第10讲 无理方程 二元二次方程组(七类知识点+十六大题型+强化训练)-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（沪教版）

第10讲 无理方程 二元二次方程组（十六大题型） 学习目标 1、 理解无理方程的概念，会识别无理方程 2、 知道解无理方程的一般步骤，知道解无理方程必须验根，并掌握验根的方法. 3、 知道二元二次方程的概念和二元二次方程组的概念 4、 了解二元二次方程（组）的解的概念，能判别给定的数值是否是方程（组）的解； 5、 掌握用“因式分解法”解由两个二元二次方程组成的方程组； 一、无理方程 方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程. 要点：简单说，根号下含有未知数的方程，就是无理方程． 二、有理方程 整式方程和分式方程统称为有理方程. 三、代数方程 有理方程和无理方程统称为代数方程. 要点： 代数方程的共同点是：其中对未知数所涉及的运算是加、减、乘、除、乘方、开方等基本运算. 四、解无理方程的一般步骤 1.含有一个根式（根式内有未知数的）的无理方程的解题步骤： ①移项，使方程左边是含未知数的根式，其余都移到另一边； ②两边同时乘方（若二次根式就平方，三次根式就立方）得整式方程； ③解整式方程； ④验根； ⑤写答案. 要点：解简单无理方程的一般步骤，用流程图表示为： 2.含有两个根式（根式内含有未知数）的无理方程的解题步骤： ①移项，使方程等式的左边只含一个根式，其余移到另一边； ②两边同时平方，得到只含有一个根式的无理方程； 以下与1步骤相同. 要点：解无理方程的关键在于把它转化为有理方程，转化的基本方法是对方程两边同时乘方从而去掉根号，对于简单的无理方程，可通过“方程两边平方”来实施。 五、二元二次方程 1. 定义：仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程. 要点： （a、b、c、d、e、f都是常数，且a、b、c中至少有一个不为零），其中叫做这个方程的二次项，a、b、c分别叫做二次项系数，叫做这个方程的一次项，d、e分别叫做一次项系数，f叫做这个方程的常数项. 2.二元二次方程的解 能使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元二次方程的解. 要点：二元二次方程有无数个解；二元二次方程的实数解的个数有多种情况. 六、二元二次方程组 1.概念：仅含有两个未知数，各方程都是整式方程，并且含有未知数的项的最高次数为2，这样的方程组叫做二元二次方程组. 要点：不能认为由两个二元二次方程组成的方程组才叫二元二次方程组，由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，也是二元二次方程组. 2. 二元二次方程组的解: 方程组中所含各方程的公共解叫做这个方程组的解. 七、二元二次方程组的解法 1. 代入消元法 代入消元法解“二·一”型二元二次方程组的一般步骤： ①把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示； ②把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程； ③解这个一元二次方程，求得未知数的值； ④把所求得的未知数的值分别代入二元一次方程，求得另一个未知数的值； 　⑤所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解； ⑥写出原方程组的解. 要点：（1）解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二·一”型方程组； （2）“二·一”型方程组最多有两个解，要防止漏解和增解的错误. 2、因式分解法 　(1) 当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二·一”型方程组，解得这两个“二·一”型方程组，所得的解都是原方程组的解. 　　(2) 当方程组中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组成新的方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程组的解. 【即学即练1】下列方程中，无理方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据无理方程的定义进行解答，根号内含有未知数的方程为无理方程． 【解析】解：A项的根号内没有未知数，所以不是无理方程，故本选项错误， B项的根号内没有未知数，所以不是无理方程，故本选项错误， C项的根号内含有未知数，所以是无理方程，故本选项正确， D项的根号内不含有未知数，所以不是无理方程，故本选项错误， 故选：C． 【点睛】本题主要考查无理方程的定义，关键在于分析看看哪一项符合无理方程的定义． 【即学即练2】解方程 【答案】 【分析】先对式子两边进行平方，然后把含有根号的式子移到方程的一边，再进行平方即可化成一元二次方程，解方程求得x的值，然后进行检验即可． 【解析】解：方程两边平方，得：， 即， 两边平方，得：，化简得：，即， 解得：或． 经检验：是方程的根，是增根． 则原方程的根是：． 【点睛】本题主要考查了无理方程的解法，在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法． 【即学即练3】解方程组：． 【答案】 【分析】先将方程组的②变形为，再重新构成二元一次方程组求解即可． 【解析】解：， 由②得，， ∴或， ∴原方程变形为： ， 解得： ． 【点睛】本题考查了消元、降次的方法解二元二次方程组的运用，因式分解的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时将原方程转化为两个二元一次方程组是关键． 【即学即练4】下列说法正确的是（    ） A．是二元二次方程 B．是分式方程 C．是无理方程 D．是二项方程 【答案】A 【分析】根据方程的定义逐项判断即可． 【解析】A、是二元二次方程，说法正确 B、是整式方程，说法错误 C、是有理方程，说法错误 D、是一元二次方程，说法错误 故选：A． 【点睛】本题考查了方程的定义，掌握理解定义是解题关键． 【即学即练5】下列方程中，有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解无理方程和解分式方程，能把分式方程转化成整式方程和能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键． 先把方程两边平方得出，整理后根据根的判别式即可判断选项A；移项后两边平方，即可判断选项B；方程两边都乘求出，再进行检验，即可判断选项C，方程两边平方得出，求出方程的解，再进行检验，即可判断选项D． 【解析】解：A．， 两边平方得：， 整理得：， ， 所以方程无实数根，故本选项不符合题意； B．， ， 两边平方得：， 即， 即原方程无实数根，故本选项不符合题意； C．， 方程两边都乘，得， 经检验是增根， 即分式方程无实数根，故本选项不符合题意； D．， 两边平方得：， 即， 解得：或， 经检验不是原方程的解，是原方程的解， 即方程有实数根，故本选项符合题意； 故选：D． 题型1：无理方程的概念 【典例1】．根号内含有 的方程叫做无理方程； 和 统称为有理方程． 【答案】 未知数的代数式 整式方程 分式方程 【分析】根据有理方程和无理方程的概念解答. 【解析】解：根号内含有未知数的代数式的方程叫做无理方程， 整式方程和分式方程统称为有理方程. 故答案为：未知数的代数式；整式方程；分式方程. 【点睛】本题考查了方程的分类，掌握有理方程和无理方程的概念是解题的关键. 【典例2】．下列方程是无理方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理方程∶ 根号下含有未知数（被开方数是含有未知数）的方程，根据无理方程的定义逐项判定即可． 【解析】解∶A．，不是无理方程，故不符合题意； B．，是无理方程，故符合题意； C．，不是无理方程，故不符合题意； D．，不是无理方程，故不符合题意； 故选∶B． 【典例3】．下列方程为无理方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理方程的定义，能熟记无理方程的定义是解此题的关键，注意：根号内含有未知数的方程叫无理方程． 根据无理方程的定义逐个判断即可． 【解析】解：A．根号内不含有未知数，方程属于有理方程，不属于无理方程，故本选项不符合题意； B．根号内含有未知数，方程属于无理方程，故本选项符合题意； C．根号内不含有未知数，方程属于有理方程，不属于无理方程，故本选项不符合题意； D．根号内不含有未知数，方程属于有理方程，不属于无理方程，故本选项不符合题意； 故选：B． 题型2：解无理方程 【典例4】．方程：的解为 【答案】 【分析】本题主要考查了无理方程，掌握转化的思想以及解无理方程注意要验根是解题的关键． 先将方程两边平方，将无理方程转化为整式方程，求出x的值，然后再检验即可． 【解析】解： 两边平方得：， 移项，得，即，解得：，， 经检验无理方程的解． 故答案为∶． 【典例5】．方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解无理方程，先把两边平方，转化为，然后求解即可，把无理方程转化成一元二次方程是解题的关键． 【解析】解： ，整理得：， 解得：，， 当时，不符合题意，舍去， 故答案为：． 【典例6】．方程的解是 ． 【答案】无实数根 【分析】本题考查了解无理方程； 移项后两边平方，得到关于的一元二次方程，根据判别式的意义可知此方程无实数根，则原无理方程无实数根． 【解析】解：移项得：， 两边平方得：， 整理得：， ∵， ∴方程无实数根， 即方程无实数根， 故答案为：无实数根． 【典例7】．方程的根为 ． 【答案】 【分析】本题考查解无理方程，根据几个式子的积为0，则必有一个因式为0，进行求解即可． 【解析】解：∵， ∴或或， ∴或或， 检验：当或时，，无意义，当时，满足题意； ∴方程的根为：． 故答案为： 【典例8】．解方程 【答案】 【分析】本题考查了无理方程，理解转换思想是解题的关键．先通过两边平方把方程转化为有理方程，再求解． 【解析】解：， 移项得：， 两边分别平方得：， 移项、合并同类项得：， 两边再平方得：， 解这个整式方程得：或， 当时，左边右边， 不是原方程的解， 当时，左边右边， 是原方程的解， 原方程份解为． 【典例9】．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程是解题的关键． 由，可得，整理得，然后计算求出满足要求的解即可． 【解析】解：， ， ， ， ， ， 解得，，， 检验，当时，，当时，， ∴方程的解为． 【典例10】．解方程： 【答案】， 【分析】本题考查的是换元法解无理方程，可采用换元法使方程简便，注意无理方程需验根．应先把根式内进行整理，然后用换元法求解． 【解析】解：可化为：， 设，则：， 解得：，， 即：或， 解得：，． 经检验的原方程的解为：，． 【典例11】．． 【答案】 【分析】利用平方法将原方程通过变形转化为有理方程，然后计算求解． 【解析】解： 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 【点睛】本题主要考查了平方法解无理方程，掌握完全平方公式是解题关键，另外注意无理方程的结果要进行检验． 【典例12】．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查解无理方程，利用平方法解方程即可． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 题型3：将无理方程换元法化成整式方程 【典例13】．解方程时，设 换元后，整理得关于y的整式方程是 ． 【答案】y²-4y+4=0 【分析】设,则原方程可化为关于y的一元二次方程即可. 【解析】解:设, 则原方程可化为，即y²-4y+4=0,故答案为y²-4y+4=0. 【点睛】本题考查了无理方程，解无理方程最常用的方法是换元法,解题的关键是理解是的倒数. 【典例14】．用换元法解方程时，可设，则原方程可化为关于的整式方程为 ． 【答案】 【分析】设，两边平方可得，将原方程变形，整体代入可得． 【解析】解：设， ∴，， ∴， 则原方程为：，整理得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了无理方程，换元法，解题的关键是根据换元法求出，整体代入． 题型4：判断是否有实数根 【典例15】．下列方程，有实数解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理方程，呵化为一元二次方程的分式方程，一元二次方程根的判别式；把无理方程或分式方程化为一元二次方程，根据判别式判断一元二次方程根的情况以及算术平方根的非负性．对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．据此即可求解． 【解析】解：由得：， ∵， ∴原方程无实数解，故A错误； 由得：， 即：， ； ∴原方程有实数解，故B正确； 由得：， ， ∴原方程无实数解，故C错误； ∵，又， ∴且（矛盾）， ∴原方程无实数解，故D错误； 故选：B． 【典例16】．下列方程有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，乘方的意义，算术平方根的意义，分式方程有意义的条件，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．根据一元二次方程根的判别式、偶次方的意义、算术平方根的意义、以及分式方程的解逐项分析即可． 【解析】解：A、， ∵， ∴一元二次方程有两边不相等的实数根，故A符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴无实数根，故B不符合题意； C、∵，， ∴方程无实数根，故C不符合题意； D、， 去分母得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解，故D不符合题意． 故选：A． 【典例17】．在下列方程中，无实数根的方程有（    ） ①；    ②；    ③； ④；    ⑤；    ⑥． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】分别根据无理方程，一元二次方程，分式方程的求解方法求解判断即可． 【解析】解：①∵， ∴， ∴方程无解，即没有实数根，符合题意； ②∵，， ∴， ∴且，方程无解，即没有实数根，符合题意； ③∵， ∴，即， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，不符合题意； ④∵，， ∴， ∴， ∴， ∴方程有实数根，不符合题意； ⑤∵， ∴， ∴， ∴方程没有实数根，符合题意； ⑥ 两边同时乘以得：， ∴， ∴， ∴， 经检验当时，， ∴原方程无实数解，符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了无理方程，一元二次方程，分式方程，熟知相关方程的解法是解题的关键． 题型5：根据根的情况求参数范围 【典例18】．如果方程无实数解，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解无理方程和解一元一次不等式，能根据算术平方根的非负性得出是解此题的关键．移项后得出，根据算术平方根的非负性得出，求出此时，再求出的取值范围即可． 【解析】解：， ， ， 若方程无实数解，必须， ， 故答案为：． 【典例19】．关于x的方程有两个不相等的实数解，则k的范围为 ． 【答案】 【分析】利用平方法将原方程转化为一元二次方程，然后根据判别式的意义解不等式即可． 【解析】解：， ， ∴， ∵关于x的方程有两个不相等的实数解， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】此题考查了一元二次方程的根的判别式：当0，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 【典例20】．如果关于x的无理方程没有实数根，那么m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据关于x的无理方程没有实数根，可知，从而可以求得k的取值范围． 【解析】由可得，， ∵关于x的无理方程没有实数根， ∴没有实数根， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查无理方程，解题的关键是明确无理方程的解答方法，无实数根应满足什么条件． 题型6：无理方程的代数应用 【典例21】．下面是小明同学解无理方程3﹣＝x的过程： 原方程可变形为3﹣x＝……（第一步） 两边平方，得3﹣x＝2x﹣3……（第二步） 整理，得﹣3x＝6……（第三步） 解得x＝2……（第四步） 检验：把x＝2分别代入原方程的两边，左边＝3﹣＝2，右边＝2，左边＝右边，可知x＝2是原方程的解．……（第五步） 所以，原方程的解是x＝2．……（第六步） 请阅读上述小明的解题过程，并完成下列问题： （1）以上小明的解题过程中，从第 　 　步开始出错； （2）请完成正确求解方程3﹣＝x的过程． 【答案】（1）二；（2）见解析 【分析】（1）移项后两边平方即可； （2）先移项，再两边平方，求出方程的解，最后进行检验即可． 【解析】解：（1）以上小明的解题过程中，从第二步开始出错， 故答案为：二； （2）， 移项，得， 两边平方，得（3-x）2=2x-3， 整理得：x2-8x+12=0， 解得：x1=2，x2=6， 经检验：x=2是原方程的解，x=6不是原方程的解， 所以原方程的解是x=2． 【点睛】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键． 【典例22】．某同学作业本上做了这么一道题：“当a=时，试求a+的值”，其中是被墨水弄污的，该同学所求得的答案为 ，请你判断该同学答案是否正确，说出你的道理． 【答案】不对 【分析】根据二次根式的性质=|a|，可得答案． 【解析】不正确，当时，； 当时，. 因此，该同学所求得的答案为肯定是不正确的. 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟记二次根式的性质是解题关键． 题型7：无理方程的阅读材料题 【典例23】．请阅读：小毛在解方程时采用了课本以外的方法： 由， 又有，可得，将这两式相加可得， 将两边平方可解得，经检验是原方程的解． 请你参考小毛独特的方法，解决下列问题： 已知，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查无理方程的解法，利用题干中的方法求解即可． 【解析】解：∵， 又∵， ∴， 将得，， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 【典例24】．自变量x的不同取值范围有着不同的解析式的函数称为分段函数．对于分段函数，当时的函数值为，当时的函数值为，若当时，函数值，那么的值为 ． 【答案】5或 【分析】本题考查的是函数的性质，函数值的计算等，正确把握相关知识是解题的关键．分别根据和分别计算即可． 【解析】解：当时， ， 解得 当时， ， 解得，（舍去） 故答案为：5或 题型8：二元二次方程（组）的概念 【典例25】．在下列方程中，不是二元二次方程的有（   　） A．； B．xy＝3； C．； D．． 【答案】D 【分析】根据二元二次方程的定义：指含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2，这样的整式方程叫做二元二次方程，逐一判断即可． 【解析】A.是二元二次方程，故本选项不符合题意； B. xy＝3是二元二次方程，故本选项不符合题意； C.是二元二次方程，故本选项不符合题意； D.是分式方程，不是二元二次方程，故本选项符合题意． 故选D． 【点睛】此题考查的是二元二次方程的判断，掌握二元二次方程的定义是解决此题的关键． 【典例26】．下列方程组中，为二元二次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二元二次方程组的定义进行判断即可． 【解析】解：A、两个方程都是二元一次方程，所组成的方程组为二元一次方程组，所以A选项不正确； B、两个方程都是分式方程，所组成的方程组为分式方程组，所以B选项不正确； C、有一个方程是无理方程，所组成的方程组不是二元二次方程组，所以C选项不正确； D、两个方程都是二元二次方程，所组成的方程组为二元二次方程组，所以D选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了二元二次方程组：有两个二元二次方程或一个二元二次方程，一个一元一次方程所组成的方程组称为二元二次方程组． 【典例27】．下列方程组是二元二次方程组的是（  　  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元二次方程组的定义，掌握二元二次方程组的概念是解决本题的关键．根据二元二次方程组的定义，逐个判断得结论． 【解析】解：．此方程组为二元一次方程组，不是二元二次方程组，故A错误； B．含分式方程，不是二元二次方程组，故B错误； C．是二元二次方程组，故C正确； D．含无理方程，不是二元二次方程组，故D错误． 故选：C． 题型9：代数方程的综合辨析 【典例28】．下列说法正确的是（    ） A．是分式方程 B．是二项方程 C．是无理方程 D．是二元二次方程组 【答案】D 【分析】根据二项方程、分式方程、无理方程和二元二次方程组的定义逐项判断即可． 本题考查二项方程、分式方程、无理方程和二元二次方程的定义，熟知各项方程的定义是本题的关键． 【解析】解：A、是一元二次方程，不是分式方程，故本选项错误； B. 是一元二次方程，不是二项方程，故本选项错误； C、是分式方程，不是无理方程，故本选项错误； D、是二元二次方程组，故此选项正确． 故选D． 【典例29】．下列说法中，正确的个数有（　　） （1）关于的方程既是分式方程，又是无理方程； （2）关于的方程是二项方程； （3）关于、的方程是二元二次方程； （4）关于的方程是无理方程． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据分式方程的定义和无理方程的定义对（1）进行判断；根据一元二次方程、二元二次方程的定义对（2）（3）（4）进行判断． 【解析】解：关于的方程不是分式方程，是无理方程，所以（1）错误； 关于的方程是二次方程，不是二项方程，所以（2）错误； 关于、的方程是二元二次方程，所以（3）正确； 关于的方程是二元二次方程，所以（4）错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了无理方程：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．也考查了高次方程和分式方程的定义． 【典例30】．下列说法正确的是（    ） A．是分式方程 B．是无理方程 C．是二元二次方程组 D．是二项方程 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程、无理方程、二元二次方程组、二项方程的定义，根据相关定义逐项判定即可． 【解析】解：A选项：整式方程，不是分式方程，故错误； B选项：是分式方程，不是无理方程，故错误； C选项：是二元二次方程组，符合题意，故正确； D选项：不含有非零的常数项，故不是二项方程，故错误； 故选：C 题型10：二元二次方程（组）的解 【典例31】． （填“是”或“不是”）方程组的解． 【答案】是 【分析】将代入方程组中，看两个方程左、右两边的值是否相等，若两个等式都成立，则是方程组的解，否则不是． 【解析】解：将代入x＋y＝1，得： 2＋（﹣1）＝1，等式成立， ∴是方程x＋y＝1的解； 将代入x2＋xy＋y2＝3，得： 22＋2×（﹣1）＋（﹣1）2＝4－2＋1＝3，等式成立 ∴是方程x2＋xy＋y2＝3的解， 综上所述，是方程组的解， 故答案为：是 【点睛】本题考查了二元二次方程组的解的定义，解题的关键是掌握二元二次方程组的解的定义：使方程组所有方程左右两边都相等的未知数的值为二元二次方程组的解． 【典例32】．已知 （填“是”或“不是”）方程的解． 【答案】不是 【分析】把代入验证即可． 【解析】把代入， 左=1-4+4+1-2-2=-2≠右， ∴不是方程的解． 故答案为：不是． 【点睛】本题考查了方程的解，熟练掌握能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解是解答本题的关键． 【典例33】．写出二元二次方程的一对整数解是 ． 【答案】（任意写一组即可） 【分析】根据整数解的条件先确定正整数解，再确定负整数解及其他即可． 【解析】解：∵， ∴其整数解为或或或 或或或或； 故答案为：（任意写一组即可） 【点睛】本题考查的是二元二次方程的整数解，熟练的求解二元二次方程的整数解是解本题的关键． 题型11：将二元二次方程化为二元一次方程 【典例34】．二元二次方程可以化为两个一次方程，它们是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，把看成常量，把看成常量，方程就是关于的一元二次方程，利用因式分解法化为两个一次方程即可，方程看成关于的一元二次方程是解决本题的关键． 【解析】解：， ， ，． 故答案为：，． 【典例35】．将二元二次方程化为二个二元一次方程为 ． 【答案】x-3y =2或x-3y =-2 【分析】先将左边的式子因式分解，然后可得两个一次方程． 【解析】解：∵ ∴(x-3y)2=(±2)2 ∴x-3y =2或x-3y =-2， 故答案为：x-3y =2或x-3y =-2． 【点睛】此题考查了高次方程的因式分解法，解题的关键是利用因式分解的方法把高次方程降次． 题型12：写出满足条件的二元二次方程（组） 【典例36】．试写出一个二元二次方程，使该方程有一个解是，你写的这个方程是 写出一个符合条件的即可． 【答案】（答案不唯一） 【分析】二元二次方程指含有两个未知数，含未知数的项的次数最高是2，由此写出一个符合题意的方程即可； 【解析】解：， ， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了方程中元和次数概念：在方程中“元”是指未知数的个数；次数是指含有未知数的项（单项式）的最高次数；掌握相关概念是解题关键． 【典例37】．写出一个由二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组 ，使它的解是和． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据方程组的解可得，再由平方差公式得到，则可写出满足条件的一个方程组为． 【解析】解：方程组的解为和， ， ， 方程组可以是， 故答案为：答案不唯一）． 【点睛】本题考查二元二次方程组，熟练掌握二元一次方程和二元一次方程的基本形式，根据所给的条件写出符合题意的方程组是解题的关键． 【典例38】．写出一个由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，使它的解是；，那么该方程组可以是 ． 【答案】 【分析】解答本题时，首先观察给出的两组解的特点，发现两组解中第一组中的与第二组中的互为相反数，第一组中的与第二组中的互为相反数，所以可以肯定的是无论哪组中的与的差都是，两组中的与的积都是，所以得到符合题意的一组方程组． 【解析】解：由题可得： ∵，，，， ∴， 故填：． 【点睛】本题考查了二元一次方程和一个二元二次方程，熟练掌握其定义是解此题的关键． 题型13：解二元二次方程组 【典例39】．由方程组消去y后化简得到的方程是（　　） A．2x2﹣2x﹣6＝0 B．2x2+2x+5＝0 C．2x2+5＝0 D．2x2﹣2x+5＝0 【答案】D 【分析】根据题目中方程组的特点，由x﹣y﹣1＝0，可以得到y＝x-1，然后将x-1看成一个整体，换为y代入第二方程，再化简即可解答本题． 【解析】解：， 由①，得y＝x-1③， 将③代入②，得（x﹣1）2+x2+4＝0， 化简，得2x2﹣2x+5＝0， 故选：D． 【点睛】本题考查二元二次方程组，解答本题的关键是明确消元法，利用方程的思想解答． 【典例40】．解方程组的可行方法是（    ） A．将①式分解因式 B．将②式分解因式 C．将①②式分解因式 D．加减消元 【答案】C 【分析】由于组中的两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程，所以先因式分解组中的两个二元二次方程，再解答即可． 【解析】解：∵因式分解①得： ， 因式分解②得： ∴或， 将或代入中得到或， 得到方程组或， 解得：， 故答案为：C． 【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，解题的关键是根据二元二次方程组的特点，进行因式分解． 【典例41】．方程组的解是 ． 【答案】或． 【分析】根据x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）把原方程组变为或再求解即可 ． 【解析】解：∵x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）． ∴x2﹣y2＝0可改写成：x+y＝0或者x﹣y＝0． ∴方程组可以改写为：或． 解得：或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查二元二次方程组的应用，根据乘法公式把二元二次方程组变形为二元一次方程组是解题关键． 【典例42】．解方程组 【答案】 【分析】本题考查解二元二次方程组，将，转化为：，得到或，分别代入第一个方程进行求解即可． 【解析】解：由，得：， ∴或， ∴或， 把代入，得：， 解得：， 当时，， 当时，； 把代入，得：， 解得：， 当时，， 当时，； ∴原方程组的解为：． 【典例43】．解方程组． 【答案】， 【分析】本题考查解二元二次方程组，将二元二次方程化成两个二元一次方程组，分别解出两个二元一次方程组即可． 【解析】解：原方程组可以化为：或．     解方程组，得．     解方程组，得．    ∴原方程组的解为，． 【典例44】．解方程组： 【答案】 或或或 【分析】根据题意利用因式分解，将原方程组化为，然后分类讨论即可求解． 【解析】解： 原方程组可化为 ∴或或或 解得：或或或 ∴原方程组的解为：或或或． 【点睛】本题考查了解二元二次方程组，熟练掌握因式分解法是解题的关键． 【典例45】．解方程组 的解为 【答案】 【分析】首先把方程②变形为y=，然后利用代入法消去y，得到关于x的一元二次方程，解方程求出x，然后就可以求出y，从而求解． 【解析】解：， 由②得:y=③　　　　　　　　　　　 把③代入①得:x2-+4()2+x--2=0. 整理得:4x2-21x+27=0 ∴x1=3　 x2=. 把x=3代入③　得:y=1 把x=代入④　得:y=. ∴原方程组的解为: 【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，解答此类题目一般用代入法比较简单，先消去一个未知数再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可． 【典例46】．已知x，y满足方程组．则的值为（　　） A． B．± C． D．± 【答案】D 【分析】利用加减消元法化简原方程组，得出xy的值，再利用完全平方公式及开平方，得出x+2y的值，然后将要求的式子通分，最后将xy和x+2y的值代入即可得出答案． 【解析】解： ②×3﹣①×2得：3xy+4xy＝108﹣94 ∴xy＝2③ 将③代入②得：x2+4y2＝17 ∴ ＝x2+4y2+4xy ＝17+8 ＝25 ∴x+2y＝5或x+2y＝﹣5 ∴＝＝± 故选：D． 【点睛】本题主要考查解方程组，巧妙地运用加减消元法化简得出的值，再利用完全平方公式得出的值是解题的关键． 题型14：换元法解二元二次方程组 【典例47】．用换元法解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了换元法解方程组．设，，则原方程组可化为，求出，从而得到，求解即可． 【解析】解：设，，则原方程组可化为， 解得， 于是，得， 得， 检验：把，代入原方程组中所含各分式的分母，各分母的值不为零， 原方程组的解是． 【典例48】．解方程组：． 【答案】 【分析】设，，解关于a、b的方程组求出的a、b值，再列出关于x和y的方程组求解即可. 【解析】解：设，， 则原方程组化为：， 解得：， 即， 解得：， 经检验是原方程组的解， 所以原方程组的解是． 【点睛】本题考查换元法解分式方程组，以及二元一次方程组的解法，掌握换元法是解答本题的关键. 【典例49】．（1）解方程组：； （2）解方程组：． 【答案】（1）或；（2） 【分析】（1）先将方程②因式分解为或，再组成两个二元一次方程组求解； （2）设，，将原方程组化为求出m、n的值，再计算，并进行检验． 【解析】.解：（1） 由②得，或， ∴或， 解得或， ∴原方程组的解是或； （2）设，， ∴原方程组可化为， 解得， ∴，即， 解得， 经检验，是原方程组的解， ∴原方程组的解为． 【点睛】此题考查解二元一次方程组及特殊法解分式方程，正确掌握各自的解法并应用是解题的关键． 题型15：二元二次方程组的解的个（组）数 【典例50】．二元二次方程组的解的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先由方程①求出x，y的值，代入②，求解，即可得出结论． 【解析】解：， 由①得x＝﹣1或y＝2， 当x＝﹣1时，代入②得∶y＝1， 当y＝2时， 代入②得∶x＝±， 所以方程组的解或或． 故选：C． 【点睛】本题主要考查解方程的能力，体现数学中化归思想，消元和降次是解此类问题的关键． 【典例51】．二元二次方程组的解的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由①得x-y=0或x+2y=0，原方程组可变为：或，然后用代入消元法求解即可． 【解析】， 由①得 (x-y)(x+2y)=0， ∴x-y=0或x+2y=0， ∴原方程组可变为： 或， 由③得 x=y， 把x=y代入④得 y2+4y=-2， 解得 y=-2±， ∴，； 由⑤得 x=-2y， 把x=-2y代入⑥得 4y2+4y+2=0，即2y2+2y+1=0， ∆=4-8=-4＜0， ∴此时方程无实数根， 综上可知，方程组有两组解：，． 故选B． 【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，熟练掌握代入消元法是解答本题的关键． 【典例52】．方程组的所有整数解的组数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据幂为1，可以判断底数为1，或指数为零，底数不为零，或底数为﹣1，指数为偶数三种情况，分三种情况讨论即可． 【解析】解：∵， ∴y＝1或 或， ①当y＝1时， ∵x+y＝1， ∴x＝0， ∴； ②当x2+3x+2＝0 时， （x+2）（x+1）＝0， 解得x＝﹣2或x＝﹣1， 当x＝﹣2时， ﹣2+y＝1， ∴y＝3， 当x＝﹣1时， ﹣1+y＝1， ∴y＝2， 所以或； ③当y＝﹣1时，﹣1+x＝1， ∴x＝2， 此时 x2+3x+2＝4+6+2＝12， ∴符合题意， 综上所述所有整数解的组数为4， 故选：C． 【点睛】本题考查了方程组的整数解问题，关键是根据幂为1，判断出底数和指数的大小． 【典例53】．方程组的解有（     ）组. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由①+②得：2x²=18，解出x的值，分别代入①求出y即可． 【解析】解：，①+②得：2x²=18,解得：; 把x=3代入①得：， 把x=-3代入①得： ∴方程组的解为：，故选D. 【点睛】本题考查了二元二次方程组和解一元二次方程的应用，关键是能把方程组转化成一元二次方程． 题型16：根据二元二次方程组的解的情况求参数 【典例54】．方程组有两组不同的实数解，则（    ） A．≥ B．＞ C．＜＜ D．以上答案都不对 【答案】B 【分析】将y=x²与y=x+m函数联立，根据解的个数求解即可． 【解析】方程组有两组不同的实数解，两个方程消去y得，，需要△＞0，即1+4m＞0，所以＞,故选B. 【点睛】本题考查了二元二次方程，用到的知识点是加减消元法解方程组，根的判别式、解一元二次方程等知识，关键是根据根的判别式求出m的值． 【典例55】．方程组有四组不同的实数解，则m的取值范围是（  　 ） A． B． C． D．，且 【答案】C 【分析】首先运用代入法将方程组变形，然后利用根的判别式即可得解. 【解析】 由②，得③ 将③代入①，得 ∵方程组有四组不同的实数解， ∴且两根之积 ∴ 故选：C. 【点睛】此题主要考查根据二元二次方程组的解求参数的取值范围，解题关键的利用根的判别式. 一、单选题 1．下列方程中，无理方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据无理方程的定义，逐个判断得结论． 【解析】解：方程，， 是分式方程， 是无理方程． 故选：B． 【点睛】本题考查了无理方程，掌握无理方程的定义是解决本题的关键．注意：根号内含有未知数的方程叫无理方程． 2．在方程①；②；③；④；⑤中，是二元二次方程的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】化简后看含有两个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程有几个即可． 【解析】解：①含有两个未知数但未知数最高次数是1，是二元一次方程； ②含有两个未知数，且未知数的最高次数是2，是二元二次方程； ③含有两个未知数，且未知数的最高次数是2，是二元二次方程； ④未知数在分母中，是分式方程，不是二元二次方程； ⑤含有两个未知数，且未知数的最高次数是2，是二元二次方程． 综上所述，有3个二元二次方程． 故选：C 【点睛】本题考查了对二元二次方程的定义的应用，解题的关键是掌握二元二次方程的定义：含有两个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是二元二次方程. 3．下列正确的是（     ） A．方程的根是和3 B．方程的根是x=5 C．方程的根是 D．方程的根是 【答案】D 【分析】利用利用平方转化整式方程再用因式分解法求解即可 【解析】A、由 得 ， 故选项错误； B、由 得 ∴ ∴ ， 经检验，是方程的解 故选项错误； C、由 得 ∴ ∴ ， 故选项错误； D、由 得 ∴ ， 故答案为:D 【点睛】本题考查了无理方程，利用平方转化整式方程是解无理方程的关键，注意检验方程的根． 4．如果关于的方程有实数根，那么的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把代入方程得出，再求出方程的解即可． 【解析】解：把代入方程， 得：， 两边平方得：， 解得：， 经检验是方程的解， 即， 故选：A． 【点睛】本题考查了解无理方程和方程的解，能把无理方程转化为有理方程是解此题的关键． 5．下列方程中，有实数根的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的判别式、解分式方程、无理方程的方法与步骤逐项判断即可． 【解析】解：A、一元二次方程的判别式，故方程无实数根，故A不符合题意； B、分式方程去分母得，解得，经检验是原方程的解，故选项B符合题意； C、要使根式有意义，则且，即，此时，故C不符合题意； D、，故无实数解，故D不符合题意； 故选B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程、分式方程、无理方程的解的情况，熟练掌握一元二次方程、分式方程与无理方程的解法是解此题的关键． 6．下列说法错误的是（ ） A．是二元二次方程组 B．既是二项方程又是双二次方程 C．是二元二次方程 D．既是分式方程又是无理方程 【答案】D 【分析】元是指方程中所含的未知数，根据分式方程，无理方程，几元几次方程的定义判断即可． 【解析】解：A．是二元二次方程组，正确，故本选项错误； B． 是二项方程，也是双二次方程，正确，故本选项错误； C．是二元二次方程，正确，故本选项错误； D．分式方程是有理方程，不可能是无理方程，错误，故本选项正确； 故选:D． 【点睛】主要考查了分式方程，无理方程，几元几次方程的应用，主要考查学生的理解能力和判断能力． 7．方程组的解的情况是（   　） A．有两组相同的实数解 B．有两组不同的实数解 C．没有实数解 D．不能确定 【答案】B 【分析】首先运用代入法，将方程组进行变形，然后利用根的判别式即可判定. 【解析】 将①代入②，得 故方程有两组不同的实数解， 故选：B. 【点睛】此题主要考查二元二次方程组的求解，熟练掌握，即可解题. 8．在下列方程中，有实数根的方程的个数有（    ） ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】①移项后根据算术平方根的非负性判断即可； ②根据二次根式有意义的条件即可判断； ③把无理方程转化成有理方程，求出方程的解，再进行检验即可； ④根据二次根式的非负性求出即可； ⑤方程两边都乘得出整式方程，求出方程的解，再进行检验即可． 【解析】解：①， ， 不论为何值，不能为， 此方程无实数根； ②， 且， 解得：且， 此时的不存在， 即方程无实数根； ③， 两边平方得：， 即， ， ， 经检验是原方程的解，不是原方程的解， 即方程有实数根； ④， 且， 解得：， 即方程有实数根； ⑤， ， 此方程无实数根； ⑥， 方程两边都乘，得， 解得：， 经检验是增根， 即此方程无实数根； 综合上述，有实数根的方程有个， 故选：B． 【点睛】本题考查了解无理方程，解分式方程，解一元二次方程，根的判别式等知识点，能把无理方程转化成有理方程，能把分式方程转化成转化成整式方程和熟记根的判别式内容是解此题的关键． 9．方程有解但无不同的解时，a=（　　） A．1 B．0 C．﹣ D． 【答案】D 【分析】由题意知，原方程组有解，并且有相同的解，由一元二次方程根的判别式可以知道△=0，将原方程组转化成一元二次方程再利用△=0就可以求出a的值． 【解析】解： 由①﹣②，得4xy=2x， 4xy﹣2x=0 2x（2y﹣1）=0 ∴x=0或y=（与条件不符合，∵y=时方程①、②不相等） ∴当x=0时 y2=a+2y ∴y2﹣2y﹣a=0 ∴△=（﹣2）2﹣4（﹣a）=0 ∴4+4a=0 ∴a=﹣1． 故D答案正确． 故选D． 【点睛】此题考查了解二元二次方程组，利用一元二次方程的判别式求参数，正确掌握解二元二次方程的解法是解题的关键． 10．方程组在实数范围内（　　） A．有1组解 B．有2组解 C．有4组解 D．有多于4组的解 【答案】D 【分析】根据题意，分析分别就a、当x≥0、y≥0时；b、当x≥0、y≤0时；c、当x≤0、y≥0时；当x≤0、y≤0时四种情况，去掉决定值符号，分解因式联立方程，利用根据与系数的关系即是否符号题意，来判断方程组的解． 【解析】解：a、当x≥0、y≥0时，⇒ 由①﹣②得 x2﹣y2﹣5（x+y）=0⇒（x+y）（x﹣y﹣5）=0，即x=﹣y或 x=y+5 ③ 当x=﹣y时，解得x=0，y=0， 当x=y+5时，②③联立得 y2﹣3y+5=0 ∵△=9﹣20=﹣11＜0， ∴无解． b、当x≥0、y≤0时，⇒ 由①﹣②得 x2﹣y2﹣5（x+y）=0⇒（x+y）（x﹣y﹣5）=0，即x=﹣y或x=y+5 ③ 当x=﹣y时，②③联立得 y2+3y=0 解得或 当x=y+5时，②③联立得 y2﹣3y+5=0 ∵△=9﹣20=﹣11＜0， ∴无解． c、当x≤0、y≥0时，⇒由①﹣②得 x2﹣y2+5（x+y）=0⇒（x+y）（x﹣y+5）=0，即x=﹣y或x=y﹣5 ③ 当x=﹣y时，②③联立得 y2﹣3y=0 解得或， 当x=y﹣5时，②③联立得 y2﹣5y+5=0 ∵△=25﹣20=5＞0， ∴方程有两解． d、当x≤0、y≤0时，⇒ 由①﹣②得 x2﹣y2+5（x﹣y）=0⇒（x﹣y）（x+y﹣5）=0，即x=y或x=﹣y+5 ③ 当x=y时，②③联立得 y2+3y=0 解得或（不合题意，舍去） 当x=﹣y+5时，②③联立得 y2+5y﹣5=0 ∵△=25+20=45＞0， ∴方程有两解． 综上所述，方程有7个解． 故选D． 【点睛】本题考查高次方程．解决本题一定要考虑全面，不必解出具体解，只要判断解的个数即可． 二、填空题 11．方程中， 是方程的二次项． 【答案】2x2、3xy、﹣y2 【分析】直接根据方程中次数为2的项是二次项进行解答即可． 【解析】解：由二次项的定义可知，在方程中，2x2、3xy、﹣y2是方程的二次项． 【点睛】本题考查了方程的定义，正确的把握方程的定义是解题的关键． 12．方程的解为 【答案】 【分析】本题考查了解无理方程，将方程两边同时平方，再解方程得出的值，检验即可得出答案． 【解析】解：两边平方得：， 移项得：， 解得：，， 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 13．如果是方程的一个解，那么 ． 【答案】/0.25 【分析】本题考查了二元二次方程的解，解答本题的关键是理解方程的解的定义，即能够使方程左右两边相等的未知数的值． 依据方程的解概念，将方程的解代入方程进行计算，即可得到的值． 【解析】解：把方程的解代入方程，可得： ， ， 解得， 故答案为：． 14．方程组的解为 ． 【答案】或 【分析】利用代入消元法求解即可． 【解析】解： 由题意可知x=3﹣y③，代入xy=2可得 3y﹣y2=2， 变式为y2﹣3y+2＝0，即（y﹣2）（y﹣1）=0， 解得：y=2或y=1， 把y=2代入③得x=1， 把y=1代入③得x=2， ∴方程组的解为或． 故答案为：或． 【点睛】此题考查了二元二次方程组的解法，要熟练应用代入消元法和加减消元法． 15．解方程组时，采用“ ”的方法，将二元二次方程化为 方程，这是一种“ ”的策略． 【答案】 因式分解 二元一次 消元降次 【分析】观察方程组，由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成，其中二元二次方程可以进行因式分解化为二元一次方程，这是采用了“消元降次”的策略. 【解析】由题意，得 该方程组可采用因式分解的方法，将二元二次方程化为二元一次方程，这是一种消元降次策略， 故答案为：因式分解；二元一次；消元降次. 【点睛】此题主要考查二元二次方程组的求解，熟练掌握，即可解题. 16．关于的方程是无理方程，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据无理方程的概念可得结果. 【解析】解：由题意可得： ∵无理方程的根号下含有未知数， ∴m≠0. 故答案为：m≠0. 【点睛】本题考查了无理方程，掌握无理方程的概念是解题的关键. 17．关于的方程无实数根，则的取值范围是 ． 【答案】k＜-1 【分析】根据二次根式的非负性即可知，当时，方程无实数根． 【解析】解：若关于的方程无实数根，则， ∴k＜-1, 故答案为：k＜-1 【点睛】本题考查了无理方程，解题的关键是熟知二次根式的非负性得到当时，方程无实数根． 18．若关于x的方程-2x+m+4020=0存在整数解，则正整数m的所有取值的和为 . 【答案】18 【分析】将原方程变形为m=2x-4020，由m为正整数、被开方数非负，可得出2010≤x≤2018，依此代入各值求出m的值，再将是正整数的m的值相加即可得出结论． 【解析】原题可得：m=2x-4020， ∵m为正整数， ∴m≥0， ∴2x-4020≥0， ∴x≥2010． ∵2018-x≥0， ∴x≤2018， ∴2010≤x≤2018． 当x=2010时，2m=0，m=0，不符合题意； 当x=2011时，m=2，m=，不符合题意； 当x=2012时，m=4，m=，不符合题意； 当x=2013时，m=6，m=，不符合题意； 当x=2014时，2m=8，m=4； 当x=2015时，m=10，m=，不符合题意； 当x=2016时，m=12，m=6，不符合题意； 当x=2017时，m=14； 当x=2018时，0=16，不成立． ∴正整数m的所有取值的和为4+14=18． 故答案为18． 【点睛】本题考查了无理方程，由被开方数非负及m为正整数，找出x的取值范围是解题的关键． 三、解答题 19．（1）解方程：     （2）解方程组： 【答案】（1）（2）或 【分析】本题考查了解二元二次方程组和换元法解一元二次方程，熟练掌握解二元二次方程组和换元法解一元二次方程是本题的关键． （1）设，原方程化为，解一元二次方程求解即可； （2）先把方程组化为或，再解方程组即可． 【解析】（1）解：将原方程变形为：， 设， 原方程化为， 解得：， 当时，，解得， 当时，无解， 检验：把代入原方程，适合， 原方程的解是； （2）解：， ， ， 或， 解得：或． 20．解方程：＝x﹣7． 【答案】x=10 【分析】把方程两边平方去根号后求解． 【解析】解：两边平方，得x-1=（x-7）2， 整理，得x2-15x+50=0， 解得x1=5，x2=10， 经检验：x1=5是增根，x2=10是原方程的根． ∴原方程的根是x=10． 【点睛】本题主要考查解无理方程，解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，本题用了平方法，注意最后要把求得的x的值进行检验． 21．解方程组： 【答案】，. 【分析】先设=m，=n，则x=m2-1，y=n2+2，然后将方程化为一元二次方程，然后解答即可． 【解析】解：设=m，=n，则x=m2-1，y=n2+2， 原方程组可化为 把m+n=5看作①，把看作②， 由①，得m =5-n③ ③代入②，得（5-n）2+n2=13， 整理，得2n2-10n+12=0， 即n2-5n+6=0， 解这个方程，得n =2或3， ∴ ∴原方程组的解为． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组与无理方程，将二次根式与无理方程转化为一元二次方程是解题的关键． 22．解方程：2x2﹣3x+2x1． 【答案】x＝1 【分析】根据完全平方公式，把原方程进行变形，然后化为整式方程，即可求出方程的解． 【解析】解：x2+2xx2﹣3x+3＝4， ∴（x）2＝4， ∴x2或x2， 当x2时， 则2﹣x， 化为整式方程得：， 解得：x＝1； 当x2， 则x﹣2， 化为整式方程得： 解得：x； 经检验，原方程的解为x＝1． 【点睛】本题考查了解无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．解无理方程，往往会产生增根，应注意验根． 23．解方程组： ． 【答案】 ， 【分析】注意到可分解为，从而将原高次方程组转换为两个二元一次方程组求解. 【解析】解：由得，即或， ∴原方程组可化为或. 解得；解得. ∴原方程组的解为，. 24．(1)解方程组：       (2)解方程组： 【答案】（1）或；（2） 【分析】（1）由得，将其代入求出y的值，再根据y的值分别求出对应的x的值即可； （2）设，，方程组变形后求出A，B的值，然后得到关于x，y的方程组，再求出x，y即可． 【解析】解：（1）由得：， 将代入得：， 整理得：， 解得：或， 将代入得：， 将代入得：， 故原方程组的解为：或； （2）设，， 则原方程组变为：， 解得：， ∴， 解得：， 经检验，是方程组的解． 【点睛】本题考查了解二元二次方程组以及解分式方程组，熟练掌握代入消元法以及换元法是解题的关键． 25．解方程： （1）                    （2） 【答案】（1）；（2）， 【分析】（1）将移到方程右边，然后两边平方后化简即可求解； （2）将方程变形为，然后采用换元法求解； 【解析】解：（1） 经检验是原方程的解． （2） 令， 则原方程变形为 ∴， 当时，，无解； 当时， 整理得， ∴， 经检验，，是原方程的解． 【点睛】本题考查解无理方程，采用平方法消去根号和换元法是解题的关键，最后注意验根． 26．解方程 (1)解无理方程：﹣＝1； (2)已知关于x的方程+m+x＝3有一个实数根是x＝1，试求m的值． 【答案】(1)x＝4 (2)m＝2 【分析】（1）将移项到方程右边，方程两边平方，求出x的值，检验即可； （2）把x＝1代入方程，方程两边平方，转化为整式方程，解整式方程，最后检验即可． 【解析】（1）解：方程变形为：， 方程两边平方得：， ∴， 解得：x＝4． 检验：当x＝4时，左边＝1，右边＝1， ∴原方程的根为x＝4； （2）解：把x＝1代入方程化简得：， 方程两边平方得：m﹣2＝4﹣4m+m2， 解得：m＝2或3， 检验：当m＝2时，左边＝右边； 当m＝3时，左边≠右边． ∴m＝2． 【点评】本题考查了无理方程，把无理方程转化为整式方程是解题的关键，解无理方程最后要检验． 27．已知方程组有两组相等的实数解，求的值，并求出此时方程组的解. 【答案】,当时 ;当时 【分析】联立方程组，△＝0即可求m的值，再将m的值代入原方程组即可求方程组的解； 【解析】解： 把②代入①后计算得， ∵方程组有两组相等的实数解， ∴△＝（12m）2−4（2m2+1）•12＝0， 解得：， 当时，解得 当时，解得 【点睛】本题考查了解二元二次方程组，能把二元二次方程组转化成一元一次方程是解题关键． 28．k为何值时，方程组． （1）有两组相等的实数解； （2）有两组不相等的实数解； （3）没有实数解． 【答案】（1）k=1；（2）k<1且k≠0；（3）k>1 【分析】（1）将方程组转化为k2x2+（2k﹣4）x+1＝0，用根的判别式，列出方程求解即可； （2）同（1）用根的判别式，列出不等式求解即可； （3）通过讨论k＝0和k≠0，根据方程无实根，确定k的范围即可． 【解析】解：将（2）代入（1），整理得k2x2+（2k-4）x+1=0（3）， （1）当时，方程（3）有两个相等的实数根． 即 解得：，　 ∴当k=1时，原方程组有两组相等的实数根． （2）当时，方程（3）有两个不相等的实数根． 即 解得：， ∴当k<1且k≠0时，原方程组有两组不等实根． （3）①若方程（3）是一元二次方程，无解条件是， 即 解得：，　∴k＞1． ②若方程（3）不是二次方程，则k=0，此时方程（3）为-4x+1=0，它有实数根x=． 综合①和②两种情况可知，当k>1时，原方程组没有实数根． 【点睛】本题考查了二次方程组根的情况，解题关键是把方程组转化为方程，再分类讨论，利用根的判别式进行求解． 29．阅读材料：求解一元一次方程，需要根据等式的基本性质，把方程转化为的形式；求解二元一次方程组，需要通过消元把它转化为一元一次方程来解；求解三元一次方程组，要把它转化为二元一次方程组来解；求解一元二次方程，需要把它转化为连个一元一次方程来解；求解分式方程，需要通过去分母把它转化为整式方程来解；各类方程的解法不尽相同，但是它们都用到一种共同的基本数学思想——转化，即把未知转化为已知来求解. 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程. 例如，解一元三次方程，通过因式分解把它转化为，通过解方程和，可得原方程的解. 再例如，解根号下含有来知数的方程：，通过两边同时平方把它转化为，解得：. 因为，且，所以不是原方程的根，是原方程的解. （1）问题：方程的解是，__________，__________； （2）拓展：求方程的解. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用因式分解法，即可得出结论； （2）先方程两边平方转化成整式方程，再求一元二次方程的解，最后必须检验. 【解析】（1）∵x3+x2-2x=0， ∴x（x-1）（x+2）=0 ∴x=0或x-1=0或x+2=0， ∴x1=0，x2=1，x3=-2， 故答案为1，-2；； （2），（） 给方程两边平方得： 解得：，（不合题意舍去）， ∴是原方程的解； 【点睛】主要考查了根据材料提供的方法解高次方程，无理方程，理解和掌握材料提供的方法是解题的关键. 2 / 52 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 无理方程 二元二次方程组（十六大题型） 学习目标 1、 理解无理方程的概念，会识别无理方程 2、 知道解无理方程的一般步骤，知道解无理方程必须验根，并掌握验根的方法. 3、 知道二元二次方程的概念和二元二次方程组的概念 4、 掌握由“代入法”解由一个二元一次方程和二元二次方程组成的方程组； 5、 掌握用“因式分解法”解由两个二元二次方程组成的方程组； 一、无理方程 方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程. 要点：简单说，根号下含有未知数的方程，就是无理方程． 二、有理方程 整式方程和分式方程统称为有理方程. 三、代数方程 有理方程和无理方程统称为代数方程. 要点： 代数方程的共同点是：其中对未知数所涉及的运算是加、减、乘、除、乘方、开方等基本运算. 四、解无理方程的一般步骤 1.含有一个根式（根式内有未知数的）的无理方程的解题步骤： ①移项，使方程左边是含未知数的根式，其余都移到另一边； ②两边同时乘方（若二次根式就平方，三次根式就立方）得整式方程； ③解整式方程； ④验根； ⑤写答案. 要点：解简单无理方程的一般步骤，用流程图表示为： 2.含有两个根式（根式内含有未知数）的无理方程的解题步骤： ①移项，使方程等式的左边只含一个根式，其余移到另一边； ②两边同时平方，得到只含有一个根式的无理方程； 以下与1步骤相同. 要点：解无理方程的关键在于把它转化为有理方程，转化的基本方法是对方程两边同时乘方从而去掉根号，对于简单的无理方程，可通过“方程两边平方”来实施。 五、二元二次方程 1. 定义：仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程. 要点： （a、b、c、d、e、f都是常数，且a、b、c中至少有一个不为零），其中叫做这个方程的二次项，a、b、c分别叫做二次项系数，叫做这个方程的一次项，d、e分别叫做一次项系数，f叫做这个方程的常数项. 2.二元二次方程的解 能使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元二次方程的解. 要点：二元二次方程有无数个解；二元二次方程的实数解的个数有多种情况. 六、二元二次方程组 1.概念：仅含有两个未知数，各方程都是整式方程，并且含有未知数的项的最高次数为2，这样的方程组叫做二元二次方程组. 要点：不能认为由两个二元二次方程组成的方程组才叫二元二次方程组，由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，也是二元二次方程组. 2. 二元二次方程组的解: 方程组中所含各方程的公共解叫做这个方程组的解. 七、二元二次方程组的解法 1. 代入消元法 代入消元法解“二·一”型二元二次方程组的一般步骤： ①把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示； ②把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程； ③解这个一元二次方程，求得未知数的值； ④把所求得的未知数的值分别代入二元一次方程，求得另一个未知数的值； 　⑤所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解； ⑥写出原方程组的解. 要点：（1）解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二·一”型方程组； （2）“二·一”型方程组最多有两个解，要防止漏解和增解的错误. 2、因式分解法 　(1) 当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二·一”型方程组，解得这两个“二·一”型方程组，所得的解都是原方程组的解. 　　(2) 当方程组中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组成新的方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程组的解. 【即学即练1】下列方程中，无理方程是（    ） A． B． C． D． 【即学即练2】解方程 【即学即练3】解方程组：． 【即学即练4】下列说法正确的是（    ） A．是二元二次方程 B．是分式方程 C．是无理方程 D．是二项方程 【即学即练5】下列方程中，有实数根的是（   ） A． B． C． D． 题型1：无理方程的概念 【典例1】．根号内含有 的方程叫做无理方程； 和 统称为有理方程． 【典例2】．下列方程是无理方程的是（    ） A． B． C． D． 【典例3】．下列方程为无理方程的是（   ） A． B． C． D． 题型2：解无理方程 【典例4】．方程：的解为 【典例5】．方程的解为 ． 【典例6】．方程的解是 ． 【典例7】．方程的根为 ． 【典例8】．解方程 【典例9】．解方程：． 【典例10】．解方程： 【典例11】．． 【典例12】．已知，则的值为 ． 题型3：将无理方程换元法化成整式方程 【典例13】．解方程时，设 换元后，整理得关于y的整式方程是 ． 【典例14】．用换元法解方程时，可设，则原方程可化为关于的整式方程为 ． 题型4：判断是否有实数根 【典例15】．下列方程，有实数解的是（    ） A． B． C． D． 【典例16】．下列方程有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【典例17】．在下列方程中，无实数根的方程有（    ） ①；    ②；    ③； ④；    ⑤；    ⑥． A．2 B．3 C．4 D．5 题型5：根据根的情况求参数范围 【典例18】．如果方程无实数解，那么的取值范围是 ． 【典例19】．关于x的方程有两个不相等的实数解，则k的范围为 ． 【典例20】．如果关于x的无理方程没有实数根，那么m的取值范围是 ． 题型6：无理方程的代数应用 【典例21】．下面是小明同学解无理方程3﹣＝x的过程： 原方程可变形为3﹣x＝……（第一步） 两边平方，得3﹣x＝2x﹣3……（第二步） 整理，得﹣3x＝6……（第三步） 解得x＝2……（第四步） 检验：把x＝2分别代入原方程的两边，左边＝3﹣＝2，右边＝2，左边＝右边，可知x＝2是原方程的解．……（第五步） 所以，原方程的解是x＝2．……（第六步） 请阅读上述小明的解题过程，并完成下列问题： （1）以上小明的解题过程中，从第 　 　步开始出错； （2）请完成正确求解方程3﹣＝x的过程． 【典例22】．某同学作业本上做了这么一道题：“当a=时，试求a+的值”，其中是被墨水弄污的，该同学所求得的答案为 ，请你判断该同学答案是否正确，说出你的道理． 题型7：无理方程的阅读材料题 【典例23】．请阅读：小毛在解方程时采用了课本以外的方法： 由， 又有，可得，将这两式相加可得， 将两边平方可解得，经检验是原方程的解． 请你参考小毛独特的方法，解决下列问题： 已知，则a的值为 ． 【典例24】．自变量x的不同取值范围有着不同的解析式的函数称为分段函数．对于分段函数，当时的函数值为，当时的函数值为，若当时，函数值，那么的值为 ． 题型8：二元二次方程（组）的概念 【典例25】．在下列方程中，不是二元二次方程的有（   　） A．； B．xy＝3； C．； D．． 【典例26】．下列方程组中，为二元二次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【典例27】．下列方程组是二元二次方程组的是（  　  ） A． B． C． D． 题型9：代数方程的综合辨析 【典例28】．下列说法正确的是（    ） A．是分式方程 B．是二项方程 C．是无理方程 D．是二元二次方程组 【典例29】．下列说法中，正确的个数有（　　） （1）关于的方程既是分式方程，又是无理方程； （2）关于的方程是二项方程； （3）关于、的方程是二元二次方程； （4）关于的方程是无理方程． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【典例30】．下列说法正确的是（    ） A．是分式方程 B．是无理方程 C．是二元二次方程组 D．是二项方程 题型10：二元二次方程（组）的解 【典例31】． （填“是”或“不是”）方程组的解． 【典例32】．已知 （填“是”或“不是”）方程的解． 【典例33】．写出二元二次方程的一对整数解是 ． 题型11：将二元二次方程化为二元一次方程 【典例34】．二元二次方程可以化为两个一次方程，它们是 ． 【典例35】．将二元二次方程化为二个二元一次方程为 ． 题型12：写出满足条件的二元二次方程（组） 【典例36】．试写出一个二元二次方程，使该方程有一个解是，你写的这个方程是 写出一个符合条件的即可． 【典例37】．写出一个由二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组 ，使它的解是和． 【典例38】．写出一个由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，使它的解是；，那么该方程组可以是 ． 题型13：解二元二次方程组 【典例39】．由方程组消去y后化简得到的方程是（　　） A．2x2﹣2x﹣6＝0 B．2x2+2x+5＝0 C．2x2+5＝0 D．2x2﹣2x+5＝0 【典例40】．解方程组的可行方法是（    ） A．将①式分解因式 B．将②式分解因式 C．将①②式分解因式 D．加减消元 【典例41】．方程组的解是 ． 【典例42】．解方程组 【典例43】．解方程组． 【典例44】．解方程组： 【典例45】．解方程组 的解为 【典例46】．已知x，y满足方程组．则的值为（　　） A． B．± C． D．± 题型14：换元法解二元二次方程组 【典例47】．用换元法解方程组： 【典例48】．解方程组：． 【典例49】．（1）解方程组：； （2）解方程组：． 题型15：二元二次方程组的解的个（组）数 【典例50】．二元二次方程组的解的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典例51】．二元二次方程组的解的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例52】．方程组的所有整数解的组数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【典例53】．方程组的解有（     ）组. A．1 B．2 C．3 D．4 题型16：根据二元二次方程组的解的情况求参数 【典例54】．方程组有两组不同的实数解，则（    ） A．≥ B．＞ C．＜＜ D．以上答案都不对 【典例55】．方程组有四组不同的实数解，则m的取值范围是（  　 ） A． B． C． D．，且 一、单选题 1．下列方程中，无理方程是（    ） A． B． C． D． 2．在方程①；②；③；④；⑤中，是二元二次方程的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列正确的是（     ） A．方程的根是和3 B．方程的根是x=5 C．方程的根是 D．方程的根是 4．如果关于的方程有实数根，那么的值是（  ） A． B． C． D． 5．下列方程中，有实数根的方程是（    ） A． B． C． D． 6．下列说法错误的是（ ） A．是二元二次方程组 B．既是二项方程又是双二次方程 C．是二元二次方程 D．既是分式方程又是无理方程 7．方程组的解的情况是（   　） A．有两组相同的实数解 B．有两组不同的实数解 C．没有实数解 D．不能确定 8．在下列方程中，有实数根的方程的个数有（    ） ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥． A．个 B．个 C．个 D．个 9．方程有解但无不同的解时，a=（　　） A．1 B．0 C．﹣ D． 10．方程组在实数范围内（　　） A．有1组解 B．有2组解 C．有4组解 D．有多于4组的解 二、填空题 11．方程中， 是方程的二次项． 12．方程的解为 13．如果是方程的一个解，那么 ． 14．方程组的解为 ． 15．解方程组时，采用“ ”的方法，将二元二次方程化为 方程，这是一种“ ”的策略． 16．关于的方程是无理方程，则的取值范围是 ． 17．关于的方程无实数根，则的取值范围是 ． 18．若关于x的方程-2x+m+4020=0存在整数解，则正整数m的所有取值的和为 . 三、解答题 19．（1）解方程：     （2）解方程组： 20．解方程：＝x﹣7． 21．解方程组： 22．解方程：2x2﹣3x+2x1． 23．解方程组： ． 24．(1)解方程组：       (2)解方程组： 25．解方程： （1）                    （2） 26．解方程 (1)解无理方程：﹣＝1； (2)已知关于x的方程+m+x＝3有一个实数根是x＝1，试求m的值． 27．已知方程组有两组相等的实数解，求的值，并求出此时方程组的解. 28．k为何值时，方程组． （1）有两组相等的实数解； （2）有两组不相等的实数解； （3）没有实数解． 29．阅读材料：求解一元一次方程，需要根据等式的基本性质，把方程转化为的形式；求解二元一次方程组，需要通过消元把它转化为一元一次方程来解；求解三元一次方程组，要把它转化为二元一次方程组来解；求解一元二次方程，需要把它转化为连个一元一次方程来解；求解分式方程，需要通过去分母把它转化为整式方程来解；各类方程的解法不尽相同，但是它们都用到一种共同的基本数学思想——转化，即把未知转化为已知来求解. 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程. 例如，解一元三次方程，通过因式分解把它转化为，通过解方程和，可得原方程的解. 再例如，解根号下含有来知数的方程：，通过两边同时平方把它转化为，解得：. 因为，且，所以不是原方程的根，是原方程的解. （1）问题：方程的解是，__________，__________； （2）拓展：求方程的解. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$