第1部分 单元2 第3讲 第2课时 解三角形的综合应用(Word教参)-【优化指导】2025年高考数学二轮复习高中总复习·第2轮

第二课时　解三角形的综合应用 考点一　解三角形中的证明问题 [例1] (2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知sin C sin (A－B)＝sin Bsin (C－A). (1)若A＝2B，求C； (2)证明：2a2＝b2＋c2. (1)解：由A＝2B，sin C sin (A－B)＝sin B sin (C－A) 可得，sin C sin B＝sin B sin (C－A)， 而0<B<，所以sin B∈(0，1)， 即有sin C＝ sin (C－A)>0， 而0<C<π，0<C－A<π，显然C≠C－A， 所以C＋ C－A＝π， 而A＝2B，A＋B＋ C＝π，所以C＝. (2)证明：由sin C sin (A－B)＝ sin B sin (C－A)可得 sin C(sin A cos B－cos A sin B)＝sin B(sin C cos A－cos Csin A)，再由正弦定理可得， ac cos B－bc cos A＝bc cos A－ab cos C， 然后根据余弦定理可知， (a2＋b2－c2)， (b2＋c2－a2)－(b2＋c2－a2)＝(a2＋c2－b2)－ 化简得2a2＝b2＋c2，故原等式成立． 三角形中两类证明问题的思路 一是角的关系：可利用三角恒等变换、转化为同名三角函数，或是某个三角函数值求角； 二是边的关系：可以利用正、余弦定理转化为边的关系，证明可从复杂一边入手，证明两边相等，也可以用比较法，左边－右边＝0. 训练1 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(2－sin A)cos B－1＝cos A sin B－2cos B sin C. (1)求B；(2)证明：a2＋c2≤2b2. (1)解：由(2－sin A)cos B－1＝cos A sin B－2cos B sin C，　 得2cos B－1＝sin A cos B＋cos A sin B－2cos B sin C，　 得2cos B－1＝sin (A＋B)－2cos B sin C，又A＋B＝π－C， 即2cos B－1＝sin C－2cos B sin C， 2cos B＋2cos B sin C＝1＋sin C，2cos B(1＋sin C)＝1＋sin C， 因为0<C<π，所以sin C>0，所以1＋sin C>0， 所以2cos B＝1，即cos B＝， 又因为0<B<π，所以B＝. (2)证明：依题要证明a2＋c2≤2b2，即证明≤2， 由(1)及正弦定理得(cos 2A＋cos 2C)， －)＝＋((sin2A＋sin2C)＝＝＝ 又因为A＋C＝π－B＝－2A， ，所以2C＝ 所以cos 2A＋cos ()， sin 2A＝cos (2A＋cos 2A－sin 2A＝cos 2A－sin －2A)＝cos 2A－cos －2A)＝cos 2A－cos ( 因为0<A<， <<2A＋，所以 所以当2A＋)取最小值为－1， ＝π时，cos (2A＋ 此时≤2， (cos 2A＋cos 2C)有最大值2，即－ 所以a2＋c2≤2b2得证． 考点二　解三角形中范围与最值问题 [例2] (2022·新高考 Ⅰ 卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. ＝ (1)若C＝，求B； (2)求的最小值． 解：(1)因为， ＝＝＝ 即sin B＝cos A cos B－sin A sin B＝cos (A＋B)＝－cos C＝， 而0<B<.，所以B＝ (2)由(1)知，sin B＝－cos C>0，所以， <C<π，0<B< 而sin B＝－cos C＝sin (C－)， 所以C＝－2B.＋B，则有A＝ 所以－5.－5＝4－5≥2＝4cos2B＋＝＝＝ 当且仅当cos2B＝－5.的最小值为4时取等号，所以 解与三角形有关的最值(范围)问题的方法 (1)定基本量：根据题意和已知图形，选择相关的边、角作为基本量，确定基本变量的范围； (2)构建函数：将待求范围变量，利用正、余弦定理或三角恒等变换转化为基本变量的函数； (3)求最值：利用函数有界性、单调性或基本不等式． 训练2 (2024·湛江一模)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a cos (B－C)＋a cos A－2c sin B cos A＝0. (1)求A； (2)若△ABC外接圆的直径为2，求2c－b的取值范围． 解：(1)由A＋B＋C＝π可得A＝π－(B＋C)， 所以cos A＝－cos (B＋C)， 所以a cos (B－C)－a cos (B＋C)＝2c sin Bcos A， c sin B cos A，a cos B cos C＋a sin B sin C－a cos B cos C＋a sin B sin C＝2 即a sin B sin C＝c sin B cos A， 在△ABC中，由正弦定理可得sin A sin B sin C＝sin C sin Bcos A， 因为sin C>0，sin B>0，所以sin A＝cos A， 所以tan A＝， 因为A∈(0，π)，所以A＝. (2)由正弦定理可得， ＝2R＝2＝＝ 所以b＝2sin C， sin B，c＝2 故2c－b＝4(2sin C－sin B)，　sin B＝2sin C－2 又因为A＋B＋C＝π，所以B＝)， －C，C∈(0， 所以2c－b＝2)， cos C)＝6sin (C－sin C－(－C)]＝2[2sin C－sin ( 又因为C∈(0，)， ，∈(－)，所以C－ 所以2c－b＝6sin (C－)∈(－3，6)， 所以2c－b的取值范围为(－3，6). 训练3 (2024·北京模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a＝2，b sin B＋c sin C－2sin A＝b sin C. (1)求A的大小； (2)已知AD是△ABC的中线，求AD的最大值． 解：(1)在△ABC中，a＝2，b sin B＋c sin C－2sin A＝b sin C，由正弦定理得， b2＋c2－a2＝bc，则由余弦定理得，cos A＝， ＝＝ 由于A∈(0，π)，所以A＝. (2)因为a＝2，b2＋c2－a2＝bc，所以b2＋c2＝bc＋4， 故bc＋4＝b2＋c2≥2bc，当且仅当 即b＝c＝2时等号成立，故bc≤4， 由AD是△ABC的中线，得)， ＋(＝ 即得(bc＋2)≤3， [2(bc＋4)－4]＝[2(c2＋b2)－4]＝(c2＋2bc cos A＋b2)＝2)＝＋·2＋2()2＝＋(2＝ 即得|.，故AD的最大值为|≤ 考点三　解三角形中的开放性问题 [例3] (2024·北京卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠A为钝角，a＝7，sin 2B＝b cos B．　 (1)求∠A； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求△ABC的面积． 条件①：b＝7； 条件②：cos B＝； 条件③；c sin A＝. 解：(1)由题知，2sin B cos B＝b cos B. 又A为钝角，所以B为锐角， 故cos B≠0，所以2sin B＝b. 又.，所以sin A＝＝＝＝ 又A为钝角，所以A＝. (2)若选①，结合(1)得2sin B＝×7， 所以sin B＝，A＋B＝π， ，B＝ 则△ABC不存在，所以条件①不符合要求，故不选择条件①. 若选②，由题知sin B＝， ＝ 又，所以b＝3.＝，即＝ 又C＝π－(A＋B)， 所以sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝.＝×－× 所以S△ABC＝.＝×7×3×ab sin C＝ 若选③，由题知c·，所以c＝5.＝ 由a2＝b2＋c2－2bc cos A得，49＝b2＋25＋5b，即(b＋8)(b－3)＝0， 解得b＝3(负值舍去). 所以S△ABC＝.＝×3×5×bc sin A＝ 与解三角形有关的“结构不良”问题的特点及解题策略 (1)特点：所给的可选择的条件是平行的，即无论选择哪个条件，都可解答问题，只要推理严谨、过程规范，都会得满分． (2)解题策略：通常所选择的条件并没有哪个条件让解答过程比较繁杂，最好是根据自己的解题积累，再结合已知条件及其推出的结论恰当选择． 训练4 (2024·丰台区模拟)在△ABC中，a＝. c，A＝ (1)求C的大小； (2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求出AC边上的中线的长度． 条件①：a＝2b；条件②：△ABC的周长为4＋2.；条件③：△ABC的面积为 解：(1)在△ABC中，因为， ＝ 又因为a＝sin C.c，所以sin A＝ 因为A＝.，所以sin C＝ 因为0<C<.，所以C＝ (2)选择条件②：因为△ABC中，A＝，A＋B＋C＝π， ，C＝ 所以B＝，即△ABC为等腰三角形，其中b＝c. 因为a＝， b＋2b＝4＋2b，所以a＋b＋c＝ 所以b＝2. 设点D为线段AC的中点，如图，在△ABD中，AD＝1. 因为△ABD中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD cos ∠BAD＝22＋12－2×2×1×cos ＝7， 所以BD＝.，即AC边上的中线的长度为 选择条件③：因为在△ABC中，A＝，A＋B＋C＝π， ，C＝ 所以B＝，即△ABC为等腰三角形，其中b＝c. 因为△ABC的面积为， 即S△ABC＝， ＝bc sin 所以b＝c＝2. 设点D为线段AC的中点，如图，在△ABD中，AD＝1. 在△ABD中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD cos ∠BAD＝22＋12－2×2×1×cos ＝7， 所以BD＝.，即AC边上的中线的长度为 由题可知a＝b，故①不合题意． 学科网（北京）股份有限公司 $$