预习专题01 不等式及其性质（3知识点+8题型+2易错+过关检测）-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（沪教版2024）

专题01 不等式及其性质 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 一、知识与技能目标 1.学生能够准确理解不等式的定义，能识别不等式中的不等关系，能够区分不等式与等式的不同之处，明确等式表示左右两边的量相等，而不等式表示不相等的关系。 2.学生能牢记不等式的基本性质，能够运用不等式的基本性质进行简单的变形，如解简单的一元一次不等式。 二、过程与方法目标 1.逻辑推理能力：通过对不等式基本性质的探究过程，培养学生的逻辑推理能力。 2.数学思维培养：经历从具体实例中抽象出不等式概念以及归纳不等式基本性质的过程，发展学生的抽象思维和归纳思维能力。 三、情感态度与价值观目标 1.数学兴趣提升：让学生感受到不等式在解决实际问题中的广泛应用，如在资源分配、方案选择等方面的作用，从而提高学生学习数学的兴趣。 2.数学应用意识：培养学生的数学应用意识，使学生认识到数学知识不仅仅是理论知识，更是解决生活中各种问题的有力工具。 知识点1 不等式的概念 用不等号＂＞＂＂＜＂＂＂＂＂连接的式子，叫作不等式，如等． 判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式，哪些既不是等式也不是不等式． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)52； (7)． 【答案】(1)既不是等式也不是不等式 (2)是不等式 (3)是等式 (4)是不等式 (5)是等式 (6)既不是等式也不是不等式 (7)是不等式 【分析】本题主要考查不等式的定义，掌握等式和不等式的定义是解题的关键．根据所学知识，可知：含有等号的式子叫做等式，用不等号连接的式子叫做不等式，根据上述定义，找出用等号和不等号连接的式子即可找出等式和不等式，进而找出既不是等式也不是不等式的式子． 【详解】（1）解：既不是等式也不是不等式； （2）解：是不等式； （3）解：是等式； （4）解：是不等式； （5）解：是等式； （6）解：52既不是等式也不是不等式 （7）解：是不等式． 【易混易错提醒】像或者单独的数字而言，它们只是代数式，等式应是用等号连接的两个代数式，不等式应是用不等号连接的两个代数式． 【解题技巧总结】判断一个式子是否为不等式的关键是看连接的符号，若连接的符号不是不等号，则式子一定不是不等式. 知识点2 常见的不等号及其含义 符号 名称 读法 表示意义 大于号 大于 左边的量大于右边的量 小于号 小于 左边的量小于右边的量 大于或等于号 大于或等于,即不小于 左边的量不小于右边的量 小于或等于号 小于或等于,即不大于 左边的量不大于右边的量 不等号 不等于 表示两边的量不相等，但未明确哪边的量大 【特别提醒】(1)不等式可以是表示数的大小不等的式子，也可以是表示数量关系的大小不等的式子,即不等式中不一定含有未知数.(2)不等号具有方向性，其左右两边的式子不能随意交换. 知识点3 不等式的性质 1.不等式性质1 对于任意给定的两个数，在三种情形中，有且仅有一种情形成立. 2．不等式性质2 如果，那么． 提醒 如同相等关系具有传递性,这条性质说明大于关系也具有传递性,同样，“”“≤”与“”也具有传递性． 3．不等式性质3 不等式的两边同加或减一个数，不等号的方向不变．比如，如果，那么． 4．不等式性质4 不等式的两边同乘或除以一个正数，不等号的方向不变．比如，如果，那么． 5．不等式性质5 不等式的两边同乘或除以一个负数，不等号的方向改变．比如，如果，那么 核心笔记 不等式、等式的基本性质的联系与区别 (1)联系:不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变;等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,都乘以(或除以)同一个正数，等式仍然成立. （2）区别：①不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，等式仍然成立； ②不等式中，如果，那么；等式中，如果，那么． 设，用“”或“”号填空： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 ＞ ＞ ＜ ＞ 【分析】根据不等式的性质，即可求解 【详解】解：∵， ∴（1）>； （2）>； （3）<； （4）>． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 方法总结 先观察不等号左右两边是由原来的不等式进行了怎样的变形得来的，然后再对照不等式的性质，决定是否改变不等号的方向. 列不等式 例1.用适当的不等式表示下列不等关系： （1）x减去6大于12； （2）x的2倍与5的差是负数； （3）x的3倍与4的和是非负数； （4）y的5倍与9的差不大于； 审题关键:解答这类题的关键是根据文字表述厘清数量关系,然后用不等式来正确表示. 【答案】（1）x-6＞12；（2）2x-5＜0；（3）3x+4≥0；（4）5y-9≤-1． 【分析】（1）根据x减去6得出x-6，再根据x减去6大于12得出答案； （2）先表示出x的2倍为2x，再表示出与5的差为2x-5，列出不等式即可； （3）先表示出x的3倍为3x，再表示出与41的和为3x+4，列出不等式即可； （4）先表示出y的5倍是5y，再表示出与9的差5y-9，然后根据不大于-1即为小于等于-1，列出不等式即可． 【详解】（1）由题意可得：x-6＞12； （2）由题意可得：2x-5＜0； （3）由题意可得：3x+4≥0； （4）由题意可得：5y-9≤-1． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式． 【变式1-1】用适当的不等式表示下列关系： (1)x的与x的2倍的和是非正数； (2)一枚炮弹的杀伤半径不小于300米； (3)三件相同上衣与四条相同长裤的总价钱不高于268元； (4)小明的体重不比小刚轻． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了不等式的定义．一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：，，，，． （1）非正数用“”表示； （2）不小于就是大于等于，用“”来表示； （3）不高于就是等于或低于，用“”表示； （4）不比小刚轻，就是与小刚一样重或者比小刚重．用“”表示． 【详解】（1）根据题意，得． （2）设一枚炮弹的杀伤半径为r米，则应有． （3）设每件上衣为a元，每条长裤为b元，则应有． （4）设小明的体重为a千克，小刚的体重为b千克，则应有． 【变式1-2】用适当的符号表示下列关系． (1)x的7倍减去1是非正数． (2)y的与的和不大于0． (3)y的不小于1与y的和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查列不等式： （1）x的7倍表示，x的7倍减去1表示为，非正数表示为，再列不等式即可； （2）y的与的和表示为，不大于0表示为，再列不等式即可； （3）y的表示为，不小于1与y的和表示，再列不等式即可． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：由题意得：； （3）解：由题意得：． 【变式1-3】用适当的符号表示下列关系： (1)x的与x的2倍的和是非正数； (2)一枚炮弹的杀伤半径不小于300米； (3)三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元； (4)明天下雨的可能性不小于； (5)小明的体重不比小刚轻． 【答案】(1) (2)设炮弹的杀伤半径为r，则应有 (3)设每件上衣为a元，每条长裤是b元，应有 (4)用P表示明天下雨的可能性，则有 (5)设小明的体重为a千克，小刚的体重为b千克，则应有 【分析】（1）非正数用“”表示； （2）、（4）不小于就是大于等于，用“≥”来表示； （3）不高于就是等于或低于，用“≤”表示； （5）不比小刚轻，就是与小刚一样重或者比小刚重．用“≥”表示． 【详解】（1）； （2）设炮弹的杀伤半径为r，则应有； （3）设每件上衣为a元，每条长裤是b元，应有； （4）用P表示明天下雨的可能性，则有； （5）设小明的体重为a千克，小刚的体重为b千克，则应有． 【点睛】本题考查了不等式的定义．一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞，＜，≤，≥，≠． 易错易混提醒 解决此类问题一定要注意“不小于”“不大于”的表示不要出错 判断不等式 例2.有下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是不等式的有 个． 审题关键:判断一个式子是否为不等式的关键是看连接的符号，若连接的符号不是不等号，则式子一定不是不等式. 【答案】3 【分析】找到用不等号连接的式子的个数即可． 【详解】解：①是用“＞”连接的式子，是不等式，符合题意； ②是用“≤”连接的式子，是不等式，符合题意； ③是等式，不是不等式，不符合题意； ④没有不等号，不是不等式，不符合题意； ⑤是用“＞”连接的式子，是不等式，符合题意； ∴不等式有①②⑤共3个， 故答案为：3． 【点睛】此题考查不等式的定义，用到的知识点为：用“＜，＞，≤，≥，≠”连接的式子叫做不等式． 【变式2-1】给出下列表达式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中属于不等式的是 ．（填序号） 【答案】②③④⑥ 【分析】根据不等式的定义判断即可． 【详解】解：①a（b+c）=ab+ac是等式； ②-2＜0是用不等号连接的式子，故是不等式； ③x≠5是用不等号连接的式子，故是不等式； ④2a＞b+1是用不等号连接的式子，故是不等式； ⑤x2-2xy+y2是代数式； ⑥2x-3＞6是用不等号连接的式子，故是不等式， 故答案为：②③④⑥． 【点睛】本题考查的是不等式的定义，即用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式． 【变式2-2】在下列数学表达式中：，，，，，其中不等式有 个． 【答案】2 【分析】运用不等式的定义进行判断． 【详解】解：是等式， 和是代数式，没有不等关系，所以不是不等式. 不等式有：，. 故答案为：2. 【点睛】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞，＜，≤，≥，≠． 解题技巧总结 轻松判定不等式判定一个式子为不等式，要把握两点: (1)含有不等号,(2)表示不等关系，只有二者同时具备，才是不等式,一个式子是否为不等式,与不等式是否成立没有关系，如3>12并不成立,但它仍是不等式. 利用不等式的性质比大小（重点） 例3.已知a＞b，用“＞”“＜”填空，并说明理由． (1)a+3________b+3． (2)a-4________b-4． (3)a_______b． (4)-2a________-2b． (5)3a-1________3b-1． (6)1-a________1-b． 审题关键:解答这类题的关键是判断a、b同时乘或除以一个大于0的数还是小于0的数,依此来一步步判断符号是否变化. 【答案】(1)＞ (2)＞ (3)＞ (4)＜ (5)＞ (6)＜ 【分析】根据不等式的性质解答即可． 【详解】（1）解：不等式的两边都加上了3，依据不等式的性质1，故答案是＞． （2）解：不等式的两边都减去了4，依据不等式的性质1，故答案是＞． （3）解：不等式的两边都乘以了，由于＞0，依据不等式的性质2，故答案是＞． （4）解：不等式的两边都乘以了-2，由于-2＜0，依据不等式的性质3，故答案是＜． （5）解：依据不等式的性质2，3a＞3b，不等式的两边都减去1，不等号的方向仍然不变，故答案是＞． （6）解：依据不等式的性质3，-a＜-b，不等式的两边都加上1，得1-a与1-b，依据不等式的性质1，故答案是＜． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，1.不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变;2.不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变;3.不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向变． 【变式3-1】用不等号填空，若，则 (填“>”或“<”)． 【答案】< 【分析】本题考查了不等式的性质，利用不等式的性质解答即可得到结果．熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．不等式的基本性质：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：<． 【变式3-2】已知，请比较下列各式的大小，并说明理由． (1)与； (2)与． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查的是不等式的基本性质，熟知①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键． （1）根据不等式的基本性质解答即可． （2）根据不等式的基本性质解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴． 【变式3-3】请解决以下两个问题： (1)利用不等式的性质1比较与的大小； (2)利用不等式的性质2比较与的大小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）当时，，即； 当时，，即． （2）因为，所以当时，； 当时，． 【变式3-4】已知，则 ．（用＞”、“＜或＝”填空） 【答案】＜ 【分析】根据不等式的性质解答即可． 【详解】解：∵a＜b， ∴2a＜2b， ∴＜． 故答案为：＜． 【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 【变式3-5】解决下面问题： (1)已知，比较与的大小．（选择适当的不等号填空） 解：，且（已知） _______（不等式的基本性质3） _______（不等式的基本性质2） (2)若，比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)＜，＜； (2)见解析． 【分析】本题考查了不等式的性质：①不等式的传递性：若，，则，②把不等式的两边都加(或减去)同一个数，不等号仍然成立；③不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号仍然成立；不等式两边都乘(或除以)同一个负数，必须改变不等号方向，所得不等式成立． （1）根据不等式的性质解答即可； （2）根据不等式的性质解答即可． 【详解】（1）解：，且（已知） （不等式的基本性质3） （不等式的基本性质2） 故答案为：＜，＜； （2）解：，且（已知） （不等式的基本性质3） （不等式的基本性质2）． 【变式3-6】先阅读下面的解题过程，再解题． 已知，试比较与的大小． 解：因为，① 所以，② 故．③ (1)上述解题过程中，从步骤_______开始出现错误； (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)② (2)见解析 【分析】此题主要考查了不等式的解法，熟知不等式的性质是解题的关键． （1）由题意，不等式两边乘以负数，不等式号改变，故②错误； （2）根据不等式的性质，不等式两边同乘以一个负号，不等号方向要发生改变，来求解． 【详解】（1）由题意得②错误， 根据不等式两边乘以负数，不等式号改变即可判断； 故答案为：②； （2）因为， 所以， 故． 反思总结 遇到较复杂的问题,可以拆分为多步,一步步判断不等号的方向. 根据点在数轴上的位置判断有理数的大小关系（难点） 例4.如图，数轴上点A、B对应的有理数分别为a、b，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 审题关键:解答这类题的关键是先通过数轴判断a、b的大小关系以及的大小关系,再利用不等式的性质解决问题. 【答案】D 【分析】本题考查了根据点在数轴上的位置判断式子的符号，有理数减法法则，不等式的性质，注意数形结合思想的应用；由图知，且，从而可判定B、C两个选项；由不等式的性质3及性质1可判定选项A与D，从而确定答案． 【详解】解：由数轴知：，且，故选项B正确，不符合题意； 由，则，故选项C正确，不符合题意； 由于，由不等式性质3，知，故A正确，不符合题意； 由不等式性质1得：， D错误，符合题意； 故选：D． 【变式4-1】实数在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了不等式的基本性质及实数和数轴的基本知识，先由数轴观察的大小关系，然后根据不等式的基本性质对各项作出正确判断． 【详解】解：由数轴可知，， A、，∴，故选项计算错误，不符合题意； B、，∴，故选项计算错误，不符合题意； C、，∴，故选项计算错误，不符合题意； D、，∴，故选项计算正确，符合题意； 故选：D． 【变式4-2】如图，数轴上点A、B、C分别表示数a、b、c，则下列不等式中错误的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据数轴上点的位置得到，，则，，，由此逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，，， A选项：∵，∴，故A不符合题意； B选项：∵，∴，故B不符合题意； C选项：∵，，∴，故C符合题意； D选项：∵，，∴，故D不符合题意． 故选C． 【点睛】本题主要考查了根据数轴上点的位置判断式子正负，不等式的性质，熟知数轴和不等式的性质是解题的关键． 【变式4-3】如图，A，B两点在数轴上表示的数分别是a，b，则下列式子中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是数轴的特点，根据、两点在数轴上的位置判断出其取值范围是解答此题的关键．根据、两点在数轴上的位置判断出其取值范围，再对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：、两点在数轴上的位置可知：，， ，，故A、B错误； ，故C正确； ，， ，故D错误． 故选：C． 【变式4-4】如图所示，点A和点B分别在数轴上原点的左侧和右侧，且点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的性质，有理数大小的比较法则，利用点在数轴上的位置确定出a，b的取值范围是解题的关键．依据点在数轴上的位置，不等式的性质，绝对值的意义，有理数大小的比较法则对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：有题意可知：，且， ．，原结论错误，故该选项不符合题意； ．，原结论错误，故该选项不符合题意； ．，原结论错误，故该选项不符合题意； ．，原结论正确，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式4-5】若有关于x的不等式可以推出，则a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质．熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 根据不等式的性质求解作答即可． 【详解】解：∵的解集为， ∴， 故选：C． 利用不等式的基本性质对不等式进行变形 例5.根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“”或“”的形式： (1) (2) 审题关键:解答本题的关键是弄清两种形式间的联系能灵活运用不等式的基本性质进行变形. 破题思路:将所给的不等式化成“”或“”的形式,需先利用不等式的加减性质,使含未知数的项和常数项分别位于不等号的两边，再利用不等式的乘除正数和负数的性质,将未知数的系数化为1. 【答案】(1) (2) 【分析】 本题考查了不等式的性质，熟记相关结论即可求解． （1）在不等式两边同时减去即可； （2）在不等式两边同时除以即可； 【详解】（1）解：在不等式两边同时减去，不等号方向不变， 得： （2）解：在不等式两边同时除以，不等号方向改变， 得： 【变式5-1】根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式： (1)2x＞－4;  (2)x－4＜－2； (3)－2x＜1; (4)x＜2. 【答案】(1)x＞－2　 (2)x＜2  (3)x＞－　 (4)x＜4 【详解】试题分析：各不等式利用不等式的基本性质变形化为x＞a或x＜a的形式即可． 试题解析：(1)2x＞－4， 两边同时除以2，得 x>-2； (2)x－4＜－2， 两边同时加上4，得 x<2； (3)－2x＜1， 两边同时除以-2，得 x＞－ ； (4)x＜2， 两边同时乘以2，得 x<4. 【变式5-2】根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据不等式的性质1解答即可； （2）先根据不等式的性质1，再根据不等式的性质2解答； （3）先根据不等式的性质1，再根据不等式的性质3解答； （4）根据不等式的性质3解答即可； 【详解】（1）解：， 两边加上得：， 解得：； （2）解：， 两边加上得：，即， 两边除以得：； （3）解：， 两边减去得：，即， 两边除以得：； （4）解：， 两边除以得：． 【点睛】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 【变式5-3】根据不等式的基本性质，把下列不等式化成或的形式．   （1）．    （2）．     （3）．    （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】（1）利用不等式的性质将两边加上即可求解； （2）利用不等式的性质先将两边加上，再两边同除以即可求解； （3）利用不等式的性质先将两边减去，再两边同除以即可求解； （3）利用不等式的性质将两边同除以-即可求解； 【详解】（1）， 两边加上得：， 解得：； （2）， 两边加上得：，即， 两边除以得：； （3）， 两边减去得：，即， 两边除以得：； （4）， 两边除以得：． 【点睛】本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质． 解后反思 利用不等式的基本性质对不等式变形时的注意事项 (1)要注意每一步的变形依据;(2)要注意利用不等式的基本性质时不等号的方向是否需要改变. 利用不等式的基本性质求字母的取值范围（重点） 例6.如果，且，那么a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的性质，根据题意可知不等式的两边同时乘以后，不等号方向发生了改变，故，据此可得答案． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， 故选：D． 【变式6-1】若，且，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质．原不等式两边同时乘以后不等号改变方向，则，则． 【详解】解：∵若，且， ∴， 则； 故答案为：． 【变式6-2】若，且，求实数a的取值范围． 【答案】实数a的取值范围为 【分析】本题考查不等式的基本性质，由，且，结合不等式的基本性质可知，即可求解．理解并掌握不等式的基本性质是解决问题的关键． 【详解】解：∵，且， ∴， 解得． 答：实数a的取值范围为． 解后反思 当不等式的两边都乘以(或除以)同一个数(或整式)时，要注意观察变形前后两个不等式的不等号.如果不等号的方向没变,那么这个数(或整式)的符号为正;如果不等号的方向发生改变，那么这个数(或整式)的符号为负. 不等式性质的应用 例7.限高标志牌是指禁止装载高度超过标志所示数值的车辆通行．如图所示是某高架桥洞前的限高标志牌，标志牌上的数据为，则下列装载高度的大型车辆能通过此桥洞的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了不等式的应用能力．根据标志内容为限高可得，能通过此桥洞的车辆高度必须不能超过． 【详解】解：由标志内容可得，能通过此桥洞的车辆高度必须不能超过． 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 【变式7-1】高钙牛奶的包装盒上注明“每100克内含钙150毫克”，它的含义是指（　　） A．每100克内含钙150毫克 B．每100克内含钙不低于150毫克 C．每100克内含钙高于150毫克 D．每100克内含钙不超过150毫克 【答案】B 【分析】根据不等号的含义，进行判断即可． 【详解】解：根据的含义，“每100克内含钙150毫克”，就是“每100克内含钙不低于150毫克”， 故选：B． 【点睛】本题考查不等号的意义，熟练掌握不等号的意义，是解题的关键． 【变式7-2】若一件商品的进价为500元，标价为750元，商店要求以利润率不低于的售价打折出售，问售货员最低打几折出售此商品，设打x折，用不等式表示题目中的不等关系． 【答案】 【分析】本题考查列不等式； 利润率不低于，即是利润应大于或等于利润率的．根据不等量关系：售价进价，即可得到答案． 【详解】解：设应打x折， 根据题意，得． 【变式7-3】王老伯在集市上先买回5只羊，平均每只a元，稍后又买回3只羊，平均每只b元，后来他以每只 的价格把羊全部卖掉了．如果a＜b，那么王老伯是赚钱了还是赔钱了？为什么？ 【答案】王老伯赚钱了. 【分析】分别求得8只羊的总进价以及总售价，利用不等式的性质比较即可． 【详解】王老伯赚钱了.理由如下： 因为先买回5只羊，平均每只a元，稍后又买回3只羊，平均每只b元， 所以王老伯买羊共花费（5a＋3b）元. 而卖羊共收入×8＝（4a＋4b）元. 因为a＜b， 所以a＋（4a＋3b）＜b＋（4a＋3b）， 即5a＋3b＜4a＋4b，故王老伯赚钱了. 【点睛】计算盈亏应比较总进价和总售价，得到8只羊的总进价和总售价是解决本题的关键；用到的知识点为：在不等式的两边都加上同一个式子，不等号的方向不变． 【变式7-4】某商店销售A，B两种商品，每件A商品的售价比B商品少10元.购买5件A商品比购买3件B商品多10元.设每件A商品的售价为x元. (1)每件B商品的售价为______元(用含x的式子表示)； (2)求A，B商品每件的售价各多少元？ (3)元旦期间，该商店决定对A，B两种商品进行促销活动，具体办法是： 方案一：购买A商品超出15件后，超出部分五折销售，不超出部分不享受任何折扣；B商品无论多少一律九折. 方案二：无论买多少，A，B商品一律八折. 若小红打算到该商店购买m件A商品和20件B商品，选择哪种方案购买更实惠(两种优惠方案不能同时享受)？ 【答案】(1)(x+10)；(2)A，B商品每件的售价分别为20元，30元；(3)当m＜35时，按方案二购买；当m＝35时，两种方案都一样；当m＞35时，按方案一购买. 【分析】(1)根据每件A商品的售价比B商品少10元，可得答案； (2)根据购买5件A商品比购买3件B商品多10元，列方程求解即可； (3)先分m≤15和m＞15，表示出两种购买方案所需要的费用，可得当m≤15时，应该按方案二购买，选择方案二购买更实惠；当m＞15时，分别列不等式和方程，得出m的值即可作出判断. 【详解】解：(1)每件B商品的售价为(x+10)元； 故答案为：(x+10)； (2)根据题意得，5x＝3(x+10)+10， 解得x＝20， ∴x+10＝30； 答：A，B商品每件的售价分别为20元，30元； (3)当m≤15时，方案一：20m+30×20×90%＝20m+540； 当m＞15时，方案一：15×20+(m﹣15)×20×50%+30×20×90%＝10m+690； 方案二：(20m+30×20)×80%＝16m+480， 当m≤15时，20m+540＞16m+480 ∴应该按方案二购买，选择方案二购买更实惠； 当m＞15时， 10m+690＞16m+480时，解得m＜35； 10m+690＜16m+480时，解得m＞35； 10m+690＝16m+480时，解得m＝35， ∴当m＜35时，按方案二购买； 当m＝35时，两种方案都一样； 当m＞35时，按方案一购买. 【点睛】此题主要考查不等式、一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出式子求解. 有关不等式的规律探究题（难点） 例8.我们知道不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变.不等式组是否也具有类似的性质呢?请解答下列问题. （1）完成下列填空： 已知 用“”“或“”填空 _______ _______ （2）一般地，如果那么_______（用“”或“”填空）.请你利用不等式的基本性质说明上述不等式的正确性 【答案】（1）>、<；（2）<，理由见解析. 【分析】（1）根据有理数的运算即可得出； （2）利用（1）的规律判断，利用不等式的基本性质即可证明. 【详解】解：（1），，故答案为>、<； （2）结论：，理由如下： ∵，∴， ∵，∴. 【点睛】本题考查的是不等式的基本性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键. 【变式8-1】阅读下列材料，并完成填空． 你能比较 和 的大小吗? 为了解决这个问题，先把问题一般化，比较 和 （ ，且 为整数）的大小．然后从分析 ，， 的简单情形入手，从中发现规律，经过归纳、猜想得出结论． （1）通过计算（可用计算器）比较下列（1）-（7）组两数的大小：（在横线上填上 " "" “或” "） （1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ；（7） ； （2）归纳第（1）问的结果，可以猜想出 和 的大小关系； （3）根据以上结论，可以得出 和 的大小关系． 【答案】（1）；；；；；； ;（2）当 或 时，；当 时，．（3）   ． 【分析】（1）计算器计算即可, （2）根据上一问总结规律即可, （3）根据上一问总结规律即可, 【详解】（1）   ；；；；；； （2）  当 或 时，； 当 时，． （3）   ． 【点睛】本题考查了有理数的乘方,有理数的大小比较,有一定难度,从计算结果中总结规律是解题关键. 【变式8-2】【阅读理解】：在比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是利用“作差法”，即要比较代数式的大小，只要作出差．若，则：若．则：若，则． 【解决问题】 （1）根据上面阅（1）根据上面阅读比较， ______（填或）； （2）已知，当时，比较与的大小，并说明理由； 【学以致用】 （3）为了安全方便，某自助加油站只提供两种自助加油方式：方式一：每次定额只加200元．方式二：每次定量只加20升．自助加油站规定每辆车只能选择其中一种自助加油方式，现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，设第一次油价为元／升，第二次油价为元/升（）．那么哪种加油方式更合算呢？予以说明． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）当时，方式二加油更划算；当时，方式一加油更划算 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质并灵活运用是解此题的关键． （1）计算，由此即可得出答案； （2）计算，并根据作出判断即可； （3）计算两种方式加油的平均油价为：，再计算出，，分两种情况：当时，当时，分别进行计算即可． 【详解】解：（1） ， ， 故答案为：； （2）， ， ， ， ， ； （3）由题意可得： 两种方式加油的平均油价为：， ，， 当时，，，此时，， ，此时方式二加油更划算； 当时，，，此时，， ，此时方式一加油更划算； 综上所述，当时，方式二加油更划算；当时，方式一加油更划算． 方法技巧总结 作差法——比较大小的有力工具 要比较与的大小，可将问题转化为比较与0的大小．如果，那么；如果，那么；如果，那么．若对差的正负无法直接进行判断，则需要进行分类讨论. 有3人携带会议材料乘坐电梯，这3人的体重共210kg，每捆材料重10kg，电梯最大负荷为1050kg，则该电梯在此3人乘坐的情况下最多还能搭载 捆材料． 【答案】84 【分析】根据一元一次不等式的应用，设最多还能搭载x捆材料，列出一元一次不等式，解不等式即可. 【详解】解：根据题意，设最多还能搭载x捆材料，则 ， 解得：； ∴最多还能搭载84捆材料， 故答案为：84. 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练掌握题意，正确列出一元一次不等式进行解题. 防错警示 解答此类问题时，要正确理解表述不等关系的关键词，不要弄错或弄混. 已知 a＜b，c＜0，则下列式子正确的是（    ） A．a+c＞b+c B．ac2＞bc2 C．ac＞bc D．ac＜bc 【答案】C 【分析】根据不等式的性质即可求解. 【详解】∵a＜b，c＜0， ∴A. a+c＜b+c，故错误；     B. ac2＜bc2，故错误；     C. ac＞bc，正确；D错误     故选C. 【点睛】此题主要考查不等式的性质，解题的关键是熟知不等式的性质定理. 防错警示 本题易错误地认为，而直接得出错误的结论，原因是忽略了当时，0 的情况，所以考虑问题要全面． 一、单选题 1．以下表达式：；；；；．其中不等式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式的定义，根据不等式的定义进行判断即可，熟知用不等号连接的式子是不等式是解本题的关键． 【详解】解：是不等式； 是不等式； 是整式； 是等式； 是不等式； 综上：是不等式，共个， 故选：． 2．表示数的点在数轴上的位置如图所示，下列选项不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图示，可得且，，，据此逐项判断即可．此题主要考查了实数大小比较的方法，不等式的性质以及数轴的特征：一般来说，当数轴正方向朝右时，右边的数总比左边的数大． 【详解】解：根据图示，可得且，，， ， ， 选项A不符合题意； ， ， 选项B不符合题意； ，， ， 选项C符合题意； ，， ， 选项D不符合题意． 故选：C． 3．如果3m＞4m，那么m的取值范围是(    ) A．m一定是正数 B．m一定是负数 C．m是非负数 D．m一定是0或负数 【答案】B 【分析】由3＜4，而3m＞4m，根据不等式性质，即可快速作答． 【详解】由3＜4，要使3m＞4m，根据不等式性质：只有给不等式两边同时乘（除）以一个负数，不等号方向才会改变．故答案为B． 【点睛】本题的解答关键是不等式的性质，即给不等式两边同时乘（除）以一个负数，不等号方向才会改变． 4．限高标志牌是指禁止装载高度超过标志所示数值的车辆通行．如图所示是某高架桥前的限高标志牌，标志牌上标的数据为，则下列装载高度的车辆能通过此桥洞的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据标志内容为限高可得，能通过此桥洞的车辆高度必须不能超过． 此题考查了不等式的应用能力，关键是能根据标志牌内容准确获得通过车辆高度的范围． 【详解】解：由标志内容可得，能通过此桥洞的车辆高度必须不能超过． 故选：D． 二、填空题 5．已知，用“＞”或“＜”填空： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 ＜ ＞ ＞ ＜ 【分析】根据不等式的基本性质判断即可． 【详解】解：解：（1）不等式两边都加2，不等号的方向不变， 故答案为：＜； （2）不等式两边都乘，不等号的方向改变， 故答案为：＞； （3）∵，∴，∴， 故答案为：＞． （4）∵，∴，∴， 故答案为：＜． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，掌握①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键． 6．如果x＞y，且（a-1）x＜（a-1）y，那么a的取值范围是 ． 【答案】a＜1 【分析】根据不等式的性质3，可得答案． 【详解】解：由题意，得 a-1＜0， 解得a＜1， 故答案为a＜1． 【点睛】本题考查不等式的性质，利用不等式的性质是解题关键． 7．我们定义表示不小于实数的最小整数，例如：．现给出下列结论： ①；②若，则；③若，则；④若，，则． 以上选项中，所有正确的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了新定义，不等式的性质 ，理解新定义得出不等式是解题的关键． 根据表示不少于实数必的最小整数，即可解答． 【详解】根据定义表示不少于实数的最小整数，可得①结论正确； 若，根据的意义，得，结论②错误； 若，则，结论③正确； 当，时，有，，，或6，结论④是正确． 综上所述：①③④正确． 故答案为：①③④． 三、解答题 8．用适当的不等式表示下列不等关系： （1）x的与x的2倍的和是非负数； （2）一枚炮弹的杀伤力半径不小于300米； （3）三件上衣和四条裤子的总价钱不高于368元； （4）明天下雨的可能性不小于70%； （5）小明的体重不比小亮的轻； 【答案】答案见解析. 【分析】（1）非负数用“≥”表示； （2）、（4）不小于就是大于等于，用“≥”来表示； （3）不高于就是等于或低于，用“≤”表示； （5）不比小亮轻，就是与小亮一样重或者比小亮重．用“≥”表示． 【详解】（1）x+2x≥0； （2）设炮弹的杀伤半径为r，则应有r≥300； （3）设每件上衣为a元，每条长裤是b元，应有3a+4b≤368； （4）用P表示明天下雨的可能性，则有P≥70%； （5）设小明的体重为a千克，小亮的体重为b千克，则应有a≥b． 【点睛】本题考查了不等式的定义．一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞＜≤≥≠． 9．根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“x>a”或“x<a”的形式： （1）5x>4x+8 （2）x+2<-1 （3）-x>-1 （4）10-x>0 （5）-x<-2 （6）3x+5<0 【答案】（1）x>8；（2）x<-3；（3）x<；（4）x<10；（5）x>10；（6）x<-． 【分析】根据不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；依次分析各小题即可． 【详解】解：（1）根据不等式性质1，不等式两边都减4x，不等号的方向不变， 得5x-4x>4x+8-4x，即x>8； （2）根据不等式性质1，不等式两边都减去2，不等号的方向不变， 得x+2-2<-1-2即x<-3； （3）根据不等式性质3，不等式两边同除以-，不等号的方向改变， 得-x÷（-）<-1÷（-）即x<； （4）根据不等式性质1，不等式两边同减10，不等号的方向不变， 得10-x-10>0-10即-x>-10， 再根据不等式性质3，不等式两边同除以-1，不等号的方向改变，得x<10； （5）根据不等式性质3，不等式两边同乘以-5，不等号的方向改变， 得-x·（-5）>-2×（-5）即x>10； （6）根据不等式性质1，不等式两边都减去5，不等号的方向不变 得3x+5-5<0-5即3x<-5， 再根据不等式性质2，不等式两边同除以3，不等号的方向不变， 得3x÷3<-5÷3即x<-． 【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，本题重在考查不等式的三条基本性质，特别是性质3，两边同乘以（�或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向!�这条性质是初学者最易出错也经常出错的地方． 10．若，则；若，则；若，则，这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式值的大小． (1)试比较代数式与的值之间的大小关系； (2)已知代数式与相等，试用等式的性质比较的大小关系． (3)已知，试用等式的性质比较的大小关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把两个多项式作差比较大小即可； （2）等式两边同时减去即可得到，由此即可得到结论； （3）等式的性质两边同时乘以6可得，，由此可得结论． 【详解】（1）解： ∵不论为何值，都有 ∴ （2）解：∵， ∴等式两边同时减去，得， 整理得， ∴． （3）解：∵， 根据等式的性质两边同时乘以6可得， 整理得， 即， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等式的性质和不等式的性质，正确理解题意是解题的关键． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！33 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 不等式及其性质 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 一、知识与技能目标 1.学生能够准确理解不等式的定义，能识别不等式中的不等关系，能够区分不等式与等式的不同之处，明确等式表示左右两边的量相等，而不等式表示不相等的关系。 2.学生能牢记不等式的基本性质，能够运用不等式的基本性质进行简单的变形，如解简单的一元一次不等式。 二、过程与方法目标 1.逻辑推理能力：通过对不等式基本性质的探究过程，培养学生的逻辑推理能力。 2.数学思维培养：经历从具体实例中抽象出不等式概念以及归纳不等式基本性质的过程，发展学生的抽象思维和归纳思维能力。 三、情感态度与价值观目标 1.数学兴趣提升：让学生感受到不等式在解决实际问题中的广泛应用，如在资源分配、方案选择等方面的作用，从而提高学生学习数学的兴趣。 2.数学应用意识：培养学生的数学应用意识，使学生认识到数学知识不仅仅是理论知识，更是解决生活中各种问题的有力工具。 知识点1 不等式的概念 用不等号＂＞＂＂＜＂＂＂＂＂连接的式子，叫作不等式，如等． 判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式，哪些既不是等式也不是不等式． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)52； (7)． 【易混易错提醒】像或者单独的数字而言，它们只是代数式，等式应是用等号连接的两个代数式，不等式应是用不等号连接的两个代数式． 【解题技巧总结】判断一个式子是否为不等式的关键是看连接的符号，若连接的符号不是不等号，则式子一定不是不等式. 知识点2 常见的不等号及其含义 符号 名称 读法 表示意义 大于号 大于 左边的量大于右边的量 小于号 小于 左边的量小于右边的量 大于或等于号 大于或等于,即不小于 左边的量不小于右边的量 小于或等于号 小于或等于,即不大于 左边的量不大于右边的量 不等号 不等于 表示两边的量不相等，但未明确哪边的量大 【特别提醒】(1)不等式可以是表示数的大小不等的式子，也可以是表示数量关系的大小不等的式子,即不等式中不一定含有未知数.(2)不等号具有方向性，其左右两边的式子不能随意交换. 知识点3 不等式的性质 1.不等式性质1 对于任意给定的两个数，在三种情形中，有且仅有一种情形成立. 2．不等式性质2 如果，那么． 提醒 如同相等关系具有传递性,这条性质说明大于关系也具有传递性,同样，“”“≤”与“”也具有传递性． 3．不等式性质3 不等式的两边同加或减一个数，不等号的方向不变．比如，如果，那么． 4．不等式性质4 不等式的两边同乘或除以一个正数，不等号的方向不变．比如，如果，那么． 5．不等式性质5 不等式的两边同乘或除以一个负数，不等号的方向改变．比如，如果，那么 核心笔记 不等式、等式的基本性质的联系与区别 (1)联系:不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变;等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,都乘以(或除以)同一个正数，等式仍然成立. （2）区别：①不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，等式仍然成立； ②不等式中，如果，那么；等式中，如果，那么． 设，用“”或“”号填空： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 方法总结 先观察不等号左右两边是由原来的不等式进行了怎样的变形得来的，然后再对照不等式的性质，决定是否改变不等号的方向. 列不等式 例1.用适当的不等式表示下列不等关系： （1）x减去6大于12； （2）x的2倍与5的差是负数； （3）x的3倍与4的和是非负数； （4）y的5倍与9的差不大于； 审题关键:解答这类题的关键是根据文字表述厘清数量关系,然后用不等式来正确表示. 【变式1-1】用适当的不等式表示下列关系： (1)x的与x的2倍的和是非正数； (2)一枚炮弹的杀伤半径不小于300米； (3)三件相同上衣与四条相同长裤的总价钱不高于268元； (4)小明的体重不比小刚轻． 【变式1-2】用适当的符号表示下列关系． (1)x的7倍减去1是非正数． (2)y的与的和不大于0． (3)y的不小于1与y的和． 【变式1-3】用适当的符号表示下列关系： (1)x的与x的2倍的和是非正数； (2)一枚炮弹的杀伤半径不小于300米； (3)三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元； (4)明天下雨的可能性不小于； (5)小明的体重不比小刚轻． 易错易混提醒 解决此类问题一定要注意“不小于”“不大于”的表示不要出错 判断不等式 例2.有下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是不等式的有 个． 审题关键:判断一个式子是否为不等式的关键是看连接的符号，若连接的符号不是不等号，则式子一定不是不等式. 【变式2-1】给出下列表达式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中属于不等式的是 ．（填序号） 【变式2-2】在下列数学表达式中：，，，，，其中不等式有 个． 解题技巧总结 轻松判定不等式判定一个式子为不等式，要把握两点: (1)含有不等号,(2)表示不等关系，只有二者同时具备，才是不等式,一个式子是否为不等式,与不等式是否成立没有关系，如3>12并不成立,但它仍是不等式. 利用不等式的性质比大小（重点） 例3.已知a＞b，用“＞”“＜”填空，并说明理由． (1)a+3________b+3． (2)a-4________b-4． (3)a_______b． (4)-2a________-2b． (5)3a-1________3b-1． (6)1-a________1-b． 审题关键:解答这类题的关键是判断a、b同时乘或除以一个大于0的数还是小于0的数,依此来一步步判断符号是否变化. 【变式3-1】用不等号填空，若，则 (填“>”或“<”)． 【变式3-2】已知，请比较下列各式的大小，并说明理由． (1)与； (2)与． 【变式3-3】请解决以下两个问题： (1)利用不等式的性质1比较与的大小； (2)利用不等式的性质2比较与的大小． 【变式3-4】已知，则 ．（用＞”、“＜或＝”填空） 【变式3-5】解决下面问题： (1)已知，比较与的大小．（选择适当的不等号填空） 解：，且（已知） _______（不等式的基本性质3） _______（不等式的基本性质2） (2)若，比较与的大小，并说明理由． 【变式3-6】先阅读下面的解题过程，再解题． 已知，试比较与的大小． 解：因为，① 所以，② 故．③ (1)上述解题过程中，从步骤_______开始出现错误； (2)请写出正确的解题过程． 反思总结 遇到较复杂的问题,可以拆分为多步,一步步判断不等号的方向. 根据点在数轴上的位置判断有理数的大小关系（难点） 例4.如图，数轴上点A、B对应的有理数分别为a、b，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 审题关键:解答这类题的关键是先通过数轴判断a、b的大小关系以及的大小关系,再利用不等式的性质解决问题. 【变式4-1】实数在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，数轴上点A、B、C分别表示数a、b、c，则下列不等式中错误的是（    ）． A． B． C． D． 【变式4-3】如图，A，B两点在数轴上表示的数分别是a，b，则下列式子中成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-4】如图所示，点A和点B分别在数轴上原点的左侧和右侧，且点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式4-5】若有关于x的不等式可以推出，则a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 利用不等式的基本性质对不等式进行变形 例5.根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“”或“”的形式： (1) (2) 审题关键:解答本题的关键是弄清两种形式间的联系能灵活运用不等式的基本性质进行变形. 破题思路:将所给的不等式化成“”或“”的形式,需先利用不等式的加减性质,使含未知数的项和常数项分别位于不等号的两边，再利用不等式的乘除正数和负数的性质,将未知数的系数化为1. 【变式5-1】根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式： (1)2x＞－4;  (2)x－4＜－2； (3)－2x＜1; (4)x＜2. 【变式5-2】根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式5-3】根据不等式的基本性质，把下列不等式化成或的形式．   （1） ．    （2）．     （3）．    （4）． 解后反思 利用不等式的基本性质对不等式变形时的注意事项 (1)要注意每一步的变形依据;(2)要注意利用不等式的基本性质时不等号的方向是否需要改变. 利用不等式的基本性质求字母的取值范围（重点） 例6.如果，且，那么a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】若，且，则m的取值范围是 ． 【变式6-2】若，且，求实数a的取值范围． 解后反思 当不等式的两边都乘以(或除以)同一个数(或整式)时，要注意观察变形前后两个不等式的不等号.如果不等号的方向没变,那么这个数(或整式)的符号为正;如果不等号的方向发生改变，那么这个数(或整式)的符号为负. 不等式性质的应用 例7.限高标志牌是指禁止装载高度超过标志所示数值的车辆通行．如图所示是某高架桥洞前的限高标志牌，标志牌上的数据为，则下列装载高度的大型车辆能通过此桥洞的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】高钙牛奶的包装盒上注明“每100克内含钙150毫克”，它的含义是指（　　） A．每100克内含钙150毫克 B．每100克内含钙不低于150毫克 C．每100克内含钙高于150毫克 D．每100克内含钙不超过150毫克 【变式7-2】若一件商品的进价为500元，标价为750元，商店要求以利润率不低于的售价打折出售，问售货员最低打几折出售此商品，设打x折，用不等式表示题目中的不等关系． 【变式7-3】王老伯在集市上先买回5只羊，平均每只a元，稍后又买回3只羊，平均每只b元，后来他以每只 的价格把羊全部卖掉了．如果a＜b，那么王老伯是赚钱了还是赔钱了？为什么？ 【变式7-4】某商店销售A，B两种商品，每件A商品的售价比B商品少10元.购买5件A商品比购买3件B商品多10元.设每件A商品的售价为x元. (1)每件B商品的售价为______元(用含x的式子表示)； (2)求A，B商品每件的售价各多少元？ (3)元旦期间，该商店决定对A，B两种商品进行促销活动，具体办法是： 方案一：购买A商品超出15件后，超出部分五折销售，不超出部分不享受任何折扣；B商品无论多少一律九折. 方案二：无论买多少，A，B商品一律八折. 若小红打算到该商店购买m件A商品和20件B商品，选择哪种方案购买更实惠(两种优惠方案不能同时享受)？ 有关不等式的规律探究题（难点） 例8.我们知道不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变.不等式组是否也具有类似的性质呢?请解答下列问题. （1）完成下列填空： 已知 用“”“或“”填空 _______ _______ （2）一般地，如果那么_______（用“”或“”填空）.请你利用不等式的基本性质说明上述不等式的正确性 【变式8-1】阅读下列材料，并完成填空． 你能比较 和 的大小吗? 为了解决这个问题，先把问题一般化，比较 和 （ ，且 为整数）的大小．然后从分析 ，， 的简单情形入手，从中发现规律，经过归纳、猜想得出结论． （1）通过计算（可用计算器）比较下列（1）-（7）组两数的大小：（在横线上填上 " "" “或” "） （1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ；（7） ； （2）归纳第（1）问的结果，可以猜想出 和 的大小关系； （3）根据以上结论，可以得出 和 的大小关系． 【变式8-2】【阅读理解】：在比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是利用“作差法”，即要比较代数式的大小，只要作出差．若，则：若．则：若，则． 【解决问题】 （1）根据上面阅（1）根据上面阅读比较， ______（填或）； （2）已知，当时，比较与的大小，并说明理由； 【学以致用】 （2） 为了安全方便，某自助加油站只提供两种自助加油方式：方式一：每次定额只加200元．方式二：每次定量只加20升．自助加油站规定每辆车只能选择其中一种自助加油方式，现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，设第一次油价为元／升，第二次油价为元/升（）．那么哪种加油方式更合算呢？予以说明． 方法技巧总结 作差法——比较大小的有力工具 要比较与的大小，可将问题转化为比较与0的大小．如果，那么；如果，那么；如果，那么．若对差的正负无法直接进行判断，则需要进行分类讨论. 有3人携带会议材料乘坐电梯，这3人的体重共210kg，每捆材料重10kg，电梯最大负荷为1050kg，则该电梯在此3人乘坐的情况下最多还能搭载 捆材料． 防错警示 解答此类问题时，要正确理解表述不等关系的关键词，不要弄错或弄混. 已知 a＜b，c＜0，则下列式子正确的是（    ） A． a+c＞b+c B．ac2＞bc2 C．ac＞bc D．ac＜bc 防错警示 本题易错误地认为，而直接得出错误的结论，原因是忽略了当时，0 的情况，所以考虑问题要全面． 一、单选题 1．以下表达式：；；；；．其中不等式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．表示数的点在数轴上的位置如图所示，下列选项不成立的是（    ） A． B． C． D． 3．如果3m＞4m，那么m的取值范围是(    ) A．m一定是正数 B．m一定是负数 C．m是非负数 D．m一定是0或负数 4．限高标志牌是指禁止装载高度超过标志所示数值的车辆通行．如图所示是某高架桥前的限高标志牌，标志牌上标的数据为，则下列装载高度的车辆能通过此桥洞的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．已知，用“＞”或“＜”填空： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 6．如果x＞y，且（a-1）x＜（a-1）y，那么a的取值范围是 ． 7．我们定义表示不小于实数的最小整数，例如：．现给出下列结论： ①；②若，则；③若，则；④若，，则． 以上选项中，所有正确的序号是 ． 三、解答题 8．用适当的不等式表示下列不等关系： （1）x的与x的2倍的和是非负数； （2）一枚炮弹的杀伤力半径不小于300米； （3）三件上衣和四条裤子的总价钱不高于368元； （4）明天下雨的可能性不小于70%； （5）小明的体重不比小亮的轻； 9．根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“x>a”或“x<a”的形式： （1）5x>4x+8 （2）x+2<-1 （3）-x>-1 （4）10-x>0 （5）-x<-2 （6）3x+5<0 10．若，则；若，则；若，则，这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式值的大小． (1)试比较代数式与的值之间的大小关系； (2)已知代数式与相等，试用等式的性质比较的大小关系． (3)已知，试用等式的性质比较的大小关系． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$