章节综合训练一 数与式（测试）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（湖南专用）

章节综合训练一 数与式 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．祖国主权，寸土不让．钓鱼岛列岛是我国自古以来的固有领土，共由个主岛组成，其中最小的主岛是飞屿，面积约为平方公里，请用科学记数法表示飞屿的面积约为（   ）平方公里． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是熟记科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数． 【详解】解：将用科学记数法表示为． 故选：C． 2．多项式分解因式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，将看作一个整体，根据完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：． 故选：A． 3．若是一个完全平方式，则k的值是（    ） A．12 B． C．9 D．36 【答案】B 【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的特点进行求解即可． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴； 故选B． 4．已知，，那么代数式的值为（   ） A．7 B．10 C．17 D．70 【答案】D 【分析】本题主要考查代数式求值，因式分解，先把代数式因式分解，再代入求值，即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 5．若，则的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，一元一次方程的应用，根据同底数幂的乘法可得出，然后解一元一次方程即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知：， 解得：． 故选：A． 【新考法】 数学与实际生活——生活中的数学原理 6．照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分式的基本性质，把等式恒等变形，用含f、v的代数式表示u． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查分式的加、减法运算，关键是异分母通分，掌握通分法则． 【新考法】 数学与规律探究——表格类规律 7．将正整数1至2020按一定规律排列如图所示，平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（   ） A．2018 B．2013 C．2019 D．2040 【答案】B 【分析】本题考查了数字类规律探索、一元一次方程的应用，正确找出数字的规律是解题关键．设方框中三个数依次为，则方框中三个数的和为，根据每个选项的数建立方程，求出的值，再判断所在的位置，分析是否可以形成三数相连，由此即可得． 【详解】解：设方框中三个数依次为，则方框中三个数的和为， 若，则，不是整数，舍去，则选项A不符合题意； 若，则， 因为， 所以671位于第84行第7列， 所以671的前后都可以有数，可以形成三数相连，即，则选项B符合题意； 若，则， 因为， 所以673位于第85行第1列，不能形成三数相连，则选项C不符合题意； 若，则， 因为， 所以680位于第85行第8列，不能形成三数相连，则选项D不符合题意； 故选：B． 8．如下是嘉淇同学的答题情况，则她的得分应是（    ） 姓名：嘉琪  得分：？ 填空题（每小题20分） ①的绝对值是 ②的倒数是 ， ③的相反数是 ④ A．分 B．分 C．分 D．分 【答案】A 【分析】本题主要考查绝对值的性质“负数的绝对值的正数”、相反数的定义、倒数的定义、有理数乘方运算及有理数的乘法，掌握其概念是解决此题的关键；根据绝对值的性质、相反数的定义及倒数的定义求解即可． 【详解】解：的绝对值是，故①正确， 的倒数是，故②错误， 的相反数是，故③错误， ，故④错误， ∴得分应为（分）． 故选：A． 【新考法】与代数式有关的新定义问题 9．在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“Σ”．如， ．若，则常数a，b的值分别是（   ） A．10，54 B．，54 C．10，55 D．，55 【答案】B 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是关键． 根据题目给出的运算符号，把算式转化为整式运算，再化简求解即可． 【详解】解：， 所以， 则，即 ， ， ， 故选：B． 10．从a，b，c三个数中任意取两个数相加再减去第三个数，根据不同的选择得到三个结果，称为一次操作．下列说法： ①若，则三个数中最大的数是5； ②若，中的最小值为1，则x的值为1或4； ③给定a，b，c三个数，将第一个操作的三个结果按上述方法再进行一次操作，得到三个结果，以此类推，第2024次操作的结果是，则．其中正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查新定义计算，整式加减运算，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，准确计算．根据新定义计算法则求出即可判断①；根据新定义计算法则求出，，，即可判断最小值为或，分类讨论求出x的值，即可判断②；根据新定义计算法则求出，，即得出规律，从而可判断③． 【详解】解：①∵， ∴，，， ∴三个数中最大的数是5，故①正确； ②∵， ∴，，， ∴中的最小值为或， ∴或， 解得：或，故②错误； ∵给定a，b，c三个数， ∴． ∵将第一个操作的三个结果按上述方法再进行一次操作，得到三个结果， ∴， …… ∴， ∴，故③错误． 综上可知正确的有1个． 故选B． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．比较大小： （填“”，“”或“=”） 【答案】 【分析】根据无理数估算，实数的大小比较解答即可． 本题考查了实数的大小比较，能选择适当的方法比较两个数的大小是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 故答案为：． 12．若与是同类项，则的值为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了同类项的定义，根据同类项的定义得出，，再求解即可． 【详解】解：由同类项定义可知：，， 解得，， ∴． 故答案为：16． 13．如图，数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则的结果是 ． 【答案】a 【分析】本题考查了数轴的定义、绝对值的化简、整式的加减，掌握理解数轴的定义是解题关键． 先根据数轴的定义得出有理数a，b的符号和绝对值大小，从而可得，的正负，再进行绝对值运算即可． 【详解】解：由数轴的定义得：， ∴， ∴， 故答案为：a． 14．计算： ； ． 【答案】 1 【分析】本题考查零指数幂，单项式乘以单项式，根据相应的运算法则，进行计算即可． 【详解】解：，； 故答案为：1，． 15．已知符号f表示一种运算，，例如，，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查有理数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据题意中的运算代入求值即可． 【详解】解：由题意可得． 故答案为：． 【新考法】 信息题 16．进制也就是进位制，是人们规定的一种进位方法，对于任何一种进制进制，就表示某一位置上的数运算时是逢进一位．我们常把用进制表示的数写成．类比于十进制，我们可以知道：进制表示的数中，右起第一位上的表示，第二位上的表示，第三位上的表示，第四位上的表示，故，，若一个五进制三位数与八进制三位数之和能被整除（，且、均为整数），则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算、整式的加减的应用、列代数式；先表示出和，再求和得出，结合能被13整除且，即可得解； 【详解】解：，， ∴， ∵一个五进制三位数与八进制三位数之和能被13整除， ∴能被整除， ∵， ∴； 故答案为：． 三．解答题（共9小题，满分72分，其中17、18、19题每题6分，20题、21题每题7分，22题8分，23题9分，24题10分，25题13分） 【新考法】 数学与实际生活——生活中的数学 17．某商场在国庆期间开展双重特惠：一、商场内所有商品按标价的出售；二、满减活动：按消费金额（即标价的）再进行满减． 消费金额 满元 满元 满元 满元 满减金额 元 元 元 元 例如：A顾客购买一件标价元的商品，则实付元，共优惠了元． (1)若B顾客购买一件标价为元的商品，则可优惠多少钱？ (2)若C顾客购买一件标价为x元（）的商品，那么该顾客可以优惠多少钱？（用含x的代数式表示） 【答案】(1)元 (2)当时，优惠元；当时，优惠元 【分析】本题考查了整式加减的应用，根据题意列出对应的代数式是解题的关键． （1 ）根据题意计算出实付，再根据“优惠=标价－实付”计算即可； （2 ）根据题意，分别表示出当和时的优惠即可． 【详解】（1）解：实付（元）， （元）． ∴可优惠元． （2）解：∵（元）， ∴当时，即，实付元， 优惠了（元）； 当时，即，实付元， 优惠了元． 18．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平方差公式、完全平方公式、分式的加减运算等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先利用平方差及完全平方公式计算，然后再合并同类项即可； （2）直接利用分式的加减运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 19．先化简，再求值：，其中． 【答案】见解析 【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式括号中两项利用异分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 20．如图，在数轴上点、、所表示的实数分别为0、1、，若点到点的距离与点到点A的距离相等，设点表示的实数为． (1)写出实数的值； (2)求． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、数轴上两点间的距离、一元一次方程的应用等知识点，正确表示出线段长是解题的关键． （1）利用点到点的距离与点到点A的距离相等，并结合A，B，C的位置列关于x的一元一次方程求解即可； （2）直接把（1）所得x的值代入进行计算即可． 【详解】（1）解：∵点O，B，C所表示的数分别为0，1，， ∴， ∵点B到点C的距离与点O到点A的距离相等， ∴，即， ∴． （2）解：． 21．用乘法公式计算． (1)已知，，求的值． (2)已知，求的值． 【答案】(1)53 (2)14 【分析】（1）根据，，求和解答即可． （2）根据完全平方公式解答即可． 本题考查了完全平方公式的变形计算，求代数式的值，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 【新考法】与实数有关的新定义问题 22．定义：任意两个数a，b，按规则得到一个新数c，称所得的新数c为数a、b的“传承数”． (1)若，求a，b的“传承数”c； (2)若，且，求a，b的“传承数”c； (3)若，且a，b的“传承数”c的值为一个整数，则整数n的值是多少？ 【答案】(1) (2)1或 (3)2或0或4或 【分析】本题考查新定义，分式的求值，分式的加减运算： （1）根据已知条件中的新定义，把a，b的值代入，进行计算即可； （2）先根据，利用完全平方公式，求出的值，然后根据求出c即可； （3）根据已知条件中的新定义，把a，b的值代入，求出c，从而求出答案即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴a，b的“传承数”c的值为； （2）∵， ， ， ， ∵c是a，b的“传承数”， ∴ ， 当时，； 当时，； ∴a，b的“传承数“c为1或； （3）∵c是a，b的“传承数”， ∴ ， ∵c，n都为整数， ∴或， 解得：或0或4或． 【新考法】与数学思维有关的问题 23．我们知道，在数学学习中，分类讨论是一种重要的数学思想，能使思维更加严谨和全面．请你运用所学知识，解答下面的问题： (1)若都是有理数，，且，求的值； (2)若都是非零的有理数，且满足同号，求的值； (3)若都是有理数，且，则的值可能是多少？ 【答案】(1)的值是10或4； (2)的值为2或； (3)的值可能是或． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，绝对值的性质等知识点， (1)根据,都是有理数，,,且,可以得到、的值，然后代入所求式子计算即可； (2)根据都是非零的有理数，且满足同号，可知或,然后代入所求式子计算即可； (3)根据都是有理数，且,可知中三正或一正两负，然后代入所求式子计算即可； 熟练掌握有理数的混合运算法则并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】（1）解：都是有理数,,且， 或, 当时，， 当时，； ∴由上可得，的值是10或4； （2）解：都是非零的有理数，且满足同号， ,或,, 当时，， 当时，， ∴由上可得，的值为2或； （3）解：都是有理数，且, 中三正或一正两负，不妨设或, 当时，， 当时，， ∴由上可得，的值可能是或． 24．已知的三边，，满足等式：．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用．掌握以上知识是解答本题的关键． 本题由原式通过因式分解得到，由此可以求得a、b、c间的数量关系． 【详解】解：， ， ， ， 或． ， ， ， 即是等腰三角形． 【新考法】 利用数形结合解决计算问题 25．【阅读材料】调查数据显示，某小区居民平均每周去卖场的频数F与卖场的占地面积s（单位：）以及卖场与居住小区的距离h（单位：m）有关，如图1是频数F与之间关系的散点图．根据散点图可知，F与之间关系可合理估计为（k 为定值，）； 【理解应用】如图2，乙卖场（B点）位于甲卖场（O点）的正东方向，安居小区（A点）位于甲卖场的东偏南方向，过点A作的垂线段，已知与分别表示的实际距离为与，甲卖场的占地面积为．记乙卖场的占地面积为p，甲乙两卖场之间的距离为q，安居小区居民平均每周去甲卖场与乙卖场的频数分别为与． (1)求；（用含k的代数式表示） (2)若，，求p的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义的应用，已知式子的值求代数式的值，勾股定理，解一元一次不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用勾股定理求出，再结合，即可作答． （2）因为，，则，然后得出，即，整理得，即，再解不等式，即可作答． 【详解】（1）解：∵过点A作的垂线段，已知与分别表示的实际距离为与， ∴， ∵，且甲卖场的占地面积为． ∴， （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴ 则 ∵， ∴ ∵， 即， ∴， 即， 即． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 章节综合训练一 数与式 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．祖国主权，寸土不让．钓鱼岛列岛是我国自古以来的固有领土，共由个主岛组成，其中最小的主岛是飞屿，面积约为平方公里，请用科学记数法表示飞屿的面积约为（   ）平方公里． A． B． C． D． 2．多项式分解因式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若是一个完全平方式，则k的值是（    ） A．12 B． C．9 D．36 4．已知，，那么代数式的值为（   ） A．7 B．10 C．17 D．70 5．若，则的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【新考法】 数学与实际生活——生活中的数学原理 6．照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（    ） A． B． C． D． 【新考法】 数学与规律探究——表格类规律 7．将正整数1至2020按一定规律排列如图所示，平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（   ） A．2018 B．2013 C．2019 D．2040 8．如下是嘉淇同学的答题情况，则她的得分应是（    ） 姓名：嘉琪  得分：？ 填空题（每小题20分） ①的绝对值是 ②的倒数是 ， ③的相反数是 ④ A．分 B．分 C．分 D．分 【新考法】与代数式有关的新定义问题 9．在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“Σ”．如， ．若，则常数a，b的值分别是（   ） A．10，54 B．，54 C．10，55 D．，55 10．从a，b，c三个数中任意取两个数相加再减去第三个数，根据不同的选择得到三个结果，称为一次操作．下列说法： ①若，则三个数中最大的数是5； ②若，中的最小值为1，则x的值为1或4； ③给定a，b，c三个数，将第一个操作的三个结果按上述方法再进行一次操作，得到三个结果，以此类推，第2024次操作的结果是，则．其中正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．比较大小： （填“”，“”或“=”） 12．若与是同类项，则的值为 ． 13．如图，数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则的结果是 ． 14．计算： ； ． 15．已知符号f表示一种运算，，例如，，则 ． 【新考法】 信息题 16．进制也就是进位制，是人们规定的一种进位方法，对于任何一种进制进制，就表示某一位置上的数运算时是逢进一位．我们常把用进制表示的数写成．类比于十进制，我们可以知道：进制表示的数中，右起第一位上的表示，第二位上的表示，第三位上的表示，第四位上的表示，故，，若一个五进制三位数与八进制三位数之和能被整除（，且、均为整数），则的值为 ． 三．解答题（共9小题，满分72分，其中17、18、19题每题6分，20题、21题每题7分，22题8分，23题9分，24题10分，25题13分） 【新考法】 数学与实际生活——生活中的数学 17．某商场在国庆期间开展双重特惠：一、商场内所有商品按标价的出售；二、满减活动：按消费金额（即标价的）再进行满减． 消费金额 满元 满元 满元 满元 满减金额 元 元 元 元 例如：A顾客购买一件标价元的商品，则实付元，共优惠了元． (1)若B顾客购买一件标价为元的商品，则可优惠多少钱？ (2)若C顾客购买一件标价为x元（）的商品，那么该顾客可以优惠多少钱？（用含x的代数式表示） 18．计算： (1)； (2)． 19．先化简，再求值：，其中． 20．如图，在数轴上点、、所表示的实数分别为0、1、，若点到点的距离与点到点A的距离相等，设点表示的实数为． (1)写出实数的值； (2)求． 21．用乘法公式计算． (1)已知，，求的值． (2)已知，求的值． 【新考法】与实数有关的新定义问题 22．定义：任意两个数a，b，按规则得到一个新数c，称所得的新数c为数a、b的“传承数”． (1)若，求a，b的“传承数”c； (2)若，且，求a，b的“传承数”c； (3)若，且a，b的“传承数”c的值为一个整数，则整数n的值是多少？ 【新考法】与数学思维有关的问题 23．我们知道，在数学学习中，分类讨论是一种重要的数学思想，能使思维更加严谨和全面．请你运用所学知识，解答下面的问题： (1)若都是有理数，，且，求的值； (2)若都是非零的有理数，且满足同号，求的值； (3)若都是有理数，且，则的值可能是多少？ 24．已知的三边，，满足等式：．求证：是等腰三角形． 【新考法】 利用数形结合解决计算问题 25．【阅读材料】调查数据显示，某小区居民平均每周去卖场的频数F与卖场的占地面积s（单位：）以及卖场与居住小区的距离h（单位：m）有关，如图1是频数F与之间关系的散点图．根据散点图可知，F与之间关系可合理估计为（k 为定值，）； 【理解应用】如图2，乙卖场（B点）位于甲卖场（O点）的正东方向，安居小区（A点）位于甲卖场的东偏南方向，过点A作的垂线段，已知与分别表示的实际距离为与，甲卖场的占地面积为．记乙卖场的占地面积为p，甲乙两卖场之间的距离为q，安居小区居民平均每周去甲卖场与乙卖场的频数分别为与． (1)求；（用含k的代数式表示） (2)若，，求p的范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$