第1部分 单元3 立体几何(Word教参)-【优化指导】2025年高考数学二轮复习高中总复习·第2轮

单元三　立体几何 单元课标要求 1．认识柱、台、球及简单组合体的结构特征并能利用其体积、表面积公式解决简单的实际问题． 2．能利用空间中直线与平面位置关系的判定定理和性质定理判定空间中的平行、垂直关系． 3．掌握空间向量有关知识，并能用向量的方法证明线面位置关系，解决空间角、空间距离问题，提升直观想象、数学运算和逻辑推理等核心素养． 三年考情分析 试卷 题号 分值 必备知识 核心素养 关键能力 2024 新课标 Ⅰ 卷 5 5 圆柱、圆锥的侧面积、体积 逻辑推理 数学运算 空间想象能力 运算求解能力 17 15 四棱锥中平行、垂直关系及二面角 直观想象 逻辑推理 数学运算 空间想象能力 运算求解能力 推理论证能力 2024 新课标 Ⅱ 卷 12 5 正三棱台的体积、线面角的计算 数学运算 运算求解能力 17 15 五棱锥中垂直关系、二面角计算 直观想象 逻辑推理 数学运算 空间想象能力 推理论证能力 运算求解能力 2023 新课标 Ⅰ 卷 12 5 正方体、球、四面体、圆柱体公式的运用 直观想象 数学运算 空间想象能力 运算求解能力 14 5 正四棱台体积的计算 18 12 正四棱柱、空间平行关系、二面角与空间向量 2023 新课标 Ⅱ 卷 9 5 二面角、圆锥的体积和侧面积 直观想象 数学运算 空间想象能力 运算求解能力 14 5 棱台的体积 20 12 线线垂直、二面角的正弦值 2022 新高考 Ⅰ 卷 4 5 实际问题中的空间几何体 数学建模 运算求解能力 8 5 求与几何体的切接 直观想象 空间想象能力 9 5 线线角、线面角 直观想象 逻辑推理 数学运算 空间想象能力 运算求解能力 推理论证能力 19 12 点面距、二面角 2022 新高考 Ⅱ 卷 7 5 正三棱台的外接球 11 5 多面体体积计算 20 12 线面平行、二面角正弦值 高考命题趋势 1．立体几何选择、填空题，主要考查空间几何体的度量及空间线面关系，热点是球的切接与静态几何体中的动态问题． 2．解答题主要考查线面关系、夹角、距离，其中翻折与动态问题以及与解析几何、三角函数的融合是高考的热点． 空间几何体的侧面积、表面积与体积 (1)圆柱的表面积和体积： S侧＝2πrl，S表＝S侧＋2S底，V＝S底h. (2)圆台的表面积和体积： S侧＝π(r上＋r下)l，S表＝S侧＋S上＋S下，V＝(S上＋S下＋)h. (3)圆锥的表面积和体积： S侧＝πrl，S表＝S侧＋S底，V＝S底h. (4)球的表面积和体积公式： S表＝4πR2，V＝πR3. 注意：求空间几何体体积的常用方法——公式法、等体积转化法、割补法． (1)4个基本事实 ①基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面； ②基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内； ③基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线； ④基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行． (2)八个定理 ①线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α； ②线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b； ③面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α； ④面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b； ⑤线面垂直的判定定理：l⊥a，l⊥b，a∩b＝O，a⊂α，b⊂α⇒l⊥α； ⑥线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b； ⑦面面垂直的判定定理：l⊥α，l⊂β⇒α⊥β； ⑧面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l⊂β⇒l⊥α. 注：平行、垂直关系的转化示意图 , 球的组合体 (1)球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长． (2)球与正方体的组合体：正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长． (3)球与正四面体的组合体：棱长为a的正四面体的内切球的半径为a(正四面体高a的)，外接球的半径为a(正四面体高a的). (1)几何法 (2)向量法： ①用空间向量证明平行、垂直 设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3).则有：线面平行 l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0. 线面垂直 l⊥α⇔a∥μ⇒a＝kμ⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2. 面面平行 α∥β⇔μ∥v⇔μ＝λv⇔a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3. 面面垂直 α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0. ②用向量求空间角 设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2). 平面α，β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4). 线线夹角：设l，m的夹角为θ(0≤θ≤)， 则cos θ＝＝； 线面夹角：设直线l与平面α的夹角为θ(0≤θ≤)， 则sin θ＝|cos 〈a，μ〉|＝； 面面夹角：设平面α，β的夹角为θ(0≤θ≤π)， 则|cos θ|＝|cos 〈μ，v〉|＝. ③用向量求空间距离 点到直线的距离，设直线l的单位方向向量为μ， A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设＝a，则在直线l上的投影向量＝(a·μ)μ. 点P到直线l的距离为PQ＝，点到平面的距离：已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离d＝ 学科网（北京）股份有限公司 $$