6.2 常用三角公式 (第3课时)（九大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）

6.2 常用三角公式 (第3课时) 题型一 半角公式 1．半角公式 ； ； ． 2．已知，，求、、的值. 3．若，，则 ． 4．设，化简的结果是 . 5．化简： . 6．化简： (1)； (2). 题型二 半角公式的应用 7．已知：，，则 . 8．已知，则 ． 9．已知，则 ． 10．若，，则（    ） A． B． C．5 D． 11．已知是第三象限的角，，，则等于（    ） A． B． C． D． 12．已知角的始边为轴的非负半轴，终边经过点，则（    ） A． B． C．或 D． 题型三 万能公式 13．“无字证明”就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现.请观察图，根据半圆中所给出的量，补全三角恒等式，第一个括号为 ，第二个括号为 . 14．已知，，则 . 15．已知，则 ． 16．已知，且角是第二象限的角，则 . 17．已知，，则的值为 . 18．若，则的值为 . 19．已知，求 题型四 复习：辅助角公式 20．若，则 . 21．已知，其中，则（    ） A． B． C． D． 22．已知，求的最大值 . 23．设，，，则a，b、c的大小为 ． 24．已知，且，则（    ） A． B．或7 C．或7 D． 题型五 复习：二倍角角公式，升幂或降幂 25．计算： . 26．已知，则 . 27．已知方程的一个根为，则 ． 28．已知，则的值为 . 29．化简： . 30．已知，则 ． 31．已知，化简. 32．已知，且，则 ． 33．已知，则 ． 题型六 和差化积、积化和差公式 34．把下列各式化成和或差的形式： (1)； (2). 35．将下列各式化成积的形式： (1)； (2)． 36．把下列各式化成积的形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 37．化简： (1)； (2)； (3)． 题型七 根据和差化积、积化和差公式求值 38．已知． (1)利用三角函数的积化和差或和差化积公式，求的值； (2)求的值． 39．（1）已知，求的值； （2）已知，试求的值； 40．若，，求的值. 题型八 证明三角恒等式 41．证明下列恒等式. (1)； (2). 42．证明下列恒等式. (1); (2). 题型九 三角恒等变换的实际应用 43．已知某标准足球场长105米，宽68米，球门宽7.32米，某球员沿边线带球进攻，他距离底线多远处射门，命中率最高？（注：对球门所张的角最大时命中率最高） 44．如图，，，，四个小朋友在草坪上游戏，根据游戏规则，，，三人围成一个三角形，如，，三人共线，在，两人之间，，两人相距10米，，两人相距米，与垂直. （1）当米时，此时看，视角(即)是看，视角(即)的2倍，求的值； （2）当米时，求看，两人视角(即)的最大值. 45．如图，已知一块足球场地的球门宽米，底线上有一点，且长米．现有球员带球沿垂直于底线的线路向底线直线运球，假设球员射门时足球运动线路均为直线． (1)当球员运动到距离点为米的点时，求该球员射门角度的正切值； (2)若该球员将球直接带到点，然后选择沿其左后方向（即）的线路将球回传给点处的队友．已知长米，若该队友沿着线路向点直线运球，并计划在线路上选择某个位置进行射门，求的长度多大时，射门角度最大． 一、填空题 1．已知，则 ． 2．已知，满足，，则 . 二、单选题 3．已知，，则（    ） A． B． C． D． 4．设，，，，若满足条件的与存在且唯一，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 三、解答题 5．已知，，且，求、的值. 6．对于集合和常数，定义：为集合相对的“余弦方差”. (1)若集合，，求集合相对的“余弦方差”； (2)若集合，证明集合相对于任何常数的“余弦方差”是一个常数，并求这个常数； (3)若集合，，，相对于任何常数的“余弦方差”是一个常数，求，的值. 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.2 常用三角公式 (第3课时) 题型一 半角公式 1．半角公式 ； ； ． 【答案】 【分析】略 【解析】略 2．已知，，求、、的值. 【答案】，，. 【分析】由的范围可得，进而利用半角公式即可求解. 【解析】∵，， ∴，， ∴， ， . 3．若，，则 ． 【答案】/ 【分析】先利用同角三角函数的关系求出，再利用半角公式求出，，从而可求出，进而可求得答案 【解析】因为，， 所以， 因为 所以， 所以，， 所以， 所以， 故答案为： 4．设，化简的结果是 . 【答案】 【分析】由二倍角的余弦公式结合角的范围即可化简. 【解析】， 因为，所以， 从而. 故答案为：. 5．化简： . 【答案】 【分析】由诱导公式与三角恒变换公式求解即可 【解析】∵， ∴， ∴. 又∵，且， ∴ . ∵， ∴， ∴. ∴. 故答案为： 6．化简： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出的范围，再利用二倍角公式和同角三角函数间的关系化简计算即可， （2）利用半角公式，诱导公式和二倍角公式化简即可. 【解析】（1）因为，所以， 所以原式 . （2）因为， 所以. 又因为，且， 所以原式， 因为，所以，所以. 所以原式. 题型二 半角公式的应用 7．已知：，，则 . 【答案】 【分析】由，两边平方得到，进而求得，两式联立得到，再利用三角恒等变换求解. 【解析】解：由，两边平方得：， 即， 因为， 所以， 所以， 两式联立得， 所以， 故答案为： 8．已知，则 ． 【答案】 【分析】利用半角公式可求的值. 【解析】根据题意，有， 考虑半角公式，设，则 ， 于是， 整理得． 故答案为：. 9．已知，则 ． 【答案】2 【分析】由平方化简求，再由平方关系求，进而可求解的值，即可求解． 【解析】由题意知：，则，可得，即， 又，可得， 由． 故答案为：2 10．若，，则（    ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】先利用三角恒等变换化简整理可得，然后利用同角三角函数的基本关系求得，进而得，从而由可得结果. 【解析】， 化简得，即， 整理得. 因为，所以. 整理得，又，即， 所以，即，进而， 于是. 故选：D. 11．已知是第三象限的角，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据是第三象限的角，得到，并根据和辅助角公式得到，由半角公式求出答案. 【解析】是第三象限的角，故， 故， 因为，， 则，， 若，，，， 此时，满足要求，故， 若，，，， 此时，不合要求，舍去， ，D正确. 故选：D 12．已知角的始边为轴的非负半轴，终边经过点，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据角的范围可确定为二､四象限角，则，即可利用二倍角公式得，利用弦切互化即可求解. 【解析】由题意，得角是第四象限角，则， 故，则为二､四象限角，则， 又因为， 所以（舍去）或， 所以. 故选：B. 题型三 万能公式 13．“无字证明”就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现.请观察图，根据半圆中所给出的量，补全三角恒等式，第一个括号为 ，第二个括号为 . 【答案】 【分析】在直角三角形和直角三角形中，由三角函数表示即可. 【解析】 如图所示， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， 故答案为：；. 14．已知，，则 . 【答案】 【分析】利用诱导公式，万能公式得到答案. 【解析】 . 故答案为： 15．已知，则 ． 【答案】/ 【分析】先用诱导公式将题目化简，然后运用切换弦进行化简，代入数据可得. 【解析】∵ ∴ 故答案为： 16．已知，且角是第二象限的角，则 . 【答案】 【分析】利用三角万能置换公式，结合角所在象限即可求出． 【解析】由，解得 因为是第二象限的角，则 所以，则，故 故答案为： 17．已知，，则的值为 . 【答案】2 【解析】利用同角三角函数的基本关系可得，，再根据半角公式即可求解. 【解析】由题意得，即， ，，， . 故答案为：2 【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系以及半角公式，需熟记公式，属于基础题. 18．若，则的值为 . 【答案】 【分析】利用三角万能公式，，计算即可. 【解析】解：∵， ∴. 故答案为：. 【点睛】本题考查同角三角函数求值，关键是利用三角万能公式，属于基础题. 19．已知，求 【答案】3 【分析】由题得，再通分把已知代进去化简即得解. 【解析】由题得 =3 故答案为3 【点睛】本题主要考查二倍角公式和万能公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 题型四 复习：辅助角公式 20．若，则 . 【答案】/ 【分析】运用辅助角公式化简即可 【解析】,则, 运用诱导公式. 故答案为：． 21．已知，其中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用辅助角公式化简即可求出结果. 【解析】 ， ， . 故选:C. 22．已知，求的最大值 . 【答案】 【分析】结合等式特征，变形化简后得，设，转化成，利用可求的取值范围. 【解析】∵，且， ∴，即， 所以， 设， 由. 故的最大值为. 故答案为： 23．设，，，则a，b、c的大小为 ． 【答案】 【分析】由，，利用正弦函数的性质得到a，c的范围比较. 【解析】解：， 因为，所以， 所以，则， ， 因为，所以， 所以，则， 又， 所以 ， 故答案为： 24．已知，且，则（    ） A． B．或7 C．或7 D． 【答案】B 【分析】根据同角平方和关系，即可联立方程求解正余弦值，即可求解正切值，或则利用辅助角公式可得或，即可分类讨论，结合正切的和差角公式求解. 【解析】解法一：由，得， 则．因为，所以， 即，解得或， 当时，，则； 当时，，则， 故选：B． 解法二：因为，其中，，所以或， 当，即，时，，，所以， 所以； 当，即，时，，则，同理，所以， 所以， 故选：B． 题型五 复习：二倍角角公式，升幂或降幂 25．计算： . 【答案】 【分析】先利用诱导公式，再利用二倍角的正弦公式和降幂公式求解. 【解析】由题得. 故答案为： 26．已知，则 . 【答案】 【分析】由题得，再利用降幂公式化简即得解. 【解析】由题得， 所以. 故答案为： 27．已知方程的一个根为，则 ． 【答案】 【分析】把代入所给方程求出的值，再利用切化弦的思想经变形即可得解. 【解析】因是方程的一个根， 则， 而，于是得， 所以. 故答案为： 28．已知，则的值为 . 【答案】 【分析】本题出现和,故考虑降幂公式和差化积公式. 【解析】,又 故,故 故答案为 【点睛】本题主要考查降幂公式,和差角公式与和差化积公式.三角函数的问题重点根据题目中角度的关系确定所用的公式. 29．化简： . 【答案】 【分析】结合诱导公式，利用二倍角正弦公式和二倍角余弦公式化简即可. 【解析】. 故答案为： 30．已知，则 ． 【答案】/ 【分析】根据余弦的二倍角公式，结合同角的三角函数关系式、二倍角的正切公式进行求解即可. 【解析】因为， 所以， 故． 故答案为： 31．已知，化简. 【答案】 【分析】利用二倍角的余弦公式构造平方式，逐步化简即可. 【解析】，，，， 则. 32．已知，且，则 ． 【答案】 【分析】先利用诱导公式和二倍角的正弦公式化简已知，再根据结合两角差的余弦公式即可得解. 【解析】因为， 所以， 由得， 则， 又， 且， 所以． 故答案为：. 33．已知，则 ． 【答案】 【分析】根据同角关系及倍角公式可得，据此及诱导公式可求三角函数式的值. 【解析】由半角公式得， 所以，又， 而，故， 所以原式， 故答案为：. 题型六 和差化积、积化和差公式 34．把下列各式化成和或差的形式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦的积化和差公式即可求解， （2）根据余弦的积化和差公式即可求解. 【解析】（1）原式. （2）原式 35．将下列各式化成积的形式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用和差化积可求三角函数式积的形式； （2）把化为后可利用和差化积将三角函数式化为积的形式. 【解析】（1） . （2）. 36．把下列各式化成积的形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）（3）（4）根据和差化积公式即可求解. 【解析】（1）原式． （2）原式． （3）原式． （4）原式． 37．化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正、余弦二倍角公式求得结果；（2）根据积化和差公式求得结果；（3）根据和差化积公式求得结果. 【解析】（1）原式 ． ∵，∴，∴， ∴原式． （2）原式 ． （3）原式 ． 题型七 根据和差化积、积化和差公式求值 38．已知． (1)利用三角函数的积化和差或和差化积公式，求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)或3 【分析】（1）利用积化和差公式化简可得答案； （2）展开可得，再看作分母为1的分数，再除以可得答案． 【解析】（1） ， 可得； （2）因为， 所以， 则， 解得或3． 39．（1）已知，求的值； （2）已知，试求的值； 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）先用和差化积公式分别将进行变形，求出，再用万能公式求得的值； （2）先用和差化积公式分别将进行变形，求出，再用万能公式求得的值； 【解析】（1）. 又. 由①②，得，即. ； （2）因为，所以.① 又因为，所以.  ② 因为， 所以由①②，得，即. 所以 . 40．若，，求的值. 【答案】 【分析】令，代入化简后根据和差化积公式可推得，，两式相除可得，即可推出，展开即可得出答案. 【解析】令，则，，， 所以，. 由和差化积公式得，，， 两式相除得，， 即， 所以有， 解得. 题型八 证明三角恒等式 41．证明下列恒等式. (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用和差化积公式化简整理即可得到结果； （2）利用积化和差、二倍角公式化简整理得到结果. 【解析】（1）左边右边，所以原式得证. （2）左边右边，原式得证. 42．证明下列恒等式. (1); (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用和差化积公式化简整理即可得到结果； （2）利用积化和差、二倍角公式化简整理得到结果. 【解析】（1） ； （2） . 题型九 三角恒等变换的实际应用 43．已知某标准足球场长105米，宽68米，球门宽7.32米，某球员沿边线带球进攻，他距离底线多远处射门，命中率最高？（注：对球门所张的角最大时命中率最高） 【答案】33.40米. 【分析】根据两角差的正切公式解得条件表示出张角的正切，然后根据基本不等式即得. 【解析】如图设，由题可知，， 所以， 所以 ， 当且仅当，即取等号，此时最大， 因为是锐角， 所以当时，最大，即球员沿边线带球进攻，他距离底线33.40米处射门对球门所张的角最大，命中率最高. 44．如图，，，，四个小朋友在草坪上游戏，根据游戏规则，，，三人围成一个三角形，如，，三人共线，在，两人之间，，两人相距10米，，两人相距米，与垂直. （1）当米时，此时看，视角(即)是看，视角(即)的2倍，求的值； （2）当米时，求看，两人视角(即)的最大值. 【答案】（1）；（2）最大值为. 【分析】（1）利用锐角三角函数定义表示出与，根据，利用二倍角的正切函数公式列出关系式，即可求出， （2）设，设，表示出两个角的正切，再结合二次函数的性质即可求得结论． 【解析】（1）因为，，所以 因为看，视角(即)是看，视角(即)的2倍， 所以 所以，解得， 所以的值为； （2）设，设，则， 因为，所以，， 所以， 所以 所以当时，看，两人视角(即)最大，最大值为 45．如图，已知一块足球场地的球门宽米，底线上有一点，且长米．现有球员带球沿垂直于底线的线路向底线直线运球，假设球员射门时足球运动线路均为直线． (1)当球员运动到距离点为米的点时，求该球员射门角度的正切值； (2)若该球员将球直接带到点，然后选择沿其左后方向（即）的线路将球回传给点处的队友．已知长米，若该队友沿着线路向点直线运球，并计划在线路上选择某个位置进行射门，求的长度多大时，射门角度最大． 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）求出、的值，利用两角差的正切公式可求得的值； （2）作，垂足为，设，计算出、，利用两角差的正切公式可得出关于的表达式，利用基本不等式求出的最大值，利用等号成立的条件求出的值，即可得出结论. 【解析】（1）解：由题知，，，则， 在中，， 在中，， 所以 ． （2）解：如图，作，垂足为， 设，则，， 因为，所以，， 在中，， 在中，， 所以 ， 当且仅当即时，最大， 所以当米时，射门角度最大． 一、填空题 1．已知，则 ． 【答案】 【分析】由条件等式右边含有，可联想到中分离出来处理，设，待求表达式中用表示，结合万能公式进行求解. 【解析】设，于是， 整理可得，根据万能公式，， 整理可得， 由可得，， 故， 根据诱导公式，， 根据两角和的正切公式，， 故. 故答案为： 2．已知，满足，，则 . 【答案】/0.6 【分析】将两式平方相加，可得，平方相减，可得与的关系，结合和差化积公式把化成，可得的值. 【解析】因为， 所以，， 相加得， 即，所以， 相减得 ， 又， ， 所以， 所以， 所以， 解得. 故答案为： 【点睛】方法点睛：已知，求值的问题，通常对已知的两式有如下处理方式： （1）两式平方相加，可得的值. （2）两式相乘，利用和差化积公式，结合（1）中的值，可求的值. （3）两式平方相减，结合和差化积公式，结合（1）中的值，可求的值. 二、单选题 3．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先结合二倍角公式、半角公式以及角的范围将已知等式变形为，解得，两边平方即可求解. 【解析】因为，所以，所以， 所以 ， 所以， 即， 所以， 即， 所以. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：关键是得出，由此即可顺利得解. 4．设，，，，若满足条件的与存在且唯一，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】先由，可得，再根据，结合两角差的正弦公式求出，进而可求出，再根据唯一性可求出，再求出，结合两角差的正切公式求出，即可得解. 【解析】由，得，即， 所以， 所以，所以， 所以， 因为，所以， 因为满足条件的与存在且唯一，所以唯一， 所以， 所以，经检验符合题意， 所以， 因为，所以，所以， 则，解得， 所以. 故选：B. 三、解答题 5．已知，，且，求、的值. 【答案】 【分析】首先利用和差化积以及二倍角公式对已知条件变形整理，得到一个可看作一元二次类的方程，通过对判别式、三角函数值的性质以及、的范围即可求解. 【解析】对 进行变形整理得， ， 即， 上式可看作的一元二次方程，此方程有实根， ，得， 但，∴， ∵，， ∴， 故，即， 将代入，解得， 故. 6．对于集合和常数，定义：为集合相对的“余弦方差”. (1)若集合，，求集合相对的“余弦方差”； (2)若集合，证明集合相对于任何常数的“余弦方差”是一个常数，并求这个常数； (3)若集合，，，相对于任何常数的“余弦方差”是一个常数，求，的值. 【答案】(1) (2)证明见解析，这个常数为； (3)或 【分析】（1）根据集合相对的“余弦方差”的定义及特殊角的三角函数值即可求解； （2）根据集合相对于常数的“余弦方差”的定义及两角差的余弦公式即可求解； （3）根据集合相对于常数的“余弦方差”的定义及三角恒等变换公式即可求解. 【解析】（1）解：当集合，时，集合相对的“余弦方差”； （2）证明：当集合时， 集合相对于常数的“余弦方差”， 此时“余弦方差”是一个常数，且常数为； （3）解：当集合，，时， 集合相对于任何常数的“余弦方差”， 要使上式对任何常数是一个常数，则且， 所以，故， 整理得到，而，故或， 所以或， 当时，有，而，故即， 当时，有，而，故即， 故或． 2 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $$