第09讲 整式方程 分式方程(七类知识点+十二大题型+强化训练)-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（沪教版）

第09讲 整式方程 分式方程（十二大题型） 学习目标 1、 知道一元整式方程与高次方程的有关概念 2、 理解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的概念，掌握它们的基本解法. 3、 理解和掌握二项方程的意义以及二项方程的解法； 4、 了解分式方程的概念； 5、 经历探索可化为一元二次方程的分式方程求解方法的过程，知道求解分式方程的一般步骤. 6、 掌握“去分母”法解分式方程，知道可能产生增根，掌握验根的方法. 一、一元整式方程 1. 一元整式方程：如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式,这个方程叫做一元整式方程; 2.一元n次方程：一元整式方程中含未知数的项的最高次数是(是正整数),这个方程叫做一元次方程. 3.一元高次方程 概念：一元整式方程中含有未知数的项的最高次数是，若次数是大于2的正整数，这样的方程统称为一元高次方程。 要点：一元高次方程应具备：整式方程;只含一个未知数;含未知数的项最高次数大于2次. 二、二项方程 1.概念：如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程. 要点：①=0（a≠0）是非常特殊的n次方程，它的根是0.②这里所涉及的二项方程的次数不超过6次. 2.一般形式： 3. 二项方程的基本方法:是（开方） 4.解的情况： 当n为奇数时，方程有且只有一个实数根，； 当n为偶数时，如果ab<0，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如果ab>0，那么方程没有实数根. 三、双二次方程 1.概念：只含有偶数次项的一元四次方程. 要点：当常数项不是0时，规定它的次数为0. 2.一般形式： 3.解题的一般步骤：换元——解一元二次方程——回代 4.解双二次方程的常用方法：因式分解法与换元法（目的是降次，使它转化为一元一次方程或一元二次方程）通过换元，把双二次方程转化为一元方程体现了“降次”的策略。 要点：解高于一次的方程，基本思想就是“降次”，对有些高次方程，可以用因式分解的方法降次。用因式分解的方法时要注意：一定要使方程的一边为零，另一边可以因式分解。 知识点四、分式方程 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 要点：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. （2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程看联系：分式方程可以转化为整式方程. 五、求解可化为一元二次方程的分式方程的步骤. 六、分式方程的解法 1、解分式的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 2、解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 要点：1、熟练掌握用“去分母”法求解分式方程的方法. 2、了解用“换元法”解特殊的分式方程（组）. 3、领会分式方程“整式化”的化归思想和方法. 七、解分式方程产生增根的原因 方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根. 产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 要点：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根. （2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的. 【即学即练1】解关于的方程： 【即学即练2】判断下列方程是不是二项方程，如果是二项方程，求出它的根。 【即学即练3】判断下列方程是不是双二次方程，如果是，求出它的根： （1） （2） （3） （4） 【即学即练4】下列哪些是分式方程？哪些是可化为一元二次方程的分式方程？ 【即学即练5】解方程： 题型1：整式方程的有关概念 【典例1】．下列方程是一元高次方程的是（　　） A．x+3＝0 B．x2﹣3x﹣1＝0 C．x3+2x+＝0 D．x4+1＝0 【典例2】．下面四个方程中是整式方程的是（　　）． A． B． C． D． 题型2：二项方程 【典例3】．下列方程中，是二项方程的是（     ） A．； B．； C．； D． 【典例4】．下列方程中，是二项方程的为（    ） A． B． C． D． 【典例5】．下列方程中，是二项方程的是（    ） A．； B．； C．； D．． 【典例6】．在下列关于的方程中，不是二项方程的是( ) A． B． C． D． 【典例7】．关于方程，下列说法正确的是（    ） A．它是二项方程 B．它的解是 C．它是高次方程 D．都是它的解 题型3：根据二项方程的概念求参数 【典例8】．已知关于x的方程是二项方程，那么 ． 【典例9】．试写出一个二项方程，使得它有一个解为x=1，这个二项方程可以是 ． 题型4：按要求写出二项方程 【典例10】．已知关于x的方程是二项方程，则m= ． 【典例11】．试写出一个二项方程，这个方程可以是 . 题型5：整式方程的解 【典例12】．方程的解是 ．（保留三位小数）． 【典例13】．方程的根是 ． 【典例14】．方程x3﹣x＝0在实数范围内的解是 【典例15】．二项方程的实数解是 ． 【典例16】．方程的解是 ．（保留三位小数）． 题型6：分式方程的概念 【典例17】．下列方程：①；②；③；④．其中，分式方程有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【典例18】．已知方程：①；②③；④．这四个方程中，分式方程的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 题型7：解分式方程 【典例19】．解方程：． 【典例20】．解方程： 【典例21】．解方程组： 【典例22】．解下列分式方程. (1). (2). 题型8：将分式方程化为整式方程 【典例23】．解方程时，设，则原方程可化为关于的整式方程是（    ） A． B． C． D． 【典例24】．用换元法解分式方程，如果设，那么原方程化为关于的整式方程是（    ） A． B． C． D． 【典例25】．用换元法解方程，设，则得到关于的整式方程为 ． 【典例26】．用换元法解方程时，设则原方程可变形为（    ） A． B． C． D． 【典例27】．用换元法解方程时，下列换元方法中最合适的换元方法是　（   ） A．设 B．设 C． D． 题型9：增根问题 【典例28】．已知关于的方程有增根，则的值是 ． 【典例29】．若关于的分式方程有增根，则的值为 【典例30】．若关于x的分式方程有增根，则m的值为 ． 题型10：无解问题 【典例31】．关于的分式方程无解，则的值为 ． 【典例32】．若关于x的分式方程无解，则k的值是 ． 【典例33】．若关于的分式方程无解，则的值为 ． 题型11：根据分式方程的解求参数范围 【典例34】．如果关于x的分式方程的解为正数，那么a的取值范围是 ． 【典例35】．若关于x的方程的解是正数，则m的取值范围为 ． 题型12：分式方程与一元一次不等式组 【典例36】．如果数使关于的分式方程的解为正数，且使关于的不等式组的解集为，那么符合条件的所有整数的和为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【典例37】．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【典例38】．若实数a使关于x的不等式组有且仅有4个整数解，且关于y的分式方程的解为正数，满足条件的整数a的值的和为 ． 一、单选题 1．下列方程中，是关于的一元三次方程的是（　　） A． B． C． D．（为非零常数） 2．下列方程是一元高次方程的是（　　） A．x+3＝0 B．x2﹣3x﹣1＝0 C．x3+2x+＝0 D．x4+1＝0 3．下面四个方程中是整式方程的是（　　）． A． B． C． D． 4．下列方程中：（1）；（2）；（3）；（4）；是二项方程的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 5．如果关于的方程无解，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D．任意实数 6．关于分式方程的解，下列说法正确的是（　　） A．解是x＝2 B．解是x＝4 C．解是x＝﹣4 D．无解 7．用换元法解分式方程+1＝0时，如果设＝y，那么原方程可以变形为整式方程（　　） A．y2﹣3y﹣1＝0 B．y2+3y﹣1＝0 C．y2﹣y﹣1＝0 D．y2+y﹣1＝0 8．若关于x的分式方程无解，则m的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 9．关于的分式方程的解为非负数，求的取值范围（   ） A． B．且 C．且 D． 10．已知关于的分式方程的解为整数，且关于的不等式组有解且至多有2个整数解，则符合条件的整数有（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 11．试写出一个二项方程，使得它有一个解为x=1，这个二项方程可以是 ． 12．有一个解为，那么这个方程的另一个解为 ． 13．已知关于x的方程是二项方程，则m= ． 14．方程的解是 ． 15．方程 的解是 ． 16．若关于x的方程无实根，则m取值范围是 ． 17．用换元法解方程，如果设，那么原方程可以化为关于y的整式方程为 ． 18．方程的解为 ． 三、解答题 19．解关于x的方程： 20．解下列关于x的方程                         21．解方程：． 22．解方程：． 23．解方程：． 24．解方程组：． 25．用换元法解方程组：． 26．用换元法解方程：x2﹣x﹣=4． 27．已知关于x的分式方程+＝． (1)若方程有增根，求k的值． (2)若方程的解为负数，求k的取值范围． 28．已知：， (1)化简分式； (2)若关于的分式方程：的解是非负数，求的取值范围； (3)当取什么整数时，分式的值为整数． 29．已知，关于的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求为何值时，分式方程无解； (3)若，为正整数，分式方程的解为整数时，求的值． 30．新定义：如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”. 若不是，打“×”． ①（   ）；②（   ）； ③（   ）； ④（   ）； (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值； (3)若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 整式方程 分式方程（十二大题型） 学习目标 1、 知道一元整式方程与高次方程的有关概念 2、 理解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的概念，掌握它们的基本解法. 3、 理解和掌握二项方程的意义以及二项方程的解法； 4、 了解分式方程的概念； 5、 经历探索可化为一元二次方程的分式方程求解方法的过程，知道求解分式方程的一般步骤. 6、 掌握“去分母”法解分式方程，知道可能产生增根，掌握验根的方法. 一、一元整式方程 1. 一元整式方程：如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式,这个方程叫做一元整式方程; 2.一元n次方程：一元整式方程中含未知数的项的最高次数是(是正整数),这个方程叫做一元次方程. 3.一元高次方程 概念：一元整式方程中含有未知数的项的最高次数是，若次数是大于2的正整数，这样的方程统称为一元高次方程。 要点：一元高次方程应具备：整式方程;只含一个未知数;含未知数的项最高次数大于2次. 二、二项方程 1.概念：如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程. 要点：①=0（a≠0）是非常特殊的n次方程，它的根是0.②这里所涉及的二项方程的次数不超过6次. 2.一般形式： 3. 二项方程的基本方法:是（开方） 4.解的情况： 当n为奇数时，方程有且只有一个实数根，； 当n为偶数时，如果ab<0，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如果ab>0，那么方程没有实数根. 三、双二次方程 1.概念：只含有偶数次项的一元四次方程. 要点：当常数项不是0时，规定它的次数为0. 2.一般形式： 3.解题的一般步骤：换元——解一元二次方程——回代 4.解双二次方程的常用方法：因式分解法与换元法（目的是降次，使它转化为一元一次方程或一元二次方程）通过换元，把双二次方程转化为一元方程体现了“降次”的策略。 要点：解高于一次的方程，基本思想就是“降次”，对有些高次方程，可以用因式分解的方法降次。用因式分解的方法时要注意：一定要使方程的一边为零，另一边可以因式分解。 四、分式方程 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 要点：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. （2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程看联系：分式方程可以转化为整式方程. 五、求解可化为一元二次方程的分式方程的步骤. 六、分式方程的解法 1、解分式的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 2、解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 要点：1、熟练掌握用“去分母”法求解分式方程的方法. 2、了解用“换元法”解特殊的分式方程（组）. 3、领会分式方程“整式化”的化归思想和方法. 七、解分式方程产生增根的原因 方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根. 产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 要点：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根. （2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的. 【即学即练1】解关于的方程： 【思路点拨】解含字母系数的方程时，先化为最简形式，再考虑有解、无解、无穷多解的模式。然后进行分类讨论． 【答案】原方程可化为： 当，即时，方程有唯一解为：； 当，即时，方程无解． 【总结升华】解含字母系数的方程时，先化为最简形式，再根据系数是否为零进行分类讨论． 【即学即练2】判断下列方程是不是二项方程，如果是二项方程，求出它的根。 【答案】：（1）、（3）是二项方程，（2）、（4）不是二项方程。下面解方程（1）、（3）： （1）移项，得 x3=64 开方，得 即 x=4 （3）开方，得 即 【即学即练3】判断下列方程是不是双二次方程，如果是，求出它的根： （1） （2） （3） （4） 【答案】：（1）、（4）是双二次方程，（2）、（3）不是双二次方程。 下面解方程（1）、（4）： （1） 设x2=y，则，于是原方程可化为 y2-9y+14=0 解这个关于y的方程，得 y1=2，y2=7 由y1=2，得x2=2，解得 由y2=7，得x2=7，解得 所以，原方程的根是 =，=，=，= （4）设x2=y，则，于是原方程可化为 y2+9y+20=0 解这个关于y的方程，得 y1=-4，y2=-5 由y1=-4，得x2=-4，它没有实数根； 由y2=-5，得x2=-5，它也没有实数根 所以，原方程没有实数根。 【即学即练4】下列哪些是分式方程？哪些是可化为一元二次方程的分式方程？ 【答案】（1），（2），（4）是分式方程，（3）是分式，不是方程. （4）是可化为一元二次方程的分式方程. 【总结升华】严格按照分式方程的定义来判断：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.去分母后再来判断是否能化成一元二次方程. 【即学即练5】解方程： 【答案】 解：方程两边都乘，得 ， 解得． 经检验，为原方程增根（舍去）． ∴原方程无解． 题型1：整式方程的有关概念 【典例1】．下列方程是一元高次方程的是（　　） A．x+3＝0 B．x2﹣3x﹣1＝0 C．x3+2x+＝0 D．x4+1＝0 【答案】D 【分析】根据一元高次方程的定义：只含一个未知数，未知项的最高次数大于等于3的整式方程，即可得出答案． 【解析】解：这四个方程都只含一个未知数， ∵A，B中未知数的项的次数小于等于2， ∴A，B选项不是一元高次方程，不符合题意， ∵C中分母中含有未知数， ∴是分式方程， ∴C选项不符合题意， ∵D符合一元高次方程定义：只含一个未知数，未知项的最高次数大于等于3的整式方程， ∴D选项符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元高次方程的定义，注意几元几次方程都首先是整式方程． 【典例2】．下面四个方程中是整式方程的是（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据整式方程与分式方程的定义解答．分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程进行判断． 【解析】A. 分母中含有求知数，是分式方程，不符合题意； B. 即为，分母中含有求知数，是分式方程，不符合题意； C. 两边都是含未知数的整式，是整式方程； D. 分母中含有求知数，是分式方程，不符合题意. 故选C. 【点睛】本题考查了整式方程的定义．判断一个方程是否为整式方程，主要是依据整式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数． 题型2：二项方程 【典例3】．下列方程中，是二项方程的是（     ） A．； B．； C．； D． 【答案】C 【分析】二项方程的左边只有两项，其中一项含未知数x，这项的次数就是方程的次数；另一项是非0常数项；结合选项进行判断即可． 【解析】A. 中两项都含未知数x，所以不是二项方程； B. 中有三项，所以不是二项方程；     C. 其中一项含未知数x，另一项是非0常数项，所以是二项方程； D. 中有三项，所以不是二项方程. 故选C. 【点睛】本题考查了二项方程的定义，注意二项方程只有两项，一项含未知数，一项是非0常数． 【典例4】．下列方程中，是二项方程的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二项方程的左边只有两项，其中一项含未知数x，另一项是常数项；方程的右边是0，结合选项进行判断即可． 【解析】解：A．不是二项方程，方程右边不等于0，不符合题意； B．不是二项方程，方程左边没有常数项，不符合题意； C．是二项方程，符合题意； D．不是二项方程，方程左边只有一项，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查二项方程的定义，注意二项方程的左边只有两项，一项含未知数，一项是常数，右边为0，熟练掌握二项方程的定义是解决问题的关键． 【典例5】．下列方程中，是二项方程的是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】D 【分析】如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程．据此可以判断． 【解析】解：，有2个未知数项，故A选项不合题意； ，没有非0常数项，故B选项不合题意； ，有2个项，故C选项不合题意； ，D选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了二项方程，解题关键点为理解二项方程的定义． 【典例6】．在下列关于的方程中，不是二项方程的是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二项方程的定义逐个判断得结论． 【解析】解：把各方程移项，使等号右边为，满足二项方程的是A、B、C， 由于方程D移项后左边是三项，故选项D不是二项方程． 故选：D． 【点睛】本题考查了二项方程的定义，二项方程的左边只有两项，其中一项含未知数，这项的次数就是方程的次数；另一项是常数项；方程的右边是． 【典例7】．关于方程，下列说法正确的是（    ） A．它是二项方程 B．它的解是 C．它是高次方程 D．都是它的解 【答案】C 【分析】由于方程，所以方程的未知数是一个，次数是3次，由此即可确定选择项． 【解析】解：A、二项方程应该是为正整数，故本选项不符合题意； B、方程，整理得，由于，所以它的解是，故本选项不符合题意； C、它是高次方程，故本选项符合题意； D、方程，整理得，由于，所以它的解是，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了高次方程的定义，二项方程的定义，解高次方程，解题的关键是抓住高次方程是整式方程，同时要抓住未知数的个数和次数才能正确解决问题． 题型3：根据二项方程的概念求参数 【典例8】．已知关于x的方程是二项方程，那么 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了二项方程的定义，根据关于x的方程是二项方程，即不含这一项，可得． 【解析】解：∵关于x的方程是二项方程， ∴． 故答案为：0． 【典例9】．试写出一个二项方程，使得它有一个解为x=1，这个二项方程可以是 ． 【答案】x2-1=0（答案不唯一） 【分析】按要求写出二项、有一个解为1的方程即可． 【解析】解：二项方程，使得它有一个解为x=1，这样的方程不唯一， 比如：x2-1=0，x-1=0等， 故答案为：x2-1=0（答案不唯一）． 【点睛】本题考查项及方程的解等概念的应用，属开放性题目，答案不唯一，解题的关键是理解项、方程的解等概念． 题型4：按要求写出二项方程 【典例10】．已知关于x的方程是二项方程，则m= ． 【答案】1 【分析】根据方程项数的概念得出，求出m即可． 【解析】解：∵关于x的方程是二项方程， ∴，即， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了高次方程，利用方程的项数得出关于m的方程是解题的关键． 【典例11】．试写出一个二项方程，这个方程可以是 . 【答案】二项方程可以是x2-1=0(答案不唯一). 【分析】根据二项方程定义写出即可.只含有未知数的一项和非零的常数项的一元方程，一般形式是（a、b 是不为0的常数）. 【解析】解：二项方程可以是x2-1=0(答案不唯一). 【点睛】本题考查了方程的项数的定义，掌握定义是关键. 题型5：整式方程的解 【典例12】．方程的解是 ．（保留三位小数）． 【答案】 【分析】先求出，再利用计算器求出即可． 【解析】解：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解高次方程和近似数和有效数字，能求出是解此题的关键． 【典例13】．方程的根是 ． 【答案】或/或 【分析】将方程化为二项方程，因式分解法解方程即可求解． 【解析】解：， 即， ∴， ∵， ∴， 即， ， 或， 经检验，或，是原方程的解， 方程的根是或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了解二项方程，将方程因式分解是解题的关键． 【典例14】．方程x3﹣x＝0在实数范围内的解是 【答案】x1＝0，x2＝-1，x3＝1． 【分析】利用因式分解法解方程即可． 【解析】解：x3﹣x＝0， x（x2﹣1）＝0， x（x+1）（x﹣1）＝0， x＝0或x+1＝0或x﹣1＝0， 解得：x1＝0，x2＝﹣1，x3＝1， 故答案为：x1＝0，x2＝-1，x3＝1． 【点睛】本题考查了解高次方程，能把解高次方程转化成解低次方程是解此题的关键． 【典例15】．二项方程的实数解是 ． 【答案】 【分析】本题考查高次方程的解法，关键在于降次，利用开平方降次是关键．先求的解，再求实数解即可． 【解析】解：， ， ， （负值舍去）， ， 故答案为：． 【典例16】．方程的解是 ．（保留三位小数）． 【答案】 【分析】先求出，再利用计算器求出即可． 【解析】解：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解高次方程和近似数和有效数字，能求出是解此题的关键． 题型6：分式方程的概念 【典例17】．下列方程：①；②；③；④．其中，分式方程有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】根据分式方程的定义对各小题进行逐一分析即可． 【解析】①的分母中含有未知数，是分式方程； ②是整式方程； ③是整式方程； ④的分母中含有未知数，是分式方程． 故选：C． 【点睛】本题考查的是分式方程的定义，熟知分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解答此题的关键． 【典例18】．已知方程：①；②③；④．这四个方程中，分式方程的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】分母中含有未知数的方程叫分式方程，根据定义判断即可． 【解析】解：根据定义可知，①②③为分式方程，④不是分式方程， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式方程的定义，熟记定义是解题的关键． 题型7：解分式方程 【典例19】．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，先去分母，化简为，再去括号合并同类项得，再运用因式分解法进行解方程，注意验根，即可作答． 【解析】解：∵ ∴ ∴ ∴ 则 解得 经检验：是原分式方程的解；是原分式方程的增根 ∴方程的解为 【典例20】．解方程： 【答案】 【分析】运用乘法公式，分式的性质解分式方程即可． 【解析】解： 方程两边同时乘以：，得：，整理得：， ∴，解得：， 经检验：是增根，故舍去， ∴原方程的根是． 【点睛】本题主要考查解分式方程，掌握乘法公式，解分式方程的方法是解题的关键． 【典例21】．解方程组： 【答案】 【分析】设，，则原方程组可化为，解二元一次方程组得，得到，，进而推出，，再次利用加减消元法解方程即可，注意最后需要检验． 【解析】设，， 则原方程组可化为， 得：， 解得：， 将代入②得，， ∴，， ∴，， ∴， 得：， 解得：， 将代入③得，， 经检验：，，是原方程组的解， ∴方程组的解为： 【点睛】本题主要考查用换元法解分式方程组，加减消元法解二元一次方程组，理解并熟练掌握对应方程的解法是解题的关键． 【典例22】．解下列分式方程. (1). (2). 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）将方程两边同乘，进行计算，检验即可得； （2）方程两边同时通分，得进行计算，检验即可得． 【解析】（1）解： 将方程两边同乘，得， 整理，得， 解得，， 经检验，是原分式方程的解； （2）解： 方程两边同时通分，得 整理，得 或 解得，，， 经检验，，都是原分式方程的解． 【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的方法． 题型8：将分式方程化为整式方程 【典例23】．解方程时，设，则原方程可化为关于的整式方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，设，代入得，再左右同乘化简即可． 【解析】， ， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了换元法将分式方程化为整式方程，换元代入是解题的关键． 【典例24】．用换元法解分式方程，如果设，那么原方程化为关于的整式方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，原方程可化为，去分母把分式方程化成整式方程，即可得出答案． 【解析】解：设， 分式方程可化为， 化为整式方程：， 故选：A． 【点睛】本题考查了换元法解分式方程，掌握换元法及正确把分式方程化成整式方程是解决问题的关键． 【典例25】．用换元法解方程，设，则得到关于的整式方程为 ． 【答案】 【分析】设，则，转化后再进一步整理得到整式方程即可． 【解析】解：设， ∴， 则原方程为：， 整理得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了用换元法解分式方程，掌握换元法、变量代换法，通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来，或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化是解题的关键． 【典例26】．用换元法解方程时，设则原方程可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知方程变形后，将代入即可得到结果． 【解析】解：根据题意得：，即， 由，得到方程化为关于y的整式方程是， 故选：C． 【点睛】此题考查了换元法解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【典例27】．用换元法解方程时，下列换元方法中最合适的换元方法是　（   ） A．设 B．设 C． D． 【答案】C 【分析】设，则原方程化为，从而可得答案. 【解析】解：，设， ∴， 整理得：， 故选C 【点睛】本题考查的是利用换元法解分式方程，熟练的换元是解本题的关键. 题型9：增根问题 【典例28】．已知关于的方程有增根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，先解分式方程，求出分式方程的解，再求出分式方程的增根，进而由分式方程的解等于增根即可求解，理解分式方程有增根即最简公分母的值等于是解题的关键． 【解析】解：方程两边乘以得，， ∴， ∵方程有增根， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【典例29】．若关于的分式方程有增根，则的值为 【答案】 【分析】本题考查分式方程有增根的问题，去分母将方程转化为整式方程，将代入整式方程，进行求解即可． 【解析】解：方程去分母，得：， ∵方程有增根， ∴把代入，得：， 解得：； 故答案为：1． 【典例30】．若关于x的分式方程有增根，则m的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查分式方程，根据解分式方程的方法去分母，把分式方程化为整式方程；接下来把增根的值代入到整式方程中，就可以求出m的值了． 【解析】解： 方程两边都乘以，得： ∵方程有增根， ∴最简公分母，即增根是． 把代入整式方程，得： 解得，． 故答案为：3． 题型10：无解问题 【典例31】．关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型．根据分式方程无解的两种情况即可求出的值． 【解析】解： 去分母得， ， 当增根为或时， 或 解得或， 即或时，分式方程无解， 当时，即时，整式方程无解，分式方程无解， 综上可知，当的值为或或． 故答案为：或或 【典例32】．若关于x的分式方程无解，则k的值是 ． 【答案】或 【分析】先将分式方程去分母，化为整式方程，再进行分类讨论：①当整式方程无解时，②当分式方程有增根时，即可求解． 【解析】解：去分母得：， 整理得：， ①当整式方程无解时：，解得：； ②当分式方程有增根时：， 则，解得：， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了解分式方程无解的情况，解题的关键是熟练掌握解分式方程的方法和步骤，以及分式方程无解的情况． 【典例33】．若关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查分式方程无解，无解包含两种情况：一种是解为增根，一种是在解方程的过程中未知数被消掉的情况，根据两种情况分析得到包含m的方程即可求解．先假设方程有解，利用含有m的代数式表示方程的解，再根据解可判断出该方程无解符合根为增根的情况，将方程中的分母等于0，算出增根，得到m的方程即可求解． 【解析】解：假设方程有解，解得：， ∵该方程无解， ∴， ∴， ∵， ∴是该方程的增根， ∴， ∴． 综上，m的值为或． 故答案为：或． 题型11：根据分式方程的解求参数范围 【典例34】．如果关于x的分式方程的解为正数，那么a的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据解分式方程的一般步骤，可得分式方程的解，根据解为正数，可得不等式，根据解不等式，可得答案． 【解析】解：， ， 解得：， ， ， 即， 解得， 因为解为正数， ， 即， 解得， 故答案为：且． 【点睛】此题考查分式方程的解；解题关键在于根据解为正数，可得不等式再求出解集. 【典例35】．若关于x的方程的解是正数，则m的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，求出方程的解是解题的关键．先用含m的代数式表示x，再根据解为正数，列出关于m的不等式，求解即可． 【解析】解：由，得：且， ∵关于的方程的解是正数， ∴且， 解得：且， 故答案是：且． 题型12：分式方程与一元一次不等式组 【典例36】．如果数使关于的分式方程的解为正数，且使关于的不等式组的解集为，那么符合条件的所有整数的和为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程与解一元一次不等式组，正确求解方程与不等式组是关键；先解分式方程，根据解为正数求得a的范围；再解不等式组，根据解集为可求得a的范围，最后求得所有整数a并相加即可． 【解析】解：解得：， 则有， ∴； 但，即， ∴且； 解第一个不等式得：；解第二个不等式得：； 由题意知，， 综上，a的取值范围为， ∴a取整数3，4，5， 其和为12． 故选：B． 【典例37】．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】解不等式组，结合题意，得出，再解分式方程，可得，再根据关于y的分式方程的解是正整数，且，即可确定满足条件的整数a的个数． 【解析】解：， 解不等式，可得：， 解不等式，可得：， ∵关于x的一元一次不等式组的解集为， ∴， ∴， 解分式方程， 解得：， ∵关于y的分式方程的解是正整数，且， ∴满足条件的的取值为： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴满足条件的整数有4个． 故选：B 【点睛】本题考查了分式方程的解和解一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程和解不等式组的步骤是解题的关键． 【典例38】．若实数a使关于x的不等式组有且仅有4个整数解，且关于y的分式方程的解为正数，满足条件的整数a的值的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组、解分式方程，先解不等式组的解集，再根据已知不等式组有且仅有4个整数解确定a的取值范围；解分式方程，根据方程的解是正数列不等式求出a的取值范围，进而求出a的值，然后求和即可． 【解析】解： 解①得 解②得 ∵不等式组有且仅有4个整数解 ∴ ∴ 两边都乘以，得 ∴ ∵分式方程的解为正数 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴且 ∴满足条件的整数a的值有： ∴满足条件的整数a的值的和为 故答案为： 一、单选题 1．下列方程中，是关于的一元三次方程的是（　　） A． B． C． D．（为非零常数） 【答案】D 【分析】根据一元三次方程的定义：一个未知数，含未知数的项的最高次数为3的整式方程，进行判断即可． 【解析】解：A．，整理，得：，当为负数时，不是一元三次方程，不符合题意； B．不是整式方程，不符合题意； C．，整理得：，没有3次项，不符合题意； D．（为非零常数）整理，得：（为非零常数），是一元三次方程，符合题意； 故选． 【点睛】本题考查一元三次方程的识别．熟练掌握一元三次方程的定义，是解题的关键． 2．下列方程是一元高次方程的是（　　） A．x+3＝0 B．x2﹣3x﹣1＝0 C．x3+2x+＝0 D．x4+1＝0 【答案】D 【分析】根据一元高次方程的定义：只含一个未知数，未知项的最高次数大于等于3的整式方程，即可得出答案． 【解析】解：这四个方程都只含一个未知数， ∵A，B中未知数的项的次数小于等于2， ∴A，B选项不是一元高次方程，不符合题意， ∵C中分母中含有未知数， ∴是分式方程， ∴C选项不符合题意， ∵D符合一元高次方程定义：只含一个未知数，未知项的最高次数大于等于3的整式方程， ∴D选项符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元高次方程的定义，注意几元几次方程都首先是整式方程． 3．下面四个方程中是整式方程的是（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据整式方程与分式方程的定义解答．分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程进行判断． 【解析】A. 分母中含有求知数，是分式方程，不符合题意； B. 即为，分母中含有求知数，是分式方程，不符合题意； C. 两边都是含未知数的整式，是整式方程； D. 分母中含有求知数，是分式方程，不符合题意. 故选C. 【点睛】本题考查了整式方程的定义．判断一个方程是否为整式方程，主要是依据整式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数． 4．下列方程中：（1）；（2）；（3）；（4）；是二项方程的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据两项方程的定义直接判断得结论． 【解析】解：（1），符合二项方程的定义； （2），当a=0时，不符合二项方程的定义； （3），两项都含有未知数，不符合二项方程的定义； （4），有三项，不具备二项方程的定义， 综上，只有（1）符合二项方程的条件，共1个． 故选：A． 【点睛】本题考查了二项方程的定义，二项方程需满足以下几个基本条件：（1）整式方程，（2）方程共两项，（3）两项中一项含有未知数，一项是常数项． 5．如果关于的方程无解，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D．任意实数 【答案】B 【分析】根据ax=b中当a=0,b≠0方程无解可知当m+2=0时关于的方程无解． 【解析】解：由题意得 当m+2=0时关于的方程无解 解得m=-2， 故选B． 【点睛】本题考查了解一元一次方程无解的情况，根据题意得出关于m+2=0是解题关键． 6．关于分式方程的解，下列说法正确的是（　　） A．解是x＝2 B．解是x＝4 C．解是x＝﹣4 D．无解 【答案】D 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解析】解：去分母得：1﹣x＝﹣1， 解得：x＝2， 经检验x＝2是增根，分式方程无解． 故选：D． 【点睛】本题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件． 7．用换元法解分式方程+1＝0时，如果设＝y，那么原方程可以变形为整式方程（　　） A．y2﹣3y﹣1＝0 B．y2+3y﹣1＝0 C．y2﹣y﹣1＝0 D．y2+y﹣1＝0 【答案】D 【分析】根据换元法，把换成y，然后整理即可得解． 【解析】解：∵＝y， ∴原方程化为． 整理得：y2+y﹣1＝0． 故选D． 【点睛】本题考查的是换元法解分式方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 8．若关于x的分式方程无解，则m的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】先化分式方程为整式方程，分系数中含m和不含m两种情况求解，含m用一元一次方程的无解知识求解；不含m时，用分式方程的增根求解． 【解析】将方程去分母得到： ， 即， ∵分式无解， ∴ 将代入中， 解得， 故选D． 【点睛】本题考查分式方程无解的情况，正确理解分式方程无解的意义得到整式方程的解是解题的关键． 9．关于的分式方程的解为非负数，求的取值范围（   ） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查解分式方程和一元一次不等式，根据分式方程的求解方法，注意分母不为零，且解为非负数的条件． 【解析】解：解分式方程的解为， ∵分式方程的解为非负数， ∴且， 解得：且， 故选C． 10．已知关于的分式方程的解为整数，且关于的不等式组有解且至多有2个整数解，则符合条件的整数有（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先解分式方程，再根据分式方程的解为整数求出的范围，然后解不等式组，最后根据不等式组至多有2个整数解确定的值即可解答． 【解析】解：， ， ∴， ∴， ∵分式方程的解为整数， ∴为整数，且， ∴， ∵， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴该不等式的解集为 又∵该不等式组有解且至多有2个整数解， ∴， ∴， 综上所述，符合条件的整数的值为， 共计4个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分式方程的解以及一元一次不等式的整数解，熟练掌握相关知识是解题关键． 二、填空题 11．试写出一个二项方程，使得它有一个解为x=1，这个二项方程可以是 ． 【答案】x2-1=0（答案不唯一） 【分析】按要求写出二项、有一个解为1的方程即可． 【解析】解：二项方程，使得它有一个解为x=1，这样的方程不唯一， 比如：x2-1=0，x-1=0等， 故答案为：x2-1=0（答案不唯一）． 【点睛】本题考查项及方程的解等概念的应用，属开放性题目，答案不唯一，解题的关键是理解项、方程的解等概念． 12．有一个解为，那么这个方程的另一个解为 ． 【答案】 【分析】将代入原方程求出m的值，再把m的值代回原方程，通过直接开平方法解原方程，得到方程的两个解，可得答案． 【解析】将代入方程，得，即， 故原方程为：， 移项，得：， 两边直接开4次方，得：或， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解二项方程，根据方程的解求得字母的值是解题的关键． 13．已知关于x的方程是二项方程，则m= ． 【答案】1 【分析】根据方程项数的概念得出，求出m即可． 【解析】解：∵关于x的方程是二项方程， ∴，即， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了高次方程，利用方程的项数得出关于m的方程是解题的关键． 14．方程的解是 ． 【答案】和 【分析】方程两边同时乘以，把分式方程化成整式方程，解整式方程检验后，即可得出分式方程的解． 【解析】解：方程两边同时乘以得：， ， 解得：，， 当时，， 当时，， ∴分式方程的解为和． 【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键，注意解分式方程要检验根． 15．方程 的解是 ． 【答案】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解析】解：去分母得：， 移项合并得：， 检验：当时，， ∴分式方程的解为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 16．若关于x的方程无实根，则m取值范围是 ． 【答案】或 【分析】将分式方程转化为整式方程，分两种情况，整式方程无解和分式方程有增根，进行求解即可． 【解析】解：将分式方程转化为整式方程为：， 整理得：， ∵分式方程无实数根， ①整式方程无实数根，则：，解得：； ②分式方程有增根，则：， ∴， 当时：，解得：， 当时：，解得：， 综上：m取值范围是或； 故答案为：或． 【点睛】本题考查分式方程解的情况求参数的取值范围．解题的关键是熟练掌握分式方程无实数根的两种情况，正确的计算． 17．用换元法解方程，如果设，那么原方程可以化为关于y的整式方程为 ． 【答案】 【分析】利用换元法，进行转化，再将分式方程转化为整式方程即可． 【解析】解：设， 则原方程化为：， 去分母，得：，即：； 故答案为：． 【点睛】本题考查换元法解分式方程．熟练掌握换元法，以及将分式方程转化为整式方程的方法，是解题的关键． 18．方程的解为 ． 【答案】 【分析】先由，，，，将原方程化简为，进行计算即可得到答案． 【解析】解：，，，， ， ， 即， 解得：， 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，根据将式子化简为，是解题的关键． 三、解答题 19．解关于x的方程： 【答案】 【分析】方程两边都除以b，再移项即可得出答案． 【解析】解：去括号，得bx-3b=4， 移项，得bx=3b +4， 由题意知b≠0， ∴方程两边同除以b得，， 方程的解为． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，把b看作已知数是解题的关键． 20．解下列关于x的方程                         【答案】（1）当a≠0时，原方程的根是；当a=0时，原方程无解；（2）当b+1＞0时，原方程的根是，；当b+1＜0时，原方程没有实数根. 【分析】（1）对原方程去括号、移项、合并同类项后分情况进行求解即可. （2）对原方程去括号、移项、合并同类项、化简后分情况进行求解即可. 【解析】（1）去括号，得  3ax-2x=6-2x 移项，得    3ax-2x+2x=6 合并同类项，得    3ax=6      ※ 当a≠0时，方程※是一元一次方程，解得   ； 当a=0时，方程※变成  0·x=6，这时不论x取什么值，等式0·x=6都不成立，因此方程无解. 所以，当a≠0时，原方程的根是；当a=0时，原方程无解. （2）移项，得  bx2+x2=1+1 合并同类项，得（b+1）x2=2 因为b≠-1，所以b+1≠0 两边同除以b+1，得      ※ 当b+1＞0时，由方程※解得  ； 当b+1＜0时，方程※中，这时方程没有实数根. 所以，当b+1＞0时，原方程的根是，； 当b+1＜0时，原方程没有实数根. 【点睛】本题考查了解一元一次方程与一元二次方程，关键是运用合适的方法把一元二次方程转化为一元一次方程，在求解过程中要注意分情况讨论方程是否有实根. 21．解方程：． 【答案】 【分析】方程两边同乘以，化成整式方程，再利用因式分解法解一元二次方程即可得． 【解析】解：， 方程两边同乘以，得， 去括号，得， 移项，得， 因式分解，得， 解得或， 经检验，不是原分式方程的解；是原分式方程的解， 所以方程的解为． 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题关键．需注意的是，分式方程的解一定要进行检验． 22．解方程：． 【答案】，． 【分析】首先移项，再两边同时乘以4得到，开方得到，最后两边直接开平方即可得到两个一元一次方程，再解一元一次方程即可． 【解析】解：∵， ∴， ∴，或（舍去）， 则或， 解得，． 【点睛】此题主要考查了解高次方程，解这类问题要把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，利用数的开方求解． 23．解方程：． 【答案】 【分析】去分母，整理得，求出方程的根，最后检验． 【解析】解： 整理得：    解得：， 经检验是原方程的根， 是原方程的增根，舍去． 所以，原方程的根为 【点睛】此题考查了解分式方程，解题的关键是熟悉分式方程求解过程． 24．解方程组：． 【答案】 【分析】设，，可解得，即得，可解得，再检验，即可得答案． 【解析】解：设，，则原方程组变形为： ， 解得， ，即， 解得， 经检验，是原方程组的解， 原方程组的解为：． 【点睛】本题考查解分式方程，解题的关键是用换元法把方程组变形． 25．用换元法解方程组：． 【答案】 【分析】设，，得出，进而将原方程组化为关于a，b的二元一次方程组，解方程组求出a，b，可得，，进而得出关于x，y的二元一次方程组进行求解即可． 【解析】解：设，， 则原方程组可化为：， ①－②得：， 解得：， 把代入②得：， ∴，， ∴， ③＋④，得2x＝， 解得x＝， 把x＝代入①，得y＝， 故原方程组的解为． 【点睛】此题考查了换元法解分式方程以及解二元一次方程组，将方程进行适当的变形是解本题的关键． 26．用换元法解方程：x2﹣x﹣=4． 【答案】 【分析】方程的两个部分是倒数关系，所以可设，可用换元法转化为关于y的分式方程，先求y，再求x，最后检验一下结果． 【解析】设， 则原方程变形为， 即， 解得， 当y=-2时，， 因为，所以此方程无实数根， 当y=6时，， 解方程得：， 检验：把分别代入原方程的分母，分母都不等于0， 所以原方程的根是：． 【点睛】换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧． 27．已知关于x的分式方程+＝． (1)若方程有增根，求k的值． (2)若方程的解为负数，求k的取值范围． 【答案】(1)k的值为6或﹣8 (2)k＜﹣1，且k≠﹣8 【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有增根，得到最简公分母为0，代入整式方程计算即可求出k的值． （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x，根据解为负数求出k的范围即可； 【解析】（1）分式方程去分母得：4（x﹣1）+3（x+1）＝k， 由这个方程有增根，得到x＝1或x＝﹣1， 将x＝1代入整式方程得：k＝6， 将x＝﹣1代入整式方程得：k＝﹣8， 则k的值为6或﹣8． （2）分式方程去分母得：4（x﹣1）+3（x+1）＝k， 去括号合并得：7x﹣1＝k，即x＝， 根据题意得：＜0，且≠1且≠﹣1， 解得：k＜﹣1，且k≠﹣8． 【点睛】本题考查分式方程的解得情况，解分式方程的基本方法是一化二解三检验，分式方程的增根是使最简公分母为0的未知数的值． 28．已知：， (1)化简分式； (2)若关于的分式方程：的解是非负数，求的取值范围； (3)当取什么整数时，分式的值为整数． 【答案】(1) (2)且 (3)当时，分式的值为；当时，分式的值为0；当时，分式的值为；当时，分式的值为0 【分析】（1）将分式的分子、分母分解因式，将除法化为乘法，约分计算即可； （2）将A、B的值代入解方程，根据解是非负数，得到，计算即可； （3）将A利用完全平方公式及整式加减法添括号法则变形为，由值为整数得到x的值，代入计算． 【解析】（1）解： ； （2）解：由题意： ， ， ． ∵解是非负数， ∴ ∴． ∵即， ∴， 解得， ∴且； （3）解： ． 当时，分式的值为； 当时，分式的值为0； 当时，分式的值为； 当时，分式的值为0． 【点睛】此题考查了分式的除法运算法则，解分式方程，正确掌握分式的分解，运算法则，完全平方公式是解题的关键． 29．已知，关于的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求为何值时，分式方程无解； (3)若，为正整数，分式方程的解为整数时，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)3，55 【分析】（1）将的值代入分式方程，解分式方程即可得到答案； （2）把的值代入分式方程，将分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论的值使分式方程无解即可； （3）把代入分式方程，将分式方程化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和为正整数即可确定的值． 【解析】（1）解：把，代入分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入， 所以原分式方程的解是； （2）解：把代入分式方程， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， ①当时，即，方程无解， ②当时，， 时，分式方程无解，即，不存在； 时，分式方程无解，即，， 综上所述，或时，分式方程无解； （3）解：把代入分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 整理得：， ∵，且为正整数，为整数， ∴必为65的因数，， ∵， ∴65的因数有1，5，13，65， 1，5小于11， 可以取13，65这两个数，对应地，方程的解为0，4，对应地，的值为3，55， 满足条件的可取3，55这两个数． 【点睛】本题考查分式方程的计算，熟练掌握解分式方程的步骤是解决问题的前提条件，分式方程无解的两种情况要熟知：一是分式方程去分母后的整式方程无解，二是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根． 30．新定义：如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”. 若不是，打“×”． ①（   ）；②（   ）； ③（   ）； ④（   ）； (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值； (3)若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 【答案】(1)①；②；③；④ (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，学生的理解能力以及知识的迁移能力等知识，理解“关联数对”的定义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义分别判断即可； （2）根据“关联数对”定义计算即可； （3）根据“关联数对”定义，结合方程的解为整数，计算即可． 【解析】（1）解：当，时，分式方程为，， ∵， ∴①不是关于的分式方程的“关联数对”； 当，时，分式方程为， 解得：， ， ②不是关于的分式方程的“关联数对”； 当，时，分式方程为， 解得， ， ③是关于的分式方程的“关联数对”； 当，时，分式方程为， 此方程无解， ④是关于的分式方程的“关联数对”； 故答案为：①；②；③；④． （2）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”， ， 解得：， ， 解得； （3）解：数对，且，是关于的分式方程的“关联数对”， ，， ， 解得， ∵可化为， ∴， 解得：， 方程有整数解， 整数，即， 又，， ． 2 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $$