第1部分 单元1 多模块知识融合（1）(Word教参)-【优化指导】2025年高考数学二轮复习高中总复习·第2轮

高考解读　近年来高考中出现越来越多的多模块知识融合问题，如2023年全国乙卷第10题将数列与集合、三角函数交汇，在知识点处交汇命题，注重考查综合能力和创新能力．解题的关键在于熟练各模块的基本概念、基本性质、基本思想等，灵活运用模块知识． 融合点一　数列与三角函数交汇融合 [例1] (2023·全国乙卷)已知等差数列{an}的公差为，集合S＝{cos an|n∈N*}，若S＝{a，b}，则ab＝(　　) A．－1 B．－ C．0 D． B　解析：(通解)由题意得an＝a1＋(n－1)，cos an＋3＝cos (a1＋(n＋2))＝cos (a1＋n＋)＝cos (a1＋n＋2π－)＝cos (a1＋n－)＝cos an，所以数列{cos an}是以3为周期的周期数列，又cos a2＝cos (a1＋)＝－cos a1－sin a1，cos a3＝cos (a1＋)＝－cos a1＋sin a1，　 因为集合S中只有两个元素， 所以有三种情况：cos a1＝cos a2≠cos a3，cos a1＝cos a3≠cos a2，cos a2＝cos a3≠cos a1. 下面逐一讨论：①当cos a1＝cos a2≠cos a3时，有cos a1＝－cos a1－sin a1，得tan a1＝－， 所以ab＝cos a1(－cos a1＋sin a1)＝－cos2a1＋sina1·cos a1＝＝＝＝－. ②当cosa1＝cos a3≠cos a2时，有cos a1＝－cos a1＋sin a1，得tan a1＝，所以ab＝cos a1(－cos a1－sin a1)＝－cos2a1－sina1cos a1＝＝＝＝－. ③当cosa2＝cos a3≠cos a1时，有－cos a1－sin a1＝－cos a1＋sin a1，得sin a1＝0， 所以ab＝cos a1(－cos a1－sin a1)＝－cos2a1　 ＝－(1－sin2a1)＝－.综上，ab＝－，故选B. (光速解)取a1＝－，则cosa1＝，cos a2＝cos (a1＋)＝，cos a3＝cos (a1＋)＝－1，所以S＝，ab＝－. 训练1 (2024·运城模拟)已知在等差数列{an}中，a9＝，设函数f(x)＝cos4x－sin4x－2sinx·cos x－1，记yn＝f(an)，则数列{yn}的前17项和为(　　) A．－51 B．－48 C．－17 D．0 C　解析：由题意知f(x)＝cos4x－sin4x－2sinx·cos x－1＝(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)－sin2x－1＝cos 2x－sin 2x－1＝2cos (2x＋)－1， 当x＝时，2cos (2×＋)－1＝－1， 即f(x)关于点(，－1)成中心对称，由于在等差数列{an}中，a9＝，故a1＋a17＝a2＋a16＝…＝2a9＝2×. 又因为f(a9)＝2cos (2×＋)－1＝－1， 所以f(a1)＋f(a17)＝f(a2)＋f(a16)＝…＝f(a8)＋f(a10)＝2×(－1)＝－2， 故数列{yn}的前17项和为f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a17)＝[f(a1)＋f(a17)]＋[f(a2)＋f(a16)]＋…＋[f(a8)＋f(a10)]＋f(a9)＝8×(－2)－1＝－17，故选C. 融合点二　数列与圆锥曲线交汇融合 [例2] (2024·临沂模拟)如图，在平面xOy上有一系列点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，Pn(xn，yn)，…，对每个正整数n，点Pn位于函数y＝x2(x≥0)的图象上，以点Pn为圆心的圆Pn都与x轴相切，且圆Pn与圆Pn＋1外切. 若x1＝1，且xn＋1<xn(n∈N*)，Tn＝xn＋1xn，{Tn}的前n项之和为Sn，则S20＝(　　) A． B． C． D． D　解析：因为圆Pn与圆Pn＋1外切，且都与x轴相切， 所以＝yn＋yn＋1， 即(xn－xn＋1)2＋(yn－yn＋1)2＝(yn＋yn＋1)2， 所以(xn－xn＋1)2＝4ynyn＋1＝4xx， 因为xn＋1<xn(n∈N*)， 所以xn－xn＋1＝2xnxn＋1， 所以－＝2， 所以数列{}为首项＝1，公差d＝2的等差数列， 所以＝1＋(n－1)×2＝2n－1， 所以xn＝(n∈N*)， 所以Tn＝xnxn＋1＝×＝(－)×， 所以Sn＝×(1－＋－＋…＋－)＝×(1－)＝(n∈N*)， 所以S20＝＝，故选D. 训练2 (多选)已知一条曲线Cn：x2－2nx＋y2＝0(n＝1，2，…).从点P(－1，0)向曲线Cn引斜率为kn(kn>0)的切线ln，切点为Pn(xn，yn).则下列结论正确的是(　　) A．数列{xn}的通项公式为xn＝ B．数列{yn}的通项公式为yn＝ C．当n>3时，x1·x3·x5·…·x2n－1> D．<sin ACD　解析：直线ln的方程为y＝kn(x＋1)， 联立x2－2nx＋y2＝0，得(1＋k)x2＋(2k－2n)x＋k＝0， 则由Δ＝0，即Δ＝(2k－2n)2－4k(1＋k)＝0， 得kn＝(负值舍去)， 所以可得xn＝＝＝， yn＝kn(1＋xn)＝， 所以A正确，B错误； 因为＝，x2n－1＝>， 所以x1·x3·x5·…·x2n－1＝×××…×>×××…×＝，故C正确； 因为＝＝， 令f(x)＝x－sin x，则f′(x)＝1－cos x， 可得f(x)在(0，)上单调递减， 可知x<sin x在(0，)上恒成立， 又≤<， 所以<sin 成立，故D正确．故选ACD. 融合点三　数列与立体几何交汇融合 [例3] (多选)已知三棱锥A­BCD的棱长均为3，其内有n个小球，球O1与三棱锥A­BCD的四个面都相切，球O2与三棱锥A­BCD的三个面和球O1都相切，以此类推，…，球On与三棱锥A­BCD的三个面和球On－1都相切(n≥2，且n∈N*)，球On的表面积为Sn，体积为Vn，则(　　) A．V1＝π B．S3＝ C．数列{Sn}为等差数列 D．数列{Vn}为等比数列 AD　解析：由题意知三棱锥A­BCD的内切球O1的球心在高AO上，如图1所示， 由正三角形中心的性质可得BO＝×＝，则AO＝＝， 设球O1的半径为r1，可利用等体积法 VA­BCD＝r1(S△ABC＋S△ACD＋S△ABD＋S△BCD)， 即××32×＝r1×4××32， 解得r1＝，所以球O1的体积V1＝πr＝，故选项A正确； 如图2所示，易知DO＝，OO1＝r1＝，DO1＝＝. 设球O2与平面BCD切于点M，球O2的半径为r2，连接O2M，则△O1OD∽△O2MD， 所以＝， 即＝＝， 所以3r2＝－r2，则r2＝＝r1， 所以＝，以此类推，＝＝＝…＝＝(n≥2)， 所以{rn}是首项为，公比为的等比数列， 所以rn＝×()n－1， 所以r3＝r1＝，则S3＝4πr＝4π×＝，故选项B错误； 由rn＝×()n－1可得＝＝()2＝，n≥2， 所以数列{Sn}是公比为的等比数列，故选项C错误； 由rn＝×()n－1可得＝＝()3＝，n≥2， 所以数列{Vn}是公比为的等比数列，故选项D正确．故选AD. 训练3 (多选)如图已知正四面体ABCD中，AB＝2，P1，P2，…，Pn在线段AB上，且|AP1|＝|P1P2|＝…＝|Pn－1Pn|＝|PnB|，过点P1作平行于直线AC，BD的平面为截面，其面积为an，则下列说法正确的是(　　) A.a1＝1 B．{an}为递减数列 C．存在常数m，使{＋m}为等差数列 D．设Sn为数列的前n项和，则Sn＝时，n＝2 023 ABD　解析：由题意得|AP1|＝|P1P2|＝…＝|PnB|＝，如图1，取BD中点O，连接AO，CO，因为△ABD，△BCD均为等边三角形， 所以AO⊥BD，CO⊥BD， 因为AO∩CO＝O，AO，CO⊂平面AOC， 所以BD⊥平面AOC， 又因为AC⊂平面AOC，所以BD⊥AC， 图1 如图2，过点P1作P1E∥AC交BC于点E， 过点P1作P1F∥BD交AD于点F， 过点E作EG∥BD交CD于点G，连接FG，则P1F⊥P1E， 故四边形P1FGE为截面，且四边形P1FGE为矩形， 图2 由相似知识可知|AP1|＝|P1F|＝，|EP1|＝，故an＝|P1F|·|P1E|＝·＝，所以a1＝＝1，A正确； 因为an＝，所以an＋1－an＝－＝＝<0，n≥1， 故an＋1<an，故{an}为递减数列，B正确； ＝，则＋m＝＋＋＋m， ＋m－(＋m)＝＋＋＋m－－－－m＝－＋不是常数，数列{＋m}不是等差数列，C错误； an＝·＝＝－，则Sn＝－＋－＋…＋－＝4－，令4－＝，解得n＝2 023，D正确．故选ABD. 融合点四　数列与函数、不等式、导数交汇融合 [例4] (多选)正项数列{an}的前n项和为Sn，若2anSn＝a＋1，bn＝log2，数列{bn}的前n项和为Tn，下面结论正确的有(　　) A．an＋1>an B．{S}是等差数列 C．ln n＋2≥2Sn D．满足Tn≥2的最小正整数n为5 BD　解析：因为2anSn＝a＋1，所以2(Sn－Sn－1)Sn＝(Sn－Sn－1)2＋1，n≥2，整理得，S－S＝1，当n＝1时，2a1S1＝a＋1，得a1＝1(负值舍去)， 当n＝2时，2a2S2＝a＋1，得a2＝－1，满足S－S＝1， 所以{S}是首项为1，公差为1的等差数列，B正确； 由2anSn＝a＋1得Sn＝＋　①， 所以Sn＋1＝＋　②， 两式相减得an＋1＋an＝， 因为{an}是正项数列，所以an－an＋1>0，即an>an＋1，A错误； 由选项B知，S＝1＋(n－1)×1＝n，则Sn＝，假设ln n＋2≥2Sn， 则ln n－2＋2≥0，令x＝，f(x)＝ln x2－2x＋2(x≥1)，则f′(x)＝－2＝≤0， 所以f(x)在定义域内单调递减， 所以f(x)≤f(1)＝0，与假设矛盾，C错误； 由Sn＝，bn＝log2＝log2， 所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝log2＋log2＋log2＋…＋log2＝log2(×××…××)＝log2＝log2，令Tn≥2， 即log2≥2，解得(n＋)2≥， 当n＝4时，(n＋)2＝，当n＝5时，(n＋)2＝， 所以Tn≥2的最小正整数n为5，D正确． 训练4 (2024·浦东模拟)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{an}，f({an})仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：(1)f(x)＝x3；(2)f(x)＝ex；(3)f(x)＝；(4)f(x)＝ln |x|.则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为(　　) A．(1)(2) B．(1)(3) C．(2)(3) D．(3)(4) B　解析：根据题意，由等比数列性质知an·an＋2＝a，(1)f(x)＝x3，f(an)f(an＋2)＝aa＝(anan＋2)3， 所以(a)3＝f2(an＋1)，故(1)是“保等比数列函数”； (2)f(x)＝ex，f(an)f(an＋2)＝ean·ean＋2＝ean＋an＋2≠(ean＋1)2＝f2(an＋1)，故(2)不是“保等比数列函数”； (3)f(x)＝，f(an)f(an＋2)＝＝＝f2(an＋1)， 故(3)是“保等比数列函数”； (4)f(x)＝ln |x|，则f(an)f(an＋2)＝ln |an|·ln |an＋2|≠ln2|an＋1|＝f2(an＋1)， 故(4)不是“保等比数列函数”．故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $$