精品解析：陕西省咸阳市武功县普集高级中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题

数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：集合､常用逻辑用语､不等式､函数､导数及其应用､三角函数及解三角形（含三角恒等变换）､平面向量（约35%）､复数､数列（约65%）. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的除法运算法则、乘方法则计算后，再结合共轭复数，复数的定义确定． 【详解】由题意可知，，所以， 所以的虚部为. 故选：A. 2. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求得两个集合，根据集合的交，补运算性质计算即可. 【详解】由题意知 ， 所以. 故选：D. 3. 已知数列满足，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据递推关系求出前几项可得出数列为周期数列即可得解. 【详解】因为数列满足， 所以， 所以， 所以是周期为3的周期数列， 又，所以． 故选：A． 4. 已知复数和，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的性质及充分条件、必要条件求解即可. 【详解】，复数和是实数，成立， 当时，例如，推不出， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5. 复印纸按照幅面的基本面积，把幅面规格分为系列、系列、系列，其中系列的幅面规格为，，，…，，所有规格的纸张的长度（以表示）和幅宽（以表示）的比例关系都为；将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；…，如此对开至规格.现有，，，…，纸各一张，若纸的幅宽为，则这9张纸的面积之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，设纸的幅宽为，利用等比数列的通项公式及前n项和公式列式计得解. 【详解】设纸的幅宽为，则的长宽分别为，的长宽分别为，的长宽分别为，…， 因此，，，…，纸的幅宽构成以为首项，为公比的等比数列， 由，得，则的长宽分别为，其面积为， 依题意，9张纸的面积是首项为，公比为的等比数列， 所以这9张纸的面积之和为. 故选：D 6. 已知等比数列的各项均为正数，且，记，则使得的最小正整数的值为（ ） A. 25 B. 26 C. 27 D. 28 【答案】C 【解析】 【分析】由可因式分解，求得的取值范围，结合等比数列等比中项的性质表示即可求得. 【详解】由，所以， 所以或 又，所以0，又，所以， 所以， 则使得的最小正整数的值为27. 故选:C. 7. 设函数，若对于任意的都成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由定义域可知，可进行参变分离，转化为函数求最值问题解决，结合函数特征，使得的图像始终在的下方，通过求切线的斜率可以求得. 【详解】若对于任意的都成立，即，即. 令，所以， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以； 若对于任意的都成立，由函数及的图象易知， 若使对于恒成立，只需处在图象上方， 的最小值在处，两个图象相切处取得， 函数的导数为，时，，即. 综上，的取值范围为. 故选：B. 8. 若数列中不超过的项数恰为，则称数列是数列的生成数列，称相应的函数是数列生成的控制函数.已知数列满足，且是数列生成的控制函数，数列的前项和为，若，则的值为（ ） A. 19 B. 21 C. 22 D. 23 【答案】B 【解析】 【分析】对的值为奇数或偶数进行分类讨论，再根据等差数列求和计算解得即可. 【详解】由题意可知，当时，可得，则； 当时，可得，则，所以， 则当时，， 则，因为，所以无解； 当时，，所以，因为，所以， 即的值为21. 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，是与的等比中项，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 当时，的最大值为22 D. 当取得最大值时，的值为11 【答案】AC 【解析】 【分析】求得等差数列的首项和公差，由此对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设等差数列的公差为， 则，， ，，， A选项，，A选项正确. B选项，，B选项错误. D选项，， 由，解得，且 所以当取得最大值时，的值为或，D选项错误. C选项，， 由，解得，而， 所以的最大值为，C选项正确. 故选：AC 10. 对于数列，若存在正数，使得对一切正整数，都有，则称数列是有界的，若这样的正数不存在，则称数列是无界的.记数列的前项和为，则下列说法不正确的是（    ） A. 若，则数列是无界的 B. 若，则数列是有界的 C. 若，则数列是有界的 D. 若，则数列是有界的 【答案】A 【解析】 【分析】利用数列有界的定义，结合公式法求和及裂项相消法求和逐项分析计算判断. 【详解】对于A，由，得，即存在正数， 使得恒成立，因此数列是有界的，A错误； 对于B，由，得， 则， ， 即存在正数，使得恒成立，因此数列是有界的，B正确； 对于C：由，则当时，；当时，；则， 即存在正数，使得恒成立，因此数列是有界的，C正确； 对于D，， 则， 又，则，即存在正数，使得恒成立，因此数列是有界的，D正确. 故选：A 11. 已知函数的定义域为，函数是奇函数，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于轴对称 C. D. 若函数满足，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用奇函数的性质，结合赋值法逐项分析判断即可. 【详解】对于A，由函数是奇函数，得， 由，得，A正确； 对于B，由是奇函数，得，即， 又，则，即， 因此，为偶函数，的图象关于轴对称，B正确； 对于C，由，得，C错误； 对于D，，函数是以为4周期的周期函数， 由，得， ， 于是是以4为周期的函数， ， 由，得，， 所以，D正确. 故选：ABD 【点睛】思路点睛：涉及抽象函数等式问题，利用赋值法探讨函数的性质，再借助性质即可求解. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数满足，则的最大值为__________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据复数的几何意义再由向量的三角不等式可得结果. 【详解】因为，所以， 所以的最大值为8. 故答案为：8 13. 在边长为2的正方形，ABCD中，M，N分别是边BC，CD上的两个动点，且BM＋DN＝MN，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意，以点A为原点，建立的平面直角坐标系，设点，其中，则向量求得，再由，整理得，利用基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，以点A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 设点，其中，则向量， 所以 又由，则， 整理得， 又由， 设，整理得，解得， 所以，所以的最小值为. 故答案为： 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算及应用，其中解答中建立空间直角坐标系，利用向量的数量积的坐标运算和基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 14. 已知数列的前n项和为，且，，若对任意的，等式恒成立，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】由化简推得，即可判断为等差数列，继而求出和，代入，根据等式恒成立，对应系数成比例，求得和的值即可. 【详解】因为，所以当时，有， 两式相减得，所以， 所以数列是以m为首项，1为公差的等差数列， 所以，， 则， 所以， 又因为对任意的，等式恒成立，所以， 解得，，所以. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用等差数列的通项公式及前n项和公式求基本量，进而写出通项公式； （2）根据的符号，讨论、，结合等差数列前n项和公式求. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，又，， 所以，解得，， 所以. 【小问2详解】 由（1）知， 当时，，则； 当时，，则， 当时，， 当时，. 综上，. 16. 在中，内角，，的对边分别为，，，且. （1）若，求角的大小； （2）若，的面积为，求的值. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）利用两角和的正切公式，及三角形内角和为，得到，由此即可求出值，化为即可求解； （2）根据三角形面积公式，及，得到，，由余弦定理得到，再利用正弦定理即可求解. 【小问1详解】 在中，， 所以， 从而. 又，，所以，即，所以. 所以. 故，而，所以，故或，解得或. 【小问2详解】 在（1）中我们不借助条件即可得到，故此时仍有，从而，. 设的面积为，则，所以. 而，故. 所以. 17. 已知数列的前项和为，且. （1）证明：是等比数列，并求出的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）证明如下： 当时，，且，所以； 当时，由，得，则 ，可得， 即，且，可得， 可知数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 则，可得， 且， 可知是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 即. （2） 【解析】 【分析】（1）根据与之间的关系可知是以2为首项，2为公比的等比数列，结合等比数列通项公式可得，利用等差数列通项公式分析求解； （2）根据题意可知：的奇数项为以为首项，4为公比的等比数列；偶数项是以为首项，2为公差的等差数列，利用分组求和结合等差、等比数列求和公式运算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知， 可知的奇数项为以为首项，4为公比的等比数列；偶数项是以为首项，2为公差的等差数列. 当时，； 当时，； 综上所述：. 18. 已知数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）设，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，求的取值范围； （3）设，是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，请求出所有符合条件的数组；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）已知求即可； （2）结合 (1) 求出 , 而后根据 正负进行讨论; （3）表示出 , 结合的单调性求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 当时，，解得； 由，得， 所以，整理得， 所以，所以， 所以，所以，所以是等差数列， 又，所以. 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 又，所以是递增数列. 当时，若对任意的恒成立，则； 当时，若对任意的恒成立，则，即， 所以的取值范围是. 【小问3详解】 由（1）知，假设存在正整数，使得成等差数列， 则，即，其中，故，即. 设，则， 故数列为递减数列，而，故的正整数解为， 此时，故即，由的单调性可得， 所以符合条件的数组为. 19. 已知函数. （1）若的图象在处的切线方程为，求的值； （2）若，证明：； （3）讨论的零点的个数. 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义得，求，再利用切点即在曲线上也在切线即可求出； （2）由，令，将问题转化为即可求解； （3）求导利用导函数判断单调性，再结合零点存在性定理判断零点的个数. 【小问1详解】 由题意得， 又的图象在处的切线方程为， 所以，解得， 所以，所以，所以，解得. 【小问2详解】 证明：若，则， 所以， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 当且仅当时，等号成立； 令，，所以， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，当且仅当时，等号成立， 所以，即. 【小问3详解】 由题意得的定义域为，， 当时，，在上单调递增， 又，所以有且仅有一个零点1； 当时，令，解得， 易知在上，，则在上单调递减， 在上，，则在上单调递增， 又，， 所以在上有一个零点，在上有一个零点1， 所以在，上各有一个零点； 当时，令，解得， 易知在上，，则在上单调递减， 在上，，则在上单调递增， 故的最小值为，故仅有一个零点； 当时，令，解得， 易知在上，，则在上单调递减，且， 所以在上有一个零点1， 在上，，则在上单调递增， 又，， 所以在上有一个零点， 故在，上各有一个零点. 综上，当或时，仅有一个零点； 当或时，有两个零点. 【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法： （1）直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点； （2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且， 还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点； （3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：集合､常用逻辑用语､不等式､函数､导数及其应用､三角函数及解三角形（含三角恒等变换）､平面向量（约35%）､复数､数列（约65%）. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列满足，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4. 已知复数和，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 复印纸按照幅面的基本面积，把幅面规格分为系列、系列、系列，其中系列的幅面规格为，，，…，，所有规格的纸张的长度（以表示）和幅宽（以表示）的比例关系都为；将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；…，如此对开至规格.现有，，，…，纸各一张，若纸的幅宽为，则这9张纸的面积之和为（ ） A. B. C. D. 6. 已知等比数列的各项均为正数，且，记，则使得的最小正整数的值为（ ） A. 25 B. 26 C. 27 D. 28 7. 设函数，若对于任意的都成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若数列中不超过的项数恰为，则称数列是数列的生成数列，称相应的函数是数列生成的控制函数.已知数列满足，且是数列生成的控制函数，数列的前项和为，若，则的值为（ ） A. 19 B. 21 C. 22 D. 23 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，是与的等比中项，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 当时，的最大值为22 D. 当取得最大值时，的值为11 10. 对于数列，若存在正数，使得对一切正整数，都有，则称数列是有界的，若这样的正数不存在，则称数列是无界的.记数列的前项和为，则下列说法不正确的是（    ） A. 若，则数列是无界的 B. 若，则数列是有界的 C. 若，则数列是有界的 D. 若，则数列是有界 11. 已知函数的定义域为，函数是奇函数，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于轴对称 C. D 若函数满足，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数满足，则的最大值为__________. 13. 在边长为2的正方形，ABCD中，M，N分别是边BC，CD上的两个动点，且BM＋DN＝MN，则的最小值是________． 14. 已知数列的前n项和为，且，，若对任意的，等式恒成立，则________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 16. 在中，内角，，的对边分别为，，，且. （1）若，求角的大小； （2）若，的面积为，求的值. 17. 已知数列的前项和为，且. （1）证明：是等比数列，并求出通项公式； （2）设，求数列的前项和. 18. 已知数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）设，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，求的取值范围； （3）设，是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，请求出所有符合条件的数组；若不存在，请说明理由. 19 已知函数. （1）若的图象在处的切线方程为，求的值； （2）若，证明：； （3）讨论的零点的个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $