第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组（单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（北师大版）

第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、单选题 1．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；其中是不等式的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的定义，有理数的大小比较，熟练掌握不等式的定义是解题的关键．根据不等式的定义，逐一判断即可解答． 【解析】解：下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是不等式的有：①②③⑥，共有4个， 故选：B． 2．下列命题中，正确的是 （    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质．熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键；根据不等式的性质：（1）不等式两边都加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． （2）不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． （3）不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【解析】解：A、和均大于，但不一定大于，故选项错误； B、不等式两边同时乘以负数，不等号方向应改变，加减法不改变不等号的符号，故选项错误； C、不等式两边乘以负数，不等号方向改变，加减法不改变不等号的符号，故选项错误； D、不等式两边同时乘以负数，不等号方向应改变，故选项正确； 故选：D 3．如图，数轴上表示的解集是下列哪个不等式的解集（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，一元一次不等式的解法，先解不等式，再根据解集的情况可得答案． 【解析】解：∵，的解集中不含等于号，故A，C不符合题意， ∵， ∴，故B不符合题意； ∵， ∴，故D符合题意； 故选D 4．下列说法中，正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解 C．不等式的整数解有无数个 D．不等式的正整数解有4个 【答案】C 【分析】先求出不等式的解集，再依次判断解的情况． 【解析】解：A、该不等式的解集为，故错误，不符合题意； B、∵，故错误，不符合题意； C、正确，符合题意； D、因为该不等式的解集为，所以无正整数解，故错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了不等式的性质和不等式的解集的理解，解题关键是根据解集正确判断解的情况． 5．若点在第二象限，则的取值范围是（      ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式组，根据第二象限内点的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得不等式组，根据解不等式组，可得答案． 【解析】解：∵点在第二象限， ∴ 解得：， 故选：D． 6．已知不等式的解集是，则一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象，解不等式，由不等式可得，进而由不等式的解集可得，，即得到一次函数的图象经过一、二、四象限，据此即可求解，由不等式的解集确定出的符号是解题的关键． 【解析】解：∵不等式， ∴， ∵不等式的解集是， ∴，， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限， 故选：． 7．某次国学知识竞赛初赛共20道题（满分100分），评分办法是：答对1道题得5分，答错或不答倒扣2分．选手要得到70分以上（含70分），至少需要答对（   ） A．16题 B．15题 C．14题 D．17题 【答案】A 【分析】本题主要考查了不等式的应用，解题的关键是根据不等关系，列出不等式．设答对道题，答错或不答的题目为道，根据选手要得到70分以上（含70分），列出不等式，解不等式即可． 【解析】解：设答对道题，答错或不答的题目为道，根据题意，得： ， 解得， ∴至少要答对16道题才能得到70分以上（含70分）． 故选：A． 8．若不等式的解集表示在数轴上如图所示，则被墨迹污染的数字是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，在数轴上表示不等式的解集，设被墨迹污染的数字为，求出，的解集为 ，根据解集在数轴上表示可得，解方程即可． 【解析】解：设被墨迹污染的数字为， 解不等式，得 ， 由题图可知该不等式的解集为， 所以 ，解得． 故选：C． 9．若方程的解是非负数，则的取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程和解一元一次不等式，熟练掌握解方程和不等式的方法是解题的关键．先解一元一次方程，再根据题意构建关于的一元一次不等式，最后解不等式即可． 【解析】解：解方程，可得， ∵该方程的解是非负数， ∴， 解得． 故选：D． 10．若关于的不等式组有解，则在其解集中，整数的个数不可能是（   ） A．0 B．1 C．3 D．5 【答案】A 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．先分别求出每一个不等式的解集，再根据不等式组有解，求出，即可求解． 【解析】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， ∵不等式组有解， ∴， 解得， 将不等式两边分别乘以再加4变形得到， ∴不等式的解必有一个整数解2， 整数的个数不可能是0， 故选：A． 二、填空题 11．若是关于的一元一次不等式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义可得且，据此求解即可，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 【解析】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴且， 解得， 故答案为：． 12．如图，、、三人在公园玩跷跷板，则、、三人中体重最小的是 ．（填“A”、“”或“”）．    【答案】B 【分析】本题考查了有理数大小比较以及不等式的性质，掌握不等式的性质是解答本题的关键．根据题意可得，，再根据不等式的性质可得答案． 【解析】解：由题意得，，， ， 、、三人中体重最小的是， 故答案为：B 13．已知关于的不等式的解集为，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 根据不等式的性质可得，然后求解即可． 【解析】解：由题意得：，解得：． 故答案为：． 14．不等式组的最小整数解是 ． 【答案】4 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解．分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而确定出最小整数解即可． 【解析】解：， 由得， 由得， 不等式组的解集为， 则不等式组的最小整数解为4． 故答案为：4． 15．如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握一次函数的图象与一元一次不等式的关系是解题的关键．先利用正比例函数确定点坐标，利用即的图象在的图象下方所对应的自变量的取值范围，观察图象即可得到答案． 【解析】解：把代入， 得， 解得：， 故， ∵即的图象在的图象下方所对应的自变量的取值范围， 结合图象得当时，， 则不等式的解集为． 故答案为：． 16．若关于x的不等式组的解集为，则实数a的取值范围为 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．首先解每个不等式，然后根据不等式组的解集，即可求得答案． 【解析】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于x的不等式组的解集为， ∴，解得， 故答案为：． 17．若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解二元一次方程组和解一元一次不等式，解答此题的关键是把当作已知数表示出的值，再得到关于的不等式． 首先解关于和的方程组，利用表示出，代入即可得到关于的不等式，求得的范围． 【解析】解：， 得， 则， ∵ ∴， 解得． 故答案是：． 18．“输入一个实数 x，然后经过如图的运算，到判断是否大于 190 为止”叫做一次操作，那么恰好经过三次操作停止，则x的取值范围是 ．      【答案】 【分析】本题首先理清流程图，继而将解题过程分为三步，按照流程图指示列不等式求解x范围，最后取其公共解集． 【解析】由已知得： 第一次的结果为：，没有输出，则，求解得； 第二次的结果为：，没有输出，则，求解得； 第三次的结果为：，输出，则，求解得； 综上可得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查不等式的拓展，解题关键在于读懂流程图，按要求列出不等式，其次注意计算仔细即可． 三、解答题 19．根据下列数量关系列不等式： (1)x的7倍减去1是正数． (2)y的与的和不大于0． 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）根据“x的7倍减去1是正数”直接列不等式即可； （2）根据“y的与的和不大于0”直接列不等式即可； （3）根据“正数a与1的和的算术平方根大于1”直接列不等式即可； （4）根据“y的20%不小于1与y的和”直接列不等式即可． 【解析】（1）解：由题意得：； （2）解：由题意得：； 20．解下列不等式或不等式组，并将解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 【答案】(1)；数轴见解析 (2)；数轴见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式或不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点． （1）先去括号，再移项，合并同类项，最后系数化为1，最后将解集表示在数轴上即可； （2）先求出两个不等式的解集，然后求出不等式组的解集，最后将解集表示在数轴上即可. 【解析】（1）解：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 将解集表示在数轴上，如图所示：    （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 将解集表示在数轴上，如图所示：    21．解不等式组，并求出它的所有非正整数解的和． 【答案】， 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，熟练掌握该知识点是解题的关键．先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出范围内的非正整数，即可得到答案． 【解析】解： 解①得， 解②得， 原不等式组的解为： 非正整数解为、、、0 所有非正整数解的和为． 22．下面是小明解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得……第一步 去括号，得……第二步 移项，得……第三步 合并同类项，得……第四步 两边都除以5，得……第五步 (1)小明的解答过程是从第 步开始出错的，这一步正确的结果为 ，此步骤的依据是 ． (2)请你写出此题正确的解答过程，并将解表示在数轴上． 【答案】(1)一；；不等式的性质2 (2)过程见解析，数轴见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集： （1）根据解一元一次不等式的基本步骤解答即可； （2）求出不等式的解集，并在数轴上表示出来即可． 【解析】（1）解：去分母时，常数项漏乘最小公倍数，故小明的解答过程是从第一步开始出错的，这一步正确的结果为，此步骤的依据是不等式的性质2， 故答案为：一；；不等式的性质2； （2） ， ， ， ， ， 在数轴上表示为： ． 23．（1）如果，那么 ；如果，那么 ；如果，那么 ． （2）请利用（1）中的方法比较下列整式的大小：①和②和 【答案】（1），，；（2）①；② 【分析】本题考查等式的性质以及不等式的性质，解题的关键是熟练运用等式的性质以及不等式的性质． （1）根据等式的性质以及不等式的性质即可求出答案． （2）根据（1）的大小比较方法即可求出答案． 【解析】解：（1）如果，那么； 如果，那么； 如果，那么． 故答案为：，，； （2）①， ∴． ②， ． 24．（1）已知关于x的不等式的正整数解恰好是1，2，3，求a的取值范围． （2）已知不等式组只有一个整数解，试确定a的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题属于含有字母的不等式问题，主要考查了一元一次不等式（组）的整数解，首先用含字母的代数式表示不等式（组）的解集，再根据列出关于此字母的不等式组，解之即得． （1）首先求得不等式的解，再根据不等式的正整数解即可得到一个关于a的不等式组，即可求得a的范围； （2）首先求出两个不等式的解集，确定出不等式组的解集，再根据不等式整数解的个数确定a的取值范围． 【解析】解：（1）原不等式的解集为． 关于x的不等式的正整数解恰好是1，2，3， 所以， 所以a的取值范围是． （2）解不等式， 得， 所以． 解不等式， 得， 所以． 所以只有当时，原不等式组才有解，且解集为． 因为原不等式组只有一个整数解， 所以由条件，得， 所以a的取值范围是． 25．某商场计划一次性购进A，B两种商品共120件，每件商品的销售利润分别为A种商品100元，B种商品150元．其中B种商品的进货量不超过A种商品的2倍，设购进A种商品x件，这120件商品的销售总利润为y元． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)该商场购进A种，B种商品各多少件，才能使销售总利润最大？ 【答案】(1)与之间的函数表达式为（的整数） (2)该商场购进种商品40件、种商品80件，才能使销售总利润最大 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，找准等量关系是解题的关键． （1）根据题意列出一次函数即可； （2）根据函数解析式得到y随x的增大而减小，利用一次函数的性质即可得到答案． 【解析】（1）解：根据题意得，， 由， 解得：， 与之间的函数表达式为（的整数）； （2）解：由（1）知随的增大而减小， 当时，有最大值，则， 该商场购进种商品40件、种商品80件，才能使销售总利润最大． 26．如图，直线与x轴交于点，且经过点，直线与交于点． (1)求的值； (2)求直线的表达式； (3)根据图象，直接写出关于的不等式组的解集． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）把点的坐标代入直线的解析式求出的值； （）根据点的坐标，利用待定系数法求一次函数解析式解答； （）观察图象，可直接写出的解集； 本题考查了直线与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，利用一次函数图象解不等式，熟练掌握并灵活运用知识点是解题的关键． 【解析】（1）解：把的坐标代入，得， 解得：； （2）解：把，的坐标代入， 得， 解得， ∴直线的表达式为； （3）解：观察图象，可知解集是． 27．【定义】若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”．例如：的解为的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”． 【问题解决】（1）在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是______（填序号）； （2）若关于的方程是不等式组的“子方程”，求的取值范围； （3）若方程是关于的不等式组的“子方程”，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①②；（2）；（3） 【分析】（1）先分别求得各一元一次方程的解和不等式组的解集，再根据题中定义判断即可解答； （2）先求得方程和不等式组的解集，再根据定义得到关于k的不等式组，然后解不等式组即可求解； （3）先解方程，再求出不等式组的解集，然后根据定义求解即可． 【解析】（1）解：解方程得：， 解方程得：， 解方程得：， 解不等式组得：， 所以不等式组 的“子方程”是①②． （2）解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， 解方程，得， 由题意，得， ∴， 解得：； （3）解方程，得：， 解不等式组得：， ∴不等式组得解集为， ∴在范围内， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查解一元一次方程和一元一次不等式组，以及一元一次方程的解和一元一次不等式组的解集的关系，理解题中定义，正确得到满足条件的参数对应的不等式（组）是解答的关键． 28．如图，在长方形ABCD中，，，点以每秒1个单位长度的速度从点向点运动，同时点以每秒2个单位长度的速度从点向点运动，设、两点运动的时间为（秒），点为边上任意一点（点不与点、重合），连接、． (1)请直接用含，的代数式表示线段的长度； (2)当时． ①若点是的中点，当图中存在等腰三角形时，求的值； ②若与全等，求的长； (3)若在边上总存在点，使得（点、、的对应点分别为点、、），请直接写出的取值范围． 【答案】(1)线段的长度为 (2)①；②或 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的性质，列代数式，一元一次不等式的应用；熟练掌握相关定理是解题的关键．注意当不能确定对应点的时候要注意分情况讨论． （1）利用路程，速度，时间的关系求出，即可解决问题； （2）当时．由题意得：， ①若点是的中点，则，根据题意只有，解答即可． ②由题意得：，当时：当时，分别建立方程，解方程即可求解； （3）由，知，故，得，可得，即可解得答案． 【解析】（1）解：根据题意，， ， ∴线段的长度为； （2）解：当时． 由题意得：， ①若点是的中点，则， 当时，，解得：． ②当时，， 解得：， 此时； 当时：， 解得：， 此时； 综上所述：或时，与全等； （3）解：， ， 由知：， 解得：， ， ， 即． ， ， ， 即； 由①②解得：， ∴满足条件的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司18 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；其中是不等式的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．下列命题中，正确的是 （    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．如图，数轴上表示的解集是下列哪个不等式的解集（    ） A． B． C． D． 4．下列说法中，正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解 C．不等式的整数解有无数个 D．不等式的正整数解有4个 5．若点在第二象限，则的取值范围是（      ） A． B． C．或 D． 6．已知不等式的解集是，则一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 7．某次国学知识竞赛初赛共20道题（满分100分），评分办法是：答对1道题得5分，答错或不答倒扣2分．选手要得到70分以上（含70分），至少需要答对（   ） A．16题 B．15题 C．14题 D．17题 8．若不等式的解集表示在数轴上如图所示，则被墨迹污染的数字是（   ） A． B． C． D． 9．若方程的解是非负数，则的取值是（    ） A． B． C． D． 10．若关于的不等式组有解，则在其解集中，整数的个数不可能是（   ） A．0 B．1 C．3 D．5 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．若是关于的一元一次不等式，则 ． 12．如图，、、三人在公园玩跷跷板，则、、三人中体重最小的是 ．（填“A”、“”或“”）．    13．已知关于的不等式的解集为，则的取值范围是 ． 14．不等式组的最小整数解是 ． 15．如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为 ． 16．若关于x的不等式组的解集为，则实数a的取值范围为 17．若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围是 ． 18．“输入一个实数 x，然后经过如图的运算，到判断是否大于 190 为止”叫做一次操作，那么恰好经过三次操作停止，则x的取值范围是 ．      三、解答题（本大题共10小题，共66分） 19．根据下列数量关系列不等式： (1)x的7倍减去1是正数． (2)y的与的和不大于0． 20．解下列不等式或不等式组，并将解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 21．解不等式组，并求出它的所有非正整数解的和． 22．下面是小明解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得……第一步 去括号，得……第二步 移项，得……第三步 合并同类项，得……第四步 两边都除以5，得……第五步 (1)小明的解答过程是从第 步开始出错的，这一步正确的结果为 ，此步骤的依据是 ． (2)请你写出此题正确的解答过程，并将解表示在数轴上． 23．（1）如果，那么 ；如果，那么 ；如果，那么 ． （2）请利用（1）中的方法比较下列整式的大小：①和②和 24．（1）已知关于x的不等式的正整数解恰好是1，2，3，求a的取值范围． （2）已知不等式组只有一个整数解，试确定a的取值范围． 25．某商场计划一次性购进A，B两种商品共120件，每件商品的销售利润分别为A种商品100元，B种商品150元．其中B种商品的进货量不超过A种商品的2倍，设购进A种商品x件，这120件商品的销售总利润为y元． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)该商场购进A种，B种商品各多少件，才能使销售总利润最大？ 26．如图，直线与x轴交于点，且经过点，直线与交于点． (1)求的值； (2)求直线的表达式； (3)根据图象，直接写出关于的不等式组的解集． 27．【定义】若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”．例如：的解为的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”． 【问题解决】（1）在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是______（填序号）； （2）若关于的方程是不等式组的“子方程”，求的取值范围； （3）若方程是关于的不等式组的“子方程”，直接写出的取值范围． 28．如图，在长方形ABCD中，，，点以每秒1个单位长度的速度从点向点运动，同时点以每秒2个单位长度的速度从点向点运动，设、两点运动的时间为（秒），点为边上任意一点（点不与点、重合），连接、． (1)请直接用含，的代数式表示线段的长度； (2)当时． ①若点是的中点，当图中存在等腰三角形时，求的值； ②若与全等，求的长； (3)若在边上总存在点，使得（点、、的对应点分别为点、、），请直接写出的取值范围． 【学以致用】 （3）如图⑤，和都是等腰直角三角形，，，，分别交，于点，，其中是的中点，连接，若，求的长． 学科网（北京）股份有限公司1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$