第05讲 一次方程（组）及应用（讲练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（北京专用）

第二章 方程与不等式 第05讲 一次方程（组）及应用（2~7分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 等式的性质（高频考点） 考点二 一次方程（组）相关概念（高频考点） 考点三 一次方程（组）的解法（高频考点） 考点四 一次方程（组）的应用（高频考点） 04题型精研·考向洞悉 命题点一 等式的性质 ►题型01 利用等式的性质判断变形正误 ►题型02 利用等式的性质求解 命题点二 一次方程（组）相关概念 ►题型01 一元一次方程的定义 ►题型02 二元一次方程组的定义 ►题型03 已知一元一次方程的解求参数 ►题型04 已知二元一次方程（组）的解求参数 命题点三 一次方程（组）的解法 ►题型01 解一元一次方程 ►题型02 解二元一次方程组 ►题型03 二元一次方程组的特殊解 命题点四 一次方程（组）的应用 ►题型01 方案问题 ►题型02 行程问题 ►题型03 工程问题 ►题型04 数字问题 ►题型06 分配问题 ►题型07 销售利润问题 ►题型08 和倍差分问题 ►题型09 几何问题 ►题型10 图表信息问题 ►题型11 古代问题 ►题型12 开放性问题 ►题型13 其他问题 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 等式的基本性质 理解等式的基本性质 10年8考 一元一次方程与二元一次方程（组）在初中数学中因为未知数的最高次数都是一次，且都是整式方程,所以统称为“一次方程”. 中考中，对于这两个方程的解法及其应用一直都有考察，其中对于两个方程的解法以及注意事项是必须掌握的，而在其应用上也是中考代数部分结合型较强的一类考点. 预计2025年北京中考还将继续考查一次方程的解法和应用题，为避免丢分，学生应扎实掌握． 一元一次方程 能解一元一次方程 近10年连续考查 二元一次方程（组） 掌握消元法，能解二元一次方程组 利用二元一次方程（组）解决实际应用 02知识导图·思维引航 03考点突破 考点一 等式的性质（高频考点） 1.利用等式的性质进行变形时，等式两边都要参加运算，而且是同一种运算. 2.运用等式的性质2时，等式两边不能同时除以0，因为0不能作除数或分母. 1．方程的变形中，正确的是（    ） A．方程，移项得 B．方程，去括号得 C．方程，可化为 D．方程，可化为 2．将方程变形为用含的式子表示，那么 ； 考点二 一次方程（组）的相关概念（高频考点） 一元一次方程的概念：只含有一个未知数，且未知数的次数都是1，这样的整式方程叫一元一次方程. 一元一次方程标准形式：ax+b=0（x为未知数，a、b是常数且a≠0）。 二元一次方程的概念:含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程一般形式:ax+by+c=0(a≠0，b≠0)。 二元一次方程的解:一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。 二元一次方程方程组的概念:把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，叫做二元一次方程组. 一次方程组的解:一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解 1. 一元一次方程中未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数. 2. 一元一次方程只含有一个未知数,未知数的次数都为1. 3.二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解. 4.在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以通过解一元一次方程的方法求出另一个未知数的值. 5.二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含有两个未知数，这两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个一次方程必须只含有两个未知数. 1．已知方程是一元一次方程，则a的值为 ． 2．已知是关于的方程的解，则的值为 ． 考点三 一次方程（组）的解法（高频考点） 解一元一次方程的基本步骤： 解二元一次方程组的基本步骤： 1. 解方程的五个步骤有些可能用不到，有些可能重复使用，也不一定有固定的顺序，要根据方程的特点灵活运用． 2. 对于分母中含有小数的一元一次方程．当分母中含有一位小数时，含分母项的分子、分母都乘10，化分母中的小数为整数；当分母中含有两位小数时，含分母项的分子、分母都乘100，化分母中的小数为整数． 3.解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程． 1．已知关于x的方程中，的解比的解大1，求a的值． 考点四 一次方程（组）的实际应用（高频考点） 用方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 与一次方程（组）有关应用题的常见类型： 04 命题点一 等式的性质 ►题型01 利用等式的性质判断变形正误 1．下列关于等式变形的说法中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ►题型02 利用等式的性质求解 1．在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长的计算公式为，用，表示，正确的是（   ） A． B． C． D． 命题点二 一次方程（组）的定义 ►题型01 一元一次方程的定义 1．如果关于的方程是一元一次方程．那么，应满足的条件是（  ） A．， B．， C．， D．， 2．下列等式中是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． ►题型02 二元一次方程（组）的定义 1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 2．下列方程中，是二元一次方程的为（    ） A． B． C． D． ►题型03 已知一元一次方程的解求参数 1．关于的方程的解与的解相同，则的值为（    ） A． B．2 C． D．1 2．若是方程的解，则的值为 ． ►题型04 已知二元一次方程（组）的解求参数 1．若是关于、的方程组的解，则有序数对是（    ） A． B． C． D． 2．如果是关于x，y的二元一次方程的一个解，那么m的值为（   ） A． B． C． D． 3．如果方程组的解是二元一次方程的一个解，那么m的值为 ． 命题点三 一次方程（组）的解法 ►题型01 解一元一次方程 1．解方程： (1)； (2)． 2．解方程： (1) (2) 3．解方程： (1)； (2)． 4．已知方程与关于x的方程的解相同． (1)求a的值； (2)若a、b在数轴上对应的点在原点的两侧，且到原点的距离相等，c是最大的负整数，求的值． ►题型02 解二元一次方程组 1．方程组的解为 ． 2.方程组的解为 ． 3．已知关于、的二元一次方程的解为和 (1)求、的值； (2)当时，求的值． ►题型03 二元一次方程组的特殊解 1．已知方程组，则代数式的值是（   ） A．2 B．1 C． D． 2．如果实数满足方程组，那么 ． 3．已知方程组则的值为 ． 命题点四 一次方程（组）的应用 ►题型01 方案问题 1．一个17人的旅游团到一家酒店住宿，酒店的客房只有双人标准间和三人间，其中双人标准间每间每晚100元，三人间每间每晚130元．住宿要求男士只能与男士同住，女士只能与女士同住． （1）若该旅游团一晚的住宿费用为750元，则他们租住了 间三人间； （2）若该旅游团中共有7名男士，则租住一晚的住宿费用最少为 元． 2．某中学为积极开展校园足球运动，计划购买A和B两种品牌的足球，已知一个A品牌足球价格为120元，一个B品牌足球价格为150元．学校准备用3000元购买这两种足球（两种足球都买），并且3000元全部用完，则该校共有 种购买方案． 3．为更好地开展阳光体育活动，学校准备到某体育用品店购进一批A型篮球和B型篮球．已知A型篮球的标价比B型篮球的标价每个贵30元，购买8个A型篮球和10个B型篮球共需1320元． (1)A型篮球和B型篮球的标价各是多少？ (2)该体育用品店推出了以下优惠方案： 方案一：所有商品按标价的九折销售； 方案二：所有商品按标价购买，总费用超过2000元时，超过部分按七折收费． 学校计划在该店购买20个A型篮球和30个B型篮球，选择哪种方案更合算？请说明理由． 4．某牛奶加工厂现有鲜奶9t，若在市场上直接销售，每吨可获利润500元；制成酸奶销售，每吨可获利润1200元；制成奶片销售，每吨可获利润2000元．该工厂的生产能力为：制成酸奶每天可加工3t，制成奶片每天可加工1t．受人员限制，两种加工方式不能同时进行．受气温条件限制，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕，为此，该加工厂设计了两种可行性方案：方案一：尽可能多地制成奶片，其余直接销售鲜牛奶；方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成．你认为选择哪种方案获利最多？为什么？ 5．学校七年级为了开展球类兴趣小组，需要购买一批足球和篮球．若购买4个篮球和3个足球需花费530元，若购买1个篮球和6个足球需花费500元． (1)篮球和足球的单价各是多少元？ (2)实际购买时，正逢商场进行促销，所有体育用品都按原价的八折优惠出售．已知该年级决定购进这两种球，恰好花费960元．若两种球都要，请问有几种购买方案，请加以说明． ►题型02 行程问题 1．京雄高速北京段于2023年12月31日全线贯通．通车后、由西南五环至雄安新区可实现1小时通达，比原来节省了30分钟．小东爸爸发现通车后从西南五环去雄安新区出差比通车前少走27．5千米，如果平均车速比原来每小时多走17千米，正好和设计相符，通车前小东爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是多少？ 2．小刚对诗仙李白的诗作《早发白帝城》中“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还”的说法产生疑问：李白真能在一日之内从白帝城到达江陵吗?小刚经过查阅资料得知，白帝城是现今的重庆奉节，而江陵是现今的湖北荆州．假设李白乘坐的轻舟从奉节到宜昌的速度约为，从宜昌到荆州的速度约为．从奉节到荆州的水上距离约为．经过分析资料，小刚发现从奉节到宜昌的时间比从宜昌到荆州多．根据小刚的假设，回答下列问题： (1)奉节到宜昌的水上距离是多少？ (2)李白能在一日（）之内从白帝城到达江陵吗？说明理由． 3．我国古代数学著作《九章算术》里记载了这样一个有趣的问题：“今有善行者行100步，不善行者60步．今不善行者先行100步，善行者追之，问几何步追之？”其意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走了60步，现在走路慢的人先走100步，走路快的人去追他，问走路快的人走多少步能够追上他？请你解决该问题． ►题型03 工程问题 1．我国的传统佳节端午节，历来有吃“粽子”的习俗，某食品加工厂拥有A、B两条不同的粽子生产线，原计划A生产线每小时加工粽子400个，B生产线每小时加工粽子500个． （1）若生产线A，B一共加工12小时，且生产粽子总数量不少于5500个，则B生产线至少加工多少小时？ （2）原计划A，B生产线每天均工作8小时，由于受其它原因影响，在实际生产过程中，A生产线每小时比原计划少生产100a个（a>0），B生产线每小时比原计划少生产100个，为了尽快将粽子投放到市场，A生产线每天比原计划多工作2a小时，B生产线每天比原计划多工作a小时，这样一天恰好生产粽子6400个，求a的值． ►题型04 数字问题 1．如下，一个三阶幻方（由9个数构成，并且横行、竖行和对角线上数的和都相等），则a的值是 ． a 7 9 5 2．如图，小明将，，，0，1，2，3，4，5分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．若a，b，c分别表示其中的一个数，则的值为 ． ►题型06 分配问题 1．某旅店的客房有两人间和三人间两种，两人间每间200元，三人间每间250元，某学校50人的研学团到该旅店住宿，租住了若干客房.其中男生27人，女生23人.若要求男女不能混住，且所有租住房间必须住满. （1）要想使花费最少，需要 间两人间； （2）现旅店对两人间打八折优惠，且仅剩15间两人间，此时要想花费最少，需要 间三人间. 2．某企业有两条加工相同原材料的生产线．在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为小时；在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为小时．第一天，该企业将5吨原材料分配到两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到生产线的吨数与分配到生产线的吨数的比为 ．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给生产线分配了吨原材料，给生产线分配了吨原材料．若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则的值为 ． 3．列方程或方程组解应用题： 为开阔学生的视野在社会大课堂活动中，某校组织初三年级学生参观科技馆，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．求该校初三年级有学生多少人？原计划租用多少辆45座客车？ ►题型07 销售利润问题 1．我校学生会正在策划一次儿童福利院的慰问活动．为了筹集到元活动资金，学生会计划定制一批穿校服的毛绒小熊和带有校徽图案的钥匙扣，表格中有这两种商品的进价和售价．另外，若将一个小熊和一个钥匙扣组成一份套装出售，则将售价打九折．为了更好的制定进货方案，学生会利用抽样调查的方式统计了校内学生对商品购买意向的百分比情况见表格，若按照这个百分比情况定制商品，至少定制小熊 个和钥匙扣 个，才能筹集到元资金即获得元利润． 小熊 钥匙扣 套装 进价 售价 购买意向 2．水果在物流运输过程中会产生一定的损耗，下表统计了某种水果发货时的重量和收货时的重量． 发货时重量（kg） 100 200 300 400 500 600 1000 收货时重量（kg） 94 187 282 338 435 530 901 若一家水果商店以6元/kg的价格购买了5000kg该种水果，不考虑其他因素，要想获得约15000元的利润，销售此批水果时定价应为 元/kg． ►题型08 和倍差分问题 1．根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500克）和小瓶装（250克）两种产品的销售数量（按瓶计算）比为2∶5．某厂每天生产这种消毒液22500000克，这些清毒液应该分装大，小瓶两种产品各多少瓶?设这些消毒液应该分装大瓶x瓶，小瓶y瓶．依题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 2．2023年12月27日北京城市副中心“三大文化建筑”之一的北京城市图书馆对外开放，其总建筑面积约万平方米，藏书量达800万册，建有世界最大的单体图书馆阅览室．图书馆内的功能区设置阅览坐席，方便读者使用．其中，山体阅览区、非遗文献馆、少年儿童馆的坐席总数为1900个，非遗文献馆的坐席数与少年儿童馆坐席数之比为，山体阅览区的坐席数是少年儿童馆坐席数的4倍多200个，求山体阅览区、非遗文献馆、少年儿童馆的坐席数量． ►题型09 几何问题 1．羽毛球运动深受大众喜爱，该运动的场地是一块中间设有球网的矩形区域，它既可以进行单打比赛，也可以进行双打比赛，下图是羽毛球场地的平面示意图，已知场地上各条分界线宽均为，场地的长比宽的2倍还多包含分界线宽，单、双打后发球线（球网同侧）间的距离与单、双打边线（中线同侧）间的距离之比是．根据图中所给数据，求单、双打后发球线间的距离． 2．在房山区践行“原色育人，生态发展”教育发展理念的引领下，某校为提升实践育人实效，积极组织学生建设劳动基地，参与校园种植活动．计划在校园内一块矩形的空地上开垦两块完全相同的矩形菜园，如图所示，已知空地长米，宽米，矩形菜园的长与宽的比为，并且预留的上、中、下、左、右通道的宽度相等，那么预留通道的宽度和矩形菜园的宽分别是多少米？ 3．下图是某房屋的平面示意图．房主准备将客厅和卧室地面铺设木地板，厨房和卫生间地面铺设瓷砖．将房间地面全部铺设完预计需要花费10000元，其中包含安装费1270元．若每平方米木地板的瓷砖的价格之比是，求每平方米木地板和瓷砖的价格．    4．列方程或方程组解应用题． 如图1，正方形是一块边长为的灰色地砖，在A，B，C，D四个顶点处截去四个全等的等腰直角三角形后，得到一块八边形地砖．用四块相同的该八边形地砖和一块黑色正方形地砖拼成如图2所示的图案，该图案的面积为（不考虑接缝），求一块八边形地砖和黑色正方形地砖的面积． 5．已知，图①是一张可以缓解眼睛疲劳的视力远眺回形图，它是由多个大小不等的正方形构成的二维空间平面图，利用心理学空间知觉原理，通过变化图案可不断改变眼睛晶状体的焦距，强烈显示出三维空间的向远延伸的立体图形，调节人们的睫状体放松而保护视力．其中阴影部分是由能够缓解视疲劳的绿色构成，阴影之间的部分是空白区域．某体检中心想定做一张回形图，图②是选取的部分回形图的示意图，其中最大的正方形边长为，且空白区域两部分的面积相等，若空白区域需要三种不同的护眼浅色贴纸，铺贴用纸费用分别为：A区域10元，B区域15元，C区域20元，铺贴三个区域共花费150元，求C区域的面积． ►题型10 图表信息问题 1．用方程或方程组解决问题： 某校初一1班30名同学为“希望工程”捐款，共捐款300元，捐款情况如下表： 捐款/元 2 5 10 15 人数 5 10 表格中捐款5元和10元的人数被墨水污染了，问：捐5元和10元的人数各是多少？ 2．列方程解应用题 《乌鸦喝水》的故事我们都听过，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，喝到了水．根据图中给出的信息，解答下列问题： （1）放入一个小球水面升高________，放入一个大球水面升高________； （2）如果放入10个球且使水面恰好上升到52厘米，应放入大球、小球各多少个？ （3）若放入一个钢珠可以使液面上升k厘米，当在玻璃桶内同时放入相同数量的小球和钢珠时，水面上升到41厘米，则k的整数值为____________．（球和钢珠完全在水面以下） ►题型11 古代问题 1．在《九章算术》中，二元一次方程组是通过“算筹”摆放的，如图1，图2中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数，的系数与相应的常数项．如图1表示的方程组是，在图2所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，如果图2所表示的方程组中的值为3，则被墨水所覆盖的图形为（   ） A．| B．|| C．||| D．|||| 2．我国古典数学文献《增删算法统宗正六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上．乙说得甲九只，两家之数相当．二人闲坐恼心肠，画地算了半晌．”，其大意为：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊，如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意列方程组正确的为（    ） A． B． C． D． 3．《算数书》是中国数学史上的重要著作，比我们熟知的汉代《九章算术》还要古老，保存了许多古代算法的最早例证（比如“勾股”概念），改变了我们对周秦数学发展水平的认识．文中记载“有妇三人，长者一日织五十尺，中者二日织五十尺，少者三日织五十尺，今威有功五十尺，问各受几何？”译文：“三位女人善织布，姥姥1天织布50尺，妈妈2天织布50尺，妞妞3天织布50尺．如今三人齐上阵，共同完成50尺织布任务，请问每人织布几尺？”设三人一共用了x天完成织布任务，则可列方程为 ． ►题型12 开放性问题 1．某学习小组的六个人围成一个圆圈做报数游戏，游戏的步骤如下： ①每个人心里都想好一个数； ②把自己想好的数悄悄如实地告诉他两旁的两个人； ③每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来． 若报出来的数如图所示，则报5的人心里想的数为 ． 2．“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代数学家程大位著的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”．例如：如图1，计算，将乘数46写在方格上边，乘数71写在方格右边，然后用乘数46的每位数字乘以乘数71的每位数字，将结果记入相应的方格中，最后沿斜线方向相加，得3266．如图2，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，则 ． 3．小红用110根长短相同的小木棍按照如图所示的方式,连续摆正方形或六边形,要求相邻的图形只有一条公共边. (1)小红首先用根小木棍摆出了个小正方形,请你用等式表示之间的关系： ； (2)小红用剩下的小木棍摆出了一些六边形,且没有木棍剩余.已知他摆出的正方形比六边形多4个,请你求出摆放的正方形和六边形各多少个? (3)小红重新用50根小木棍,摆出了排,共个小正方形.其中每排至少含有1个小正方形,每排含有的小正方形的个数可以不同.请你用等式表示之间的关系,并写出所有可能的取值. ►题型13 其他问题 1．如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口，温水的温度为，流速为，开水的温度为流速为，某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间．    物理常识： 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以表示为：开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度． 2．某校举办数学素养大赛，比赛共设四个项目：七巧拼图、趣题巧解、数学应用和魔方复原，每个项目得分都按一定百分比折算后记入总分，并规定总分在85分以上（含85分）设为一等奖．下表为甲、乙、丙三位同学的得分情况（单位：3分）其中甲的部分信息不小心被涂黑了． 项目 得分项目 学生 七巧拼图 趣题巧解 数学应用 魔方复原 折算后总分 甲 66 95 68 乙 66 80 60 68 70 丙 66 90 80 68 80 据悉，甲、乙、丙三位同学的七巧拼图和魔方复原两项得分折算后的分数之和均为20分．如果甲获得了大赛一等奖，那么甲的“数学应用”项目至少获得 分． 05分层训练 基础巩固 1．下列方程中，解为的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各等式中变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果， 3．小丽同学在做作业时，不小心将方程中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是．则这个被污染的常数■是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．若 是关于，的六次单项式，且系数是2，则的值是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 5．若是关于x，y的二元一次方程的一个解，则a的值为（　　） A． B．2 C． D．4 6．我国古代数学著作《增删算法统宗》中记载了一个“官兵分布”问题：一千官军一千布，一官四疋无零数，四军才分布一疋，请问官军多少数？译文：今有官和兵共1000人，分1000疋布，1个官分4疋，4个兵分1疋，刚好分完，请问官和兵各几人?（疋：量词．同匹，用于计量整卷的绸布或计量马、骡等）如果设官x人，兵y人，根据题意，可列方程组为（　） A． B． C． D． 7．把二元一次方程改写成用含x的式子表示y的形式，则 ． 8．已知方程组的解满足，则 ． 9．解方程： (1) (2) 10．解方程组． 11．（1） （2） 12．对于任意有理数a，b，我们规定：，例如：． (1)计算： ； (2)若，则的值为 ． 13．2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功．某航天模型销售店看准商机，准备推出“神舟”和“天宫”两种模型．已知1个“神舟”模型和3个“天宫”模型的进价共150元；3个“神舟”模型和2个“天宫”模型的进价共240元． (1)求每个“神舟”和“天宫”模型的进价各为多少元？ (2)该销售店老板计划购进“神舟”和“天宫”两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价定为90元，每个“天宫”模型的售价定为50元．如果该销售店销售这批模型的利润不低于2400元，那么需最少购进多少个“神舟”模型． 14．某校科学小组用弹簧等器材，进行了测量物体质量的实验探索． 实验一：如图，在弹簧下方悬挂钩码，发现弹簧会伸长，记录实验数据如下表： 钩码质量（单位：克） 0 200 400 600 800 1000 弹簧长度（单位：厘米） 10 11 12 13 14 15 例如：当弹簧下方所挂钩码的质量为200克时，弹簧长度为11厘米． 实验二：在弹簧下方悬挂不同的实验物块，记录实验数据如下表： 次数 A物块（单位：个） B物块（单位：个） 弹簧长度（单位：厘米） 第一次 4 7 12 第二次 8 9 13 (1)已知每个同类型物块的质量都相同，求出每个A物块和每个B物块的质量分别是多少克； (2)该弹簧的长度伸长到15厘米时就不能继续伸长，实验将不能继续．在某次实验中，弹簧下方悬挂A物块和B物块共计30个时，符合实验要求，其中A物块不多于22个，那么有多少个B物块？（求出所有情况）． 能力提升 1．某段高速公路全长200千米，交警部门在距离入口10千米处设置了摄像头，并在以后每隔18千米处都设置一个摄像头；此外，交警部门还在高速公路上距离入口3千米处设立了限速标志牌，并在以后每隔5千米处都设置一块限速标志牌（如图）．小糖糖坐在后座从入口开始数经过的摄像头和标志牌个数，数到7时发现此处同时设置有标志牌和摄像头．小糖糖此时离入口的距离是 千米． 2．若和都是关于的方程的解，则的值为 ． 3．已知，将关于x的方程记作方程◇． (1)当，时，方程◇的解为_________； (2)若方程◇的解为，写出一组满足条件的k，b值：k=________，b=________； (3)若方程◇的解为，求关于y的方程的解． 4．已知a，b在数轴上的位置如图所示． (1)化简：； (2)若，x为数轴上任意一点所对应的数，则代数式的最小值是 ；此时x的取值范围是 ； (3)在（2）的条件下，若，则 ． 5．李乐购买了两次笔记本和中性笔，购买情况及费用如图． (1)请你根据图中所给的该款笔记本和中性笔的价格信息，求出该款笔记本和中性笔的单价分别是多少元． (2)李乐第三次以相同的价格购买笔记本和中性笔，已知购买笔记本的数量是购买中性笔数量的2倍，共计165元，则李乐第三次购买笔记本和中性笔的数量各是多少？ 6．七年级四班共有学生48人，其中男生人数比女生人数多2人，劳技课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身11个或盒底26个 (1)七年级四班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 7．如图，在幻方的九个空格中，填入9个数字，使得处于同一横行，同一竖行，同一斜对角线上的三个数的和都相等，写出求x的值的过程并完成此幻方． 8．【阅读材料】：善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程（2）变形：，即，把方程（1）代入（3）得：，所以，将代入（1）得，所以原方程组的解为． 【解决问题】：已知，满足方程组，模仿小明的“整体代换”法求的值． 9．如图，为了制作宣传海报，某设计师将长方形卡纸分割成大小相等的左、中、右三个小长方形栏目，栏目与栏目之间的中缝间距相等；又在每个栏目中划出个小正方形方格，中间有十字间隔，竖行两列中间间隔和横向中间间隔宽度比为．已知卡纸的长，宽，求每个栏目之间的中缝间距． 10．如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．整个接水的过程不计热量损失． 物理常识： 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为：开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度． (1)甲同学用空杯先接了温水，再接开水，接完后杯中共有水______； (2)乙同学先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求乙同学分别接温水和开水的时间． $$第二章 方程与不等式 第05讲 一次方程（组）及应用（2~7分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 等式的性质（高频考点） 考点二 一次方程（组）相关概念（高频考点） 考点三 一次方程（组）的解法（高频考点） 考点四 一次方程（组）的应用（高频考点） 04题型精研·考向洞悉 命题点一 等式的性质 ►题型01 利用等式的性质判断变形正误 ►题型02 利用等式的性质求解 命题点二 一次方程（组）相关概念 ►题型01 一元一次方程的定义 ►题型02 二元一次方程组的定义 ►题型03 已知一元一次方程的解求参数 ►题型04 已知二元一次方程（组）的解求参数 命题点三 一次方程（组）的解法 ►题型01 解一元一次方程 ►题型02 解二元一次方程组 ►题型03 二元一次方程组的特殊解 命题点四 一次方程（组）的应用 ►题型01 方案问题 ►题型02 行程问题 ►题型03 工程问题 ►题型04 数字问题 ►题型06 分配问题 ►题型07 销售利润问题 ►题型08 和倍差分问题 ►题型09 几何问题 ►题型10 图表信息问题 ►题型11 古代问题 ►题型12 开放性问题 ►题型13 其他问题 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 等式的基本性质 理解等式的基本性质 10年8考 一元一次方程与二元一次方程（组）在初中数学中因为未知数的最高次数都是一次，且都是整式方程,所以统称为“一次方程”. 中考中，对于这两个方程的解法及其应用一直都有考察，其中对于两个方程的解法以及注意事项是必须掌握的，而在其应用上也是中考代数部分结合型较强的一类考点. 预计2025年北京中考还将继续考查一次方程的解法和应用题，为避免丢分，学生应扎实掌握． 一元一次方程 能解一元一次方程 近10年连续考查 二元一次方程（组） 掌握消元法，能解二元一次方程组 利用二元一次方程（组）解决实际应用 02知识导图·思维引航 03考点突破 考点一 等式的性质（高频考点） 1.利用等式的性质进行变形时，等式两边都要参加运算，而且是同一种运算. 2.运用等式的性质2时，等式两边不能同时除以0，因为0不能作除数或分母. 1．方程的变形中，正确的是（    ） A．方程，移项得 B．方程，去括号得 C．方程，可化为 D．方程，可化为 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据等式的性质和去括号法则进行运算即可判断求解，掌握等式的性质和去括号法则是解题的关键． 【详解】解：、方程，移项得，该选项错误，不合题意； 、方程，去括号得，该选项错误，不合题意； 、方程，可化为，该选项正确，符合题意； 、方程，可化为，该选项错误，不合题意； 故选：． 2．将方程变形为用含的式子表示，那么 ； 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质运算即可，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， 故答案为：． 考点二 一次方程（组）的相关概念（高频考点） 一元一次方程的概念：只含有一个未知数，且未知数的次数都是1，这样的整式方程叫一元一次方程. 一元一次方程标准形式：ax+b=0（x为未知数，a、b是常数且a≠0）。 二元一次方程的概念:含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程一般形式:ax+by+c=0(a≠0，b≠0)。 二元一次方程的解:一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。 二元一次方程方程组的概念:把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，叫做二元一次方程组. 一次方程组的解:一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解 1. 一元一次方程中未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数. 2. 一元一次方程只含有一个未知数,未知数的次数都为1. 3.二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解. 4.在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以通过解一元一次方程的方法求出另一个未知数的值. 5.二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含有两个未知数，这两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个一次方程必须只含有两个未知数. 1．已知方程是一元一次方程，则a的值为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键；因此此题可根据“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的整式方程”进行求解即可． 【详解】解：由方程是一元一次方程，可知：， 解得：； 故答案为5． 2．已知是关于的方程的解，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查一元一次方程的解，把代入方程，进行求解即可． 【详解】解：把代入，得：， 解得：； 故答案为：4 考点三 一次方程（组）的解法（高频考点） 解一元一次方程的基本步骤： 解二元一次方程组的基本步骤： 1. 解方程的五个步骤有些可能用不到，有些可能重复使用，也不一定有固定的顺序，要根据方程的特点灵活运用． 2. 对于分母中含有小数的一元一次方程．当分母中含有一位小数时，含分母项的分子、分母都乘10，化分母中的小数为整数；当分母中含有两位小数时，含分母项的分子、分母都乘100，化分母中的小数为整数． 3.解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程． 1．已知关于x的方程中，的解比的解大1，求a的值． 【答案】 【分析】分别求出两个一元一次方程的解，再根据的解比的解大1，建立关于a的方程，解方程即可． 【详解】解； 移项得：， 系数化为1得：； 移项得；， 合并同类项得：， 系数化为1得：； ∵的解比的解大1， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，正确求出对应方程的解是解题的关键． 考点四 一次方程（组）的实际应用（高频考点） 用方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 与一次方程（组）有关应用题的常见类型： 04 命题点一 等式的性质 ►题型01 利用等式的性质判断变形正误 1．下列关于等式变形的说法中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，根据对应性质逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A、若，当时，，原变形错误，不符合题意； B、若，则，原变形正确，符合题意； C、若，则，原变形错误，不符合题意； D、若，则，原变形错误，不符合题意； 故选：B． ►题型02 利用等式的性质求解 1．在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长的计算公式为，用，表示，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键；等式两边先同时乘以180，再除以即可． 【详解】解：， ， ， 故选：． 命题点二 一次方程（组）的定义 ►题型01 一元一次方程的定义 1．如果关于的方程是一元一次方程．那么，应满足的条件是（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，能根据一元一次方程的定义得出且是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1的整式方程叫一元一次方程． 【详解】解：关于的方程是一元一次方程， 且， 且． 故选：C 2．下列等式中是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的定义，解题的关键是掌握一元一次方程的定义：只含一个未知数，并且未知数的最高次数为次的整式方程，进行解答，即可． 【详解】A、不是整式方程，不符合题意； B、是一元一次方程，符合题意； C、有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； D、不是等式， 故选：B． ►题型02 二元一次方程（组）的定义 1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二元一次方程组的定义判断即可． 【详解】解：A．方程，含未知数的项的次数是2次，故该方程组不是二元一次方程组，选项不符合题意； B．方程不是整式方程，故该方程组不是二元一次方程组，选项不符合题意； C．该方程组含有三个未知数，故该方程组不是二元一次方程组，选项不符合题意； D．该方程组是二元一次方程组，选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的定义，解题的关键是熟练掌握二元一次方程的定义，含有两个未知数，且未知数的次数为1的整式方程是二元一次方程． 2．下列方程中，是二元一次方程的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二元一次方程的定义判断即可，含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程． 【详解】解：A．只有一个未知数，故A选项不符合题意； B．，B选项符合题意； C．不是整式，且没有等号，故C选项不符合题意； D．的次数是2，故D选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． ►题型03 已知一元一次方程的解求参数 1．关于的方程的解与的解相同，则的值为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】先求出第一个方程的解，再根据解的定义，把第一个方程的解代入第二个方程，得到关于a的方程，即可求解． 【详解】由，解得：x=a， ∵关于的方程的解与的解相同， ∴把x=a代入得：， ∴a-2=0，解得：a=2． 故选B． 【点睛】本题主要考查解一元一次方程以及解的定义，掌握移项，去分母以及解的定义，是解题的关键． 2．若是方程的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解，把代入方程计算即可求解，掌握方程解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴， 故答案为：． ►题型04 已知二元一次方程（组）的解求参数 1．若是关于、的方程组的解，则有序数对是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，把代入原方程组，得到关于、的方程组，解方程组即可．解题关键是明确方程解的概念，熟练的解二元一次方程组． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：， 故选：A． 2．如果是关于x，y的二元一次方程的一个解，那么m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的解，正确理解二元一次方程的解是解题的关键． 将代入二元一次方程即可得出答案． 【详解】解：将代入二元一次方程，得出：， 解得：， 故选：A． 3．如果方程组的解是二元一次方程的一个解，那么m的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了解二元一次方程组，以及二元一次方程的解，把m看作已知数表示出方程组的解，代入已知方程计算即可求出m的值． 【详解】解：， 得：， 解得：， 得：， 解得：， 代入得：， 解得：， 故答案为：2． 命题点三 一次方程（组）的解法 ►题型01 解一元一次方程 1．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，掌握一元一次方程的解法是解题的关键． （1）根据解方程的步骤，移项合并，把系数化为，即可求出解； （2）根据解方程的步骤，去分母，去括号，移项合并，把系数化为，即可解得． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是： （1）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． （2）按照去括号，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 3．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解一元一次方程． （1）按照移项、合并同类项，系数化1的步骤解方程即可； （2）按照移项、合并同类项的步骤解方程即可． 【详解】（1）解： 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，； （2） 移项得， 合并同类项得， 4．已知方程与关于x的方程的解相同． (1)求a的值； (2)若a、b在数轴上对应的点在原点的两侧，且到原点的距离相等，c是最大的负整数，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查同解方程，有理数的乘方运算： （1）先求出方程的解，再把解代入方程中，进行求解即可； （2）易得互为相反数，，然后根据有理数的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， 解得：， 把代入，得：， 解得：； （2）∵a、b在数轴上对应的点在原点的两侧，且到原点的距离相等， ∴， ∵c是最大的负整数， ∴， ∴． ►题型02 解二元一次方程组 1．方程组的解为 ． 【答案】 【分析】用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解：两个方程相加可得， ∴， 将代入， 可得， 故答案为：． 【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组的步骤是解题的关键． 2.方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键． 根据方程组中的系数的特点，可求出的值，再把代入①即可求解． 【详解】解：， 得，， ， ， 把代入①得，， ， ∴原方程组的解为， 故答案为： ． 3．已知关于、的二元一次方程的解为和 (1)求、的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程以及二元一次方程组的解； （1）将方程的解代入得到新的方程组解方程组即可得到答案； （2）根据（1）得出，将代入即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 解得 ； （2）解：由（1）得， ， 将代入可得， ． ►题型03 二元一次方程组的特殊解 1．已知方程组，则代数式的值是（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】把方程组的两个方程的左右两边分别相加，可得，据此求出代数式的值即可； 此题主要考查了解二元一次方程组的方法，解答此题的关键是注意观察方程组的两个方程和所求的代数式之间的关系． 【详解】解： ，得 故选：D． 2．如果实数满足方程组，那么 ． 【答案】8 【分析】本题考查解二元一次方程组及代数式求值，先利用加减消元法求出实数，将他们代值代数式即可得到答案，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决问题的关键． 【详解】解：， 由①②得； 将代入②得； ， 故答案为：8． 3．已知方程组则的值为 ． 【答案】2 【分析】把两式相加即可得到结果； 【详解】， ①+②得：， ∴； 故答案是2． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，准确计算是解题的关键． 命题点四 一次方程（组）的应用 ►题型01 方案问题 1．一个17人的旅游团到一家酒店住宿，酒店的客房只有双人标准间和三人间，其中双人标准间每间每晚100元，三人间每间每晚130元．住宿要求男士只能与男士同住，女士只能与女士同住． （1）若该旅游团一晚的住宿费用为750元，则他们租住了 间三人间； （2）若该旅游团中共有7名男士，则租住一晚的住宿费用最少为 元． 【答案】 5 790 【分析】（1）设该旅游团租住了间双人间，间三人间，利用该旅游团一晚的住宿房费租住双人间的间数租住三人间的间数，可得出关于，的二元一次方程，结合，均为自然数且，即可得出结论； （2）由“男士只能与男士同住，女士只能与女士同住，三人间客房可以不住满，但每间每晚仍需支付130元”，可得出“当租住的三人间全部住满时，租住一晚的住宿房费最少”，结合男士、女士的人数及租住一人间的数量，可得出租住一晚的住宿房费最少的租住方案，再求出该方案租住一晚的住宿房费即可得出结论． 【详解】解：（1）设该旅游团租住了间双人间，间三人间， 根据题意得：， ， 又，均为自然数， ， 他们租住了5间三人间． 故答案为：5； （2）当租住的三人间全部住满时，租住一晚的住宿房费最少． 女士：（人)，男士7人， 租住一晚的住宿房费最少的租住方案为：租住的4间双人间里面2间住男士，2间住女士，另租住3间三人间， 此时租住一晚的住宿房费为（元， 租住一晚的住宿房费最少为790元． 故答案为：790． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 2．某中学为积极开展校园足球运动，计划购买A和B两种品牌的足球，已知一个A品牌足球价格为120元，一个B品牌足球价格为150元．学校准备用3000元购买这两种足球（两种足球都买），并且3000元全部用完，则该校共有 种购买方案． 【答案】4 【分析】设该学校可以购买x个A品牌足球，y个B品牌足球，根据总价=单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出结论． 【详解】解：设该学校可以购买x个A品牌足球，y个B品牌足球， 依题意，得：120x+150y=3000， 解得 ∵x，y均为正整数， ∴x是5的倍数， ∴共有4种购买方案． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 3．为更好地开展阳光体育活动，学校准备到某体育用品店购进一批A型篮球和B型篮球．已知A型篮球的标价比B型篮球的标价每个贵30元，购买8个A型篮球和10个B型篮球共需1320元． (1)A型篮球和B型篮球的标价各是多少？ (2)该体育用品店推出了以下优惠方案： 方案一：所有商品按标价的九折销售； 方案二：所有商品按标价购买，总费用超过2000元时，超过部分按七折收费． 学校计划在该店购买20个A型篮球和30个B型篮球，选择哪种方案更合算？请说明理由． 【答案】(1)A型篮球的标价是90元，B型篮球的标价是60元； (2)方案二更合算，理由见解析 【分析】（1）设A型篮球的标价是x元，B型篮球的标价是y元，根据“A型篮球的标价比B型篮球的标价每个贵30元，购买8个A型篮球和10个B型篮球共需1320元”，列出方程组，即可求解； （2）先求得按标价购买20个 A型篮球和30个B型篮球的总费用为3600元，再分别求出选择方案一的总费用和选择方案二的总费用并且对两个结果比较大小，即可得到问题的答案． 【详解】（1）解：设A型篮球的标价是x元，B型篮球的标价是y元，根据题意得： ， 解得：， 答：A型篮球的标价是90元，B型篮球的标价是60元； （2）解：方案二更合算，理由如下： 元， 即按标价购买20个A型篮球和30个B型篮球的总费用为3600元， 方案一：总费用为元， 方案二：总费用为元， ∵， ∴方案二更合算． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用、方案选择型问题的求解等知识与方法，正确的用代数式表示购买A型篮球的总费用和购买B型篮球的总费用是解题的关键． 1．某牛奶加工厂现有鲜奶9t，若在市场上直接销售，每吨可获利润500元；制成酸奶销售，每吨可获利润1200元；制成奶片销售，每吨可获利润2000元．该工厂的生产能力为：制成酸奶每天可加工3t，制成奶片每天可加工1t．受人员限制，两种加工方式不能同时进行．受气温条件限制，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕，为此，该加工厂设计了两种可行性方案：方案一：尽可能多地制成奶片，其余直接销售鲜牛奶；方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成．你认为选择哪种方案获利最多？为什么？ 【答案】方案二获利多，原因见解析 【分析】分别求出两种方案的获利，进行比较后，即可得出结论． 【详解】解：方案二获利多，理由如下： 方案一：∵制成奶片每天可加工1t， ∴最多生产4t奶片，其余的鲜奶直接销售， 则其利润为（元）； 方案二：设生产x天奶片，生产天酸奶，由题意，得： ，解得：， 则利润为：（元）， ∵， ∴方案二获利多． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用．找准等量关系，正确的列出方程组是解题的关键． 2．学校七年级为了开展球类兴趣小组，需要购买一批足球和篮球．若购买4个篮球和3个足球需花费530元，若购买1个篮球和6个足球需花费500元． (1)篮球和足球的单价各是多少元？ (2)实际购买时，正逢商场进行促销，所有体育用品都按原价的八折优惠出售．已知该年级决定购进这两种球，恰好花费960元．若两种球都要，请问有几种购买方案，请加以说明． 【答案】(1)篮球的单价是80元，足球的单价是70元； (2)二种方案：购买篮球8个、足球8个或者篮球1个、足球16个，见解析． 【分析】本题考查了二元一次方程与二元一次方程组的应用； （1）设篮球的单价是元，足球的单价是元，根据两个等量关系：购买4个篮球和3个足球需花费530元，若购买1个篮球和6个足球需花费500元；列出方程组，解之即可； （2）设购买篮球个，足球个，根据等量关系：八折优惠后两种球恰好花费960元，列出二元一次方程，求出其正整数解即可． 【详解】（1）解：设篮球的单价是元，足球的单价是元， 依题意，得：， 解得：， 答：篮球的单价是80元，足球的单价是70元； （2）解：设购买篮球个，足球个， 依题意，得：， ， 、均为正整数， 或， 答：有二种方案：购买篮球8个、足球8个或者篮球1个、足球16个． ►题型02 行程问题 1．京雄高速北京段于2023年12月31日全线贯通．通车后、由西南五环至雄安新区可实现1小时通达，比原来节省了30分钟．小东爸爸发现通车后从西南五环去雄安新区出差比通车前少走27．5千米，如果平均车速比原来每小时多走17千米，正好和设计相符，通车前小东爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是多少？ 【答案】通车前小东爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是89千米/小时 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设通车前小东爸爸驾车去雄安新区出差的路程为千米，则通车后小东起爸驾车去雄安新区出差的路程为千米，根据平均车速比原来每小时多走17千米，列出一元一次方程，解方程，即可解决问题． 【详解】解：设通车前小东爸爸驾车去雄安新区出差的路程为千米，则通车后小东爸爸驾车去雄安新区出差的路程为千米， 由题意得：， 解得：， ， 答：通车前小东爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是89千米/小时． 2．小刚对诗仙李白的诗作《早发白帝城》中“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还”的说法产生疑问：李白真能在一日之内从白帝城到达江陵吗?小刚经过查阅资料得知，白帝城是现今的重庆奉节，而江陵是现今的湖北荆州．假设李白乘坐的轻舟从奉节到宜昌的速度约为，从宜昌到荆州的速度约为．从奉节到荆州的水上距离约为．经过分析资料，小刚发现从奉节到宜昌的时间比从宜昌到荆州多．根据小刚的假设，回答下列问题： (1)奉节到宜昌的水上距离是多少？ (2)李白能在一日（）之内从白帝城到达江陵吗？说明理由． 【答案】(1)奉节到宜昌的水上距离为 (2)李白不能在一日之内从白帝城到达江陵，见解析． 【分析】本题考查一元一次方程应用题，找到等量关系列方程是解题关键． （1）奉节到宜昌的水上距离为千米，根据李白从奉节到宜昌的时间比从宜昌到荆州多列出方程，解方程即可; （2）用两段时间之和计算即可. 【详解】（1）解：（1）设奉节到宜昌的水上距离是． 根据题意得：，解得． 答：奉节到宜昌的水上距离为． （2）∵， ∴李白不能在一日之内从白帝城到达江陵． 3．我国古代数学著作《九章算术》里记载了这样一个有趣的问题：“今有善行者行100步，不善行者60步．今不善行者先行100步，善行者追之，问几何步追之？”其意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走了60步，现在走路慢的人先走100步，走路快的人去追他，问走路快的人走多少步能够追上他？请你解决该问题． 【答案】250步 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设走路快的人走了x步追上走路慢的人，根据走路快的人走100步时，走路慢的人只走了60步，可知相同时间内走路慢的人所走路程为步，据此列出方程求解即可． 【详解】解：设走路快的人走了x步追上走路慢的人． 由题意得， 解得：，     答：走路快的人250步追上走路慢的人 ►题型03 工程问题 60．我国的传统佳节端午节，历来有吃“粽子”的习俗，某食品加工厂拥有A、B两条不同的粽子生产线，原计划A生产线每小时加工粽子400个，B生产线每小时加工粽子500个． （1）若生产线A，B一共加工12小时，且生产粽子总数量不少于5500个，则B生产线至少加工多少小时？ （2）原计划A，B生产线每天均工作8小时，由于受其它原因影响，在实际生产过程中，A生产线每小时比原计划少生产100a个（a>0），B生产线每小时比原计划少生产100个，为了尽快将粽子投放到市场，A生产线每天比原计划多工作2a小时，B生产线每天比原计划多工作a小时，这样一天恰好生产粽子6400个，求a的值． 【答案】（1）B生产线至少加工7小时；（2）a的值为2 【分析】（1）设B生产线加工生产x小时，则A生产线加工生产（12-x）小时，根据生产粽子总数量不少于5500个，列出不等式解决问题； （2）利用A、B生产线一天生产的总数量的和是6400个列出方程解决问题． 【详解】（1）解：设B生产线加工x小时，则A生产线加工（）小时． ，           解得．                          答：B生产线至少加工7小时． （2）        整理得，， 解得（不符合题意，舍去）                   ∴a的值为2 【点睛】此题考查一元一次不等式，一元二次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系，列出方程或不等式解决问题是关键． ►题型04 数字问题 1．如下，一个三阶幻方（由9个数构成，并且横行、竖行和对角线上数的和都相等），则a的值是 ． a 7 9 5 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设第二行第二个数为x，根据题意，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设第二行第二个数为x， 由题意，得：， 解得，， 则， 解得，， 故答案为：． 2．如图，小明将，，，0，1，2，3，4，5分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．若a，b，c分别表示其中的一个数，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的加法运算，代数式求值，根据题目要求求得字母的值是解决本题的关键． 首先求出每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于3，然后根据题意列方程求出，，，然后代数求解即可． 【详解】解：∵， ∴每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于3， ∴，，， ∴，，， ∴． 故答案为4． ►题型06 分配问题 1．某旅店的客房有两人间和三人间两种，两人间每间200元，三人间每间250元，某学校50人的研学团到该旅店住宿，租住了若干客房.其中男生27人，女生23人.若要求男女不能混住，且所有租住房间必须住满. （1）要想使花费最少，需要 间两人间； （2）现旅店对两人间打八折优惠，且仅剩15间两人间，此时要想花费最少，需要 间三人间. 【答案】 1 8 【分析】（1）要想使花费最少，则应尽可能多租三人间； （2）两人间打八折优惠时，应尽可能多租两人间，注意所有租住房间必须住满． 【详解】解：（1）由题意知，两人间每间200元，平均每人100元，三人间每间250元，平均每人元， 因此要想花费最少，则应尽可能多租三人间， 花费最少时，27个男生租9个三人间，23个女生可以租7个三人间和1个两个间， 故答案为：1； （2）两人间打八折优惠，则160元，平均每人80元， 此时，要想花费最少，则应尽可能多租两人间， 设27个男生租x个两个间，y个三个间，23个女生租m个两个间，n个三个间， 则，， 当，时，满足， 因此27个男生租12个两个间，1个三个间， 此时还剩两人间：（个）， 因此m可以取3，2，1，0， 当时，女生需要租三人间个，不合题意； 当时，女生需要租三人间个，不合题意； 当时，女生需要租三人间个，符合题意； 因此需要租三人间：（个）， 故答案为：8． 【点睛】本题考查二元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程，注意“所有租住房间必须住满”这一条件． 2．某企业有两条加工相同原材料的生产线．在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为小时；在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为小时．第一天，该企业将5吨原材料分配到两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到生产线的吨数与分配到生产线的吨数的比为 ．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给生产线分配了吨原材料，给生产线分配了吨原材料．若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则的值为 ． 【答案】 2∶3 【分析】设分配到生产线的吨数为x吨，则分配到B生产线的吨数为（5-x）吨，依题意可得，然后求解即可，由题意可得第二天开工时，由上一问可得方程为，进而求解即可得出答案． 【详解】解：设分配到生产线的吨数为x吨，则分配到B生产线的吨数为（5-x）吨，依题意可得： ，解得：， ∴分配到B生产线的吨数为5-2=3（吨）， ∴分配到生产线的吨数与分配到生产线的吨数的比为2∶3； ∴第二天开工时，给生产线分配了吨原材料，给生产线分配了吨原材料， ∵加工时间相同， ∴， 解得：， ∴； 故答案为，． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、二元一次方程的应用及比例的基本性质，熟练掌握一元一次方程的应用及比例的基本性质是解题的关键． 3．列方程或方程组解应用题： 为开阔学生的视野在社会大课堂活动中，某校组织初三年级学生参观科技馆，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．求该校初三年级有学生多少人？原计划租用多少辆45座客车？ 【答案】240；5． 【详解】试题分析：本题考查了由实际问题抽象出方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．设该校初三年级有学生x人，原计划租用45座客车y辆，等量关系为：原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．据此列方程组并解答即可． 试题解析：解：设该校初三年级有学生x人，原计划租用45座客车y辆． 根据题意，得， 解这个方程组，得． 答：该校初三年级有学生240人，原计划租45座客车5辆． 考点：由实际问题抽象出方程组． ►题型07 销售利润问题 1．我校学生会正在策划一次儿童福利院的慰问活动．为了筹集到元活动资金，学生会计划定制一批穿校服的毛绒小熊和带有校徽图案的钥匙扣，表格中有这两种商品的进价和售价．另外，若将一个小熊和一个钥匙扣组成一份套装出售，则将售价打九折．为了更好的制定进货方案，学生会利用抽样调查的方式统计了校内学生对商品购买意向的百分比情况见表格，若按照这个百分比情况定制商品，至少定制小熊 个和钥匙扣 个，才能筹集到元资金即获得元利润． 小熊 钥匙扣 套装 进价 售价 购买意向 【答案】 【分析】设定制小熊、钥匙扣以及套装共件，根据小熊的利润，钥匙扣的利润与套装的利润和等于总利润元，列出方程，进行计算即可解答． 【详解】解：设定制小熊、钥匙扣以及套装共件，由题意得： ， 解得：， 单独买小熊：个， 单独买钥匙扣：个， 买套装：套， 至少定制小熊：个，定制钥匙扣：个， 至少定制小熊个，定制钥匙扣个． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握有关利润问题的等量关系是解题的关键． 2．水果在物流运输过程中会产生一定的损耗，下表统计了某种水果发货时的重量和收货时的重量． 发货时重量（kg） 100 200 300 400 500 600 1000 收货时重量（kg） 94 187 282 338 435 530 901 若一家水果商店以6元/kg的价格购买了5000kg该种水果，不考虑其他因素，要想获得约15000元的利润，销售此批水果时定价应为 元/kg． 【答案】10． 【分析】根据表格中的数据可知，损耗率约等于10%，然后根据题意，即可列出相应的方程，从而可以得到水果的定价． 【详解】设销售此批水果时定价为x元/kg， 由表格可知，水果的损耗接近10%， 则5000×（1﹣10%）x﹣5000×6＝15000， 解得，x＝10， 答：销售此批水果时定价应为10元/kg， 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的实际应用，找到等量关系，列出一元一次方程，是解题的关键． ►题型08 和倍差分问题 1．根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500克）和小瓶装（250克）两种产品的销售数量（按瓶计算）比为2∶5．某厂每天生产这种消毒液22500000克，这些清毒液应该分装大，小瓶两种产品各多少瓶?设这些消毒液应该分装大瓶x瓶，小瓶y瓶．依题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，找出等量关系，列方程组． 【详解】解： ， ， 方程组为， 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是从题目中找到等量关系，列出方程组． 2．2023年12月27日北京城市副中心“三大文化建筑”之一的北京城市图书馆对外开放，其总建筑面积约万平方米，藏书量达800万册，建有世界最大的单体图书馆阅览室．图书馆内的功能区设置阅览坐席，方便读者使用．其中，山体阅览区、非遗文献馆、少年儿童馆的坐席总数为1900个，非遗文献馆的坐席数与少年儿童馆坐席数之比为，山体阅览区的坐席数是少年儿童馆坐席数的4倍多200个，求山体阅览区、非遗文献馆、少年儿童馆的坐席数量． 【答案】非遗文献馆的坐席数为200个，少年儿童馆坐席数为300个，山体阅览区的坐席数为1400个 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，找出等量关系列方程是解题关键，设非遗文献馆的坐席数为个，则少年儿童馆坐席数为个，山体阅览区的坐席数为个，根据坐席总数为1900个列方程解决即可． 【详解】解：设非遗文献馆的坐席数为个，则少年儿童馆坐席数为个，山体阅览区的坐席数为个， 根据题意得：， 解得，， 答：非遗文献馆的坐席数为200个，少年儿童馆坐席数为300个，山体阅览区的坐席数为1400个． ►题型09 几何问题 1．羽毛球运动深受大众喜爱，该运动的场地是一块中间设有球网的矩形区域，它既可以进行单打比赛，也可以进行双打比赛，下图是羽毛球场地的平面示意图，已知场地上各条分界线宽均为，场地的长比宽的2倍还多包含分界线宽，单、双打后发球线（球网同侧）间的距离与单、双打边线（中线同侧）间的距离之比是．根据图中所给数据，求单、双打后发球线间的距离． 【答案】球网同侧的单、双打后发球线间的距离是 【分析】此题考查了一元一次方程的应用， 设球网同侧的单、双打后发球线间的距离是，则中线同侧的单、双打边线间的距离是，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设球网同侧的单、双打后发球线间的距离是，则中线同侧的单、双打边线间的距离是， 由题意可得． 解得 ∴， 答：球网同侧的单、双打后发球线间的距离是． 2．在房山区践行“原色育人，生态发展”教育发展理念的引领下，某校为提升实践育人实效，积极组织学生建设劳动基地，参与校园种植活动．计划在校园内一块矩形的空地上开垦两块完全相同的矩形菜园，如图所示，已知空地长米，宽米，矩形菜园的长与宽的比为，并且预留的上、中、下、左、右通道的宽度相等，那么预留通道的宽度和矩形菜园的宽分别是多少米？ 【答案】预留通道的宽度是米，矩形菜园的宽是米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设矩形菜园的宽为米，则长为，根据预留的上、中、下、左、右通道的宽度相等，可列一元一次方程，解得的值即为矩形菜园的宽，可求得预留通道的宽度． 【详解】解：设矩形菜园的宽为米，则矩形菜园的长为米． 由题意可得， ． 解得． ∴． 答：预留通道的宽度是米，矩形菜园的宽是米． 3．下图是某房屋的平面示意图．房主准备将客厅和卧室地面铺设木地板，厨房和卫生间地面铺设瓷砖．将房间地面全部铺设完预计需要花费10000元，其中包含安装费1270元．若每平方米木地板的瓷砖的价格之比是，求每平方米木地板和瓷砖的价格．    【答案】每平方米木地板的价格为150元，每平方米瓷砖的价格为90元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键． 设每平方米木地板的价格为元，则每平方米瓷砖的价格为元，根据花费10000元，其中包含安装费1270元列方程求解即可． 【详解】解：设每平方米木地板的价格为元，则每平方米瓷砖的价格为元． 厨房面积：， 卫生间面积：， 客厅面积：， 卧室面积：， 由题意可得，， 解得， ，． 答：每平方米木地板的价格为150元，每平方米瓷砖的价格为90元． 4．列方程或方程组解应用题． 如图1，正方形是一块边长为的灰色地砖，在A，B，C，D四个顶点处截去四个全等的等腰直角三角形后，得到一块八边形地砖．用四块相同的该八边形地砖和一块黑色正方形地砖拼成如图2所示的图案，该图案的面积为（不考虑接缝），求一块八边形地砖和黑色正方形地砖的面积． 【答案】一块八边形地砖的面积为，黑色正方形地砖的面积为 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，可设等腰直角三角形直角边长为，则斜边度为，根据4个正八边形面积黑色正方形的面积列出方程，求出和，即可得出结论 【详解】解：设等腰直角三角形直角边长为，则斜边度为，根据题意得， ， 解得，， ∵ ∴ ∴黑色正方形地砖的面积； 则一块八边形地砖的面积， 答：一块八边形地砖的面积为，黑色正方形地砖的面积为． 5．已知，图①是一张可以缓解眼睛疲劳的视力远眺回形图，它是由多个大小不等的正方形构成的二维空间平面图，利用心理学空间知觉原理，通过变化图案可不断改变眼睛晶状体的焦距，强烈显示出三维空间的向远延伸的立体图形，调节人们的睫状体放松而保护视力．其中阴影部分是由能够缓解视疲劳的绿色构成，阴影之间的部分是空白区域．某体检中心想定做一张回形图，图②是选取的部分回形图的示意图，其中最大的正方形边长为，且空白区域两部分的面积相等，若空白区域需要三种不同的护眼浅色贴纸，铺贴用纸费用分别为：A区域10元，B区域15元，C区域20元，铺贴三个区域共花费150元，求C区域的面积． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设A区域的面积为，根据题意得出，解得，再求出C区域的面积即可． 【详解】解：设A区域的面积为， ， 解得， ， 答：C区域的面积是． ►题型10 图表信息问题 1．用方程或方程组解决问题： 某校初一1班30名同学为“希望工程”捐款，共捐款300元，捐款情况如下表： 捐款/元 2 5 10 15 人数 5 10 表格中捐款5元和10元的人数被墨水污染了，问：捐5元和10元的人数各是多少？ 【答案】捐5元有2人，捐10元有13人 【分析】设捐5元有人，捐10元有人，根据总人数为30人，总捐款为300元，列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设捐5元有人，捐10元有人， 由题意得：， 解得， 答：捐5元有2人，捐10元有13人． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，读懂题意，找到等量关系列出方程组是解题的关键． 2．列方程解应用题 《乌鸦喝水》的故事我们都听过，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，喝到了水．根据图中给出的信息，解答下列问题： （1）放入一个小球水面升高________，放入一个大球水面升高________； （2）如果放入10个球且使水面恰好上升到52厘米，应放入大球、小球各多少个？ （3）若放入一个钢珠可以使液面上升k厘米，当在玻璃桶内同时放入相同数量的小球和钢珠时，水面上升到41厘米，则k的整数值为____________．（球和钢珠完全在水面以下） 【答案】（1）2， 3；（2）放入大球6个，小球4个；（3）13或3或1． 【分析】（1）设一个小球使水面升高x厘米，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果； （2）设放入大球m个，小球n个，根据题意列出关于m与n的方程组，求出方程组的解即可得到结果； （3）设在玻璃桶内同时放入z个小球和钢珠时，水面上升到41厘米，根据题意列出关系式，即可确定出k的整数解． 【详解】解：（1）设一个小球使水面升高x厘米， 由图形得：3x＝32﹣26， 解得：x＝2， 设一个大球使水面升高y厘米， 由图形得：2y＝32﹣26， 解得：y＝3， 故答案为： 2， 3； （2）设放入大球m个，小球n个， 根据题意得：， 解得：， 答：如果要使水面上升到52cm，应放入大球6个，小球4个； （3）设在玻璃桶内同时放入z个小球和钢珠时，水面上升到41厘米， 根据题意得：zk+2z＝41﹣26， ∵z、k为正整数， ∴当z＝1时，k＝13；当z＝3时，k＝3；当z＝5时，k＝1， 则k的整数值为13或3或1． 故答案为： 13或3或1． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用和二元方程的正整数解问题，准确把握题目提供的数量关系，列出方程是解题关键． ►题型11 古代问题 1．在《九章算术》中，二元一次方程组是通过“算筹”摆放的，如图1，图2中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数，的系数与相应的常数项．如图1表示的方程组是，在图2所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，如果图2所表示的方程组中的值为3，则被墨水所覆盖的图形为（   ） A．| B．|| C．||| D．|||| 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法及实际应用，根据图1和其方程组判断出图形所表示的数字是解题关键， 设被墨水所覆盖的图形表示的数字为，列出方程组求解即可． 【详解】解：设被墨水所覆盖的图形表示的数字为，则有： ， 将代入得， 可解得： 根据图形所表示的数字规律，可推出代表的图形为“|”． 故选：A． 2．我国古典数学文献《增删算法统宗正六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上．乙说得甲九只，两家之数相当．二人闲坐恼心肠，画地算了半晌．”，其大意为：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊，如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意列方程组正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．根据题意正确的列方程组是解题的关键．由乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍，可得；由如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，可得，进而可列方程组． 【详解】解：∵如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍， ∴； ∵如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同， ∴． ∴根据题意可列方程组． 故选：D． 3．《算数书》是中国数学史上的重要著作，比我们熟知的汉代《九章算术》还要古老，保存了许多古代算法的最早例证（比如“勾股”概念），改变了我们对周秦数学发展水平的认识．文中记载“有妇三人，长者一日织五十尺，中者二日织五十尺，少者三日织五十尺，今威有功五十尺，问各受几何？”译文：“三位女人善织布，姥姥1天织布50尺，妈妈2天织布50尺，妞妞3天织布50尺．如今三人齐上阵，共同完成50尺织布任务，请问每人织布几尺？”设三人一共用了x天完成织布任务，则可列方程为 ． 【答案】 【详解】分析： 由题意易得三人的工作效率之和为“”，结合“三人天一起织布50尺”即可由“工作量=工作效率×工作时间”列出方程了. 详解： 由题意可得三人一天可以织布（）尺，根据“三人天一起织布50尺”可得方程如下： . 故答案为：. 点睛：读懂题意，弄清三人一天共可织布（）尺，且知道：工作量=工作效率×工作时间，是正确解答本题的关键. ►题型12 开放性问题 1．某学习小组的六个人围成一个圆圈做报数游戏，游戏的步骤如下： ①每个人心里都想好一个数； ②把自己想好的数悄悄如实地告诉他两旁的两个人； ③每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来． 若报出来的数如图所示，则报5的人心里想的数为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查的是阅读理解和探索规律题，其中考查的知识点有平均数的相关计算以及一元一次方程的应用，掌握以上知识点是解题的关键． 假设报5的人心里想的数是x，由于0是报1的人和报5的人心里想的数的平均数，则报1的人心里想的是，报3的人心里想的是，然后根据6是报3和报5的人心里想的数的平均数列方程求解即可． 【详解】解：设报5的人心里想的数是x 则报1的人心里想的数是： 报3的人： ∵6是报3和报5的人心里想的数的平均数 ∴ 解的 故答案为：8． 2．“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代数学家程大位著的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”．例如：如图1，计算，将乘数46写在方格上边，乘数71写在方格右边，然后用乘数46的每位数字乘以乘数71的每位数字，将结果记入相应的方格中，最后沿斜线方向相加，得3266．如图2，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，则 ． 【答案】6 【分析】根据“格子乘法”可得10（10+6-k-k）+(k-3-1)=7k，解方程可得． 【详解】解：根据题意可得 10（10+6-k-k）+(k-3-1)=7k 解得k=6 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，根据“格子乘法”分析图示，列出方程是关键． 3．小红用110根长短相同的小木棍按照如图所示的方式,连续摆正方形或六边形,要求相邻的图形只有一条公共边. (1)小红首先用根小木棍摆出了个小正方形,请你用等式表示之间的关系： ； (2)小红用剩下的小木棍摆出了一些六边形,且没有木棍剩余.已知他摆出的正方形比六边形多4个,请你求出摆放的正方形和六边形各多少个? (3)小红重新用50根小木棍,摆出了排,共个小正方形.其中每排至少含有1个小正方形,每排含有的小正方形的个数可以不同.请你用等式表示之间的关系,并写出所有可能的取值. 【答案】（1）；（2）正方形有16个，六边形有12个；（3），，或 【分析】(1)摆1个正方形需要4根小木棍，摆2个正方形需要7根小木棍，摆3个正方形需要10根小木棍…每多一个正方形就多3根小木棍，则摆p个正方形需要4+3(p-1)=3p+1根小木棍，由此求得答案即可； (2)设连续摆放了六边形x个， 正方形y个，则连续摆放正方形共用小木棍(3y+1)根，六方形共用小木棍(5x+1)根，由题意列出方程组解决问题即可； (3)由(1)可知每排用的小木棍数比这排小正方形个数的3倍多1根，由此可得s、t间的关系，再根据s、t均为正整数进行讨论即可求得所有可能的取值. 【详解】(1)摆1个正方形需要4根小木棍，4=4+3×(1-1)， 摆2个正方形需要7根小木棍，4=4+3×(2-1)， 摆3个正方形需要10根小木棍，10=4+3×(3-1)， ……， 摆p个正方形需要m=4+3×(p-1)=3p+1根木棍， 故答案为； (2)设六边形有个，正方形有y个， 则， 解得， 所以正方形有16个，六边形有12个； (3)据题意，， 据题意，，且均为整数， 因此可能的取值为： ，，或. 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际运用，找出连续摆放正方形共用小木棍的根数，六方形共用小木棍的根数是解决问题的关键． ►题型13 其他问题 1．如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口，温水的温度为，流速为，开水的温度为流速为，某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间．    物理常识： 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以表示为：开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度． 【答案】该学生接温水的时间为，接开水的时间为． 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意，理清数量关系是解决问题的关键． 设该学生接温水的时间为，则接温水，开水，由物理常识的公式可得方程，解方程即可． 【详解】解：设该学生接温水的时间为， 根据题意可得：， 解得， ∴， ∵， ∴， 答：该学生接温水的时间为，接开水的时间为． 2．某校举办数学素养大赛，比赛共设四个项目：七巧拼图、趣题巧解、数学应用和魔方复原，每个项目得分都按一定百分比折算后记入总分，并规定总分在85分以上（含85分）设为一等奖．下表为甲、乙、丙三位同学的得分情况（单位：3分）其中甲的部分信息不小心被涂黑了． 项目 得分项目 学生 七巧拼图 趣题巧解 数学应用 魔方复原 折算后总分 甲 66 95 68 乙 66 80 60 68 70 丙 66 90 80 68 80 据悉，甲、乙、丙三位同学的七巧拼图和魔方复原两项得分折算后的分数之和均为20分．如果甲获得了大赛一等奖，那么甲的“数学应用”项目至少获得 分． 【答案】90分 【分析】设趣题巧解按x折分，数学应用按y折分，且甲的数学应用至少得m分，构造方程组， 根据甲是一等奖获得者，建立不等式95x+my≥85-20，求解即可． 【详解】设趣题巧解按x折分，数学应用按y折分，根据题意， 得， 解得 设甲的数学应用至少得m分，根据题意，得95×0.4+m×0.3≥85-20， 解得m≥90， 故答案为：90． 【点睛】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式，正确列方程组和不等式是解题的关键． 05分层训练 基础巩固 1．下列方程中，解为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了方程的解，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解．将分别代入各方程两边，若两边相等，则是该方程的解，否则，不是该方程的解． 【详解】解：A、把代入中，左边，方程左右两边不相等，则不是方程的解，不符合题意； B、把代入中，左边，右边，方程左右两边相等，则是方程的解，符合题意； C、把代入中，左边，方程左右两边不相等，则不是方程的解，不符合题意； D、把代入中，左边，方程左右两边不相等，则不是方程的解，不符合题意； 故选：B． 2．下列各等式中变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果， 【答案】D 【分析】本题主要考查了等式的性质，等式的性质等知识点，熟练掌握等式的性质是解题的关键：等式的性质：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等，即如果，那么；等式的性质：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为的数，结果仍相等，即如果，那么，如果，那么． 根据等式的性质，等式的性质逐项分析判断即可． 【详解】解：A、 如果，那么，原变形错误，故选项不符合题意； B、如果，那么，原变形错误，故选项不符合题意； C、如果，那么，原变形错误，故选项不符合题意； D、如果，，变形正确，故选项符合题意； 故选：． 3．小丽同学在做作业时，不小心将方程中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是．则这个被污染的常数■是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了方程的解，把代入方程中进行求解即可． 【详解】解：把代入，得：， ∴； 故选：C． 4．若 是关于，的六次单项式，且系数是2，则的值是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】此题主要考查了单项式的次数和系数，一元一次方程，熟练掌握单项式次数和系数是解题的关键． 根据单项式系数得出n的值，根据次数的定义，可求出，然后求再解即可． 【详解】解∵ 是关于，的六次单项式，且系数是2， ∴，， 解得：，， 故选：C． 5．若是关于x，y的二元一次方程的一个解，则a的值为（　　） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，把代入即可得出a的值． 【详解】解：把代入， 可得：； 故选：D 6．我国古代数学著作《增删算法统宗》中记载了一个“官兵分布”问题：一千官军一千布，一官四疋无零数，四军才分布一疋，请问官军多少数？译文：今有官和兵共1000人，分1000疋布，1个官分4疋，4个兵分1疋，刚好分完，请问官和兵各几人?（疋：量词．同匹，用于计量整卷的绸布或计量马、骡等）如果设官x人，兵y人，根据题意，可列方程组为（　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据官、兵人数及所分布的总疋数，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：∵官、兵共1000人， ∴； ∵1官分4疋，4兵分1疋，且共分1000疋布， ∴． ∴根据题意可列方程组． 故选：A． 7．把二元一次方程改写成用含x的式子表示y的形式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程，根据等式的性质方程两边都减即可． 【详解】解：， 等式两边同时减，得． 故答案为：． 8．已知方程组的解满足，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，先利用加减消元法求出方程的解为，再由得到，解方程即可． 【详解】解： 得：， 把代入①得：， 解得， ∴方程组的解为， ∵方程组的解满足， ∴， ∴， 故答案为：． 9．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程步骤是解题的关键； （1）按照去括号，移项，合并同类项，化系数的步骤进行求解即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数的步骤进行求解即可． 【详解】（1）解： （2）解： 10．解方程组． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数． 方程组利用代入消元法求解即可． 【详解】解：， 由①得：， 把③代入②得：， 解得． 把代入③得：， ∴原方程组的解为． 11．（1） （2） 【答案】（1）   （2） 【分析】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用是关键． （1）应用代入消元法，求出方程组的解即可； （2）应用加减消元法，求出方程组的解即可． 【详解】解：（1）， ①代入②，可得：， 解得， 把代入①，解得， 原方程组的解是． （2）， ①②，可得， 解得， 把代入①，可得：， 解得， 原方程组的解是． 12．对于任意有理数a，b，我们规定：，例如：． (1)计算： ； (2)若，则的值为 ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程，含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）利用题中的新定义计算，即可求出值． （2）已知等式，利用题中的新定义整理成关于的一元一次方程，解之即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：． （2）解：∵， ∴可化为， 整理得：， 解得：． 故答案为：． 13．2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功．某航天模型销售店看准商机，准备推出“神舟”和“天宫”两种模型．已知1个“神舟”模型和3个“天宫”模型的进价共150元；3个“神舟”模型和2个“天宫”模型的进价共240元． (1)求每个“神舟”和“天宫”模型的进价各为多少元？ (2)该销售店老板计划购进“神舟”和“天宫”两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价定为90元，每个“天宫”模型的售价定为50元．如果该销售店销售这批模型的利润不低于2400元，那么需最少购进多少个“神舟”模型． 【答案】(1)每个“神舟”模型的进价为60元，每个“天宫”模型的进价为30元 (2)最少购进40个“神舟”模型 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用和分式方程的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和方程． （1）设每个“神舟”模型的进价为x元，每个“天宫”模型的进价为y元，根据“1个“神舟”模型和3个“天宫”模型的进价共150元；3个“神舟”模型和2个“天宫”模型的进价共240元”建立方程组求解，即可解题； （2）设购进m个“神舟”模型，则购进个“天宫”模型．根据“该销售店销售这批模型的利润不低于2400元，”建立不等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：设每个“神舟”模型的进价为x元，每个“天宫”模型的进价为y元， 由题意得， 解得． 答：每个“神舟”模型的进价为60元，每个“天宫”模型的进价为30元． （2）解：设购进m个“神舟”模型，则购进个“天宫”模型． 由题意得：， 解得：． 满足题意的最小整数解为40． 答：最少购进40个“神舟”模型． 14．某校科学小组用弹簧等器材，进行了测量物体质量的实验探索． 实验一：如图，在弹簧下方悬挂钩码，发现弹簧会伸长，记录实验数据如下表： 钩码质量（单位：克） 0 200 400 600 800 1000 弹簧长度（单位：厘米） 10 11 12 13 14 15 例如：当弹簧下方所挂钩码的质量为200克时，弹簧长度为11厘米． 实验二：在弹簧下方悬挂不同的实验物块，记录实验数据如下表： 次数 A物块（单位：个） B物块（单位：个） 弹簧长度（单位：厘米） 第一次 4 7 12 第二次 8 9 13 (1)已知每个同类型物块的质量都相同，求出每个A物块和每个B物块的质量分别是多少克； (2)该弹簧的长度伸长到15厘米时就不能继续伸长，实验将不能继续．在某次实验中，弹簧下方悬挂A物块和B物块共计30个时，符合实验要求，其中A物块不多于22个，那么有多少个B物块？（求出所有情况）． 【答案】(1)每个A物块的质量为30克，每个B物块的质量是40克； (2)可以有8个B物块或9个B物块或10个B物块． 【分析】此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，根据题意正确列出方程组和不等式组是解题的关键． （1）设每个A物块的质量为x克，每个B物块的质量是y克,根据弹簧长度为12厘米和13厘米时的质量分别为克和克列出方程组，解方程组即可； （2）设有m个B物块，则有个A物块，A物块不多于22个，总质量不超过克列出不等式组，解不等式组求出整数解即可得到答案． 【详解】（1）解：设每个A物块的质量为x克，每个B物块的质量是y克,根据题意得， 解得 答：每个A物块的质量为30克，每个B物块的质量是40克； （2）解：设有m个B物块，则有个A物块， 则， 解得， ∵m是正整数， ∴或或， 即可以有8个B物块或9个B物块或10个B物块． 能力提升 1．某段高速公路全长200千米，交警部门在距离入口10千米处设置了摄像头，并在以后每隔18千米处都设置一个摄像头；此外，交警部门还在高速公路上距离入口3千米处设立了限速标志牌，并在以后每隔5千米处都设置一块限速标志牌（如图）．小糖糖坐在后座从入口开始数经过的摄像头和标志牌个数，数到7时发现此处同时设置有标志牌和摄像头．小糖糖此时离入口的距离是 千米． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，设第块限速标志牌与第个摄像头离入口距离相等（，均为大于1的整数），根据二者离入口的距离相等，即可列出关于，的二元一次方程，进而得出，结合，均为整数即可得出，的值，再将的值代入，即可求解，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 【详解】解：∵数到7时发现此处同时设置有标志牌和摄像头， ∴此时小糖糖数了块标志牌， 设第块限速标志牌与第个摄像头离入口距离相等（，均为大于1的整数）， 依题意得：， ∴， ∵，均为整数， ∴为5的倍数， ∴的个位数字为2或7， 当时，，此时， ∵， ∴小糖糖此时离入口的距离是千米， 当时，， ∵，（不合题意，舍去）， 故答案为：． 2．若和都是关于的方程的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二元一次方程的求解问题，要熟练掌握，解答此题的关键是利用方程的系数之间的关系利用要①②得到，然后整体代入即可解题． 【详解】解：把和代入得： ， ①②得：， ∴， 故答案为：． 3．已知，将关于x的方程记作方程◇． (1)当，时，方程◇的解为_________； (2)若方程◇的解为，写出一组满足条件的k，b值：k=________，b=________； (3)若方程◇的解为，求关于y的方程的解． 【答案】(1) (2)1，3（答案不唯一） (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解一元一次方程的方法及注意事项是解题的关键． （1）代入后解方程即可； （2）只需满足即可； （3）将代入方程◇：得，整体代入即可； 【详解】（1）解：当，时，方程◇为：， 解得：． 故答案为：； （2）解：方程◇的解为， ，．（只需满足即可） 故答案为：1，3（答案不唯一）； （3）依题意：， ， ． 解关于的方程：， ． 解得：． 4．已知a，b在数轴上的位置如图所示． (1)化简：； (2)若，x为数轴上任意一点所对应的数，则代数式的最小值是 ；此时x的取值范围是 ； (3)在（2）的条件下，若，则 ． 【答案】(1) (2)3， (3)或3 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，有理数大小的比较，整式的加减，绝对值的化简等知识，注意数形结合及分类讨论． （1）先根据a，b在数轴上的位置确定，的符号，再化简绝对值，然后去括号合并同类项； （2）根据两点间的距离求解即可； （3）在（2）的条件下，可得，解含绝对值的方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ； （2）解：∵表示数x的点到数和1表示点的距离之和，数和1表示点的距离为， ∴当数x的点在数和1表示点之间，即时，取得最小值3． 故答案为：3，； （3）解：在（2）的条件下，可得， 当时，可得， 解得：； 当时，可得，不成立，舍去； 当时，可得， 解得：． 故答案为：或3． 5．李乐购买了两次笔记本和中性笔，购买情况及费用如图． (1)请你根据图中所给的该款笔记本和中性笔的价格信息，求出该款笔记本和中性笔的单价分别是多少元． (2)李乐第三次以相同的价格购买笔记本和中性笔，已知购买笔记本的数量是购买中性笔数量的2倍，共计165元，则李乐第三次购买笔记本和中性笔的数量各是多少？ 【答案】(1)笔记本单价为元，中性笔单价为元 (2)笔记本本，中性笔支 【分析】（1）设笔记本单价为元，中性笔单价为元，则根据题意可得，解方程组即可求出答案； （2）设中性笔买了支，则笔记本买了本，根据题意可得，解方程即可求出答案． 【详解】（1）解：设笔记本单价为元，中性笔单价为元， 根据题意可得： ， 解得：， 该款笔记本单价是元，中性笔单价是元； （2）解：设中性笔买了支，则笔记本买了本， 根据题意可得： ， 解得：， ， 答：李乐第三次购买笔记本本，中性笔支． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用（其他问题），解二元一次方程组，一元一次方程的应用（其他问题），解一元一次方程，代数式求值等知识点，弄清题意，根据题中的数量关系正确列出方程（组）是解题的关键． 6．七年级四班共有学生48人，其中男生人数比女生人数多2人，劳技课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身11个或盒底26个 (1)七年级四班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【答案】(1)男25人，女23人 (2)3人 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用． （1）设女生人数为x人，则男生人数为人，根据七年级四班共有学生48人列出关于x的一元一次方程，求解即可得出答案． （2）设a名男生去支援女生，根据每个盒身匹配2个盒底为等量关系，列出关于a的一元一次方程求解即可得出答案． 【详解】（1）解：设女生人数为x人，则男生人数为人， 根据题意可得：， 解得： 则， 答：七年级四班有男生25人，女生23人． （2）解：设a名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套， 根据题意有：， 整理得：， 解得：， 答：需要3名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 7．如图，在幻方的九个空格中，填入9个数字，使得处于同一横行，同一竖行，同一斜对角线上的三个数的和都相等，写出求x的值的过程并完成此幻方． 【答案】，见解析 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据于同一横行，同一竖行，同一斜对角线上的三个数的和都相等，列出方程进行求解即可． 【详解】解：根据题意可得， ， 解得：， ∴和为：， ∴第三行第一个数为：， 第一行第三个数为：， 第二行第三个数为：； 则可得此幻方如图， 8．【阅读材料】：善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程（2）变形：，即，把方程（1）代入（3）得：，所以，将代入（1）得，所以原方程组的解为． 【解决问题】：已知，满足方程组，模仿小明的“整体代换”法求的值． 【答案】 【分析】本题考查了方程组的“整体代入”的解法．根据题意，利用整体的思想进行解方程组，即可得到答案． 【详解】解：， 把方程变形，得到 ， 然后把代入，得， ∴， ∴． 9．如图，为了制作宣传海报，某设计师将长方形卡纸分割成大小相等的左、中、右三个小长方形栏目，栏目与栏目之间的中缝间距相等；又在每个栏目中划出个小正方形方格，中间有十字间隔，竖行两列中间间隔和横向中间间隔宽度比为．已知卡纸的长，宽，求每个栏目之间的中缝间距． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，根据题意列出方程，求出每个栏目宽是解题的关键． 设小正方形的边长为，根据题意可得，求得，即每个栏目宽为，即可求解． 【详解】解：设小正方形的边长为， 由图知， 即， ∴每个栏目的宽为． 则 故中缝的宽度为． 10．如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．整个接水的过程不计热量损失． 物理常识： 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为：开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度． (1)甲同学用空杯先接了温水，再接开水，接完后杯中共有水______； (2)乙同学先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求乙同学分别接温水和开水的时间． 【答案】(1)180 (2)学生接温水的时间为，接开水的时间为 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用： （1）分别求出温水和开水的体积，然后求和即可得到答案； （2）设乙同学分别接温水和开水的时间分别为，根据开水和温水的体积和为温度，混合温度为列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：， ∴甲同学用空杯先接了温水，再接开水，接完后杯中共有水， 故答案为：180； （2）解：设乙同学分别接温水和开水的时间分别为， 由题意得， ， 解得， 答：学生接温水的时间为，接开水的时间为． $$