考前必明19大类64个二级结论(Word教参)-【优化指导】2025年高考数学二轮复习高中总复习·第2轮

考前必明19大类64个二级结论 ★　函数奇偶性 1．若f(a＋x)＝f(a－x)⇒f′(a＋x)＝－f′(a－x)，即轴对称函数的导函数为中心对称函数，反之亦然，若f(a＋x)＝－f(a－x)⇒f′(a＋x)＝f′(a－x). 2．若f(x)为奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0对定义域内的任意实数x恒成立，那么设g(x)＝f(x)＋a，则g(－x)＋g(x)＝2a，特别地，g(x)max＋g(x)min＝2a. ★　抽象函数 1．f(a＋x)＝f(a－x)，或者f(x)＝f(2a－x)表示：函数f(x)的图象关于直线x＝a对称． 2．f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，或者f(x)＋f(2a－x)＝2b表示：函数f(x)的图象关于点(a，b)中心对称． 3．f(x＋a)＝f(x－a)表示：函数f(x)为周期函数，且周期T＝2a. 4．已知f(x)是定义在R上的函数，若f(x＋a)(a∈R)是奇函数，则f(x)的图象关于点A(a，0)对称． 5．已知f(x)是定义在R上的函数，若f(x＋a)(a∈R)是偶函数，则f(x)的图象关于直线x＝a对称． 6．若函数y＝f(x)同时关于直线x＝a与x＝b轴对称，则函数y＝f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|. 7．若函数y＝f(x)同时关于点(a，0)与点(b，0)中心对称，则函数y＝f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|. 8．若函数y＝f(x)既关于直线x＝a对称，又关于点(b，0)中心对称，则函数y＝f(x)必为周期函数，且T＝4|a－b|. ★　三角恒等变换 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：＝tan α. (3)(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (4)cos2α＝，sin2α＝. 2．万能公式 sin2α＝＝，cos2α＝＝，tan2α＝. 3．积化和差公式(酌情选择) cosαcos β＝[cos (α＋β)＋cos (α－β)]； sin αsin β＝－[cos (α＋β)－cos (α－β)]； sin αcos β＝[sin (α＋β)＋sin (α－β)]； cos αsin β＝[sin (α＋β)－sin (α－β)]. ★　三角函数图象(以正弦为例) 一些复杂的性质 (1)零点与对称轴之间的距离等于四分之一个周期的奇数倍； (2)对称轴方程就是一条对称轴加半个周期的整数倍； (3)若f(x)在区间[a，b]上单调，则必要条件是区间长度不超过半个周期，即b－a≤；充分条件是单调区间是最大单调区间的子集，即 [ωa＋φ，ωb＋φ]⊆[kπ－，kπ＋]. 综上可得 ★　数量积计算 1．极化恒等式 如图，在△ABC中，点M为BC的中点，由三角形中线向量公式可得：·＝2－2(极化恒等式). 2．与外心有关的数量积计算 结论：如图，·＝||·cos ∠AOB·||＝||·||，特别地，若点A在线段OB的中垂线上时，·＝||2. 外心性质：O为△ABC的外心，可以证明：·＝||2；·＝||2，同理可得·等． ★　解三角形 1．对边对角模型 对边对角模型是解三角形中最经典的题型，在三角形中，倘若知道任意一边与该边所对角的大小，我们就可分别利用正弦定理＋三角函数或者余弦定理＋均值不等式的方法求得相关范围． (1)结合余弦定理：a2＝b2＋c2－2bc cos A变式可得a2＝(b＋c)2－2bc(1＋cos A)，此公式在已知a，A的情况下，可得到b＋c和bc的等式，配合均值不等式，这样就可实现周长或者面积的最值． (2)结合正弦定理构建周长或者面积关于角的目标函数，利用三角函数处理最值或者范围． 2．爪型三角形自带技能包 应用1　爪型三角形的几何特征，基本几何特征：如图，∠APB＋∠APC＝π. 应用2　中线公式与向量方法 根据向量共线的基本结论：＝(1－λ)＋λ，再平方即可得到一组有用的关系，特别地，若λ＝，得到中线公式＝＋. 应用3　等面积思想 设AM为∠A的平分线，则设∠BAM＝∠CAM＝θ，那么由等面积可得：S△ABC＝bc sin 2θ＝(b＋c)·AM·sin θ. 进一步可得：2bc cos θ＝(b＋c)·AM，于是可以看到，倘若我们知道角θ与角平分线AM的长度，则可得到bc与b＋c的转化关系，配合均值不等式就可得到一些范围问题． 3．两个重要的结论 结论1　正余弦平方差公式 sin2α－sin2β＝sin(α＋β)·sin (α－β)，cos2α－sin2β＝cos(α＋β)·cos (α－β)， 结论2　射影定理：在△ABC中， ★　等差、等比数列 1．数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数). 2．关于非零等差数列奇数项和与偶数项和的性质 (1)若项数为2n，则S偶－S奇＝nd，＝. (2)若项数为2n－1，则S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，＝. 3．若两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝. 4．当q≠0，q≠1时，Sn＝k－k·qn(k≠0)是{an}成等比数列的充要条件，此时k＝. 5．在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk. ★　数列求通项与求和 1．裂项相消求和 (1)分母是等差数列相邻两项乘积，则＝(－)⇒＋＋…＋＝(－). (2)有理化后求和：an＝＝－. (3)指对式裂相求和：＝－，一般地，指数型：＝－. 三类应用：①裂相求和；②证明不等式；③求范围． 2．几类较为特殊的递推数列 (1)在等差数列中，有一类比较特殊的递推类型，即an＋1＋an＝An＋B，它可以得到两个子数列分别是公差为k的等差数列． (2)在等比数列中，有一类比较特殊的递推类型，即an＋1·an＝p·qn，它可以得到两个子数列分别是公比为q的等比数列． (3)对于隔项等差的前n项和，可直接由相邻两项的关系解得，即由an＋1＋an＝An＋B， 若n为偶数：Sn＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(an－1＋an)； 若n为奇数：Sn＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(an－1＋an). ★　立体几何中的二级结论 1．三余弦定理 设A为平面α上一点，过点A的斜线AO在平面α上的射影为AB，AC为平面上的一条直线，令∠OAC＝θ，∠OAB＝θ1，∠BAC＝θ2，则cos θ＝cos θ1cos θ2. 推论(最小角定理)：由于0≤cos θ2≤1⇒cos θ≤cos θ1⇒θ≥θ1. 说明：线面角是斜线与平面内任意直线的所成角的最小值，即线面角是线线角的最小值，又称最小角定理． 2．“鸭嘴模型” 结论1　如图，AB＝AC，DB＝DC，设O为BC的中点，则AO⊥BC，DO⊥BC，故BC⊥平面AOD，则BC⊥AD. 结论2　反过来，如图，若AB＝AC，且BC⊥AD，设O为BC的中点，则AO⊥BC.另一方面，由于BC⊥AD，则BC⊥平面AOD，故DO⊥BC，因为O为BC的中点，故可得DB＝DC. 结论3　上述两个结论中，∠AOD即为二面角A­BC­D的平面角． 结论4　△ADC≌△ADB⇔∠ADC＝∠ADB，∠BAD＝∠CAD. 3．三垂线定理 三垂线定理：平面上的一条直线和穿过这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的投影垂直． ★　正四面体的主要结论 (1)正四面体的每一个面是正三角形，反之亦然． (2)正四面体是三组对棱都垂直的等面四面体． (3)正四面体的对棱中点的连线都互相垂直且相等，等于棱长的倍，反之亦真． (4)正四面体的外接球与正方体外接球相同，如图，将正四面体ABCD放入正方体中，因为正四面体ABCD的棱长为a，所以正方体的棱长为a，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为a·＝a，即正四面体外接球半径R＝a. ★　概率与统计 1．超几何分布中随机变量X的数学期望E(X)＝·n. 2．在X～N(μ，σ2)中，随机变量X在μ的附近取值的概率很大，在离μ很远处取值的概率很小． 3．平均数与方差的常见性质 (1)若x1，x2，…，xn的平均数为x，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数是mx＋a； (2)数据x1，x2，…，xn与数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差相等； (3)若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2. 4．线性回归与最小二乘法 回归直线方程过样本点的中心(x，y)，是回归直线方程最常用的一个特征． ★　函数同构 1．f(x)＝x＋ex，g(x)＝ln x＋x，同构特性：f(ln x)＝g(x)，若f(x1)＝g(x2)，根据函数的单调性有x1＝ln x2； 2．f(x)＝ex－x，g(x)＝x－ln x，同构特性：f(ln x)＝g(x)； 3．f(x)＝，g(x)＝，同构特性： f(ln x)＝g(x)； 4．f(x)＝，g(x)＝，同构特性： f(ln x)＝g(x)； 5．f(x)＝xex，g(x)＝x ln x，同构特性：f(ln x)＝g(x)；　 此外：①xex＝ex＋ln x；②＝ex－ln x；③＝eln x－x；④x＋ln x＝ln (xex)；⑤x－ln x＝ln . ★ 重要不等式 (1)ex≥x＋1；(2)ex≥ex；(3)ln x≤x－1，x>0；(4)sin x≤x，x≥0；(5)ln x≥1－. ★　焦点三角形 1．椭圆焦点三角形△PF1F2的主要结论： (1)|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c； (2)焦点三角形的周长为L＝2a＋2c； (3)|PF1||PF2|＝； (4)焦点三角形的面积为S＝|PF1||PF2|·sin ∠F1PF2＝b2tan ； ①设F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P是椭圆C上的一个动点，则当P为短轴端点时，∠F1PF2最大； ②S＝|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc. (5)假设焦点△PF1F2的内切圆半径为r，则S＝(a＋c)r. 2．双曲线焦点三角形△PF1F2的主要结论： (1)如图，F1，F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，设P为双曲线上任意一点，记∠F1PF2＝θ，则△PF1F2的面积S＝. (2)如图，过双曲线－＝1的右焦点F2的弦AB的长为t，则△ABF1的周长为4a＋2t. ★　圆锥曲线第三定义 1．A，B为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的长轴两端点，P是椭圆上异于A，B的任一点，则有kPA·kPB＝e2－1＝－. 2.在椭圆C：＋＝1(a>b>0)中，A，B是关于原点对称的两点，P是椭圆上异于A，B的一点，若kPA，kPB存在，则有kPA·kPB＝e2－1＝－. 3．A，B为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的实轴(或虚轴)两端点，P是椭圆上异于A，B的任一点，则有kPA·kPB＝e2－1＝. 4．在双曲线C：－＝1(a>0，b>0)中，A，B是关于原点对称的两点，P是双曲线上异于A，B的一点，若kPA，kPB存在，则有kPA·kPB＝e2－1＝. ★　阿基米德三角形 1．若P(x0，y0)为准线上任意一点，则直线AB过抛物线的焦点F. 2．过F的直线与抛物线交于A，B两点，以A，B分别为切点作两条切线，则这两条切线的交点P(x0，y0)的轨迹即为抛物线的准线． 3．若P(x0，y0)为准线上任意一点，则有直线AB的方程为x0x＝2p＝p(y0＋y). 4．直线AB的中点为M，则PF平行于抛物线的对称轴． ★　抛物线焦点弦 抛物线焦点弦常见的性质 假设抛物线方程为y2＝2px，过抛物线焦点的直线l与抛物线交于A，B两点，其坐标分别为A(xA，yA)，B(xB，yB). (1)|AF|＝xA＋，|BF|＝xB＋，|AB|＝xA＋xB＋p. (2)抛物线y2＝2px的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过点F的直线与抛物线的两个交点，则x1x2＝，y1y2＝－p2. 一般地，如果直线l恒过定点M(m，0)与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，那么xAxB＝m2，yAyB＝－2pm.于是，若OA⊥OB⇒AB恒过定点(2p，0). (3)已知倾斜角为θ的直线l经过抛物线y2＝2px的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，则 ①|AF|＝，|BF|＝，＋＝；②|AB|＝，S△OAB＝，|AB|＝2p(1＋). (4)抛物线的通径 ①通径长为2p；②焦点弦中，通径最短；③通径越长，抛物线开口越大． (5)已知直线l经过抛物线y2＝2px的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，若弦AB中点的坐标为(x0，y0)，则|AB|＝2(x0＋). (6)①以AB为直径的圆与准线相切；②以MN为直径的圆与AB切于焦点F；③以焦半径AF为直径的圆与y轴相切；④以焦半径BF为直径的圆与y轴相切． ★　斜率和积 设P(x0，y0)为椭圆＋＝1(a>b>0)上的定点，AB是椭圆上一条动弦，直线AB，PA，PB的斜率分别为k，k1，k2： (1)若k1k2＝，则有x0≠0，k＝－； (2)若k1k2≠，则直线AB过定点； (3)若k1＋k2＝0，则有y0≠0，k＝； (4)若k1＋k2≠0，则直线AB过定点． ★　解析几何中的面积问题 直线与圆锥曲线相交，弦和某个定点所构成的三角形的面积，处理方法： 1．一般方法：S＝|AB|d(其中|AB|为弦长，d为定点到直线AB的距离)，设直线为斜截式y＝kx＋m. 进一步，S＝＝·|kx0－y0＋m|. 2．特殊方法：拆分法，可以将三角形沿着x轴或者y轴拆分成两个三角形，不过在拆分的时候给定的定点一般在x轴或者y轴上，此时，便于找到两个三角形的底边长． 　　 S△PAB＝S△PQA＋S△PQB＝|PQ||yA－yB|＝|PQ|； S△PAB＝S△PQA＋S△PQB＝|PQ||xA－xB|＝|PQ|. 3．坐标法 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则S△AOB＝|x1y2－x2y1|. 4．面积比的转化 三角形的面积比及其转化有一定的技巧性，一般的思路就是将面积比转化为可以利用设线法完成的线段之比或者设点法解决的坐标形式，通常有以下类型： (1)两个三角形同底，则面积之比转化为高之比，进一步转化为点到直线距离之比； (2)两个三角形等高，则面积之比转化为底之比，进一步转化为长度(弦长之比)； (3)两个三角形有等角，则利用三角形面积计算的正弦形式，转化为腰长之比； (4)面积的割补和转化． 5．四边形的面积计算 在高考中，四边形一般都比较特殊，常见的情况是四边形的两对角线相互垂直，此时我们借助菱形面积公式，四边形面积等于两对角线长度乘积的一半；当然也有一些其他的情况，此时可以拆分成两个三角形，借助三角形面积公式求解． 6．注意某条边过定点的三角形和四边形 当三角形或者四边形某条边过定点时，我们就可以把三角形、四边形某个定顶点和该定点为边，这样就转化成定底边的情形，最终可以简化运算．当然，你需要把握住一些常见的定点结论，才能察觉出问题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$