河北省石家庄市裕华区2023-2024学年七年级上学期期末数学试卷-河北省石家庄市七年级上学期期末试卷汇编

2023-2024学年河北省石家庄市裕华区七年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题有16个小题，每小题2分，共32分.在每小题给出的四个题项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（2分）生产厂家检测4个足球的质量，结果如图所示，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最标准的足球是（　　） A．B． C． D． 2．（2分）在一条沿直线l铺设的电缆两侧有P，Q两个小区，要求在直线l上的某处选取一点M，向P、Q两个小区铺设电缆，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的电缆，则所需电缆材料最短的是（　　） A． B． C． D． 3．（2分）下列各组数中，相等的一组是（　　） A．﹣|﹣2|与﹣（﹣2） B．﹣2﹣3与﹣2 C．﹣3+7与﹣4 D．﹣54与（﹣5）4 4．（2分）如图，点C在线段BD上，过A，B，C，D中的两点可以画一条直线，其中过点C的直线有（　　） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 5．（2分）下列关于代数式的意义不正确的是（　　） A．表示a的3倍与4的和的一半 B．2（a+5）表示a与5的和的2倍 C．2a+5表示a的2倍与5的和 D．（a+b）2表示a与b的和的平方 6．（2分）在a﹣（2b﹣3c）＝﹣□中的□内应填的代数式为（　　） A．﹣a﹣2b+3c B．a﹣2b+3c C．﹣a+2b﹣3c D．a+2b﹣3c 7．（2分）小亮正确完成了以下两道作图题：①“延长线段AB到C，使BC＝AB“；②“反向延长线段DE到F，使点D是线段EF的一个三等分点”．针对小亮的作图，小莹说：“点B是线段AC中点”．小轩说：“DE＝2DF”．下列说法正确的是（　　） A．小莹、小轩都对 B．小莹不对，小轩对 C．小莹、小轩都不对 D．小莹对，小轩不对 8．（2分）下列说法正确的是（　　） A．﹣πab的次数为3 B．2a+ab﹣12是二次三项式 C．的系数为5 D．﹣a3b和ab3同类项 9．（2分）下面是黑板上出示的尺规作图题，需要回答符号代表的内容（　　） 如图，已知∠AOB，求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB 作法： （1）以●为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点P、Q （2）作射线EG，并以点E为圆心◎长为半径画弧交EG于点D （3）以点D为圆心⊙长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F （4）作⊕，∠DEF即为所求作的角 A．●表示点E B．◎表示PQ C．⊙表示OQ D．⊕表示射线EF 10．（2分）在计算时，有四位同学给出了以下四种计算步骤，其中正确的是（　　） A．原式 B．原式 C．原式 D．原式 11．（2分）如图，△ABC绕点P逆时针旋转一个角度得到△DEF，则下面选项中不能表示旋转角的是（　　） A．∠CPD B．∠APD C．∠BPE D．∠CPF 12．（2分）下列等式变形中，正确的是（　　） A．若3x﹣2＝5，则3x＝﹣7 B．若﹣8x＝4，则x＝﹣2 C．若，则2x＝6 D．若5x+2＝﹣6，则5x＝﹣8 13．（2分）如图，用圆圈按照一定的规律拼图案，其中第（1）个图案有5个圆圈，第（2）个图案有8个圆圈，第（3）个图案有11个圆圈，…，按此规律拼下去，则第（7）个图案中圆圈的个数为（　　） A．20 B．23 C．26 D．29 14．（2分）如图，将长方形纸片ABCD的角C沿着GF折叠（点F在BC上，不与B，C重合），使点C落在长方形内部点E处，若FH平分∠BFE，则∠GFH的度数α是（　　） A．90°＜α＜180° B．0°＜α＜90° C．α＝90° D．α随折痕GF位置的变化而变化 15．（2分）学校在一次研学活动中，有n位师生乘坐m辆客车，若每辆客车乘50人，则还有12人不能上车；若每辆客车乘55人，则最后一辆车空了8个座位．下列四个等式：①50m+12＝55m﹣8； ②50m+12＝55m+8； ③； ④． 其中正确的有（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 16．（2分）按下面的程序计算： 若输n＝100，输出结果是501；若输入n＝25，输出结果是631，若开始输入的n值为正整数，最后输出的结果为656，则开始输入的n值可能有（　　） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 二、填空题：（本大题有3个小题，17-18题每小题3分，19题每空2分，共10分.） 17．（3分）已知x＝2是关于x的一元一次方程2x+k﹣1＝0的解，则k等于 　 　． 18．（3分）如图，∠AOC＝90°，OC平分∠DOB，∠DOC＝25°35'，∠BOA度数是 　 　 19．（4分）如图，线段AO、OB、BC三条线段首尾相接，组成折线段，AO＝OB＝10，BC＝7．动点P从点A出发，沿着A→O→B→C的方向运动，点P在AO上以2个单位长度/秒的速度运动，在OB上运动速度变为原来的一半，在BC上又恢复为2个单位长度/秒的速度运动；点P出发的同时，动点Q从点C出发，始终以1个单位长度/秒的速度沿着C→B→O→A的方向运动．当点P运动至点C时，点Q也随之停止运动．设运动的时间为t秒． （1）动点P从点A运动至点C需要 　 　秒； （2）当P，Q两点相遇时，相遇点M与点B相距 　 　个单位长度． 三、解答题（本大题有7个小题，共58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20．（8分）在一条不完整的数轴上从左到右有A，B，C三点，其中AB＝2，BC＝1，如图所示，设点A，B，C所对应数的和是p． （1）若以C为原点，写出点A，B所对应的数，计算p的值； （2）若p的值是﹣1，求出点A，B，C所对应的数； （3）在（2）的条件下，在数轴上表示|﹣0.5|、（﹣1）3和A，B，C所对应的数，并把这5个数进行大小比较，用“＜”连接． 21．（20分）（1）7+（﹣14）﹣（﹣9）﹣（+12）； （2）； （3）（2a﹣b）﹣（2b﹣3a）﹣2（a﹣2b）； （4）； （5）（3a2+2a﹣1）﹣2（3﹣4a+2a2），其中a＝﹣2． 22．（6分）如图，一个长方形中剪下两个大小相同的正方形（有关线段的长如图所示，单位：米）留下一个“T”型图形（阴影部分）． （1）用含x，y的代数式表示“T”型图形的周长； （2）若此图作为某施工图，“T”型图形的周边需围上单价为每米20元的栅栏，原长方形周边的其余部分需围上单价为每米15元的栅栏．若x＝1，y＝3，请计算整个施工所需的造价． 23．（6分）若a+b＝1，则称a与b是关于1的平衡数． （1）6与 　 　是关于1的平衡数； （2）x﹣1与 　 　是关于1的平衡数； （3）若a＝2（3x2﹣x）﹣5，b＝x﹣（6x2﹣x﹣5），试判断a与b是否是关于1的平衡数，并说明理由． 24．（6分）如图，点E是线段AB的中点，C是EB上一点，且EC：CB＝1：4，AC＝12cm． （1）求AB的长； （2）若F为CB的中点，求EF长． 25．（6分）某玩具工厂出售一种玩具，其成本价为每件28元．如果直接由厂家门市销售，每件产品售价为35元，同时每月还要支出其他费用2100元；如果委托商场销售，那么出厂价为每件32元． （1）若用x表示每月销售该种玩具的件数，请你用含x的式子分别表示这两种销售方式所得的利润． （2）在两种销售方式下，每个月销售多少件时，所得利润相等？ （3）若每个月的销售量为1000件时，采用哪种销售方式获得利润较多？其利润是多少？ 26．（6分）如图，O为直线MN上一点，将一副直角三角尺（分别含45°、45°、90°和30°、60°、90°的角）按图中方式放在点O处，使∠AOC＝150°．将三角尺AOB绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，旋转180°后停止设运动时间为t秒． （1）当t＝5时，∠BOC＝　 　°； （2）若在三角尺AOB开始旋转的同时，三角尺COD也绕点O以每秒10°的速度逆时针旋转，当三角尺AOB停止旋转时，三角尺COD也停止旋转． ①在线段OA与OC第一次相遇前，t为何值时，OA平分∠COD； ②在旋转过程中，是否存在某一时刻使∠AOD＝2∠BOC．若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 2023-2024学年河北省石家庄市裕华区七年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C C B A A C D B D C A 题号 12 13 14 15 16 答案 D B C A C 一、选择题（本大题有16个小题，每小题2分，共32分.在每小题给出的四个题项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（2分）生产厂家检测4个足球的质量，结果如图所示，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最标准的足球是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：|+2.5|＝2.5，|﹣2.5|＝2.5，|+0.7|＝0.7，|﹣3.5|＝3.5， 0.7＜2.5＜3.5， 故选：C． 2．（2分）在一条沿直线l铺设的电缆两侧有P，Q两个小区，要求在直线l上的某处选取一点M，向P、Q两个小区铺设电缆，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的电缆，则所需电缆材料最短的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据线段的性质可知，连接PQ，交l于点M，点M就是所求的点，符合题意的画法是C． 故选：C． 3．（2分）下列各组数中，相等的一组是（　　） A．﹣|﹣2|与﹣（﹣2） B．﹣2﹣3与﹣2 C．﹣3+7与﹣4 D．﹣54与（﹣5）4 【解答】解：A、﹣|﹣2|＝﹣2，﹣（﹣2）＝2， ∴﹣|﹣2|与﹣（﹣2）不相等， 故A不符合题意； B、﹣2﹣3＝﹣5，﹣225， ∴﹣2﹣3＝﹣2， 故B符合题意； C、∵﹣3+7＝4， ∴﹣3+7与﹣4不相等， 故C不符合题意； D、∵﹣54＝﹣625，（﹣5）4＝625， ∴﹣54与（﹣5）4不相等， 故D不符合题意； 故选：B． 4．（2分）如图，点C在线段BD上，过A，B，C，D中的两点可以画一条直线，其中过点C的直线有（　　） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【解答】解：观察图形可知，过点C线有AC，BD，一共2条． 故选：A． 5．（2分）下列关于代数式的意义不正确的是（　　） A．表示a的3倍与4的和的一半 B．2（a+5）表示a与5的和的2倍 C．2a+5表示a的2倍与5的和 D．（a+b）2表示a与b的和的平方 【解答】解：A：a的3倍与4的和的一半表示为：，故A符合题意； B：a与6 的和的2倍表示为：2（a+6），故B不符合题意； C：a的2倍与5的和表示为：2a+5，故C不符合题意； D：a与b的和的平方表示为：（a+b）2，故D不符合题意； 故选：A． 6．（2分）在a﹣（2b﹣3c）＝﹣□中的□内应填的代数式为（　　） A．﹣a﹣2b+3c B．a﹣2b+3c C．﹣a+2b﹣3c D．a+2b﹣3c 【解答】解：a﹣（2b﹣3c）＝a﹣2b+3c＝﹣（﹣a+2b﹣3c）， 故选：C． 7．（2分）小亮正确完成了以下两道作图题：①“延长线段AB到C，使BC＝AB“；②“反向延长线段DE到F，使点D是线段EF的一个三等分点”．针对小亮的作图，小莹说：“点B是线段AC中点”．小轩说：“DE＝2DF”．下列说法正确的是（　　） A．小莹、小轩都对 B．小莹不对，小轩对 C．小莹、小轩都不对 D．小莹对，小轩不对 【解答】解：①“延长线段AB到C，使BC＝AB“，如图①所示，此时点B是AC的中点；②“反向延长线段DE到F，使点D是线段EF的一个三等分点”如图所示，有两种情况，有DE＝2DF或DEDF， 因此小莹说得对，小轩说得不对． 故选：D． 8．（2分）下列说法正确的是（　　） A．﹣πab的次数为3 B．2a+ab﹣12是二次三项式 C．的系数为5 D．﹣a3b和ab3同类项 【解答】解：A、﹣πab的次数为﹣π，原说法错误，不符合题意； B、2a+ab﹣12是二次三项式，正确，符合题意； C、系数是，原说法错误，不符合题意； D、﹣a3b和ab3不是同类项，原说法错误，不符合题意． 故选：B． 9．（2分）下面是黑板上出示的尺规作图题，需要回答符号代表的内容（　　） 如图，已知∠AOB，求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB 作法： （1）以●为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点P、Q （2）作射线EG，并以点E为圆心◎长为半径画弧交EG于点D （3）以点D为圆心⊙长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F （4）作⊕，∠DEF即为所求作的角 A．●表示点E B．◎表示PQ C．⊙表示OQ D．⊕表示射线EF 【解答】解：作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点P、Q； （2）作射线EG，并以点E为圆心，OP长为半径画弧交EG于点D； （3）以点D为圆心PQ长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F； （4）作射线EF，∠DEF即为所求作的角． 所以A，B，C选项都错误，D选项正确． 故选：D． 10．（2分）在计算时，有四位同学给出了以下四种计算步骤，其中正确的是（　　） A．原式 B．原式 C．原式 D．原式 【解答】解：， 故选：C． 11．（2分）如图，△ABC绕点P逆时针旋转一个角度得到△DEF，则下面选项中不能表示旋转角的是（　　） A．∠CPD B．∠APD C．∠BPE D．∠CPF 【解答】解：由旋转角的定义知∠APD，∠BPE、∠CPE都是旋转角，故B、C、D不符合题意； 因为C旋转后的对应点是F，因此∠CPD不是旋转角，故A符合题意． 故选：A． 12．（2分）下列等式变形中，正确的是（　　） A．若3x﹣2＝5，则3x＝﹣7 B．若﹣8x＝4，则x＝﹣2 C．若，则2x＝6 D．若5x+2＝﹣6，则5x＝﹣8 【解答】解：A选项错误，移项，得3x＝7，故错误，不符合题意； B选项错误，两边同时除以﹣8得，x，故错误，不符合题意； C选项错误，两边同时除以，得x＝﹣3，故错误，不符合题意； D选项正确，符合题意． 故选：D． 13．（2分）如图，用圆圈按照一定的规律拼图案，其中第（1）个图案有5个圆圈，第（2）个图案有8个圆圈，第（3）个图案有11个圆圈，…，按此规律拼下去，则第（7）个图案中圆圈的个数为（　　） A．20 B．23 C．26 D．29 【解答】解：第（1）个图案中有2+1×3＝5个圆圈， 第（2）个图案中有2+2×3＝8个圆圈， 第（3）个图案中有2+3×3＝11个圆圈， ...， 则第（7）个图案中圆圈的个数为：2+7×3＝23， 故选：B． 14．（2分）如图，将长方形纸片ABCD的角C沿着GF折叠（点F在BC上，不与B，C重合），使点C落在长方形内部点E处，若FH平分∠BFE，则∠GFH的度数α是（　　） A．90°＜α＜180° B．0°＜α＜90° C．α＝90° D．α随折痕GF位置的变化而变化 【解答】解：∵∠CFG＝∠EFG且FH平分∠BFE， ∴∠GFH＝∠EFG+∠EFH∠EFC∠EFB（∠EFC+∠EFB）180°＝90°． 故选：C． 15．（2分）学校在一次研学活动中，有n位师生乘坐m辆客车，若每辆客车乘50人，则还有12人不能上车；若每辆客车乘55人，则最后一辆车空了8个座位．下列四个等式：①50m+12＝55m﹣8； ②50m+12＝55m+8； ③； ④． 其中正确的有（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【解答】解：根据总人数列方程，应是50m+12＝55m﹣8， 根据客车数列方程，应该为． 故选：A． 16．（2分）按下面的程序计算： 若输n＝100，输出结果是501；若输入n＝25，输出结果是631，若开始输入的n值为正整数，最后输出的结果为656，则开始输入的n值可能有（　　） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【解答】解：由题意可知： 5n+1＝656，n＝131， 5n+1＝131，n＝26， 5n+1＝26，n＝5， 5n+1＝5，n＝0.8， ∵n值为正整数， ∴n＝0.8不符合题意． n的值可取131，26，5，共3个． 故选：C． 二、填空题：（本大题有3个小题，17-18题每小题3分，19题每空2分，共10分.） 17．（3分）已知x＝2是关于x的一元一次方程2x+k﹣1＝0的解，则k等于 　﹣3　． 【解答】解：把x＝2代入2x+k﹣1＝0得4+k﹣1＝0， 解得k＝﹣3． 故答案为：﹣3． 18．（3分）如图，∠AOC＝90°，OC平分∠DOB，∠DOC＝25°35'，∠BOA度数是 　64°25'　 【解答】解：∵OC平分∠DOB， ∴∠BOC＝∠DOC＝25°35'， ∵∠AOC＝90°， ∴∠BOA＝90°﹣∠BOC＝90°﹣25°35'＝64°25'． 故答案为：64°25'． 19．（4分）如图，线段AO、OB、BC三条线段首尾相接，组成折线段，AO＝OB＝10，BC＝7．动点P从点A出发，沿着A→O→B→C的方向运动，点P在AO上以2个单位长度/秒的速度运动，在OB上运动速度变为原来的一半，在BC上又恢复为2个单位长度/秒的速度运动；点P出发的同时，动点Q从点C出发，始终以1个单位长度/秒的速度沿着C→B→O→A的方向运动．当点P运动至点C时，点Q也随之停止运动．设运动的时间为t秒． （1）动点P从点A运动至点C需要 　18.5　秒； （2）当P，Q两点相遇时，相遇点M与点B相距 　4　个单位长度． 【解答】解：（1）10÷2+10÷1+7÷2＝18.5（秒）， 故答案为：18.5； （2）当P运动到点O时需要的时间为：10÷2＝5（秒）， 此时点Q运动了5×1＝5个单位， 设再过x秒两点相遇， 则x+x＝10+（7﹣5）， 解得：x＝6， 此时相遇点M与点B的距离为10﹣6×1＝4， 故答案为：4． 三、解答题（本大题有7个小题，共58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20．（8分）在一条不完整的数轴上从左到右有A，B，C三点，其中AB＝2，BC＝1，如图所示，设点A，B，C所对应数的和是p． （1）若以C为原点，写出点A，B所对应的数，计算p的值； （2）若p的值是﹣1，求出点A，B，C所对应的数； （3）在（2）的条件下，在数轴上表示|﹣0.5|、（﹣1）3和A，B，C所对应的数，并把这5个数进行大小比较，用“＜”连接． 【解答】解：（1）若以C为原点， ∵AB＝2，BC＝1， ∴B表示﹣1，A表示﹣3， 此时，p＝（﹣3）+（﹣1）+0＝﹣4； （2）设B对应的数为x， ∵AB＝2，BC＝1， 则A点表示的数为x﹣2，C表示的数为x+1， p＝x+x+1+x﹣2＝﹣1； x＝0，则B点为原点， ∴A表示﹣2，C表示1； （3）如图所示： 故﹣2＜（﹣1）3＜0＜|﹣0.5|＜1． 21．（20分）（1）7+（﹣14）﹣（﹣9）﹣（+12）； （2）； （3）（2a﹣b）﹣（2b﹣3a）﹣2（a﹣2b）； （4）； （5）（3a2+2a﹣1）﹣2（3﹣4a+2a2），其中a＝﹣2． 【解答】解：（1）7+（﹣14）﹣（﹣9）﹣（+12） ＝7﹣14+9﹣12 ＝﹣10． （2） ＝9（﹣4） ＝2+4 ＝6． （3）（2a﹣b）﹣（2b﹣3a）﹣2（a﹣2b） ＝2a﹣b﹣2b+3a﹣2a+4b ＝3a+b． （4）去分母得：3（x﹣1）﹣6＝2（2x+2）， 去括号得：3x﹣3﹣6＝4x+4， 移项、合并同类项得：﹣x＝13， 系数化1得：x＝﹣13． （5）原式＝3a2+2a﹣1﹣6+8a﹣4a2 ＝﹣a2+10a﹣7． 当a＝﹣2时，原式＝﹣4﹣20﹣7＝﹣31． 22．（6分）如图，一个长方形中剪下两个大小相同的正方形（有关线段的长如图所示，单位：米）留下一个“T”型图形（阴影部分）． （1）用含x，y的代数式表示“T”型图形的周长； （2）若此图作为某施工图，“T”型图形的周边需围上单价为每米20元的栅栏，原长方形周边的其余部分需围上单价为每米15元的栅栏．若x＝1，y＝3，请计算整个施工所需的造价． 【解答】解：（1）“T”型图形的周长为x+2y+4x+4y+x＝（6x+6y）米； （2）整个施工所需的造价为20（6x+6y）+15×4y ＝120x+120y+60y ＝120x+180y， 当x＝1，y＝3时， 整个施工所需的造价为120×1+180×3 ＝120+540 ＝660（元）． 23．（6分）若a+b＝1，则称a与b是关于1的平衡数． （1）6与 　﹣5　是关于1的平衡数； （2）x﹣1与 　2﹣x　是关于1的平衡数； （3）若a＝2（3x2﹣x）﹣5，b＝x﹣（6x2﹣x﹣5），试判断a与b是否是关于1的平衡数，并说明理由． 【解答】解：（1）∵6+（﹣5）＝1 ∴6与﹣5是关于1的平衡数， 故答案为：﹣5． （2）∵1﹣（x﹣1）＝1﹣x+1＝2﹣x， ∴x﹣1与2﹣x是关于1的平衡数； 故答案为：2﹣x． （3）∵a＝2（3x2﹣x）﹣5，b＝x﹣（6x2﹣x﹣5） ∴a+b＝2（3x2﹣x）﹣5+x﹣（6x2﹣x﹣5） ＝6x2﹣2x﹣5+x﹣6x2+x+5 ＝0 ∴a与b不是关于1的平衡数． 24．（6分）如图，点E是线段AB的中点，C是EB上一点，且EC：CB＝1：4，AC＝12cm． （1）求AB的长； （2）若F为CB的中点，求EF长． 【解答】解：如图所示： （1）设EC的长为x， ∵EC：CB＝1：4， ∴BC＝4x， 又∵BE＝BC+CE， ∴BE＝5x， 又∵E为线段AB的中点， ∴AE＝BE， ∴AE＝5x， 又∵AC＝AE+EC，AC＝12cm， ∴6x＝12， 解得：x＝2， ∴AB＝10x＝20cm； （2）∵F为线段CB的中点， ∴， 又∵EF＝EC+CF ∴EF＝3x＝6cm． 25．（6分）某玩具工厂出售一种玩具，其成本价为每件28元．如果直接由厂家门市销售，每件产品售价为35元，同时每月还要支出其他费用2100元；如果委托商场销售，那么出厂价为每件32元． （1）若用x表示每月销售该种玩具的件数，请你用含x的式子分别表示这两种销售方式所得的利润． （2）在两种销售方式下，每个月销售多少件时，所得利润相等？ （3）若每个月的销售量为1000件时，采用哪种销售方式获得利润较多？其利润是多少？ 【解答】解：（1）由题意可得， 若用x表示每月销售该种玩具的件数，则直接由厂家门市部销售的利润为（35﹣28）x﹣2100＝（7x﹣2100）元； 委托商场销售的利润为（32﹣28）x＝4x（元）； （2）由题意及题（1）得，7x﹣2100＝4x， 解得：x＝700， 答：在两种销售方式下，每月销售700件时，所得利润相等； （3）由题意及题（1）得， 当x＝1000时，7x﹣2100＝7×1000﹣2100＝4900（元）， 当x＝1000时，4x＝4×1000＝4000（元）， ∵4900元＞4000元， ∴当每个月的销售量为1000件时，直接由厂家门市部销售获得的利润较多，利润为4900元． 26．（6分）如图，O为直线MN上一点，将一副直角三角尺（分别含45°、45°、90°和30°、60°、90°的角）按图中方式放在点O处，使∠AOC＝150°．将三角尺AOB绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，旋转180°后停止设运动时间为t秒． （1）当t＝5时，∠BOC＝　80　°； （2）若在三角尺AOB开始旋转的同时，三角尺COD也绕点O以每秒10°的速度逆时针旋转，当三角尺AOB停止旋转时，三角尺COD也停止旋转． ①在线段OA与OC第一次相遇前，t为何值时，OA平分∠COD； ②在旋转过程中，是否存在某一时刻使∠AOD＝2∠BOC．若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）如图1，记B旋转后的位置为B'， 由题意知，∠AOB＝45°， ∵∠AOC＝150°， ∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝105°， 当t＝5时，此时∠BOB'＝5×5°＝25°， ∴∠B'OC＝∠BOC﹣∠BOB'＝105°﹣25°＝80°， 故答案为：80； （2）解：①如图2，记A，C，D旋转后的位置分别为A'，C'，D'， ∵线段OA与OC第一次相遇前，OA平分∠COD， ∴， ∴∠AOA'+∠A'OC'+∠COC'＝150°，即5°t+15°+10°t＝150°， 解得t＝9， ∴在线段OA与OC第一次相遇前，t＝9时，OA平分∠COD； ②解：存在，t＝6或； 由题意知，，∠AOD＝∠AOC﹣∠DOC＝120°，当∠A'OD'＝2∠B'OC'，分三种情况求解： 情况一：如图3﹣1，当B在C左侧，A在D左侧时， ∠A'OD'＝∠AOD﹣∠A'OA﹣∠DOD'＝120°﹣5°t﹣10°t＝120°﹣15°t， ∠B'OC'＝∠BOC﹣∠B'OB﹣∠COC'＝105°﹣5°t﹣10°t＝105°﹣15°t； 令∠A'OD'＝2∠B'OC'，即120°﹣15°t＝2（105°﹣15°t）， 解得t＝6； 情况二：如图3﹣2，当B在C右侧，A在D左侧时， ∠A'OD'＝∠AOD﹣∠A'OA﹣∠DOD'＝120°﹣5°t﹣10°t＝120°﹣15°t， ∠B'OC'＝∠B'OB+∠COC'﹣∠BOC＝5°t+10°t﹣105°＝15°t﹣105°； 令∠A'OD'＝2∠B'OC'，即120°﹣15°t＝2（15°t﹣105°）， 解得； 情况三：如图3﹣3，当B在C右侧，A在D右侧时， ∠A'OD'＝∠A'OA+∠DOD'﹣∠AOD＝5°t+10°t﹣120°＝15°t﹣120°， ∠B'OC'＝∠B'OB+∠COC'﹣∠BOC＝5°t+10°t﹣105°＝15°t﹣105°； 令∠A'OD'＝2∠B'OC'，即15°t﹣120°＝2（15°t﹣105°）， 解得（不合题意，舍去）； 情况四：如图所示，在MN下方时，OC'在∠A'OD′外部， 此时∠A'OD′＝∠D'ON﹣∠A'ON＝360°﹣30°﹣（10t）°﹣[（5t）°﹣150°]＝480°﹣（15t）°， ∵∠A'OD'＝2∠B'OC'，且∠A'OD'+∠B'OD'＝45°，∠B'OC'+∠B'OD'＝30°， ∴∠A'OD'＝30°，∠B'OC'＝15°， 即480°﹣（15t）°＝30°， 解得t＝30； 情况五：如图所示，在MN下方时，OC'在∠A'OD′内部， 此时∠A'OD′＝∠D'ON﹣∠A'ON＝360°﹣30°﹣（10t）°﹣[（5t）°﹣150°]＝480°﹣（15t）°， ∵∠A'OD'＝2∠B'OC'，且∠A'OD'+∠B'OC'+∠C'OD'＝45°， ∴∠A'OD'＝10°，∠B'OC'＝5°， 即480°﹣（15t）°＝10°， 解得t； 综上所述，存在，当t＝6或或30或时，使∠AOD＝2∠BOC． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$