第1部分 单元1 第1讲 数列(Word教参)-【优化指导】2025年高考数学二轮复习高中总复习·第2轮

第一讲　数　列 [小题专攻·自主完成] 考情研析　等差、等比数列的基本量的计算是高考的热点，在每年高考中都有体现，如：2024年新课标 Ⅱ 卷T12，2023年新课标 Ⅱ 卷T8，2024年全国甲卷(理)T4，2024年全国甲卷(文)T5等，解题时注意运用等差、等比数列的性质和整体思想、方程思想，能简化运算． 考点一　等差(比)数列的基本运算 1．(2024·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9＝1，则a3＋a7＝(　　) A． B． C． D． B　解析：方法一　设等差数列{an}的公差为d，由S9＝9a1＋d＝9(a1＋4d)＝1，得a1＋4d＝，则a3＋a7＝a1＋2d＋a1＋6d＝2a1＋8d＝2(a1＋4d)＝.故选B. 方法二　因为{an}为等差数列，所以S9＝＝9a5＝1，得a5＝，则a3＋a7＝2a5＝，故选B. 2．(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝(　　) A．14 B．12 C．6 D．3 D　解析：设等比数列{an}的公比为q，q≠0，若q＝1，则a2－a5＝0，与题意矛盾， 所以q≠1，则 解得所以a6＝a1q5＝3.故选D. 3．(2023·全国甲卷)设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，若a1＝1，S5＝5S3－4，则S4＝(　　) A． B． C．15 D．40 C　解析：通解：若该数列的公比q＝1，代入S5＝5S3－4中，有5＝5×3－4，不成立， 所以q≠1.由＝5×－4，化简得q4－5q2＋4＝0， 所以q2＝1(舍)或q2＝4，由于此数列各项均为正数， 所以q＝2，所以S4＝＝15. 优解(直接求和法)：由已知得1＋q＋q2＋q3＋q4＝5(1＋q＋q2)－4，整理得(1＋q)(q3－4q)＝0，由于此数列各项均为正数，所以q＝2，所以S4＝1＋q＋q2＋q3＝1＋2＋4＋8＝15. 4．(2024·新课标 Ⅱ 卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，则S10＝________． 答案：95　解析：方法一(基本量法)　设等差数列{an}的公差为d，由a3＋a4＝a1＋2d＋a1＋3d＝2a1＋5d＝7，3a2＋a5＝3(a1＋d)＋a1＋4d＝4a1＋7d＝5，解得a1＝－4，d＝3，则S10＝10a1＋45d＝95. 方法二(利用下标和性质)　设等差数列{an}的公差为d，由a3＋a4＝a2＋a5＝7，3a2＋a5＝5，得a2＝－1，a5＝8，故d＝＝3，a6＝11，则S10＝×10＝5(a5＋a6)＝5×19＝95. 5．(2022·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若2S3＝3S2＋6，则公差d＝________． 答案：2　解析：由2S3＝3S2＋6可得2(a1＋a2＋a3)＝3(a1＋a2)＋6，化简得2a3＝a1＋a2＋6，即2(a1＋2d)＝2a1＋d＋6，解得d＝2. 6．(2023·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若8S6＝7S3，则{an}的公比为________． 答案：－　解析：由8S6＝7S3可知，数列{an}的公比q≠1，所以8×＝7×，即8(1－q6)＝7(1－q3)，即8(1＋q3)＝7，所以q＝－. 等差(比)数列基本运算的解题途径 (1)设基本量a1和公差d(或公比q). (2)列、解方程组：把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量． 考点二　等差、等比数列的性质 1．(2024·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S5＝S10，a5＝1，则a1＝(　　) A． B． C．－ D．－ B　解析：设等差数列{an}的公差为d，由S5＝S10，得＝，所以5a3＝5(a3＋a8)，所以a8＝0，公差d＝＝－，所以a1＝a5－4d＝1－4×(－)＝，故选B. 2．(2023·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5＝(　　) A．25 B．22 C．20 D．15 C　解析：方法一　由a2＋a6＝10，可得2a4＝10，所以a4＝5，又a4a8＝45，所以a8＝9.设等差数列{an}的公差为d，则d＝＝＝1，又a4＝5，所以a1＝2，所以S5＝5a1＋×d＝20，故选C. 方法二　设等差数列{an}的公差为d，则由a2＋a6＝10，可得a1＋3d＝5　①，由a4a8＝45，可得(a1＋3d)(a1＋7d)＝45　②，由①②可得a1＝2，d＝1，所以S5＝5a1＋×d＝20. 3．(2024·雅安一模)已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，若a1＋a5＋a9＝9，b2b5b8＝3，则＝(　　) A．2 B． C． D． C　解析：由题意可得解得所以＝＝＝.故选C. 4．(2024·山东开学考试)已知等比数列{an}中，a3a4a5＝－8，a9＝64，则a5＝________． 答案：4　解析：由题意a3a4a5＝ a＝－8，a9＝64，所以a4＝－2，q5＝＝＝－32，所以公比q＝－2，所以a5＝－2a4＝4. 5．(2023·全国乙卷)已知{an}为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，则a7＝________． 答案：－2　解析：方法一　设等比数列{an}的公比为q，则由a2a4a5＝a3a6，得a1q·a1q3·a1q4＝a1q2·a1q5.又a1≠0，且q≠0，所以可得a1q＝1　①. 又a9a10＝a1q8·a1q9＝aq17＝－8　②，所以由①②可得q15＝－8，q5＝－2，所以a7＝a1q6＝a1q·q5＝－2. 方法二　设等比数列{an}的公比为q.因为a4a5＝a3a6≠0，所以a2＝1.又a9a10＝a2q7·a2q8＝q15＝－8，于是q5＝－2，所以a7＝a2q5＝－2. 等差、等比数列性质问题求解策略 (1)抓关系：抓住项与项及项的序号之间的关系，从这些特点入手，选择恰当的性质进行求解． (2)用性质：数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，当然也不可忽视等差(比)数列本身的性质． 考点三　数列的递推关系 1．(2024·湛江期末)在数列{an}中，a1＝1，且anan＋1＝n，当n≥2时，＋＋…＋≤an＋an＋1－2λ，则实数λ的取值范围为(　　) A．(－∞，1] B．[1，＋∞) C．(0，1] D．(－∞，4] A　解析：因为anan＋1＝n，a1＝1，所以a2＝1， 且当n≥2时，an－1an＝n－1， 所以anan＋1－an－1an＝1， 所以＝an＋1－an－1， 所以＋＋…＋＝a3－a1＋a4－a2＋a5－a3＋…＋an＋1－an－1＝－a1－a2＋an＋an＋1＝an＋an＋1－2. 因为＋＋…＋≤an＋an＋1－2λ， 所以an＋an＋1－2≤an＋an＋1－2λ， 所以2λ≤2，故λ≤1.故选A. 2．(多选)(2024·通化模拟)对于数列{an}，定义H0＝为{an}的“优值”．现已知数列{an}的“优值”H0＝2n＋1，记数列{an－20}的前n项和为Sn，则下列说法正确的是(　　) A．an＝2n＋2　　　　 B．Sn＝n2－19n C．S8＝S9 D．Sn的最小值为－72 ACD　解析：由题意可知，H0＝＝2n＋1，则a1＋2a2＋…＋2n－1an＝n·2n＋1　①，当n＝1时，a1＝21＋1×1＝4，当n≥2时，a1＋2a2＋…＋2n－2an－1＝(n－1)·2n　②， ①－②得，2n－1an＝n·2n＋1－(n－1)·2n，解得an＝2(n＋1)，当n＝1时也成立，∴an＝2n＋2，A正确； Sn＝a1－20＋a2－20＋…＋an－20＝a1＋a2＋…＋an－20n＝2×1＋2＋2×2＋2＋…＋2×n＋2－20n＝2(1＋2＋…＋n)＋2n－20n＝n(n＋1)－18n＝n2－17n，B错误； ∵an－20＝2n－18，令an－20≤0，解得n≤9，且a9－20＝0，故当n＝8或9时，{an－20}的前n项和Sn取最小值，最小值为S8＝S9＝＝－72，C，D正确．故选ACD. 3．(2024·娄底模拟)已知数列{an}满足a2＝2，an·an＋1＝2n，则a10的值为__________． 答案：32　解析：因为an·an＋1＝2n，所以an＋1·an＋2＝2n＋1，两式相除得＝2，故数列{a2k}是公比为2的等比数列，由a2＝2，所以a10＝ a2·25－1＝25＝32. 4．(2024·保定模拟)在数列{an}中，a1＝1，an＋an＋1＝en，其中e是自然对数的底数，令Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，则ln ＝________． 答案：1－n　解析：由Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，①得eSn＝ea1＋a2＋a3＋…＋an，②则①＋②得(1＋e)Sn＝ea1＋(a1＋a2)＋(a2＋a3)＋…＋(an－1＋an)＋an，则(1＋e)Sn＝ne＋an，故ln ＝1－n. 数列通项公式的求法 (1)若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝ (2)由数列的递推关系求数列通项公式，常见的方法有累加法、累乘法、待定系数法等． 学科网（北京）股份有限公司 $$