第1部分 单元4 第1讲 概率(Word教参)-【优化指导】2025年高考数学二轮复习高中总复习·第2轮

第一讲　概　率 [小题专攻·自主完成] 考情研析　概率计算问题是每年高考的热点之一，如：2023年新课标 Ⅱ 卷T12考查了相互独立事件的概率计算，2023年全国甲卷T6考查了条件概率的计算，2022年新高考 Ⅰ 卷T5考查了古典概型的概率计算，2022年新高考 Ⅱ 卷T13考查了正态分布的概率计算问题，解决此类问题注意对相关类型概率的理解及求解策略． 考点一　随机事件的概率、古典概型 1．(2022·新高考 Ⅰ 卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为(　　) A． B． C． D． D　解析：从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C＝21(种)情况，其中互质的有：{2，3}，{2，5}，{2，7}，{3，4}，{3，5}，{3，7}，{3，8}，{4，5}，{4，7}，{5，6}，{5，7}，{5，8}，{6，7}，{7，8}，共14种，故所求概率为＝.故选D. 2．甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是(　　) A． B． C． D． B　解析：画出树状图： 甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种排法，其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种，所以所求概率为＝，故选B. 3．(2022·全国甲卷)从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________． 答案：　解析：从正方体的8个顶点中任选4个，有n＝C＝70(个)结果，这4个点在同一个平面的有m＝6＋6＝12(个)结果，故所求概率P＝＝＝. 4．(2022·全国乙卷)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为________． 答案：　解析：从5名同学中随机选3名的方法数为C＝10，甲、乙都入选的方法数为C＝3，故甲、乙都入选的概率P＝. 5．(2022·上海卷)为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的概率为________．(用分数作答) 答案：　解析：从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的方法共有CCC＋CCC种，而所有的抽取方法共有C种，故每一类都被抽到的概率为＝＝. 求古典概型概率的三个步骤 考点二　相互独立事件判断及其概率计算 1．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(　　) A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立 B　解析：由题意知P(甲)＝，P(乙)＝×＋×＝，P(丙)＝××5＝，P(丁)＝××6＝.P(甲丙)＝0≠P(甲)P(丙)，故A项错误；P(甲丁)＝×＝＝P(甲)·P(丁)，故B项正确；P(乙丙)＝×＝≠P(乙)P(丙)，故C项错误；P(丙丁)＝0≠P(丙)P(丁)，故D项错误．故选B. 2．(2024·济南模拟)为庆祝我国第40个教师节，某校举办教师联谊会，甲、乙两名数学老师组成“几何队”参加“成语猜猜猜”比赛，每轮比赛由甲、乙两人各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，则“几何队”在一轮比赛中至少猜对一个成语的概率为(　　) A． B． C． D． B　解析：设事件A＝“甲猜对”，B＝“乙猜对”，C＝“几何队至少猜对一个成语”，则P(A)＝，P(B)＝，则P()＝，P()＝.由题意知，事件A，B相互独立，则与B，A与，与也相互独立， 方法一　C＝(B)∪(A)∪(AB)，且B，A，AB两两互斥，则P(C)＝P(B)＋P(A)＋P(AB)＝P()P(B)＋P(A)P()＋P(A)·P(B)＝×＋×＋×＝. 方法二　事件C的对立事件＝“几何队一个成语也没有猜对”，即＝，则P(C)＝1－P()＝1－P()＝1－P()P()＝1－×＝. 故选B. 求相互独立事件概率的2种方法 (1)直接法：正确分析复杂事件的构成并将其转化为几个彼此互斥的事件的和事件或几个相互独立事件同时发生的积事件或独立重复试验问题，然后用相应公式求解． (2)间接法：当复杂事件的正面情况较多，反面情况较少时，可利用其对立事件进行求解． 提醒：“至少”“至多”等问题往往用这种方法求解． 考点三　条件概率与全概率公式 1．(2023·全国甲卷)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪．在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为(　　) A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4 A　解析：通解　如图， 左圆表示爱好滑冰的学生所占比例，右圆表示爱好滑雪的学生所占比例，A表示爱好滑冰且不爱好滑雪的学生所占比例，B表示既爱好滑冰又爱好滑雪的学生所占比例，C表示爱好滑雪且不爱好滑冰的学生所占比例，则0.6＋0.5－B＝0.7，所以B＝0.4，C＝0.5－0.4＝0.1.若该学生爱好滑雪，则他也爱好滑冰的概率为＝＝0.8. 优解　令事件A，B分别表示“该学生爱好滑冰”“该学生爱好滑雪”，事件C表示“该学生爱好滑雪的条件下也爱好滑冰”，则P(A)＝0.6，P(B)＝0.5，P(AB)＝P(A)＋P(B)－0.7＝0.4，所以P(C)＝P(A|B)＝＝＝0.8.故选A. 2．(多选)某儿童乐园有甲、乙两个游乐场，小王同学第一天去甲、乙两家游乐场游玩的概率分别为0.4和0.6.如果他第一天去甲游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.6；如果第一天去乙游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.5，则小王同学(　　) A．第二天去甲游乐场的概率为0.54 B．第二天去乙游乐场的概率为0.44 C．第二天去了甲游乐场，则第一天去乙游乐场的概率为 D．第二天去了乙游乐场，则第一天去甲游乐场的概率为 AC　解析：设事件A1：小王同学第一天去甲游乐场，事件A2：小王同学第二天去甲游乐场， 事件B1：小王同学第一天去乙游乐场， 事件B2：小王同学第二天去乙游乐场， 则P(A1)＝0.4，P(B1)＝0.6，P(A2|A1)＝0.6，P(A2|B1)＝0.5， 所以P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)·P(A2|B1)＝0.4×0.6＋0.6×0.5＝0.54，故选项A正确； P(B2)＝1－P(A2)＝0.46，故选项B不正确； 因为P(A2|A1)＝＝0.6， P(A2|B1)＝＝0.5， 所以P(A2)P(A1|A2)＝0.24，P(A2)P(B1|A2)＝0.3，所以P(B1|A2)＝＝，故选项C正确； P(A1|B2)＝＝＝＝，故选项D不正确，故选AC. 3．(2024·天津卷)A，B，C，D，E五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加．甲选到A的概率为________；已知乙选了A活动，他再选择B活动的概率为________． 答案：　　解析：由题意知甲选到A的概率P＝＝. 记乙选择A活动为事件M，乙选了A活动再选择B活动为事件N， 则P(M)＝＝，P(MN)＝＝， 所以P(N|M)＝＝＝. 1．求条件概率的2种方法 (1)利用定义：分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝，这是求条件概率的通法． (2)借助古典概型概率公式：先求事件A包含的样本点数n(A)，再求事件A与事件B的交事件中包含的样本点数n(AB)，得P(B|A)＝. 2．对全概率公式的几点注意 (1)何时用全概率公式：多种原因导致事件的发生． (2)如何用全概率公式：将一个复杂事件表示为几个彼此互斥事件的和． (3)从本质上讲：全概率公式是加法公式与乘法公式的结合． 考点四　超几何分布、二项分布与正态分布 1．(2024·济南二模)已知随机变量X～B(4，)，则P(X＝2)＝(　　) A． B． C． D． B　解析：因为随机变量X～B(4，)，所以P(X＝2)＝C()4＝＝.故选B. 2．(多选)(2024·重庆模拟)已知某地区十二月份的昼夜温差X～N(μ，σ2)，P(X>8)＝，该地区某班级十二月份感冒的学生有10人，其中有6位男生，4位女生，则下列结论正确的是(　　) A．E(X)＝8 B．若P(7<X<8)＝，则P(X>9)＝ C．从这10人中随机抽取2人，其中至少抽到一位女生的概率为 D．从这10人中随机抽取2人，其中女生人数Y的期望为 ABD　解析：对于A，因为X～N(μ，σ2)，P(X>8)＝，所以E(X)＝μ＝8，故A正确； 对于B，因为P(7<X<8)＝， 所以P(X>9)＝(1－2×)＝，故B正确； 对于C，P＝1－＝1－＝，故C错误； 对于D，Y服从超几何分布，其中N＝10，M＝4，n＝2， 所以E(Y)＝＝＝，故D正确．故选ABD. 3．(2021·新高考 Ⅱ 卷)某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，则下列结论中不正确的是(　　) A．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9，10.1)内的概率越大 B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．该物理量在一次测量中小于9.99的概率与大于10.01的概率相等 D．该物理量在一次测量中结果落在(9.9，10.2)与落在(10，10.3)的概率相等 D　解析：因为某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，所以测量的结果的概率分布关于10对称，且方差σ2越小，则分布越集中，对于A，σ越小，概率越集中在10左右，则该物理量一次测量结果落在(9.9，10.1)内的概率越大，故选项A正确； 对于B，测量结果大于10的概率为0.5，故选项B正确； 对于C，由于概率分布关于10对称，所以测量结果大于10.01的概率等于小于9.99的概率，故选项C正确； 对于D，由于概率分布是集中在10附近的，(9.9，10.2)分布在10附近的区域大于(10，10.3)分布在10附近的区域，故测量结果落在(9.9，10.2)内的概率大于落在(10，10.3)内的概率，故选项D错误．故选D. 4．(2024·常州模拟)设随机变量X～B(n，p)，记Pk＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.在研究Pk的最大值时，某学习小组发现并证明了如下正确结论：若(n＋1)p为正整数，当k＝(n＋1)p时，Pk＝ Pk－1，此时这两项概率均为最大值；若(n＋1)p不为正整数，则当且仅当k取(n＋1)p的整数部分时，Pk取最大值．某同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数．当投掷到第20次时，记录到此时点数1出现4次，若继续再进行80次投掷试验，则在这100次投掷试验中，点数1总共出现的次数为________的概率最大． 答案：17　解析：继续再进行80次投掷试验，出现点数为1的次数X服从二项分布，即X～B(80，)，由k＝(n＋1)p＝81×＝＝13.5，结合题中结论可知，k＝13时概率最大，即后面80次中出现13次点数1的概率最大，加上前面20次中的4次，所以出现17次的概率最大． 5．(2024·秦皇岛一模)小明所在的公司上午9：00上班，小明上班通常选择自驾、公交或地铁这三种方式．若小明选择自驾，则从家里到达公司所用的时间(单位：分钟)服从正态分布N1(38，25)；若小明选择地铁，则从家里到达公司所用的时间(单位：分钟)服从正态分布N2(45，9)；若小明选择公交，则从家里到达公司所用的时间(单位：分钟)服从正态分布N3(36，16).若小明上午8：12从家里出发，则选择________上班迟到的可能性最小．(填“自驾”“公交”或“地铁”)参考数据：若X～N(μ，σ2) ，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈68.3%，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈95.4%，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈99.7%. 答案：公交　解析：由题意可知从家里到达公司所用的时间不超过48分钟，小明就不会迟到；若选择自驾，则P(X>48)＝P(X>μ＋2σ)≈；若选择地铁，则P(X>48)＝P(X>μ＋σ)≈；若选择公交，则P(X>48)＝P(X>μ＋3σ)≈，而>>，故选择公交上班迟到的可能性最小． 6．(2024·天津二模)盒子里有大小和形状完全相同的4个黑球和6个红球，每次从中随机取一个球，取后不放回．在第一次取到黑球的条件下，第二次取到黑球的概率是________；若连续取2次球，设随机变量X表示取到的黑球个数，则E(X)＝________． 答案：　　解析：设第一次取到黑球为事件A，第二次取到黑球为事件B，则P(A)＝＝，P(AB)＝×＝，所以P(B|A)＝＝＝；由题意可得X的可能取值为0，1，2，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 1．二项分布的判断与概率公式 (1)对于公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式． (2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键是有两点：一是对立事件，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验独立重复地进行了n次． 2．求解正态分布问题的关键 解决与正态分布有关的问题的关键是利用对称轴x＝μ确定所求概率对应的随机变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系，必要时借助图形进行判断求解． 学科网（北京）股份有限公司 $$