或°为其圆心角，则弧长公式与扇形面积公式如下： 类别/度量单位 角度制 弧度制 扇形的弧长 扇形的面积 知识点2：三角函数的定义与符号 1、三角函数的定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点， 叫做的正弦函数，记作.即； 叫做的余弦函数，记作.即； 叫做的正切函数，记作.即。 【补充】三角函数另一种定义 设点（不与原点重合）为角终边上任意一点， 点P与原点的距离为：，则：，，. 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关 2、三角函数的符号：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 知识点3：同角三角函数的基本关系 1、同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系：， 文字表述：同一个角的正弦、余弦的平方和等于1 （2）商数关系：， 文字表述：同一个角的正弦、余弦的商等于角的正切 2、三角函数式的化简技巧 ①化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的． ②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． ③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造＋＝1，以降低函数次数，达到化简的目的． 3、三角函数恒等式证明 证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法： ①证明一边等于另一边，一般是由繁到简． ②证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)． ③比较法：即证左边－右边＝0或＝1(右边≠0)． ④证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立． 知识点4：诱导公式 1、诱导公式（一~六） 诱导公式一：，，，其中 诱导公式二： ，，，其中 诱导公式三： ，，，其中 诱导公式四：，，，其中 诱导公式五：，，其中 诱导公式六：，，其中 【小结】诱导公式口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角(为常整数)的三角函数值：当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当为偶数时，函数名不变，然后的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号. 2、用诱导公式进行化简时的注意点： （1）化简后项数尽可能的少； （2）函数的种类尽可能的少； （3）分母不含三角函数的符号； （4）能求值的一定要求值； （5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等． 3、用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 （1）“负化正”：用公式一或三来转化． （2）“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角． （3）“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角． （4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值． 考点剖析 【考点1 任意角与弧度制的概念辨析】 1．（24-25高一上·重庆万州·月考）将钟表的分针拨快20分钟，则时针转过的角的弧度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·广东广州·月考）已知集合{是第二象限角}，{是钝角}，{是大于的角}，那么的关系是（    ） A． B． C．⫋ D． 3．（23-24高一上·福建龙岩·月考）（多选）将下列角度与弧度进行互化正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·河南新乡·月考）下列说法中正确的是（    ） A．第一象限的角是锐角 B．第二象限角必大于第一象限角 C．圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等 D．1弧度角的大小与圆的半径无关 5．（23-24高一上·江苏宿迁·月考）（多选）下列说法正确的是（    ） A．锐角都是第一象限角 B．第二象限角都比第三象限角小 C．角与角不等，则两角的终边不同 D．若角与角终边相同，则 【考点2 终边相同的角的表示】 6．（24-25高一上·广东广州·期末）下列与角终边相同的角为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，若角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在直线上，则终边与角相同的角的集合为（    ） A．或 B． C． D． 8．（22-23高一上·福建福州·月考）将化为的形式是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·北京·月考）下列各组角中，终边相同的角是（    ） A．与 B． C．与 D．与 10．（24-25高一上·安徽阜阳·期中）角的终边与的终边关于轴对称，则（    ） A． B． C． D． 【考点3 根据图形写出角的范围】 11．（24-25高一上·海南海口·月考）若角的终边落在如图所示的阴影部分内（含边界），则角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高一上·浙江·月考）如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高一上·山东菏泽·月考）如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高一上·全国·课后作业）集合中角的终边在单位圆中的位置（阴影部分）是（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高一下·河南·月考）如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（    ） A． B． C． D． 【考点4 确定角所在的象限】 16．（24-25高一上·云南昭通·月考）已知角，那么的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 17．（23-24高一上·江苏南通·月考）的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 18．（24-25高一上·河北·月考）“是小于的钝角”是“是第三象限角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 19．（23-24高一上·云南曲靖·月考）（多选）若是第二象限角，则（    ） A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角 C．是第二象限角 D．是第三或第四象限角 20．（24-25高一上·天津·月考）已知是第二象限角，那么 为第 象限角 【考点5 弧长与扇形面积公式的应用】 21．（24-25高一上·江苏盐城·月考）已知扇形的周长为9，圆心角为1，则扇形的面积为（    ） A．3 B． C．9 D． 22．（24-25高一上·湖南常德·月考）如图，在扇形中，，，则下列说法正确的个数是（   ） ①；        ②的长等于； ③扇形的周长为；    ④扇形的面积为. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 23．（24-25高一上·江苏镇江·期末）在周长为定值的扇形中，面积最大时扇形的半径为（    ） A． B． C． D． 24．（24-25高一上·山东淄博·月考）如图，已知扇形的周长为6，当该扇形的面积取最大值时，弦长（    ） A． B． C． D． 25．（24-25高一上·河北保定·期中）水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中提到的由三体文明使用强互作用力（）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴．如图所示，水滴是由线段，和圆的优弧围成，其中，恰好与圆弧相切.若圆弧所在圆的半径为2，点A到圆弧所在圆圆心的距离为4，则该封闭图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【考点6 利用定义求三角函数值】 26．（23-24高一上·天津南开·期末）已知角的终边经过点，则的值为（    ） A． B． C． D．或 27．（24-25高一上·江苏苏州·月考）若角的终边上有一点，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 28．（24-25高一上·江苏·期末）已知点是角终边上的一点，且，则的值为（    ） A．2 B． C．或2 D．或 29．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知点是角终边上的一点，且，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 30．（24-25高一上·海南海口·月考）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则实数的值是（    ） A．4或 B． C． D．或 【考点7 三角函数值的符号判断】 31．（24-25高一上·广东惠州·月考）在平面直角坐标系中，点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 32．（24-25高一上·福建福州·月考）若，则为（    ） A．第一､二象限角 B．第二､三象限角 C．第一、三象限角 D．第一､四象限角 33．（24-25高一上·四川宜宾·期末）已知点是第四象限的点，则角的终边位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 34．（24-25高一上·江苏无锡·月考）（多选）若角是第二象限角，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 35．（24-25高一上·河南南阳·月考）（多选）若角的终边在第三象限，则的值可能为（    ） A．0 B．2 C．4 D． 【考点8 sina、cosa、tana知一求二】 36．（24-25高一上·江苏·月考）已知，且为第四象限角，则的值为 . 37．（24-25高一上·江苏无锡·月考）已知，，则（    ） A． B． C． D． 38．（24-25高一上·福建三明·月考）已知，且为第四象限角，则（    ） A． B． C． D． 39．（24-25高一上·河北保定·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 40．（24-25高一上·河北廊坊·月考）已知，且为第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【考点9 正（余）弦齐次式的应用】 41．（23-24高一上·甘肃武威·期末）已知，则（    ） A． B．3 C．6 D．7 42．（24-25高一上·山东济南·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 43．（24-25高一上·江苏南通·月考）已知，且为第三象限角，则（    ） A．2 B．3 C．或3 D．2或 44．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知，则的值是 . 45．（24-25高一上·山东淄博·月考）已知，则 ． 【考点10 sina·cosa、sina±cosa关系】 46．（24-25高一上·广东广州·月考）（多选）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 47．（23-24高一上·山西吕梁·期末）（多选）已知，，则下列选项中正确的有（    ） A． B． C． D． 48．（24-25高一上·吉林长春·月考）（多选）设，已知，是方程的两根，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 49．（24-25高一上·江苏镇江·期末）（多选）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 50．（23-24高一上·云南曲靖·期末）（多选）已知，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点11 利用诱导公式化简求值】 51．（24-25高一上·河北衡水·月考）已知，则 52．（24-25高一上·江苏常州·月考）计算：（    ） A． B．1 C． D． 53．（24-25高一上·山东·月考）已知角和角的顶点与原点重合，始边与轴正半轴重合，终边关于轴对称，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 54．（24-25高一上·湖南常德·月考）质点和在以坐标原点为圆心，半径为的圆上逆时针做匀速圆周运动，同时出发.的角速度大小为，起点为圆与轴正半轴的交点，的角速度大小为，起点为角的终边与圆的交点，则当与重合时，的坐标不可以为（    ） A． B． C． D． 55．（24-25高一上·江苏盐城·月考）（多选）在中，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点12 基本关系与诱导公式综合应用】 56．（24-25高一上·浙江金华·月考）在平面直角坐标系中，角的始边为轴的非负半轴，终边在第二象限与单位圆交于点，点的横坐标为． (1)求的值． (2)若将射线绕点逆时针旋转，得到角，求的值． 57．（23-24高二上·广西柳州·开学考试）已知． (1)若角的终边过点求； (2)若，求的值． 58．（24-25高一上·山东淄博·月考）已知角的始边与轴的正半轴重合，终边过定点． (1)求、的值； (2)求的值． 59．（24-25高一上·江苏无锡·月考）已知函数， (1)若，，求的值； (2)若，求的值. 60．（24-25高一上·天津北辰·月考）已知 (1)化简并求的值； (2)若且，求的值； (3)已知，求的值． 过关检测 一、单选题 1．（24-25高一上·云南昆明·月考）若角的终边和单位圆的交点坐标为，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏南京·月考）计算（    ） A．＋1 B．1 C．－1 D．－+1 3．（24-25高一上·河北衡水·月考）若，则点位于第（    ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 4．（23-24高一上·吉林长春·期末）“点是第二象限的点”是“的终边位于第二象限”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（24-25高一上·浙江金华·月考）已知角，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·江苏盐城·月考）已知，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（24-25高一上·江苏无锡·月考）下列结论正确的是（    ） A．若角为锐角，则角为钝角 B．是第三象限角 C．若角的终边过点，则 D．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 8．（24-25高一上·山东济南·月考）在中，下列关系式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·湖南邵阳·月考）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．（24-25高一上·陕西西安·月考）已知为锐角，且，，则 . 11．（24-25高一上·吉林松原·月考）化简： 12．（24-25高一上·河南南阳·月考）已知，则 . 四、解答题 13．（24-25高一上·湖南邵阳·月考）在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，连接圆心和得到射线，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，其中. (1)求出的值和锐角的大小； (2)求的值； (3)记点的横坐标为，若，求的值． 14．（24-25高一上·河南南阳·月考）已知关于的方程的两个根分别为和，且. (1)求的值； (2)求的值； (3)求方程的两根及的值. 15．（24-25高一上·江苏无锡·月考）在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点． (1)若，求及的值； (2)若，求点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 三角函数的概念与诱导公式 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点1：任意角与弧度制 1、任意角的定义 （1）定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。 （2）角的表示： ①始边：射线的起始位置． ②终边：射线的终止位置． ③顶点：射线的端点O． ④记法：图中的角可记为“角”或“”或“”． （3）角的分类： ①正角：按照逆时针方向旋转形成的角叫做正角； ②负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角； ③零角：一条射线没有作任何旋转形成的角叫做零角 2、象限角与轴线角 （1）象限角的定义与表示：在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角。 象限角 集合表示 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 （2）轴线角的定义与表示：在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，可称为轴线角。 角的终边位置 集合表示 轴的非负半轴 轴的非正半轴 轴上 轴非负半轴 轴非正半轴 轴上 3、角度制与弧度制 （1）角度制与弧度制的定义 ①规定周角的为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制. ②弧度制的定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度，这种用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制. （2）角度制与弧度制的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30° 度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数 4、弧长与扇形面积公式 设扇形的半径为，弧长为，或°为其圆心角，则弧长公式与扇形面积公式如下： 类别/度量单位 角度制 弧度制 扇形的弧长 扇形的面积 知识点2：三角函数的定义与符号 1、三角函数的定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点， 叫做的正弦函数，记作.即； 叫做的余弦函数，记作.即； 叫做的正切函数，记作.即。 【补充】三角函数另一种定义 设点（不与原点重合）为角终边上任意一点， 点P与原点的距离为：，则：，，. 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关 2、三角函数的符号：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 知识点3：同角三角函数的基本关系 1、同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系：， 文字表述：同一个角的正弦、余弦的平方和等于1 （2）商数关系：， 文字表述：同一个角的正弦、余弦的商等于角的正切 2、三角函数式的化简技巧 ①化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的． ②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． ③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造＋＝1，以降低函数次数，达到化简的目的． 3、三角函数恒等式证明 证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法： ①证明一边等于另一边，一般是由繁到简． ②证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)． ③比较法：即证左边－右边＝0或＝1(右边≠0)． ④证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立． 知识点4：诱导公式 1、诱导公式（一~六） 诱导公式一：，，，其中 诱导公式二： ，，，其中 诱导公式三： ，，，其中 诱导公式四：，，，其中 诱导公式五：，，其中 诱导公式六：，，其中 【小结】诱导公式口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角(为常整数)的三角函数值：当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当为偶数时，函数名不变，然后的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号. 2、用诱导公式进行化简时的注意点： （1）化简后项数尽可能的少； （2）函数的种类尽可能的少； （3）分母不含三角函数的符号； （4）能求值的一定要求值； （5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等． 3、用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 （1）“负化正”：用公式一或三来转化． （2）“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角． （3）“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角． （4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值． 考点剖析 【考点1 任意角与弧度制的概念辨析】 1．（24-25高一上·重庆万州·月考）将钟表的分针拨快20分钟，则时针转过的角的弧度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将钟表的分针拨快20分钟，时针顺时针旋转， 所以时针转过的角度为.故选：B. 2．（24-25高一上·广东广州·月考）已知集合{是第二象限角}，{是钝角}，{是大于的角}，那么的关系是（    ） A． B． C．⫋ D． 【答案】B 【解析】如是第二象限角且大于，但不是钝角，A错； 由钝角一定大于，但大于角不一定是钝角，故是的真子集，B对，D错； 如是第二象限角，但小于，C错；故选：B 3．（23-24高一上·福建龙岩·月考）（多选）将下列角度与弧度进行互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于A，因，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确.故选：BCD. 4．（24-25高一上·河南新乡·月考）下列说法中正确的是（    ） A．第一象限的角是锐角 B．第二象限角必大于第一象限角 C．圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等 D．1弧度角的大小与圆的半径无关 【答案】D 【解析】A，第一象限角指终边落在第一象限的角的集合，有正有负， 而锐角仅指大于小于的角，故A错误； B，为第二象限的角，为第一象限的角，显然不满足，故B错误； C，圆心角为1弧度的扇形的弧长为，与半径有关， 半径不相等，则扇形的弧长不相等，故C错误； D，由弧度的定义得，弧度的大小与圆的半径无关，它由比值唯一确定，故D正确.故选：D 5．（23-24高一上·江苏宿迁·月考）（多选）下列说法正确的是（    ） A．锐角都是第一象限角 B．第二象限角都比第三象限角小 C．角与角不等，则两角的终边不同 D．若角与角终边相同，则 【答案】AD 【解析】锐角都是第一象限角，A正确； 第二象限角不是都比第三象限角小，B错； 角与角不等，但两角的终边可以相同，C错； 若角与角终边相同，则，D正确.故选：AD 【考点2 终边相同的角的表示】 6．（24-25高一上·广东广州·期末）下列与角终边相同的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】与角终边相同的角为， 当时，可得.故选：D. 7．（24-25高一上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，若角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在直线上，则终边与角相同的角的集合为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【解析】由题设且，故终边与角相同的角的集合为.故选：B 8．（22-23高一上·福建福州·月考）将化为的形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】.故选：A. 9．（24-25高一上·北京·月考）下列各组角中，终边相同的角是（    ） A．与 B． C．与 D．与 【答案】D 【解析】对于A，当时，表示终边在轴上的角，表示终边在坐标轴上的角，故A错误； 对于B，当时，因为表示终边在所在直线上的角； 表示终边在所在直线上的角以及轴上的角，故B错误； 对于C，当时，表示终边在这条直线上的角， 表示终边在所在直线上的角，故C错误； 对于D，当时，表示终边在轴负半轴上的角， 表示终边在轴负半轴上的角，故D正确.故选：D. 10．（24-25高一上·安徽阜阳·期中）角的终边与的终边关于轴对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为大小为的角的终边与大小为的角的终边关于轴对称， 所以.故选：D. 【考点3 根据图形写出角的范围】 11．（24-25高一上·海南海口·月考）若角的终边落在如图所示的阴影部分内（含边界），则角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，在内阴影部分的边界射线对应的角分别为， 在内阴影部分对应角的范围是， 所以角的取值范围是.故选：D. 12．（24-25高一上·浙江·月考）如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在间阴影部分区域中两条边界所在的终边表示的角分别为和， 所以阴影部分的区域在间的范围是， 所以终边在阴影部分区域的角的集合为.故选：C. 13．（24-25高一上·山东菏泽·月考）如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】阴影部分表示的集合是.故选：C 14．（24-25高一上·全国·课后作业）集合中角的终边在单位圆中的位置（阴影部分）是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当，时，，. 此时角的终边位于第一象限靠近轴的区域； 当，时，，. 此时角的终边位于第三象限靠近轴的区域.故选：C 15．（23-24高一下·河南·月考）如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】终边落在阴影部分的角为，， 即终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是．故选：B． 【考点4 确定角所在的象限】 16．（24-25高一上·云南昭通·月考）已知角，那么的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】，其中，故的终边在第三象限.故选：C. 17．（23-24高一上·江苏南通·月考）的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】因为，所以的终边与的终边相同， 而的终边在第二象限，所以的终边在第二象限．故选： 18．（24-25高一上·河北·月考）“是小于的钝角”是“是第三象限角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若是小于的钝角，则，则，所以是第三象限角； 若是第三象限角，则可以取，即可以取，但不是钝角. 故“是小于的钝角”是“是第三象限角”的充分不必要条件.故选：A 19．（23-24高一上·云南曲靖·月考）（多选）若是第二象限角，则（    ） A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角 C．是第二象限角 D．是第三或第四象限角 【答案】AB 【解析】因为与关于x轴对称，而是第二象限角， 所以是第三象限角，所以是第一象限角，故A正确； 因为是第二象限角，所以，， 所以，，故是第一或第三象限角，故B选项正确； 因为是第二象限角，所以是第一象限角，故C错误； 因为是第二象限角，所以，， 所以，，所以的终边可能在y轴负半轴上，故D错误．故选：AB. 20．（24-25高一上·天津·月考）已知是第二象限角，那么 为第 象限角 【答案】一或三 【解析】因为是第二象限，所以，得， 当为偶数时，是第一象限角，当为奇数时，是第三象限角. 故答案为：一或三 【考点5 弧长与扇形面积公式的应用】 21．（24-25高一上·江苏盐城·月考）已知扇形的周长为9，圆心角为1，则扇形的面积为（    ） A．3 B． C．9 D． 【答案】D 【解析】设扇形弧长为，半径为， 则，解得，所以,故选：D 22．（24-25高一上·湖南常德·月考）如图，在扇形中，，，则下列说法正确的个数是（   ） ①；        ②的长等于； ③扇形的周长为；    ④扇形的面积为. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解析】因为，根据角度制与弧度制的互化，可得，所以①不正确； 由，且，可得为等边三角形，所以，所以②不正确； 由扇形的弧长公式，可得的长度为， 所以扇形的周长为，所以③正确； 由扇形的面积公式，可得扇形的面积为，所以④不正确.故选：A. 23．（24-25高一上·江苏镇江·期末）在周长为定值的扇形中，面积最大时扇形的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设扇形的半径为，则扇形的弧长为， 故扇形面积为， 故当时，扇形面积取得最大值.故选：C 24．（24-25高一上·山东淄博·月考）如图，已知扇形的周长为6，当该扇形的面积取最大值时，弦长（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，可得出， 由可得， 所以，扇形的面积为， 当且仅当，即时，扇形的面积最大，此时． 因为，则扇形的圆心角， 取线段的中点，由垂径定理可知， 因为，则， 所以，.故选：A. 25．（24-25高一上·河北保定·期中）水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中提到的由三体文明使用强互作用力（）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴．如图所示，水滴是由线段，和圆的优弧围成，其中，恰好与圆弧相切.若圆弧所在圆的半径为2，点A到圆弧所在圆圆心的距离为4，则该封闭图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】取优弧所在圆的圆心，连接，，则⊥，⊥， 则，所以，则， ， 故优弧对应的圆心角为， 对应的扇形面积为， 而， 所以该封闭图形的面积为.故选：C 【考点6 利用定义求三角函数值】 26．（23-24高一上·天津南开·期末）已知角的终边经过点，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】因为角的终边经过点，则， 可得， 所以.故选：C. 27．（24-25高一上·江苏苏州·月考）若角的终边上有一点，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，结合三角函数的定义得，解得．故选：D． 28．（24-25高一上·江苏·期末）已知点是角终边上的一点，且，则的值为（    ） A．2 B． C．或2 D．或 【答案】D 【解析】由三角函数定义可得，解得， 所以的值为或.故选：D. 29．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知点是角终边上的一点，且，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【解析】由点是角终边上的一点， 所以，所以，故选：D 30．（24-25高一上·海南海口·月考）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则实数的值是（    ） A．4或 B． C． D．或 【答案】A 【解析】因为，所以， 又角的终边经过点，所以， 又，所以，解得或. 经检验，或均符合题意.故选：A. 【考点7 三角函数值的符号判断】 31．（24-25高一上·广东惠州·月考）在平面直角坐标系中，点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】，所以是第三象限角，故， 故在第二象限.故选：B 32．（24-25高一上·福建福州·月考）若，则为（    ） A．第一､二象限角 B．第二､三象限角 C．第一、三象限角 D．第一､四象限角 【答案】D 【解析】因为，则或， 所以为第一象限或第四象限角.故选：D 33．（24-25高一上·四川宜宾·期末）已知点是第四象限的点，则角的终边位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】因为点是第四象限的点，所以且. 所以角的终边位于第二象限.故选：B 34．（24-25高一上·江苏无锡·月考）（多选）若角是第二象限角，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】因为角是第二象限角， 所以，， 所以，，，， 所以当为偶数时，是第一象限角，当为奇数时，是第三象限角， 是第三象限角或是第四象限角或终边位于轴的非正半轴， 所以，，BC正确； 又当是第三象限角时，，A错误； 当是第四象限角时，，D错误.故选：BC. 35．（24-25高一上·河南南阳·月考）（多选）若角的终边在第三象限，则的值可能为（    ） A．0 B．2 C．4 D． 【答案】AC 【解析】由角的终边在第三象限，得， 则， 当k为偶数时，表示第四象限角，当k为奇数时，表示第二象限角， 因此是第二象限角或第四象限角. 当是第二象限角时，； 当是第四象限角时，.故选：AC. 【考点8 sina、cosa、tana知一求二】 36．（24-25高一上·江苏·月考）已知，且为第四象限角，则的值为 . 【答案】 【解析】为第四象限角，故， 又，故. 37．（24-25高一上·江苏无锡·月考）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵，，∴， ∴，故选：B． 38．（24-25高一上·福建三明·月考）已知，且为第四象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵，且为第四象限角， ∴，则．故选：A． 39．（24-25高一上·河北保定·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，故，则，故.故选：A 40．（24-25高一上·河北廊坊·月考）已知，且为第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 又，所以，所以， 又为第二象限角，所以.故选：A. 【考点9 正（余）弦齐次式的应用】 41．（23-24高一上·甘肃武威·期末）已知，则（    ） A． B．3 C．6 D．7 【答案】D 【解析】.故选：D 42．（24-25高一上·山东济南·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】.故选：C. 43．（24-25高一上·江苏南通·月考）已知，且为第三象限角，则（    ） A．2 B．3 C．或3 D．2或 【答案】A 【解析】由，可得，解得或， 因为第三象限角，则，故.故选：A. 44．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知，则的值是 . 【答案】1 【解析】因为， 所以，，，故答案为：1 45．（24-25高一上·山东淄博·月考）已知，则 ． 【答案】 【解析】原式，故答案为：. 【考点10 sina·cosa、sina±cosa关系】 46．（24-25高一上·广东广州·月考）（多选）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】， 因为，则，故，A对； 由， 联立，解得，BD对，C错．故选：ABD 47．（23-24高一上·山西吕梁·期末）（多选）已知，，则下列选项中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】由，得，所以，故选项A正确； 因为，，所以，， 又因为，所以，故选项B正确； 因为，故选项C错误； 由，，所以，故选项D错误；故选：AB 48．（24-25高一上·吉林长春·月考）（多选）设，已知，是方程的两根，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】对于A，由题意，，是方程的两根，则， 由，得，即， 解得，则，解得，故A错误； 对于B，， 因为，所以，又，所以， 则，因此，故B正确； 对于C，由，解得， 则，故C错误； 对于D，，故D正确；故选：BD. 49．（24-25高一上·江苏镇江·期末）（多选）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】A，因为，平方可得， 解得， 因为，所以，所以，所以A正确； D，又由，所以，所以D正确； B，联立方程组，解得，所以B正确； C，由三角函数的基本关系式，可得，所以C错误.故选：ABD 50．（23-24高一上·云南曲靖·期末）（多选）已知，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】因为，所以，即， 所以，故A正确，B错误； 又，所以，， 所以，故C正确，D错误．故选：AC． 【考点11 利用诱导公式化简求值】 51．（24-25高一上·河北衡水·月考）已知，则 【答案】 【解析】由，得. 故答案为： 52．（24-25高一上·江苏常州·月考）计算：（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解析】 .故选：A 53．（24-25高一上·山东·月考）已知角和角的顶点与原点重合，始边与轴正半轴重合，终边关于轴对称，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，角和的终边关于轴对称， 则，即， 所以， ，故A正确，B、C、D均错误；故选：A 54．（24-25高一上·湖南常德·月考）质点和在以坐标原点为圆心，半径为的圆上逆时针做匀速圆周运动，同时出发.的角速度大小为，起点为圆与轴正半轴的交点，的角速度大小为，起点为角的终边与圆的交点，则当与重合时，的坐标不可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】点的初始位置，锐角， 设时刻两点重合，则，即， 此时点， 即， 当时，，故A正确； 当时，，且， ，即，故C正确； 当时，，且， ，即，故D正确. 由三角函数的周期性可得，其余各点均与上述三点重合，故B错误.故选：B. 55．（24-25高一上·江苏盐城·月考）（多选）在中，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】因为，所以A正确； 因为，所以B错误； 因为，所以C正确； 因为，所以D正确.故选：ACD 【考点12 基本关系与诱导公式综合应用】 56．（24-25高一上·浙江金华·月考）在平面直角坐标系中，角的始边为轴的非负半轴，终边在第二象限与单位圆交于点，点的横坐标为． (1)求的值． (2)若将射线绕点逆时针旋转，得到角，求的值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为在单位圆上，的横坐标为， 所以根据三角函数的定义得， 又点在第二象限，所以，所以， 则； （2）由题知，则， ，则， 故. 57．（23-24高二上·广西柳州·开学考试）已知． (1)若角的终边过点求； (2)若，求的值． 【答案】(1)；；(2). 【解析】（1）， 若角终边过点，则，所以； （2）若，则， 所以． 58．（24-25高一上·山东淄博·月考）已知角的始边与轴的正半轴重合，终边过定点． (1)求、的值； (2)求的值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为角的始边与轴的正半轴重合，终边过定点， 所以点到原点的距离， 所以. （2）原式. 59．（24-25高一上·江苏无锡·月考）已知函数， (1)若，，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为，则， 又，则， 由于， 所以． （2）由， 则，即， 则，可得， 所以． 60．（24-25高一上·天津北辰·月考）已知 (1)化简并求的值； (2)若且，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1)，；(2)；(3) 【解析】（1）由诱导公式可知， 则； （2）由（1）得，即， 则，解得， 又，则，， 所以，则， 所以； （3）由已知（1）得，所以，即， 所以. 过关检测 一、单选题 1．（24-25高一上·云南昆明·月考）若角的终边和单位圆的交点坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据三角函数定义结合交点坐标为可得.故选：C. 2．（24-25高一上·江苏南京·月考）计算（    ） A．＋1 B．1 C．－1 D．－+1 【答案】A 【解析】原式.故选：A. 3．（24-25高一上·河北衡水·月考）若，则点位于第（    ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】B 【解析】因为，则，所以点位于第二象限.故选：B. 4．（23-24高一上·吉林长春·期末）“点是第二象限的点”是“的终边位于第二象限”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】因为点在第二象限，所以，，则的终边位于第二象限， 反之，若的终边位于第二象限，则，， 故点是第二象限的点， 综上，“点是第二象限的点”是“的终边位于第二象限”的充要条件.故选：C. 5．（24-25高一上·浙江金华·月考）已知角，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得， 又，所以.故选：A. 6．（24-25高一上·江苏盐城·月考）已知，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，两边平方得：， 则，因，故有，故A正确； 由上已得：，故， 由可得，于是， 又，联立解得：， 故，故B,D正确，C错误.故选：C. 二、多选题 7．（24-25高一上·江苏无锡·月考）下列结论正确的是（    ） A．若角为锐角，则角为钝角 B．是第三象限角 C．若角的终边过点，则 D．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 【答案】CD 【解析】对于A，因为角为锐角，即，所以，所以角是锐角或直角或钝角，故A错误； 对于B，与终边相同是第二象限角，故B错误； 对于C，因为角的终边过点，所以，所以，故C正确； 对于D，因为圆心角为的扇形的弧长为，所以该扇形的半径为， 所以该扇形面积为，故D正确.故选：CD. 8．（24-25高一上·山东济南·月考）在中，下列关系式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】中，. A项，，故A错误； B项，，故B正确； CD项，，故C正确，D错误.故选：BC. 9．（24-25高一上·湖南邵阳·月考）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】由①，以及， 对等式①两边取平方得，②， ∵，∴，由②，， 由①②，可以看作是一元二次方程的两个根， 解得，，故A正确，B正确，C错误，D正确.故选：ABD． 三、填空题 10．（24-25高一上·陕西西安·月考）已知为锐角，且，，则 . 【答案】 【解析】由， 可得，即①． 由， 可得②． ①②得，∴，即． ∵，∴， 又为锐角，∴． 11．（24-25高一上·吉林松原·月考）化简： 【答案】 【解析】. 12．（24-25高一上·河南南阳·月考）已知，则 . 【答案】 【解析】 . 四、解答题 13．（24-25高一上·湖南邵阳·月考）在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，连接圆心和得到射线，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，其中. (1)求出的值和锐角的大小； (2)求的值； (3)记点的横坐标为，若，求的值． 【答案】(1)，；(2)1；(3) 【解析】（1）由于点在单位圆上，且是锐角，可得，则， 所以，且为锐角，可得； （2）； （3）由（1）可知， 根据三角函数定义可得：， 因为，且， 因此，所以. 所以. 14．（24-25高一上·河南南阳·月考）已知关于的方程的两个根分别为和，且. (1)求的值； (2)求的值； (3)求方程的两根及的值. 【答案】(1)；(2)；(3)两根为，或 【解析】（1）因为和是方程的两个根，所以， 原式. （2）因为，所以， 所以，解得. （3）由（2）可知，，所以方程为，其两根为， 所以或，又因为，所以或. 15．（24-25高一上·江苏无锡·月考）在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点． (1)若，求及的值； (2)若，求点的坐标． 【答案】(1)；；(2) 【解析】（1）角以为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点， 当时，，则， 所以． （2）依题意，， 由，得，代入， 于是，解得， 即，所以点的坐标为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$