专题05 复数 平面向量(选填题热点，十大题型)-2025年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（上海专用）

专题05 复数 平面向量(十大题型) 题型01 复数的有关概念 1 题型02 复数的模 2 题型03 实系数一元二次方程 2 题型04 复数与其他模块 2 题型05 平面向量的有关概念 2 题型06 平面向量的运算、基本定理 3 题型07 平面向量的简单应用 3 题型08 平面向量与平面解析几何 4 题型09 平面向量的其他应用 5 题型10 平面向量难点分析 5 【解题规律·提分快招】 1、解决复数概念问题的方法及注意事项 (1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． (2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部． 2、利用共线向量定理解题的策略 (1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据． (2)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0. (3)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1. 3、(1)求平面向量的模的方法 ①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算； ②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量线性运算的平行四边形法则或三角形法则作出所求向量，再利用余弦定理等方法求解． (2)求平面向量的夹角的方法 ①定义法：cos θ＝，求解时应求出a·b，|a|，|b|的值或找出这三个量之间的关系； ②坐标法． (3)两个向量垂直的充要条件 a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)． 题型01 复数的有关概念 【典例1-1】．设，若存在复数满足（为虚数单位），则 ． 【典例1-2】．设为虚数单位，若为纯虚数，则实数 . 【变式1-1】．对于复数（i是虚数单位），则 . 【变式1-2】．若复数满足（为虚数单位），则 . 【变式1-3】．复数z满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．在复平面内对应的点位于第四象限 D． 题型02 复数的模 【典例2-1】．已知复数，，，若为纯虚数，则 ． 【典例2-2】．设复数满足，则 . 【变式2-1】．已知为虚数单位，复数满足，则复数的虚部为 ． 【变式2-2】．在复平面上，已知复数和的对应点关于直线对称，且满足，则 ． 【变式2-3】．已知复数和复数满足（为虚数单位），则 . 题型03 实系数一元二次方程 【典例3-1】．已知，方程一个虚根为，则 . 【典例3-2】．已知i为虚数单位，是实系数一元二次方程的一个虚根，则 . 【变式3-1】．已知方程的一个根是（是虚数单位），则 ． 【变式3-2】．已知关于的一元二次方程有两个虚根，且，则实数的值为 . 【变式3-3】．复数满足，且使得关于的方程有实根，则这样的复数的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型04 复数与其他模块 【典例4-1】．设复数与所对应的点为与，若，，则 . 【典例4-2】．设复数（i为虚数单位）且，若，则 ． 【变式4-1】．已知、，且，（是虚数单位），则的最小值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式4-2】．复数满足，是复平面上以为圆心、1为半径的圆的任意一条直径，若是在复平面上对应的点，则的最小值为 . 【变式4-3】．关于的实系数方程和有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则的取值范围是 . 题型05 平面向量的有关概念 【典例5-1】．已知向量，，若，则 ． 【典例5-2】．已知平面向量，满足，则 ． 【变式5-1】．已知向量，则在方向上的数量投影为 ． 【变式5-2】．已知向量，若，则实数 ． 【变式5-3】．已知向量，的夹角为，且，，则 . 题型06 平面向量的运算、基本定理 【典例6-1】．已知，且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 . 【典例6-2】．在中，是的中点，，点在上，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】．在平行四边形中，，．若，则 ． 【变式6-2】．在中，，，的平分线交BC于点D，若，则 ． 【变式6-3】．在中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若，则的最小值为 . 题型07 平面向量的简单应用 【典例7-1】．在中，是边的中点.若，，，则 . 【典例7-2】．已知是单位圆上任意不同三点，则的取值范围是 . 【变式7-1】．中，边上的中垂线分别交于，若，则 . 【变式7-2】．如图，已知点，分别在的边，上，且，，直线交边的延长线于点，记，则 . 【变式7-3】．如图，是以为直径的半圆 （不含端点）上一动点，，且．若，则的取值范围是 ． 题型08 平面向量与平面解析几何 【典例8-1】．双曲线的左右焦点分别为，过坐标原点的直线与相交于两点，若，则 . 【典例8-2】．过点作圆的两条切线，切点分别是、.若，则 . 【变式8-1】．已知A、B、C是椭圆上的三点，点，若，则 ． 【变式8-2】．设为坐标原点，为抛物线的焦点，是抛物线上一点，若，则点的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式8-3】．在平面直角坐标系中，点A，B是圆上的两个动点，且满足，则的最小值为 . 题型09 平面向量的其他应用 【典例9-1】．已知P是△ABC所在平面内的一点，若，其中λ∈R，则点P一定在（　　） A．AC边所在的直线上 B．BC边所在的直线上 C．AB边所在的直线上 D．△ABC的内部 【典例9-2】．已知是边长为6的等边三角形，M是的内切圆上一动点，则的最小值为 ． 【变式9-1】．设为的内心，且满足，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．以上都不对 【变式9-2】．如图，，，点在以为圆心的圆弧上运动，则的取值范围是 . 【变式9-3】．.设为两个非零向量、的夹角，已知对任意实数的最小值为1 A．若确定，则 唯一确定 B．若确定，则 唯一确定 C．若确定，则 唯一确定 D．若确定，则 唯一确定 题型10 平面向量难点分析 【典例10-1】．已知平面向量 满足，且对任意的实数t，均有 则的最小值为 【典例10-2】．平面上到两个定点距离之比为常数的动点的轨迹为圆，且圆心在两定点所确定的直线上，结合以上知识，请尝试解决如下问题：已知满足，则的取值范围为 ． 【变式10-1】．已知平面向量，其中为单位向量，且满足，若与夹角为，向量满足，则最小值是 . 【变式10-2】．我们把一系列向量按次序排列成一列，称之为向量列，记作.已知向量列满足：，，设表示向量与的夹角，若，对于任意正整数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【变式10-3】．对任意两个非零的平面向量和，定义，若平面向量、满足，与的夹角，且和都在集合中.给出下列命题： ①若时，则 ②若时，则. ③若时，则的取值个数最多为7. ④若时，则的取值个数最多为. 其中正确的命题序号是 （把所有正确命题的序号都填上） 一、填空题 1．（2024·上海奉贤·三模）复数的虚部是 ． 2．（2024·上海·三模）已知复数z满足，则 . 3．（2023·上海黄浦·三模）在中，，，的平分线交BC于点D，若，则 ． 4．（2023·上海嘉定·一模）已知复平面上一个动点Z对应复数z，若，其中i是虚数单位，则向量扫过的面积为 ． 5．（2024·上海·模拟预测）平面内互不重合的点、、、、、、，若，，2，3，4，则的取值范围是 . 二、单选题 6．（2024·上海长宁·二模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2024·上海浦东新·三模）给定平面上的一组向量、，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是（    ） A．和 B． 和 C． 和 D． 和 8．（2024·上海嘉定·二模）已知，，且、不共线，则的面积为（    ） A． B． C． D． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 复数 平面向量(十大题型) 题型01 复数的有关概念 1 题型02 复数的模 3 题型03 实系数一元二次方程 4 题型04 复数与其他模块 6 题型05 平面向量的有关概念 9 题型06 平面向量的运算、基本定理 10 题型07 平面向量的简单应用 13 题型08 平面向量与平面解析几何 16 题型09 平面向量的其他应用 20 题型10 平面向量难点分析 22 【解题规律·提分快招】 1、解决复数概念问题的方法及注意事项 (1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． (2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部． 2、利用共线向量定理解题的策略 (1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据． (2)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0. (3)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1. 3、(1)求平面向量的模的方法 ①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算； ②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量线性运算的平行四边形法则或三角形法则作出所求向量，再利用余弦定理等方法求解． (2)求平面向量的夹角的方法 ①定义法：cos θ＝，求解时应求出a·b，|a|，|b|的值或找出这三个量之间的关系； ②坐标法． (3)两个向量垂直的充要条件 a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)． 题型01 复数的有关概念 【典例1-1】．设，若存在复数满足（为虚数单位），则 ． 【答案】0 【分析】先设复数为,再应用共轭复数，结合复数项的相等求参. 【解析】设,则, 所以 所以, 即 故答案为：0. 【典例1-2】．设为虚数单位，若为纯虚数，则实数 . 【答案】 【分析】根据已知条件，列出方程即可求解. 【解析】因为为纯虚数，所以，即， 所以. 故答案为： 【变式1-1】．对于复数（i是虚数单位），则 . 【答案】 【分析】先进行复数乘法运算，再根据共轭复数和虚部概念求解即可. 【解析】由题意，所以，则. 故答案为：. 【变式1-2】．若复数满足（为虚数单位），则 . 【答案】/ 【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，即可求出其共轭复数. 【解析】因为，所以， 所以. 故答案为： 【变式1-3】．复数z满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．在复平面内对应的点位于第四象限 D． 【答案】D 【分析】根据复数运算求得，然后对选项进行分析，从而确定正确答案. 【解析】由得. 所以 ，所以A选项错误. ，所以B选项错误. 对应点为，在第三象限，所以C选项错误. ，所以D选项正确. 故选：D 题型02 复数的模 【典例2-1】．已知复数，，，若为纯虚数，则 ． 【答案】5 【分析】由纯虚数的概念得到，再由模长计算求解即可； 【解析】， 因为为纯虚数，所以， 所以，所以， 故答案为：5. 【典例2-2】．设复数满足，则 . 【答案】 【分析】设，，，根据题设结合复数相等可得，进而结合复数模的公式求解即可. 【解析】设，，， 则，所以， 又，则，， 所以， 则， 所以 . 故答案为：. 【变式2-1】．已知为虚数单位，复数满足，则复数的虚部为 ． 【答案】/ 【分析】首先求出，再根据复数代数形式的除法运算化简复数，即可判断其虚部. 【解析】因为，又， 所以， 所以复数的虚部为. 故答案为： 【变式2-2】．在复平面上，已知复数和的对应点关于直线对称，且满足，则 ． 【答案】 【分析】设，由已知条件可得，利用复数的乘法运算和模长公式即可得答案. 【解析】复数和的对应点关于直线对称， 设，则有， 由，得， 所以. 故答案为：2 【变式2-3】．已知复数和复数满足（为虚数单位），则 . 【答案】 【分析】设，由复数的减法与共轭复数的概念可得，结合复数的乘方运算性质、复数的乘法法则、复数的模长即可得求解的值. 【解析】设， 则， 所以， 因为， 所以， 则. 故答案为：. 题型03 实系数一元二次方程 【典例3-1】．已知，方程一个虚根为，则 . 【答案】 【分析】根据一元二次方程的复数根互为共轭复数，再结合韦达定理求解即可. 【解析】因为方程一个虚根为， 则其另一个虚根为， 所以，所以， 所以. 故答案为：. 【典例3-2】．已知i为虚数单位，是实系数一元二次方程的一个虚根，则 . 【答案】4 【分析】可知也是实系数一元二次方程的根，从而利用韦达定理求解． 【解析】是实系数一元二次方程的根， 也是实系数一元二次方程的根， ，， 解得，，故. 故答案为：4 【变式3-1】．已知方程的一个根是（是虚数单位），则 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的复数根互为共轭复数，再利用韦达定理结合复数的chengfa运算即可得解. 【解析】因为方程的一个根是， 则方程的另一个根是， 所以，所以. 故答案为：. 【变式3-2】．已知关于的一元二次方程有两个虚根，且，则实数的值为 . 【答案】3 【分析】由题意可得，求出的范围，再利用一元二次方程的求根公式求出，然后利用列方程可求出的值. 【解析】因为关于的一元二次方程有两个虚根， 所以，即，得或， 所以中， 因为， 整理得，解得或（舍），故， 所以实数的值为3. 故答案为：3 【变式3-3】．复数满足，且使得关于的方程有实根，则这样的复数的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】设,代入方程得整理得，在结合方程有实数根得，进而分和两种情况求解即可. 【解析】设,因为,所以, 所以将代入方程整理 ， 因为关于的方程有实根， 所以 所以当时，解得，此时关于的方程为或，易知方程无实数根，故舍去，所以； 当时，解得，，所以，所以，此时方程有实数根，满足条件. 综上，或. 故这样的复数的个数为个. 故选：C 【点睛】本题考查复数方程有实数根，求对应的复数，考查运算求解能力，分类讨论思想，是中档题.本题解题的关键在于设，进而根据题意得，即，进而求解. 题型04 复数与其他模块 【典例4-1】．设复数与所对应的点为与，若，，则 . 【答案】2 【分析】由题设结合复数的乘法求出，再借助复数的几何意义求出结果. 【解析】依题意，，则， 所以. 故答案为：2 【典例4-2】．设复数（i为虚数单位）且，若，则 ． 【答案】 【分析】由诱导公式、复数模的求法列方程求得，结合角的范围可得，再应用倍角正切公式求值即可. 【解析】由题设，则， 所以，又，则，， 所以，则. 故答案为： 【变式4-1】．已知、，且，（是虚数单位），则的最小值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题首先可设，根据得出点的轨迹是以为圆心、为半径的圆，然后设，根据得出点的轨迹是一条直线，最后通过求出直线上的点到圆的最短距离即可得出结果. 【解析】设复数，对应的点为， ，即，， 点的轨迹是以为圆心、为半径的圆， 设复数，对应的点为， ，即， 化简可得，点的轨迹是一条直线， 表示点与点的距离，即圆上的一点到直线的距离， 圆与直线相离， 圆心到直线的距离， 故的最小值为， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查复数的几何意义，能否根据题意得出点的轨迹是以为圆心、为半径的圆以及点的轨迹是一条直线是解决本题的关键，考查直线上的点到圆的距离的最值的求法，考查计算能力，是中档题. 【变式4-2】．复数满足，是复平面上以为圆心、1为半径的圆的任意一条直径，若是在复平面上对应的点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设，根据双曲线的定义可得，再由数量积的运算律得到，求出的最小值，即可得解. 【解析】设，又， 即， 所以点在以、为焦点的双曲线的左支上，则， 不妨设， 则 ， 又，当且仅当时取等号， 所以的最小值为.    故答案为： 【变式4-3】．关于的实系数方程和有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】解出方程，可得其对应的点，对于方程，讨论其，进一步分析计算即可. 【解析】因为的解为 ， 设所对应的两点分别为， 则，， 设的解所对应的两点分别为，， 记为,,， 当，即时，因为关于轴对称， 且，，关于轴对称，显然四点共圆； 当，即或时， 此时,,，且， 故此圆的圆心为，半径， 又圆心到的距离， 解得， 综上：, 故答案为：. 题型05 平面向量的有关概念 【典例5-1】．已知向量，，若，则 ． 【答案】/ 【分析】由向量垂直可得其数量积为，再借助向量数量积公式计算即可得. 【解析】， 由，则有，解得. 故答案为：. 【典例5-2】．已知平面向量，满足，则 ． 【答案】 【分析】把两边平方可得，计算可求. 【解析】由，可得，所以， 所以，又，所以， 所以. 故答案为：. 【变式5-1】．已知向量，则在方向上的数量投影为 ． 【答案】 【分析】根据数量投影的定义及计算公式直接可得解. 【解析】由已知，， 则 则在方向上数量投影为， 故答案为：. 【变式5-2】．已知向量，若，则实数 ． 【答案】 【分析】根据向量平行的坐标表示列方程求参数. 【解析】由题意，则. 故答案为： 【变式5-3】．已知向量，的夹角为，且，，则 . 【答案】 【分析】由向量的模长公式代入计算，即可得到结果. 【解析】因为向量，的夹角为，且，， 则 . 故答案为： 题型06 平面向量的运算、基本定理 【典例6-1】．已知，且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 . 【答案】λ>－5且λ≠－ 【分析】依据两个向量的夹角为锐角，所以可得且，然后计算即可. 【解析】因为与的夹角为锐角，则，且， 即＝2＋λ＋3>0，且，则λ>－5且λ≠－. 故答案为：λ>－5且λ≠－. 【典例6-2】．在中，是的中点，，点在上，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平面向量加法法则结合是的中点即可求得. 【解析】由题意，点在上，如图所示：    且满足，所以，因为，是的中点，所以，所以. 故选：D 【变式6-1】．在平行四边形中，，．若，则 ． 【答案】/ 【分析】利用平面向量的线性运算求出即可. 【解析】 由题意可得 ， 所以，，所以. 故答案为： 【变式6-2】．在中，，，的平分线交BC于点D，若，则 ． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，探求出线段与的倍分关系，再结合平面向量基本定理求解作答. 【解析】在中，，，则，又平分，即有，    因此，即有，，整理得， 而，且不共线，于是， 所以. 故答案为： 【变式6-3】．在中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若，则的最小值为 . 【答案】9 【分析】根据向量共线定理得推论得到，再利用基本不等式“1”的妙用求解最小值. 【解析】因为点F为线段BC上任一点（不含端点）， 所以，又， 故， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为：9. 题型07 平面向量的简单应用 【典例7-1】．在中，是边的中点.若，，，则 . 【答案】 【分析】先由余弦定理计算出的余弦值，从而得到，的数量积，再根据平面向量基本定理将分解为，代入结合平面向量的计算即可求得答案. 【解析】如图所示， 由题意得，因为，，， 所以由余弦定理，线段AB与AC的夹角余弦值为：， 所以， 又D是BC中点，所以， 所以. 故答案为：. 【典例7-2】．已知是单位圆上任意不同三点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由等价于在上的投影，故可结合投影性质，得到当与反向共线时，在上的投影取最小，当与同向共线时，在上的投影取最大，再结合的范围，即可得到相应投影的最小、最大值，即可得解. 【解析】等价于在上的投影， 如图1，在单位圆圆上任取两点、， 则对任意的，当与反向共线时，在上的投影取最小， 作于点，设，取中点，有， 则，，则， 由，故； 如图2，在单位圆圆上任取两点、， 则对任意的，当与同向共线时，在上的投影取最大， 作于点，设，取中点，有， 则，，则， 由，故； 综上所述，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于得到表示在上的投影，从而数形结合，借助投影性质解题. 【变式7-1】．中，边上的中垂线分别交于，若，则 . 【答案】 【分析】利用平面向量的基本定理和余弦定理即可求解. 【解析】因为，所以， 且， 所以， 所以，且， 在中，由余弦定理得即 ， 所以. 故答案为:4. 【变式7-2】．如图，已知点，分别在的边，上，且，，直线交边的延长线于点，记，则 . 【答案】 【分析】连接，由2次三点共线可得，分别用和表示和，进而可得的值. 【解析】连接，由题意可知，，三点共线，则， 又因为，，三点共线，则， 所以，即，即， 因为， 又因为， 所以. 故答案为：. 【变式7-3】．如图，是以为直径的半圆 （不含端点）上一动点，，且．若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】，把向量内积通过投影转化为三角函数问题 【解析】 设,则,作交OC的延长线于点 由余弦定理 所以,即 ,因为,所以 所以 所以 故答案为 ： 题型08 平面向量与平面解析几何 【典例8-1】．双曲线的左右焦点分别为，过坐标原点的直线与相交于两点，若，则 . 【答案】4 【分析】由双曲线的对称性可得四边形为平行四边形，根据双曲线的定义和，得，，中，由余弦定理得，，代入求值即可. 【解析】双曲线，实半轴长为1，虚半轴长为，焦距， 由双曲线的对称性可得，有四边形为平行四边形， 令，则，由双曲线定义可知， 故有，即，即，， 中，由余弦定理， ， 即，得， . 故答案为：4. 【典例8-2】．过点作圆的两条切线，切点分别是、.若，则 . 【答案】/ 【分析】根据直线与圆的位置关系，结合几何图形确定，再代入数量积公式，即可求解. 【解析】如图，连结，则，， 若，所以，所以 故答案为： 【变式8-1】．已知A、B、C是椭圆上的三点，点，若，则 ． 【答案】 【分析】由可得，再结合椭圆第二定义可知，从而得解. 【解析】易知椭圆的右焦点即为点， 且椭圆的离心率， 设， 则， 由得：， 由椭圆的第二定义可知： ， ， ， 所以. 故答案为：. 【变式8-2】．设为坐标原点，为抛物线的焦点，是抛物线上一点，若，则点的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】设，利用坐标运算计算，然后解方程即可. 【解析】由已知，设， 则，， 由， 故选：C. 【变式8-3】．在平面直角坐标系中，点A，B是圆上的两个动点，且满足，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】本题可利用中点去研究，先通过坐标关系，将转化为，根据得到点的轨迹，由图形的几何特征,求出模的最值，得到本题答案. 【解析】设，中点 ∵ ∴ ∵圆 ∴，圆心，半径. ∵点在圆上，， ∴ 即 点在以为圆心，半径的圆上. ∴ ∴ 故答案为：4 题型09 平面向量的其他应用 【典例9-1】．已知P是△ABC所在平面内的一点，若，其中λ∈R，则点P一定在（　　） A．AC边所在的直线上 B．BC边所在的直线上 C．AB边所在的直线上 D．△ABC的内部 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算整理可得，再结合向量共线分析即可. 【解析】∵， ∴，则，则 ∴ ∴P点在AC边所在直线上． 故选：A． 【典例9-2】．已知是边长为6的等边三角形，M是的内切圆上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，设的坐标，由平面向量数量积的坐标和三角函数的有界性计算即可求得． 【解析】以的中点为坐标原点，所在直线为轴，的中垂线所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 因为等边的边长为6， 所以的内切圆圆心在上，半径， 则，，，，， 所以，， 所以， 所以当时，取得最小值． 故答案为：． 【变式9-1】．设为的内心，且满足，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．以上都不对 【答案】A 【分析】根据已知条件化简得到，进而得出，即可得出结果. 【解析】解：由题意 ， 所以，即， 所以为等腰三角形. 故选：A. 【点睛】本题考查向量的和差化简式子，判断三角形形状的问题，考查转化能力，属于基础题. 【变式9-2】．如图，，，点在以为圆心的圆弧上运动，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】用来表示，再用向量的数量积化简，结合余弦型函数求值域即可. 【解析】连接，则， 由题可设，则， 所以 ， 因为，所以， 故. 故答案为：. 【变式9-3】．.设为两个非零向量、的夹角，已知对任意实数的最小值为1 A．若确定，则 唯一确定 B．若确定，则 唯一确定 C．若确定，则 唯一确定 D．若确定，则 唯一确定 【答案】B 【解析】依题意，对任意实数恒成立， 所以恒成立， 令，所以， 若为定值，则当为定值时二次函数才有最小值. 故选：B. 题型10 平面向量难点分析 【典例10-1】．已知平面向量 满足，且对任意的实数t，均有 则的最小值为 【答案】 【分析】利用向量的坐标运算，再用数形结合思想求出最小值. 【解析】 如图，建立直角坐标系，记， 因为，所以点， 作，设其坐标为，因为， 所以点在以点为圆心，1为半径的圆上，即， 因为对任意的实数t，均有 ， 所以， 由于上式对任意的实数t的一元二次不等式恒成立， 则，即， 设又设，则， 整理得：，所以可知点在直线上， 又因为点在以点为圆心，1为半径的圆上，且， 所以可以把看成两动点和的距离， 显然距离最小值为圆心到直线的距离减去半径1， 而点到直线的距离, 所以，即的最小值为3, 故答案为：3. 【点睛】关键点点睛：确定B，C点轨迹解决问题的关键. 【典例10-2】．平面上到两个定点距离之比为常数的动点的轨迹为圆，且圆心在两定点所确定的直线上，结合以上知识，请尝试解决如下问题：已知满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用题目提供信息结合图形，将转化为，后由图形以及不等式知识可得答案. 【解析】如图所示建立坐标系，则． 其中,则. 设满足， 故， 整理得到. 故． 当三点共线时，即BE与单位圆相切，在时，有最小值为； 又， 则 ，当且仅当，即时取等号. 又注意到当时，，则，当且仅当时取等号. 则，当，即在等号成立． 故答案为：．    【点睛】关键点睛：本题所给信息涉及“阿氏圆”，我们常利用“阿氏圆”将不同系数的求值问题转变为相同系数求值.题中所涉不等式：为均值不等式链的一部分，即平方平均大于算术平均. 【变式10-1】．已知平面向量，其中为单位向量，且满足，若与夹角为，向量满足，则最小值是 . 【答案】/ 【分析】根据题意，设， ， ，，利用题设可确定向量对应的轨迹以及向量对应的轨迹，将的最小值转化为两轨迹上的点之间的距离的最小值，数形结合，求解答案. 【解析】根据题意，设，，，， 因为与夹角为， 所以，整理得， 即向量对应的轨迹为射线或， 因为向量满足 ， 所以，即向量对应的轨迹为抛物线：， 则即为上的点与射线或上的点之间的距离， 如图， 当最小值时，对应的点在上， 设直线，由图可知，当直线与相切时，切点设为A， 此时最小，联立方程 ，得， 由得，则，解得， 故，则A到射线的距离为, 所以的最小值为， 故答案为： . 【点睛】关键点点睛：解答本题求解的最小值，关键在于确定向量对应的点所在的轨迹方程，将的最小值转化为曲线上的点之间距离的最小值问题，数形结合，可求解答案. 【变式10-2】．我们把一系列向量按次序排列成一列，称之为向量列，记作.已知向量列满足：，，设表示向量与的夹角，若，对于任意正整数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】利用数量积公式得出，进而得出，从而得出，利用定义证明的单调性，求出其最小值，再解不等式，即可得出实数的取值范围. 【解析】 所以，故， 令 则 所以单调递增，所以，则 因为，所以，则 解得 综上所述， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了数列不等式的恒成立问题，涉及了判断数列的增减性，向量的数量积公式的应用，属于较难题. 【变式10-3】．对任意两个非零的平面向量和，定义，若平面向量、满足，与的夹角，且和都在集合中.给出下列命题： ①若时，则 ②若时，则. ③若时，则的取值个数最多为7. ④若时，则的取值个数最多为. 其中正确的命题序号是 （把所有正确命题的序号都填上） 【答案】①③ 【分析】由新定义可知，再对每个命题进行判断，即可得出结论. 【解析】解：①若时，， 两式相乘得，，， ，，故①正确； ②若时，则，同理， 相乘得到 则取值时符合， 此时，故②错误； ③若时，则， 同理，相乘得， ， 又，得， ， ， ， 的取值个数最多为7个，故③正确. ④若时，由③的推导方法可知， ，，， 的取值个数最多为，故④错误， 故答案为：①③. 【点睛】本题考查向量新定义，考查学生分析解决问题的能力，难度很大. 一、填空题 1．（2024·上海奉贤·三模）复数的虚部是 ． 【答案】 【分析】根据复数虚部的定义即可得解 【解析】复数的虚部是. 故答案为：. 2．（2024·上海·三模）已知复数z满足，则 . 【答案】 【分析】根据复数的除法运算求解即可. 【解析】， ， 故答案为： 3．（2023·上海黄浦·三模）在中，，，的平分线交BC于点D，若，则 ． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，探求出线段与的倍分关系，再结合平面向量基本定理求解作答. 【解析】在中，，，则，又平分，即有，    因此，即有，，整理得， 而，且不共线，于是， 所以. 故答案为： 4．（2023·上海嘉定·一模）已知复平面上一个动点Z对应复数z，若，其中i是虚数单位，则向量扫过的面积为 ． 【答案】 【分析】根据题意，利用复数的几何意义，得到复数表示以为圆心，以为半径的圆的圆面，过原点作圆的切线，切点为，结合三角形和扇形的面积公式，即可求解. 【解析】因为， 根据复数的几何意义，可得复数表示以为圆心，以为半径的圆的圆面， 如图所示，过原点作圆的切线，切点为， 在直角中，可得，所以，且 ， 所以， 所以复数向量扫过的面积为. 故答案为：. 5．（2024·上海·模拟预测）平面内互不重合的点、、、、、、，若，，2，3，4，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】设O为的重心，由重心性质化简可得，可知在以点O为圆心，为半径的圆上，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，进而利用数形结合可求得的最大值与最小值，可得结论. 【解析】设O为的重心，则， ， 因为，所以，设， 则在以点O为圆心，为半径的圆上，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系， 则， 当且仅当，，都在线段上时，等号成立， 又， 当且仅当、、在线段上，且在线段上，在线段上时，等号成立， 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是得到在以点O为圆心，为半径的圆上，由此即可利用数形结合顺利得解. 二、单选题 6．（2024·上海长宁·二模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由充分条件和必要条件的定义结合复数的定义求解即可. 【解析】设，则， 由可得，所以，充分性成立， 当时，即，则，满足， 故“”是“”的充要条件. 故选：C. 7．（2024·上海浦东新·三模）给定平面上的一组向量、，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是（    ） A．和 B． 和 C． 和 D． 和 【答案】C 【分析】根据平面向量共线定理，结合选项，进行逐一分析即可. 【解析】对A：不存在实数，使得， 故和不共线，可作基底； 对B：不存在实数，使得， 故和不共线，可作基底； 对C：对 和，因为是不共线的两个非零向量， 且存在实数，使得， 故和共线，不可作基底； 对D：不存在实数，使得，故和不共线，可作基底. 故选：C. 8．（2024·上海嘉定·二模）已知，，且、不共线，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的数量积写出其夹角的表达式，结合同角三角函数的平方式以及三角形的面积公式，可得答案. 【解析】设与的夹角为，由，则， 由，则. 故选：B. 32 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $$