5.3.2函数的极值与最大（小）值的综合练习（人教A版2019选必二）-2024-2025学年寒假高二数学同步练习（全国通用）

5.3.2函数的极值与最大（小）值的综合练习 1．若函数f(x)＝x3＋x2＋m在[－2，1]上的最大值为，则m等于(　　) A．0　　　　　　　　　 B．1 C．2 D. 2．函数f(x)＝2＋，x∈(0，5]的最小值为(　　) A．2 B．3 C. D．2＋ 3．若函数f(x)＝asin x＋sin 3x在x＝处有最值，则a等于(　　) A．2 B．1 C. D．0 4．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若M＝m，则f′(x)(　　) A．等于0 B．大于0 C．小于0 D．无法判断 5．已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝x＋1，若f(x1)＝g(x2)，则x1－x2的最小值为(　　) A．2－2ln 2 B．－2ln 2－2 C．4－2ln 2 D．－2ln 2－4 6．若x＝3为函数f(x)＝x2－ax－3ln x的极值点，则函数f(x)的最小值为(　　) A．－ B．－ C．－－3ln 3 D．3－3ln 3 7．内接于半径为R的球且体积最大的圆柱体的高为________． 8．已知函数f(x)＝，若函数在区间(其中a>0)上存在最大值，则实数a的取值范围是________． 9．已知a为常数，求函数f(x)＝－x3＋3ax(0≤x≤1)的最大值． 10．某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品需向总公司缴纳5元的管理费，根据多年的管理经验，预计当每件产品的售价为x元时，产品一年的销售量为 (e为自然对数的底数)万件．已知每件产品的售价为40元时，该产品一年的销售量为500万件，经物价部门核定，每件产品的售价x最低不低于35元，最高不超过41元． (1)求k的值； (2)求分公司经销该产品一年的利润L(x)(万元)与每件产品的售价x(元)的函数关系式； (3)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L(x)最大，并求出L(x)的最大值． 11．若直线y＝ax＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则2a＋b的最小值为(　　) A．2ln 2 B．ln 2 C.ln 2 D．1＋ln 2 12．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其容积最大，则其高应为(　　) A. cm B. cm C．5 cm D. cm 13．若函数f(x)＝ln x＋x2－bx在[1，＋∞)上单调递增，则b的最大值是________． 14．已知函数f(x)＝ln x＋. (1)当a<0时，求函数f(x)的单调区间； (2)若函数f(x)在[1，e]上的最小值是，求a的值． 15．【多选题】若f(x)＝xa·cos x，x∈的最大值为M，则(　　) A．当a＝－1时，M< B．当a＝2时，M< C．当a＝1时，M> D．当a＝3时，M< 16．已知函数f(x)＝有最大值，则实数a的取值范围是________． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.3.2函数的极值与最大（小）值的综合练习 1．若函数f(x)＝x3＋x2＋m在[－2，1]上的最大值为，则m等于(　　) A．0　　　　　　　　　 B．1 C．2 D. 答案　C 解析　f′(x)＝3x2＋3x＝3x(x＋1)， 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝－1. 因为f(0)＝m，f(－1)＝m＋， f(1)＝m＋，f(－2)＝m－2， 所以f(1)＝m＋最大， 所以m＋＝，所以m＝2.故选C. 2．函数f(x)＝2＋，x∈(0，5]的最小值为(　　) A．2 B．3 C. D．2＋ 答案　B 解析　f′(x)＝－＝，令f′(x)＝0，得x＝1.当x∈(0，1)时，f′(x)<0；当x∈(1，5]时，f′(x)>0.故当x＝1时，f(x)最小，最小值为f(1)＝3. 3．若函数f(x)＝asin x＋sin 3x在x＝处有最值，则a等于(　　) A．2 B．1 C. D．0 答案　A 解析　∵x∈R，且f(x)在x＝处有最值，∴x＝是函数f(x)的极值点．又∵f′(x)＝acos x＋cos 3x(x∈R)，∴f′＝acos ＋cos π＝0，解得a＝2.经检验，符合题意． 4．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若M＝m，则f′(x)(　　) A．等于0 B．大于0 C．小于0 D．无法判断 答案　A 解析　由题意，知在区间[a，b]上，有m≤f(x)≤M，当M＝m时，令M＝m＝C，则必有f(x)＝C，∴f′(x)＝C′＝0.故选A. 5．已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝x＋1，若f(x1)＝g(x2)，则x1－x2的最小值为(　　) A．2－2ln 2 B．－2ln 2－2 C．4－2ln 2 D．－2ln 2－4 答案　C 解析　设f(x1)＝g(x2)＝t，则x1＝et，x2＝2t－2， 所以x1－x2＝et－2t＋2，令h(t)＝et－2t＋2， 则h′(t)＝et－2， 令h′(t)<0⇒t<ln 2，则函数h(t)在(－∞，ln 2)单调递减， 令h′(t)>0⇒t>ln 2，则函数h(t)在(ln 2，＋∞)单调递增， 所以h(t)min＝h(ln 2)＝eln 2－2ln 2＋2＝4－2ln 2， 即x1－x2的最小值为4－2ln 2.故选C. 6．若x＝3为函数f(x)＝x2－ax－3ln x的极值点，则函数f(x)的最小值为(　　) A．－ B．－ C．－－3ln 3 D．3－3ln 3 答案　C 解析　f′(x)＝x－a－， 因为x＝3是函数f(x)的极值点， 所以f′(3)＝3－a－1＝0，则a＝2， 所以f′(x)＝x－2－＝， 当x∈(0，3)时，f′(x)<0，当x∈(3，＋∞)时，f′(x)>0， 所以函数f(x)在(0，3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增， 所以f(x)min＝f(3)＝－－3ln 3.故选C. 7．内接于半径为R的球且体积最大的圆柱体的高为________． 答案　R 解析　作轴截面如图，设圆柱高为2h，则底面半径为，0<h<R. 圆柱体体积为V＝π(R2－h2)·2h＝2πR2h－2πh3. 令V′＝0，得2πR2－6πh2＝0. ∴h＝R(负值舍去)，即当2h＝R时，圆柱体的体积最大． 8．已知函数f(x)＝，若函数在区间(其中a>0)上存在最大值，则实数a的取值范围是________． 答案　 解析　因为f(x)＝，x>0， 所以f′(x)＝－. 当0<x<1时，f′(x)>0；当x>1时，f′(x)<0. 所以f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减，所以函数f(x)在x＝1处取得极大值，也为最大值． 因为函数f(x)在区间(其中a>0)上存在最大值， 所以解得<a<1. 9．已知a为常数，求函数f(x)＝－x3＋3ax(0≤x≤1)的最大值． 解析　f′(x)＝－3x2＋3a＝－3(x2－a)． 若a≤0，则f′(x)≤0且不恒为0，函数f(x)单调递减， 所以当x＝0时，f(x)有最大值f(0)＝0. 若a>0，则令f′(x)＝0，解得x＝±. 因为x∈[0，1]， 所以只考虑x＝的情况． ①若0<<1，即0<a<1，则当0≤x<时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当<x≤1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以当x＝时，f(x)有最大值f()＝2a. ②若≥1，即a≥1，则当0≤x≤1时，f′(x)≥0且不恒为0，函数f(x)在[0，1]上单调递增，当x＝1时，f(x)有最大值f(1)＝3a－1. 综上可知，当a≤0，x＝0时，f(x)有最大值0； 当0<a<1，x＝时，f(x)有最大值2a； 当a≥1，x＝1时，f(x)有最大值3a－1. 10．某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品需向总公司缴纳5元的管理费，根据多年的管理经验，预计当每件产品的售价为x元时，产品一年的销售量为 (e为自然对数的底数)万件．已知每件产品的售价为40元时，该产品一年的销售量为500万件，经物价部门核定，每件产品的售价x最低不低于35元，最高不超过41元． (1)求k的值； (2)求分公司经销该产品一年的利润L(x)(万元)与每件产品的售价x(元)的函数关系式； (3)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L(x)最大，并求出L(x)的最大值． 解析　(1)由题意可知，每件产品的售价为40元时，该产品一年的销售量为500万件，即＝500，解得k＝500e40. (2)L(x)＝(x－30－5)×＝(35≤x≤41)． (3)L′(x)＝＝. 令L′(x)<0，得36<x≤41， 令L′(x)>0，得35≤x<36. ∴L(x)在区间[35，36)上单调递增，在区间(36，41]上单调递减， 即当x＝36时，L(x)max＝L(36)＝500e4. ∴当每件产品的售价为36元时，分公司一年的利润最大，最大值为500e4. 11．若直线y＝ax＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则2a＋b的最小值为(　　) A．2ln 2 B．ln 2 C.ln 2 D．1＋ln 2 答案　B 解析　设直线y＝ax＋b与曲线y＝ln x相切的切点为(x0，ln x0)，由y＝ln x求导得y′＝， 于是则b＝ln x0－1，2a＋b＝＋ln x0－1， 设f(x)＝＋ln x－1，x>0，求导得f′(x)＝－＋＝， 当0<x<2时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x>2时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增， 因此当x＝2时，f(x)min＝ln 2， 所以2a＋b的最小值为ln 2.故选B. 12．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其容积最大，则其高应为(　　) A. cm B. cm C．5 cm D. cm 答案　D 解析　设圆锥形漏斗底面半径为r cm，高为h cm，则h2＋r2＝202.所以r＝，所以漏斗容积V＝πr2h＝π·(400－h2)h＝π(400h－h3)(0<h<20)． 所以V′＝π(400－3h2)， 令V′＝0，得h＝或h＝－(舍去)． 当0<h<时，V′>0，当<h<20时，V′<0.所以当h＝时，V最大．故选D. 13．若函数f(x)＝ln x＋x2－bx在[1，＋∞)上单调递增，则b的最大值是________． 答案　3 解析　函数f(x)＝ln x＋x2－bx在[1，＋∞)上单调递增⇔f′(x)＝＋2x－b≥0且不恒为0在[1，＋∞)上恒成立，即b≤＋2x在[1，＋∞)上恒成立， 令g(x)＝＋2x，x≥1，则g′(x)＝2－＝>0在[1，＋∞)上恒成立，故g(x)在[1，＋∞)上单调递增， 则g(x)≥g(1)＝3，故b≤3，则b的最大值是3. 14．已知函数f(x)＝ln x＋. (1)当a<0时，求函数f(x)的单调区间； (2)若函数f(x)在[1，e]上的最小值是，求a的值． 解析　函数f(x)＝ln x＋的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝－＝. (1)∵a<0，∴f′(x)>0， 故函数在(0，＋∞)上单调递增． ∴f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间． (2)当x∈[1，e]时，分如下情况讨论： ①当a≤1时，f′(x)≥0且不恒为0，函数f(x)单调递增，其最小值为f(1)＝a≤1，这与函数在[1，e]上的最小值是相矛盾，故舍去； ②当1<a<e时，在[1，a)上有f′(x)<0，f(x)单调递减，在(a，e]上有f′(x)>0，f(x)单调递增， ∴函数f(x)的最小值为f(a)＝ln a＋1，由ln a＋1＝，得a＝； ③当a≥e时，显然函数f(x)在[1，e]上单调递减，其最小值为f(e)＝1＋≥2，与最小值是相矛盾，故舍去． 综上所述，a的值为. 15．【多选题】若f(x)＝xa·cos x，x∈的最大值为M，则(　　) A．当a＝－1时，M< B．当a＝2时，M< C．当a＝1时，M> D．当a＝3时，M< 答案　AB 解析　对于A，当a＝－1时，f(x)＝，f′(x)＝<0在区间上恒成立，所以f(x)在区间上单调递减，所以M＝＝ <，故正确；对于B，当a＝2时，f(x)＝x2·cos x，则f′(x)＝xcos x(2－xtan x)>0在区间上恒成立，所以f(x)在区间上单调递增，即M＝<，故正确；对于C，当a＝1时，f(x)＝xcos x，当x∈时，易知x<tan x恒成立，所以f(x)＝xcos x<tan xcos x＝sin x≤，所以M<，故错误；对于D，当a＝3时，f(x)＝x3·cos x，则f′(x)＝x2cos x·(3－xtan x)>0在区间上恒成立，所以f(x)在区间上单调递增，所以M＝·>，故错误． 16．已知函数f(x)＝有最大值，则实数a的取值范围是________． 答案　[－1，＋∞) 解析　函数f(x)＝ 当x>a时，f(x)的取值范围为(－∞，－2a)，无最大值， 故当x≤a时，f(x)有最大值，且最大值不小于－2a. 当x≤a时，f(x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)， 当a<－1时，f(x)在(－∞，a]上单调递增，f(x)max＝f(a)＝a3－3a， 令a3－3a≥－2a，解得a∈∅； 当a≥－1时，f(x)max＝f(a)或f(－1)， 令a3－3a≥－2a或2≥－2a，解得a≥－1. 综上，实数a的取值范围是[－1，＋∞)． 6 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$