精品解析：辽宁省大连市甘井子区第八十中学2024-2025学年上学期七年级数学期末模拟试卷

七年级（上）期末检测（一） 数学试卷 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在日常生活中，若收入300元记作元，则支出180元应记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 有理数﹣1，﹣2，0，3中，最小的数是（　 　） A. ﹣1 B. ﹣2 C. 0 D. 3 3. 立体图形与平面图形是两类不同的几何图形，但它们是相互联系的，有些立体图形是由一些平面图形围成，将它们的表面适当剪开，可以展成平面图形．如图是一个正方体的表面展开图，六个面上各有一字，连起来的意思是“祖国繁荣昌盛”，把它折成正方体后，与“繁”相对的字是（ ） A. 祖 B. 国 C. 昌 D. 盛 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则下列等式中不成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 若|a|＝|b|，则a，b的关系是（ ） A. a＝b B. a＝﹣b C. a＝0且b＝0 D. a＋b＝0或a﹣b＝0 7. 如图，，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 九章算术中有这样一道数学问题，原文如下：清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐满，请问客官，大小几船？其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了只船，大船每只坐人，小船每只坐人，个人，刚好坐满，问：大小船各有几只？若设有只小船，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点B、D在线段上，且，E、F分别是的中点，，则（ ）． A. 16 B. 12 C. 8 D. 6 10. 某校图书馆中1张桌子安排6个座位，按照如图所示的方式将桌子拼在一起，若要安排22个座位，则需要桌子的张数是（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 10 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若，则的余角__________． 12. 下表中x和y两个量成反比例关系，则“△”处应填_______． x 5 △ y 7 14 13. n为正整数，化简的结果是__________． 14. 如图，点是线段的中点，是线段上一点，若，，则__________． 15. 已知长为a的两个完全相同的大长方形，按照如图所示的方式各放入四个完全一样的小长方形，则图1与图2阴影部分周长之差为_____________．（用含a的代数式表示） 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）如图，在同一平面内有四个点、、、，请按要求完成下列问题． ①作射线； ②作直线与射线相交于点； ③分别连接、； ④我们容易判断出线段与的数量关系是__________，理由是____________________． 17. 已知． （1）化简． （2）当，求的值． 18. 如图，点为直线上一点，，平分． （1）求的度数； （2）若射线在直线上方，且与互余，求证：平分． 19. 一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了；从乙码头返回甲码头逆水而行，用了．已知水流的速度是． 求： （1）船在静水中的平均速度； （2）甲、乙两地之间的距离． 20. 一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：．我们称使得成立的一对数，为“相伴数对”，记为． （1）若是“相伴数对”，求的值； （2）若是“相伴数对”，求代数式的值． 21. 二维码在我们日常生活中应用越来越广泛，它是用某种待定的几何图形按照一定的规律在平面分布的、黑白相间的、记录数据符号信息的图形：在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”，“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值．如图是某次考试中三位同学的准考证号的二维码的简易编码（黑色代表1，白色代表0），如图1，是小胡同学的准考证号的二维码的简易编码，其中第一行代表二进制的数字11000，转换成十进制数为：（规定当时，），同理，第二行至第五行代表二进制的数字分别为01110，00111，11100，01101，转换成十进制分别为：14，07，28，13，将五行编码组合到一起就是“小胡”的准考证号2414072813，其中第一行编码“24”和第二行编码“14”表示区域和学校，第三行编码“07”表示班级为07班，第四行编码“28”表示考场号为28，第五行编码“13”表示座位号是13． 反之，如果小徐同学的学校编码为15，则，所以小徐同学的学校编码转换为二进制数为01111，所以对应的第一行五个方格从左向右分别为白，黑，黑，黑，黑． 根据以上内容解决下列问题： （1）若图2是本次考试小张同学的准考证号的二维码的简易编码，则第三行表示的二进制数为__________，第三行的二进制数转换成十进制数后可得他的班级是几班？ （2）若本次考试中，小杨的准考证号是2919021310，图3是小杨自己绘制的二维码的简易编码，但第二行，第三行，第五行分别少涂黑了几个小正方形，请你通过计算帮他补充完整． 22. 如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动3cm到达A点，再向右移动4cm到达B点，然后再向右移动到达C点，数轴上一个单位长度表示1cm． （1）请你在数轴上表示出A，B，C三点的位置； （2）把点C到点A的距离记为CA，则CA=______cm． （3）若点A沿数轴以每秒3cm匀速向右运动，经过多少秒后点A到点C的距离为3cm？ （4）若点A以每秒1cm的速度匀速向左移动，同时点B、点C分别以每秒4cm、9cm的速度匀速向右移动．设移动时间为t秒，试探索：的值是否会随着t的变化而改变？若变化，请说明理由，若无变化，请直接写出的值． 23. 综合与实践 说明：本题中的角都是大于而小于的角． [问题初探] （1）如图1，射线在内部，，，求的度数． [操作探究] （2）如图2，若射线从开始绕点O以每秒旋转的速度逆时针旋转，同时射线从开始绕点O以每秒旋转5°的速度逆时针旋转；其中射线到达后立即改变运动方向，以相同速度绕O点顺时针旋转，当射线到达时，射线，同时停止运动．设旋转的时间为t秒，当时，求t的值． [拓展延伸] （3）如图3，若射线从开始绕点O以每秒旋转的速度逆时针旋转，作平分，平分．设的旋转的时间为t秒． ①当时，求的度数； ②当时，直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级（上）期末检测（一） 数学试卷 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在日常生活中，若收入300元记作元，则支出180元应记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，结合题意解答即可； 【详解】解：收入为“”，则支出为“”， 那么支出180元记作元． 故选：C． 2. 有理数﹣1，﹣2，0，3中，最小的数是（　 　） A. ﹣1 B. ﹣2 C. 0 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】∵|-1|=1，|-2|=2，∴-2＜-1， ∴有理数-1，-2，0，3的大小关系为-2＜-1＜0＜3． 故选B． 3. 立体图形与平面图形是两类不同的几何图形，但它们是相互联系的，有些立体图形是由一些平面图形围成，将它们的表面适当剪开，可以展成平面图形．如图是一个正方体的表面展开图，六个面上各有一字，连起来的意思是“祖国繁荣昌盛”，把它折成正方体后，与“繁”相对的字是（ ） A. 祖 B. 国 C. 昌 D. 盛 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方体展开图的相对面问题．熟练掌握确定相对面的方法是解题的关键． 根据正方体展开图的相对面：同行隔一个，进行判断即可． 【详解】解：根据正方体展开图的相对面：同行隔一个，可知： 与“繁”相对的字是：盛． 故选：D． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据合并同类项运算法则逐个进行计算即可． 【详解】解：A、，故A正确，符合题意； B、，故B不正确，不符合题意； C、，故C不正确，不符合题意； D、和不是同类项，不能合并，故D不正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了合并同类项，解题的关键是掌握字母和字母指数相同的单项式是同类项；合并同类项，字母和字母指数不变，只把系数相加减． 5. 已知，则下列等式中不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等式的性质．等式两边同时加上（或减去）同一个整式，或者等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，或是等式左右两边同时乘方，等式仍然成立．熟记相关结论是解题关键． 【详解】解：∵ ， ∴ 对于选项A：左右两边同时得：，成立； 对于选项B：左右两边同时得：，故不成立； 对于选项C：左右两边同时得：，成立； 对于选项D：左右两边同时得：，成立； 故选：B 6. 若|a|＝|b|，则a，b的关系是（ ） A. a＝b B. a＝﹣b C. a＝0且b＝0 D. a＋b＝0或a﹣b＝0 【答案】D 【解析】 【分析】根据绝对值性质逐一判断选项，即可． 【详解】解：根据绝对值性质可知，若|a|＝|b|，则a与b相等或相反，即a＋b＝0或a﹣b＝0， 故选：D． 【点睛】本题主要考查绝对值的性质，理解绝对值的意义，是解题的关键． 7. 如图，，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，，可求出的度数，再根据角与角之间的关系求解． 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查的知识点是角的计算，注意此题的解题技巧：两个直角相加和相比，多加了． 8. 九章算术中有这样一道数学问题，原文如下：清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐满，请问客官，大小几船？其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了只船，大船每只坐人，小船每只坐人，个人，刚好坐满，问：大小船各有几只？若设有只小船，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据小船数量表示大船数量，再根据总人数列方程． 【详解】解：设有x只小船，则大船有只． ∵小船每只坐4人，∴小船共坐4x人． ∵大船每只坐6人，∴大船共坐人． ∵总人数为38人， ∴． 故选D． 9. 如图，点B、D在线段上，且，E、F分别是的中点，，则（ ）． A. 16 B. 12 C. 8 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了两点间的距离，利用了线段的和差，线段中点的相关计算，根据的关系，可用表示，表示，根据线段的和差，可得长，根据线段中点的性质，可得的长，再根据线段的和差，可得关于的方程，根据解方程，可得答案． 【详解】解：由，得． 由线段的和差，得，． 由线段的中点E、F，得： 由线段的和差，得， 解得：， （）， 故选：A． 10. 某校图书馆中1张桌子安排6个座位，按照如图所示的方式将桌子拼在一起，若要安排22个座位，则需要桌子的张数是（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了图形的变化类，解一元一次方程；先计算有1、2、3张桌子时的人数，找到规律，再用方程计算求解． 【详解】解：一张桌子可以安排（人）， 2张桌子可以安排（人）， 3张桌子可以安排（人）， ……， n张桌子可以安排人， ∴， 解得：， 故选：A． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若，则的余角__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了余角与度、分、秒的换算，熟练的掌握余角的定义与度、分、秒的单位换算是解题的关键． 直接利用余角的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴的余角， 故答案为：． 12. 下表中x和y两个量成反比例关系，则“△”处应填_______． x 5 △ y 7 14 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例，解题关键是正确列式． 两个相关联的变量，如果这两种量对应的数的乘积是定值，这两种量成反比例关系，由此即可计算． 【详解】解：解：． 故答案为：． 13. n为正整数，化简的结果是__________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘方运算和整式的加减，讨论的奇偶性是解题的关键． 根据合并同类项系数相加字母及指数不变，负数的偶数次幂是正数，负数的奇数次幂是负数，解答即可． 【详解】解：当为偶数时， ， 当为奇数时， ， ∴当n为正整数，的结果是0． 故答案为：0． 14. 如图，点是线段的中点，是线段上一点，若，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段的和差，解题的关键是掌握各线段间的关系．由，可设，，则，根据点是线段的中点，可得，得到，结合，求出，即可求解． 【详解】解：， 设，， 则， 点是线段的中点， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 15. 已知长为a的两个完全相同的大长方形，按照如图所示的方式各放入四个完全一样的小长方形，则图1与图2阴影部分周长之差为_____________．（用含a的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】设图中大长方形的宽为b，小长方形的长为x，宽为y，由图可知，，，得出，然后分别表示出图1阴影部分周长和图2阴影部分周长，然后求其差，即可得出答案． 【详解】解：设图中大长方形的宽为b，小长方形的长为x，宽为y，由图可知，，， ∴， 图1阴影部分周长为： ， 图2阴影部分的周长为： ， ∴图1与图2阴影部分周长之差为： ． 故答案为：a． 【点睛】本题主要考查了列代数式和整式加减的应用，解题的关键是数形结合，列出图1与图2阴影部分周长． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）如图，在同一平面内有四个点、、、，请按要求完成下列问题． ①作射线； ②作直线与射线相交于点； ③分别连接、； ④我们容易判断出线段与的数量关系是__________，理由是____________________． 【答案】（1）； （2）①如图，射线即为所求； ②如图，即为所求； ③如图，线段、即为所求； ④；两点之间，线段最短 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，直线、线段、射线的定义，解题的关键是掌握相关知识． （1）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可； （2）①根据射线的定义作图即可；②根据直线的定义作出直线与射线相交即可；③作出线段、即可；④比较线段大小关系，根据线段公理来判断即可． 【详解】解：（1） （2）①略 ②略 ③略 ④线段与的数量关系是， 理由是两点之间，线段最短， 故答案为：；两点之间，线段最短． 17. 已知． （1）化简． （2）当，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式加减混合运算，涉及整式乘法、整式减法、代数式求值，掌握合并同类项运算是解决问题的关键． （1）去括号，合并同类项求解即可得到答案； （2）由（1）所得代数式，将代入求解直接得到答案即可． 【小问1详解】 解：， ； 【小问2详解】 解：由（1）可知， 当时，原式． 18. 如图，点为直线上一点，，平分． （1）求的度数； （2）若射线在直线上方，且与互余，求证：平分． 【答案】（1） （2）平分， 由（1）得， ∵与互余， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分． 【解析】 【分析】本题主要考查余角、平角的定义，角平分线的定义及角的计算，灵活运用角的和差求解相关角的度数是解题的关键． （1）由已知角度结合平角的定义可求解的度数，再利用角平分线的定义可求解的度数，再根据，即可求出的度数； （2）根据余角的定义，平角的定义可求解、的度数，再利用（1）中的度数可求的的度数，由即可证明． 【小问1详解】 解：∵点为直线上一点， ∴ ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴的度数是． 【小问2详解】 略 19. 一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了；从乙码头返回甲码头逆水而行，用了．已知水流的速度是． 求： （1）船在静水中的平均速度； （2）甲、乙两地之间的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，熟练掌握航行问题的基本等量关系及找准题目中的等量关系进行列式求解是解决本题的关键． （1）根据题意以甲码头到乙码头的路程是一定的为等量关系，设船在静水中的速度为，进而列方程求解即可． （2）运用速度乘上时间等于距离列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：设船在静水中的速度为，依题意得： ， 解得， ∴船在静水中的平均速度为； 【小问2详解】 解：依题意，船在静水中的平均速度为， ∴甲乙两码头之间的距离为， ∴甲乙两码头之间的距离． 20. 一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：．我们称使得成立的一对数，为“相伴数对”，记为． （1）若是“相伴数对”，求的值； （2）若是“相伴数对”，求代数式的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程、代数式的化简求值，理解新定义，正确列出方程是解题关键． （1）根据“相伴数对”的定义列出方程，然后解方程即可； （2）先根据“相伴数对”的定义得出关于、的等式，再化简所求代数式，然后代入求解即可． 【小问1详解】 解：是“相伴数对”， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 是“相伴数对”， ， ， ， ， ， ； ， ， ， ， ， ． 21. 二维码在我们日常生活中应用越来越广泛，它是用某种待定的几何图形按照一定的规律在平面分布的、黑白相间的、记录数据符号信息的图形：在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”，“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值．如图是某次考试中三位同学的准考证号的二维码的简易编码（黑色代表1，白色代表0），如图1，是小胡同学的准考证号的二维码的简易编码，其中第一行代表二进制的数字11000，转换成十进制数为：（规定当时，），同理，第二行至第五行代表二进制的数字分别为01110，00111，11100，01101，转换成十进制分别为：14，07，28，13，将五行编码组合到一起就是“小胡”的准考证号2414072813，其中第一行编码“24”和第二行编码“14”表示区域和学校，第三行编码“07”表示班级为07班，第四行编码“28”表示考场号为28，第五行编码“13”表示座位号是13． 反之，如果小徐同学的学校编码为15，则，所以小徐同学的学校编码转换为二进制数为01111，所以对应的第一行五个方格从左向右分别为白，黑，黑，黑，黑． 根据以上内容解决下列问题： （1）若图2是本次考试小张同学的准考证号的二维码的简易编码，则第三行表示的二进制数为__________，第三行的二进制数转换成十进制数后可得他的班级是几班？ （2）若本次考试中，小杨的准考证号是2919021310，图3是小杨自己绘制的二维码的简易编码，但第二行，第三行，第五行分别少涂黑了几个小正方形，请你通过计算帮他补充完整． 【答案】（1）11011，27 （2） 解：∵本次考试中，“小杨”的准考证号是2919021310， ∴第二行的编码是“19”，第三行的编码是“02”，第五行的编码是“10”， ∵， ∴第二行的编码转换为二进制数为10011， ∴第二行倒数第二格需要涂色； ∵， ∴第三行的编码转换为二进制数为00010， ∴第三行倒数第二格需要涂色； ∵， ∴第五行的编码转换为二进制数为01010， ∴第五行倒数第二格需要涂色； ∴第二行，第三行，第五行分别少涂1个小正方形，正确的画图如下所示： 【解析】 【分析】本题主要考查了二进制与十进制数字转化、有理数的混合运算等知识，熟练掌握二进制与十进制转化规则是解题的关键． （1）根据二维码编码规则即可确定第三行代表二进制的数字，再将其转化为10进制数字即可； （2）根据题意可知“小杨”的准考证号是2919021310，由二进制和十进制数字转化规则确定各行编码二进制数字，即可获得答案． 【小问1详解】 解：∵图2是本次考试“小张”同学的准考证号的二维码的简易编码， ∴根据二维码编码规则第三行代表二进制的数字是11011， ∵， ∴将11011转化成10进制后可得他的班级是27班． 故答案为：11011，27． 【小问2详解】 略 22. 如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动3cm到达A点，再向右移动4cm到达B点，然后再向右移动到达C点，数轴上一个单位长度表示1cm． （1）请你在数轴上表示出A，B，C三点的位置； （2）把点C到点A的距离记为CA，则CA=______cm． （3）若点A沿数轴以每秒3cm匀速向右运动，经过多少秒后点A到点C的距离为3cm？ （4）若点A以每秒1cm的速度匀速向左移动，同时点B、点C分别以每秒4cm、9cm的速度匀速向右移动．设移动时间为t秒，试探索：的值是否会随着t的变化而改变？若变化，请说明理由，若无变化，请直接写出的值． 【答案】（1） 由题意得：A点对应的数为，B点对应的数为1，点C对应的数为， 点A，B，C在数轴上表示如图： （2） （3）经过或秒后点A到点C的距离为3cm （4）的值不会随着t的变化而变化， 【解析】 【分析】（1）根据题意，在数轴上表示点A、B、C的位置即可； （2）利用数轴上两点间的距离公式解题； （3）分两种情况讨论：点A在点C的左侧或点A在点C的右侧； （4）表示出BA、CB，再相减即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设原点为O，如图， ∴，，∴． 故答案为：． 【小问3详解】 解：①当点A在点C的左侧时，设经过x秒后点A到点C的距离为3cm， 由题意得：，解得：． ②当点A在点C的右侧时，设经过x秒后点A到点C的距离为3cm， 由题意得：，解得：． 综上，经过或秒后点A到点C的距离为3cm． 【小问4详解】 解：的值不会随着t的变化而变化，． 由题意：，， ∵移动t秒后，，， ∴． ∴的值不会随着t的变化而变化，． 【点睛】本题考查数轴、数轴上两点间的距离等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 23. 综合与实践 说明：本题中的角都是大于而小于的角． [问题初探] （1）如图1，射线在内部，，，求的度数． [操作探究] （2）如图2，若射线从开始绕点O以每秒旋转的速度逆时针旋转，同时射线从开始绕点O以每秒旋转5°的速度逆时针旋转；其中射线到达后立即改变运动方向，以相同速度绕O点顺时针旋转，当射线到达时，射线，同时停止运动．设旋转的时间为t秒，当时，求t的值． [拓展延伸] （3）如图3，若射线从开始绕点O以每秒旋转的速度逆时针旋转，作平分，平分．设的旋转的时间为t秒． ①当时，求的度数； ②当时，直接写出的度数． 【答案】（1）；（2）或或或；（3）①；②或 【解析】 【分析】本题主要考查角度的和差运算，一元一次方程的应用，角平分线的性质，在解题过程中根据角度的变化进行恰当的分类讨论是解题的关键． （1）根据，进行求解即可． （2）分四种情况进行讨论：当、同向运动追及前，当、同向运动追及后，当、反向运动相遇前，当、反向运动相遇后，分别求出结果即可； （3）根据不同时间，运动的位置的不同，利用角平分线的定义进行求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴． （2）∵射线在内部，，， ∴， 当和第一次重合时： ∵从开始以每秒的速度逆时针旋转， ∴， ∵从开始以每秒的速度逆时针旋转， ∴，则， 当和重合时，，即，解得， 当到达时，即，此时， 当和第二次重合时： 由题意得，， ∴， ∵， ∴，解得， 当和停止运动时，，即， 以这几个节点展开进行分类讨论： 当时： ∵，， ∴， ∵，，， ∴，解得； 当时： ∵， ∴，解得； 当时： ∵， ∴，解得； 当时： ∵， ∴，解得． 综上所述，为或或或． （3）①∵以点每秒旋转的速度逆时针旋转，， ∴当到达时，即，此时， 当时， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； 当时， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 综上所述，． ②当时， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 当时， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ 综上所述，的度数为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $