开篇 剖析2024考情 洞悉2025考向(Word教参)-【优化指导】2025年高考数学二轮复习高中总复习·第2轮

灵活、拔高、综合，试题结构设计与命题全方位大创新 ——2024高考数学创新命题解读 2024年高考数学新课标卷在难度上相比往年有所提高，整体上更加注重考查考生的逻辑思维、创新思维和综合应用能力．试卷结构进行了创新设计，减少了题量，增加了解答题的总分值，优化了多选题的赋分方式，强化了考查思维过程和思维能力的功能．灵活调整题目顺序，有助于打破学生机械应试的套路，打破教学中僵化、固定的训练模式，防止猜题押题，同时测试考生的应变能力和解决各种难题的能力，引导教学培养学生全面掌握主干知识，提升基本能力，灵活应用知识解决问题的能力． 下面针对新课标卷中的创新试题进行详细解读，以期对2025年高考备考有所帮助． 创新点一　题型稳中有变，创新度明显加大 1．传统题占主导 [真题1] (2024·新课标 Ⅰ 卷·6)已知函数f(x)＝在R上单调递增，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，0] B．[－1，0] C．[－1，1] D．[0，＋∞) 创新解读　本题是考生熟悉的常规题，源于人教A版《必修第一册》P160第4题，涉及二次函数与指对函数的结合，结构形式上变化不大，但考查内容做了改编，将考查零点改成了考查单调性，共同点是求参数的范围问题，因而解决方法也类似． 答案精析 B　解析：因为函数f(x)在R上单调递增，且当x<0时，f(x)＝－x2－2ax－a，所以f(x)＝－x2－2ax－a在(－∞，0)上单调递增，所以－a≥0，即a≤0；当x≥0时，f(x)＝ex＋ln (x＋1)，所以函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增．若函数f(x)在R上单调递增，则－a≤f(0)＝1，即a≥－1.综上，实数a的取值范围是[－1，0].故选B. 2．取材于基本内容，但设问形式改变 [真题2] (2024·新课标 Ⅰ 卷·13)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln (x＋1)＋a的切线，则a＝________． 创新解读　利用导数求函数图象的切线斜率是基本内容，以往考查更多的是求曲线在某点处的切线和过某点的切线，本题设计成两曲线公切线问题，体现了其创新性． 答案精析 ln 2　解析：由题，令f(x)＝ex＋x，则f′(x)＝ex＋1，所以f′(0)＝2，所以曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线方程为y＝2x＋1.令g(x)＝ln (x＋1)＋a，则g′(x)＝，设直线y＝2x＋1与曲线y＝g(x)相切于点(x0，y0)，则＝2，得x0＝－，则y0＝2x0＋1＝0，所以0＝ln (－＋1)＋a，所以a＝ln 2. 创新点二　情境化命题既有传承，又有变化 1．优秀传统文化复现 [真题3] (2024·新课标 Ⅰ 卷·8)已知函数f(x)的定义域为R，f(x)>f(x－1)＋f(x－2)，且当x<3时，f(x)＝x，则下列结论中一定正确的是(　　) A．f(10)>100 B．f(20)>1 000 C．f(10)<1 000 D．f(20)<10 000 创新解读　2023年新课标卷中没有出现传统文化题，今年再次出现，但隐藏得较深．本题可以追溯到人教A版《选择性必修第二册》P10“阅读与思考”中的斐波那契数列，高考题的改编力度很大，需要通过归纳推理分析，才能挖掘出来斐波那契数列的形式，对于只记住了斐波那契数列的性质却不会转化的考生，依然对本题无从下手，此题便成了难题，以往传统文化题给人的感觉是直白，一眼即可望穿，但随着题目灵活性的提高，将传统文化内化到解题中将成为以后的命题方向． 答案精析 B　解析：因为当x<3时，f(x)＝x，所以f(1)＝1，f(2)＝2.对于f(x)>f(x－1)＋f(x－2)，令x＝3，得f(3)>f(2)＋f(1)＝2＋1＝3；令x＝4，得f(4)>f(3)＋f(2)>3＋2＝5；依次类推，得f(5)>f(4)＋f(3)>5＋3＝8；f(6)>f(5)＋f(4)>8＋5＝13；f(7)>f(6)＋f(5)>13＋8＝21；f(8)>f(7)＋f(6)>21＋13＝34；f(9)>f(8)＋f(7)>34＋21＝55；f(10)>f(9)＋f(8)>55＋34＝89；f(11)>f(10)＋f(9)>89＋55＝144；f(12)>f(11)＋f(10)>144＋89＝233；f(13)>f(12)＋f(11)>233＋144＝377；f(14)>f(13)＋f(12)>377＋233＝610；f(15)>f(14)＋f(13)>610＋377＝987；….显然f(16)>1 000，所以f(20)>1 000，故选B. 2．“五育”并举，略显淡化 [真题4] (2024·新课标 Ⅰ 卷·9)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口．为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值x＝2.1，样本方差s2＝0.01.已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8，0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(x，s2)，则(若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(Z<μ＋σ)≈0.841 3)(　　) A．P(X>2)>0.2 B．P(X>2)<0.5 C．P(Y>2)>0.5 D．P(Y>2)<0.8 创新解读　本题的原型是人教A版《选择性必修第三册》P86例题，试题背景从两种不同的交通方式，改成推动出口前后的亩收入，都是借助正态分布对比两种情况下随机变量的概率取值情况，背景渗透“劳育”，题目文字简洁，直奔主题，对比教材例题更为开门见山，作为第一道多选题出现，难度并不大，本题对概率与统计知识的考查注重应用性，考查对基本概念的理解，新课标Ⅱ卷第4题也是类似的考查方式． 答案精析 BC　解析：由题意可知，X～N(1.8，0.12)，所以P(X>2)<P(X>1.8)＝0.5，P(X<1.9)≈0.841 3，所以P(X>2)<P(X≥1.9)＝1－P(X<1.9)≈1－0.841 3＝0.158 7<0.2，所以A错误，B正确．因为Y～N(2.1，0.12)，所以P(Y<2.2)≈0.841 3，P(Y>2)>P(Y>2.1)＝0.5，所以P(2<Y<2.1)＝P(2.1<Y<2.2)＝P(Y<2.2)－P(Y≤2.1)≈0.841 3－0.5＝0.341 3，所以P(Y>2)＝P(2<Y<2.1)＋P(Y≥2.1)≈0.341 3＋0.5＝0.841 3>0.8，(另解：P(Y>2)＝P(Y<2.2)≈0.841 3>0.8)所以C正确，D错误．综上，选BC. 创新点三　紧扣课标，突出基础知识与基本技能 1．取材于教材的力度加大，体现课标、教材导向性 [真题5] (2024·新课标 Ⅰ 卷·7)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin (3x－)的交点个数为(　　) A．3 B．4 C．6 D．8 创新解读　本题源于人教A版《必修第一册》P237例1，直接利用教材例题答案中的图形(如图)就能得到本题的答案，说本题是对教材例题的直接引用也不为过．通过此题得到的启示为对于教材中题目的挖掘、关注与应用，不能一味加难、加深、加宽，而要在变化中体验和感知数学知识的内在本质．所以，注重教材是亘古不变的话题． 答案精析 C　解析：因为函数y＝2sin (3x－)的最小正周期T＝，所以函数y＝2sin (3x－)在[0，2π]上的图象恰好是三个周期的图象，作出函数y＝2sin (3x－)与y＝sin x在[0，2π]上的图象如图所示， 由图可知，这两个图象共有6个交点，故选C. 2．突出基础，同时兼顾知识融合、考查基本能力 [真题6] (2024·新课标 Ⅰ 卷·18)已知函数f(x)＝ln ＋ax＋b(x－1)3. (1)若b＝0，且f′(x)≥0，求a的最小值； (2)证明：曲线y＝f(x)是中心对称图形； (3)若f(x)>－2当且仅当1<x<2，求b的取值范围． 创新解读　对于(2)有许多考生思路受阻，原因是对基础知识间的链接能力不够，如果凭“刷题”，当遇到明显的考查图象对称性的题可能做得好，但对于本题便无从下手了，这是出题专家打破常规、出其不意的地方，所以本题第(2)问同样达到了选拔目的，有一批考生“栽”在此问．第(3)问则又上升了一个档次，意在进一步选拔．解答题总题量的减少，使得每一题分值增加，设三问的题目是以后的趋势，同时三问不会都是容易得分的，考查难度循序渐进也是必然趋势，本题源于人教A版《必修第一册》P87第13题． 答案精析 (1)解：f(x)的定义域为(0，2)， 若b＝0，则f(x)＝ln ＋ax，f′(x)＝·＋a＝＋a， 当x∈(0，2)时，x(2－x)∈(0，1]，f′(x)min＝2＋a≥0，则a≥－2，故a的最小值为－2. (2)证明：f(2－x)＝ln ＋a(2－x)＋b(1－x)3＝－ln －ax－b(x－1)3＋2a＝－f(x)＋2a， 故曲线y＝f(x)关于点(1，a)中心对称． (3)解：由题知f(1)＝a＝－2， 此时f(x)＝ln －2x＋b(x－1)3， f′(x)＝·－2＋3b(x－1)2＝－2＋3b(x－1)2＝(x－1)2·[＋3b]. 记g(x)＝＋3b，x∈(0，2)，易知g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，2)上单调递增，g(1)＝2＋3b， 当b≥－时，g(x)≥0，f′(x)≥0，f(x)在(0，2)上单调递增， 又f(1)＝－2，故符合题意． 当b<－时，g(1)<0，g(x)＝＋3b＝， 令g(x)＝0，得x＝1±， 因为b<－，所以∈(0，1)，故1＋∈(1，2)，1－∈(0，1)， 所以当x∈(1，1＋)时，g(x)<0， f′(x)<0，f(x)在(1，1＋)上单调递减，故f(1＋)<f(1)＝－2，不符合题意．综上，b的取值范围为[－，＋∞). 3．突出考查逻辑推理素养 [真题7] (2024·新课标 Ⅱ 卷·8)设函数f(x)＝(x＋a)ln (x＋b).若f(x)≥0，则a2＋b2的最小值为(　　) A． B． C． D．1 创新解读　通过本题就能看出，“想到”与“想不到”计算量相差悬殊，这就是新课标卷想达到的效果，今年高考中数学学科的计算量很大，有一些无法回避的常规但较复杂的计算，比如通分、因式分解等，与以往相比最明显的区别是计算并不是单纯地算，如果在做题时能多观察，比如能够结合相关的几何性质，或运用逻辑推理等思想，完全可以得到减少运算量的方法．高考试题会越来越体现“多想少算”这一特点，从而起到区分与选拔的作用． 答案精析 C　解析：由f(x)≥0及y＝x＋a，y＝ln (x＋b)是单调递增的，可得x＋a与ln (x＋b)同正、同负或同为零，所以当ln (x＋b)＝0时，x＋a＝0，即所以b＝a＋1，则a2＋b2＝a2＋(a＋1)2＝2(a＋)2＋≥，故选C. 创新点四　加强素养考查，发挥选拔功能 1．题目创新突出，增强思维的灵活性 [真题8] (2024·新课标 Ⅰ 卷·19)设m为正整数，数列a1，a2，…，a4m＋2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项ai和aj(i<j)后剩余的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列a1，a2，…，a4m＋2是(i，j)­可分数列． (1)写出所有的(i，j)，1≤i<j≤6，使得数列a1，a2，…，a6是(i，j)­可分数列； (2)当m≥3时，证明：数列a1，a2，…，a4m＋2是(2，13)­可分数列； (3)从1，2，…，4m＋2中一次任取两个数i和j(i<j)，记数列a1，a2，…，a4m＋2是(i，j)­可分数列的概率为Pm，证明：Pm>. 创新解读　本题以等差数列为知识背景，设问方式创新，构造新定义数列，并结合概率命题．新定义里有很多字母理解起来比较困难，还涉及知识的交汇，难度进一步提升，这是高考加强思维考查，强化素养导向，给高水平考生提供充分展现才华的空间，服务拔尖创新人才的选拔，助推素质教育发展，助力教育强国建设的体现． 答案精析 (1)解：(1，2)，(1，6)，(5，6). (2)证明：当m＝3时，删去a2，a13，其余项可分为以下3组：a1，a4，a7，a10为第1组，a3，a6，a9，a12为第2组，a5，a8，a11，a14为第3组， 当m>3时，删去a2，a13，其余项可分为以下m组：a1，a4，a7，a10为第1组，a3，a6，a9，a12为第2组，a5，a8，a11，a14为第3组，a15，a16，a17，a18为第4组，a19，a20，a21，a22为第5组，…，a4m－1，a4m，a4m＋1，a4m＋2为第m组，可知每组的4个数都能构成等差数列，故数列a1，a2，…，a4m＋2是(2，13)­可分数列． (3)证明：易知a1，a2，…，a4m＋2是(i，j)­可分数列⇒1，2，…，4m＋2是(4p＋1，4q＋2)­可分数列，其中p，q∈{0，1，…，m}． 当0≤p≤q≤m时，删去4p＋1，4q＋2， 其余项从小到大，每4项分为1组，可知每组的4个数都能构成等差数列， 故数列1，2，…，4m＋2是(4p＋1，4q＋2)­可分数列，可分为(1，2，3，4)，…，(4p－3，4p－2，4p－1，4p)，…，(4(q＋1)－1，4(q＋1)，4(q＋1)＋1，4(q＋1)＋2)，…，(4m－1，4m，4m＋1，4m＋2).p，q的可能取值方法数为C＋m＋1＝. 易知a1，a2，…，a4m＋2是(i，j)­可分数列⇒1，2，…，4m＋2是(4p＋2，4q＋1)­可分数列，其中p，q∈{0，1，…，m}． 当q－p>1时，删去4p＋2，4q＋1， 将1～4p与4q＋3～4m＋2从小到大，每4项分为1组，可知每组的4个数成等差数列． 考虑4p＋1，4p＋3，4p＋4，…，4q，4q＋2是否可分，等同于考虑1，3，4，…，4t，4t＋2是否可分，其中t＝q－p>1，可分为(1，t＋1，2t＋1，3t＋1)，(3，t＋3，2t＋3，3t＋3)，(4，t＋4，2t＋4，3t＋4)，…，(t，2t，3t，4t)，(t＋2，2t＋2，3t＋2，4t＋2)，每组4个数都能构成等差数列． 故数列1，2，…，4m＋2是(4p＋2，4q＋1)­可分数列，p，q且q－p>1的可能取值方法数为C－m＝. 从而Pm≥＝>. 2．加强关键能力考查，增强试题的选拔性 [真题9] (2024·新课标 Ⅱ 卷·19)已知双曲线C：x2－y2＝m(m>0)，点P1(5，4)在C上，k为常数，0<k<1.按照如下方式依次构造点Pn(n＝2，3，…)：过Pn－1作斜率为k的直线与C的左支交于点Qn－1，令Pn为Qn－1关于y轴的对称点．记Pn的坐标为(xn，yn). (1)若k＝，求x2，y2； (2)证明：数列{xn－yn}是公比为的等比数列； (3)设Sn为△PnPn＋1Pn＋2的面积．证明：对任意正整数n，Sn＝Sn＋1. 创新解读　本题第(1)问属于“送分题”，照顾到了所有考生．第(2)问对能力的要求有所提升，运算中字母比较多，变形方法的选取会影响计算的速度，基本功扎实的考生得分还是容易的．第(3)问则具有很强的选拔功能，但如果注意到前两问对第三问的作用，考生可以写出第(3)问的部分过程，也就是利用数列关系求出点的坐标，然后想办法说明两个三角形同底等高，在思维方面的难度较第(2)问大得多，99%的考生都难以在很有限的时间内办到，由此，可以想到2024年强基计划选拔要求：注重对学生的“探究欲，问题意识、质疑精神”等因素的考查，着力选拔对基础研究有意向，有兴趣，有天赋的优秀学生，所以高考题出现有难度的题目是必然趋势，但也不必一味追求难度而忽视基本，毕竟难题不是给99%的考生准备的，而且难题也要求考生具备更高层次的基础知识运用能力，此类与面积有关的解析几何问题常常解法多样，且最能体现“多想少算”，因此预测这种命题模式以后会备受青睐，应加以关注． 答案精析 (1)解：将点P1(5，4)的坐标代入C的方程得52－42＝m，解得m＝9，所以C：x2－y2＝9. 过点P1(5，4)且斜率k＝的直线方程为y＝(x－5)＋4， 与C的方程联立，消去y化简可得x2－2x－15＝0，即(x－5)(x＋3)＝0， 所以点Q1的横坐标为－3，将x＝－3代入直线方程，得y＝0， 因此Q1(－3，0)，从而P2(3，0)，即x2＝3，y2＝0. (2)证明：方法一　由题意，Pn(xn，yn)， Pn＋1(xn＋1，yn＋1)，Qn(－xn＋1，yn＋1). 设过点Pn(xn，yn)且斜率为k的直线为ln：y＝k(x－xn)＋yn， 将ln的方程与C的方程联立，消去y化简可得(1－k2)x2＋(2k2xn－2kyn)x－(kxn－yn)2－9＝0， 由根与系数的关系得－xn＋1＋xn＝－， 所以xn＋1＝＋xn＝. 又Qn(－xn＋1，yn＋1)在直线ln上， 所以yn＋1＝k(－xn＋1－xn)＋yn＝－kxn＋1－kxn＋yn. 从而xn＋1－yn＋1＝xn＋1＋kxn＋1＋kxn－yn＝(1＋k)·xn＋1＋kxn－yn＝(1＋k)·＋kxn－yn＝·(xn－yn)， 易知xn－yn≠0，所以数列{xn－yn}是公比为的等比数列． 方法二　由题意，Pn(xn，yn)， Pn＋1(xn＋1，yn＋1)，Qn(－xn＋1，yn＋1). 由点Pn，Qn所在直线的斜率为k，可知k＝. 又点Pn，Qn都在C上，所以 即 易知xn－yn≠0， 则＝ ＝ ＝ ＝ ＝， 即数列{xn－yn}是公比为的等比数列． (3)证明：方法一　由(2)知，数列{xn－yn}是首项为x1－y1＝5－4＝1，公比为的等比数列． 令t＝，由0<k<1可知t>1，则xn－yn＝tn－1， 又x－y＝9，所以xn＋yn＝＝， 可得xn＝，yn＝. 所以Pn(，)，Pn＋1(，)，Pn＋2(，). 所以直线PnPn＋1的方程为x－xn＝(y－yn)，即(9＋t2n－1)x－(9－t2n－1)y－9tn－1·(1＋t)＝0. 易知点Pn＋2到直线PnPn＋1的距离为 d＝ ＝. 又|PnPn＋1|＝ ＝， 则Sn＝·|PnPn＋1|·d＝＝，即Sn为定值，所以Sn＝Sn＋1. 方法二　由(2)知，数列{xn－yn}是首项为x1－y1＝5－4＝1，公比为的等比数列． 令t＝，由0<k<1可知t>1，则xn－yn＝tn－1， 又x－y＝9，所以xn＋yn＝＝， 可得xn＝，yn＝. 所以Pn(，)，Pn＋1(，)，Pn＋2(，)， Pn＋3(，). 所以＝＝， ＝＝， 即＝， 所以PnPn＋3∥Pn＋1Pn＋2， 所以点Pn和点Pn＋3到直线Pn＋1Pn＋2的距离相等， 因此△PnPn＋1Pn＋2和△Pn＋1Pn＋2Pn＋3的面积相等，即Sn＝Sn＋1. 学科网（北京）股份有限公司 $$