精品解析：上海市黄浦区向明中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷

2024-2025学年上海市黄浦区向明中学高二（上）月考数学试卷（12月份） 一、单选题：本题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 当我们停放自行车时，只要将自行车的排脚放下，自行车就稳了，这用到了（ ） A. 三点确定一个平面 B. 不在同一直线上的三点确定一个平面 C. 两条相交直线确定一个平面 D. 两条平行直线确定一个平面 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面基本事实可得正确的选项. 【详解】自行车的前轮、后轮、排脚与地面的三个接触点不在同一条直线， 它们可以确定一个平面，因此自行车就稳了， 故选：B. 2. 若的展开式中第5项的二项式系数最大，则不可能取值（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用二项式系数的性质，直接求出的取值，即可求出结果. 【详解】当为偶数时，二项式系数最大项为第项， 又由题知展开式中第5项的二项式系数最大，所以，解得， 当为奇数时，二项式系数最大项为第项和第项， 由题有或，得到或， 故选：D. 3. 已知数列为无穷等比数列，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据可得，则，再利用不等式的性质求解即可. 【详解】因为为无穷等比数列，，设数列的公比为， 则，所以，可得. 所以是以为首项，以为公比的等比数列， 且，此时，且， 所以. 因为 所以，时等号成立； 即的取值范围为. 故选：B. 4. 设为数列的前n项和，k为常数且，有以下两个命题： ①若是公差不为零的等差数列，则是的充分非必要条件， ②若是等比数列，则是的充要条件，那么（ ） A. ①是真命题，②是假命题 B. ①、②都是真命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①、②都是假命题 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由等差数列和等差数列的前项和性质分析①的真假，由等比数列和等比数列的前项和性质分析②的真假，综合可得答案. 【详解】根据题意，对于命题①，是公差不为零的等差数列， 若，则在中，至少有一项为， 假设，则， 必有， 反之，在等差数列中，若， 则，有，则成立， 但不成立， 则是的充分非必要条件，故①正确； 对于命题②，若是等比数列，设其公比为，若，时， 有，则中，至少有一项为，则， 假设，则有，必有， 又由，必有为偶数且，故， 反之，若，则，必有，则有，， 则，所以是等比数列， 则是的充要条件， 故②正确. 故选：B. 二、填空题：本题共12小题，共42分. 5. 直线与平面所成角的范围是_________________. 【答案】 【解析】 【分析】利用直线与平面所成角的定义可得结论. 【详解】直线和平面所成的角，应分三种情况： ①直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角； ②直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为； ③直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为． 显然，斜线和平面所成角的范围是；直线和平面所成的角的范围为． 故答案为：． 6. 表面积为的球的半径为______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据球的表面积公式，即可求解． 【详解】设球的半径为， 则球的表面积为，解得 故答案为： 7. 垂直于同一直线的两条直线的位置关系是______. 【答案】相交、平行或异面 【解析】 【分析】在正方体中分别找与出相交、平行或异面的直线. 【详解】 如图，在正方体中，，为相交直线； ，为平行直线； ，为异面直线， 所以垂直于同一直线的两条直线的位置关系可能是相交、平行或异面. 故答案为：相交、平行或异面 8. 如果圆锥的底面圆半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为_______. 【答案】 【解析】 【分析】由圆锥的侧面积公式即可求解． 【详解】由圆锥的侧面积公式 故答案为：2π 9. 满足等式的所有整数x组成的集合为______. 【答案】 【解析】 【分析】由组合数公式的性质列式求解． 【详解】由， 得，或， 解得：或 故答案为： 10. 展开式中项的系数为______用数字作答 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式定理即可求解． 【详解】的展开式的通项为， 令，0得的系数为 故答案为： 11. 数列的通项公式是，若数列是递增的，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据数列的单调性建立不等式，结合一次函数的单调性，可得答案. 【详解】由数列是递增的，则，即， 整理可得，由一次函数的单调性且，则， 解得. 故答案为：. 12. 设，向量，，，且，，则__________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据空间向量平行和垂直的坐标表示求出和的值，进而可得的坐标，再由模长的坐标表示计算模长即可求解. 【详解】因为，，，且，， 所以，，可得，， 所以，，， 所以. 故答案为：. 13. 将4本不同的书分给3位同学，每人至少一本，不同的分法有______种. 【答案】 【解析】 【分析】分两步，先将书分成3组，再全排列分给三个同学. 【详解】根据题意，分2步进行分析 将4本书分成3组，有1组两本，两组一本，有种分法， 将分好的三组全排列，对应3名学生，有种情况， 则不同的分配方法有种. 故答案为： 14. 将一个棱长为a的正方体切成64个全等的小正方体，其表面积增加了______. 【答案】 【解析】 【分析】求出正方体的表面积，然后求出一个小正方体的表面积，即可得到结论． 【详解】由题意可知正方体的表面积为， 小正方体的棱长为， 小正方体的表面积为， 64个全等的小正方体的表面积为， 表面积增加了 故答案为： 15. 已知棱长为的正方体中， 为侧面中心，在棱上运动， 正方体表面上有一点满足，则所有满足条件的点构成图形的面积为______． 【答案】. 【解析】 【详解】分析：先考虑两种特殊情况，假设点F和点D重合，假设点F和点A重合，求出每一种情况下点P的轨迹，再根据题意得到点P的轨迹在正方体表面组成的图形，最后求图形的面积. 详解： 如图所示，记中点为， 假设点F和点D重合，作平面和正方体的左侧面、右侧面和下底面的交线，则分别为点P在上运动. 假设点F和点A重合，作平面和正方体的左侧面、右侧面和下底面的交线，则分别为点P在上运动. 所以点F在AD上运动时，所求图形为直角梯形、、． 所以所求图形的面积为 故答案为. 点睛：本题主要考查空间想象能力，考查极限的思想.要确定点P的轨迹在正方体表面组成的图形，不是很好处理，所以可以先考虑两种特殊情况，特殊情况下点P的图形确定了，动点P的轨迹组成的图形就容易确定了. 16. 从、、、、这个数中任取个不同的数、、、，则存在且、，使得的取法种数为______.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，用间接法分析：先计算“、、、、这个数中任取个不同的数”的取法，排除其中不符合题意的取法，即可得答案． 【详解】根据题意，从、、、、这个数中任取个不同的数、、、，有种取法， 假设， 若不存在且、，使得， 则有， 在、、、、中任取个不同的数，依次表示、、、， 此时有种不符合题意的取法， 则有种符合题意的取法． 故答案为：. 三、解答题：本题共5小题，共46分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 如图所示，，，，与，分别在平面的两侧，，．求证：，，三点共线. 【答案】 ，，，与，分别在平面的两侧， ，、、、构成一个平面， ，．，， 、、是平面与平面的公共点， 、、都在平面与平面的交线上， ，，三点共线． 【解析】 【分析】推导出、、是平面与平面的公共点，由此能证明，，三点共线． 【详解】略 18. 如图，在直三棱柱中，，点E，F分别为棱，的中点. （1）求异面直线与AF的夹角； （2）求点F到平面的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线所成角即可； （2）利用向量法求点到平面的距离即可． 【小问1详解】 以为原点建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设直线与直线AF的夹角为，则， 故直线与直线AF的夹角为 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，则， 所以点到平面的距离为 19. 已知数列的前n项和为 （1）若数列为等差数列，，求数列的通项公式； （2）若数列为等比数列，，求满足时，正整数n的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据、，利用等差数列的前n项和公式算出公差d，进而可得的通项公式； （2）求出等比数列的公比，求出和的关表达式，将化简为关于n的不等式，进而求得n的最小值． 【小问1详解】 （1）根据题意，设等差数列的公差为d， 又由，则， 又，则，解得， 所以； 【小问2详解】 根据题意，设的公比为q， ，则，解可得， 则，而， 若，则有， 化简得，又由且，则有， 所以n的最小值为 20. 如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥，四边形是等腰梯形，平面，在上. （1）为保证风筝飞行稳定，需要在处引一尼绳，使得，求证：直线平面； （2）实验表明，当时，风筝表现最好，求此时直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 四边形是等腰梯形且，、，易知：， 连接，则，故， 平面平面， 平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）由等腰梯形的性质可得，连接，易证，根据线面平行的判定证明结论. （2）由题设，构建以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求面的法向量、直线的方向向量，应用空间向量夹角的坐标表示，求线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面平面， ∴. ， . 又，则以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， ， ， 设面的法向量为，则， 令，可得， 设与平面所成角为. ∴，即与面所成角的正弦值为. 21. 如图，已知四面体中，平面，. （1）求证：； （2）《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，若此“鳖臑”中，，有一根彩带经过面与面，且彩带的两个端点分别固定在点和点处，求彩带的最小长度； （3）若在此四面体中任取两条棱，记它们互相垂直的概率为；任取两个面，记它们互相垂直的概率为；任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为. 试比较概率、、的大小. 【答案】（1）因为平面，平面BCD， 所以， 又，，平面ABC， 所以平面， 因为平面ABC， 所以； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直得到，结合得到线面垂直，进而证明出线线垂直； （2）将面与面沿展开成如图所示的平面图形，连接BD，即为所求，利用余弦定理求出答案即可； （3）利用组合知识及列举法求出、、的大小，比较出大小关系. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 将面与面沿展开成如图所示的平面图形，连接BD， 由（1）知：∠ACD=90°， 因为平面，平面BCD， 所以AB⊥BC， 因为， 所以∠ACB=45°， 故展开后， 所以彩带的最小长度为此平面图中长. 由余弦定理得：， 所以彩带的最小长度为； 【小问3详解】 6条棱中任选2条，共有种情况， 其中， 所以， 四个面任取两个面，共有种情况， 其中平面平面BCD，平面平面ACD，平面ABD⊥平面BCD， 故， 任取一个面和不在此面上的一条棱，先从四个平面任选一个平面，有种情况， 再从不在此面上的三条棱中选1条，有种情况，故共有种情况， 其中满足垂直关系的有2种，分别为平面BCD和棱AB，平面ABC和棱CD， 故， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上海市黄浦区向明中学高二（上）月考数学试卷（12月份） 一、单选题：本题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 当我们停放自行车时，只要将自行车的排脚放下，自行车就稳了，这用到了（ ） A. 三点确定一个平面 B. 不在同一直线上的三点确定一个平面 C. 两条相交直线确定一个平面 D. 两条平行直线确定一个平面 2. 若的展开式中第5项的二项式系数最大，则不可能取值（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 3. 已知数列为无穷等比数列，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 设为数列的前n项和，k为常数且，有以下两个命题： ①若是公差不为零的等差数列，则是的充分非必要条件， ②若是等比数列，则是的充要条件，那么（ ） A. ①是真命题，②是假命题 B. ①、②都是真命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①、②都是假命题 二、填空题：本题共12小题，共42分. 5. 直线与平面所成角的范围是_________________. 6. 表面积为的球的半径为______. 7. 垂直于同一直线的两条直线的位置关系是______. 8. 如果圆锥的底面圆半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为_______. 9. 满足等式的所有整数x组成的集合为______. 10. 展开式中项的系数为______用数字作答 11. 数列的通项公式是，若数列是递增的，则实数的取值范围是______． 12. 设，向量，，，且，，则__________. 13. 将4本不同的书分给3位同学，每人至少一本，不同的分法有______种. 14. 将一个棱长为a的正方体切成64个全等的小正方体，其表面积增加了______. 15. 已知棱长为的正方体中， 为侧面中心，在棱上运动， 正方体表面上有一点满足，则所有满足条件的点构成图形的面积为______． 16. 从、、、、这个数中任取个不同的数、、、，则存在且、，使得的取法种数为______.（用数字作答） 三、解答题：本题共5小题，共46分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 如图所示，，，，与，分别在平面的两侧，，．求证：，，三点共线. 18. 如图，在直三棱柱中，，点E，F分别为棱，的中点. （1）求异面直线与AF的夹角； （2）求点F到平面的距离. 19. 已知数列的前n项和为 （1）若数列为等差数列，，求数列的通项公式； （2）若数列为等比数列，，求满足时，正整数n的最小值. 20. 如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥，四边形是等腰梯形，平面，在上. （1）为保证风筝飞行稳定，需要在处引一尼绳，使得，求证：直线平面； （2）实验表明，当时，风筝表现最好，求此时直线与平面所成角的正弦值. 21. 如图，已知四面体中，平面，. （1）求证：； （2）《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，若此“鳖臑”中，，有一根彩带经过面与面，且彩带的两个端点分别固定在点和点处，求彩带的最小长度； （3）若在此四面体中任取两条棱，记它们互相垂直的概率为；任取两个面，记它们互相垂直的概率为；任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为. 试比较概率、、的大小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $