第18讲 等腰三角形（练习，18题型模拟练+重难练+真题练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（全国通用）

第四章 三角形 第18讲 等腰三角形 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 👉题型01 分类讨论思想在等腰三角形中的应用 👉题型02 根据等边对等角求解或证明 👉题型03 根据三线合一求解或证明 👉题型04 在格点图中画等腰三角形 👉题型05 根据等角对等边求边长 👉题型06 根据等角对等边证明 👉题型07 确定构成等腰三角形的点 👉题型08 等腰三角形性质与判定综合 👉题型09 利用等边三角形的性质求解 👉题型10 等边三角形的判定 👉题型11 等边三角形性质与判定综合 👉题型12 手拉手模型 👉题型13 与等腰三角形有关的折叠问题 👉题型14 与等腰三角形有关的动点问题 👉题型15 与等腰三角形有关的新定义问题 👉题型16 与等腰三角形有关的规律探究问题 👉题型17 与等腰三角形有关的多结论问题 👉题型18 探究等腰三角形中存在的线段数量关系 👉题型01 分类讨论思想在等腰三角形中的应用 1．（2024·云南昆明·一模）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的周长为 ． 2．（2024·江苏·模拟预测）若实数m，n满足，且m，n恰好是等腰的两条边的边长，则的周长是 ． 3．（2024·内蒙古赤峰·二模）学完等腰三角形的性质后，小丽同学将课后练习“一个等腰三角形的顶角是，求底角的度数”改为“等腰三角形的一个角是，求底角的度数”．下面的四个答案，你认为正确的是（    ） A． B． C．或 D．或 4．（2024·河南驻马店·三模）如图，在等腰中，，，D是边上的动点，连接，将沿折叠，点B的对应点为，若，则的长为 ． 5．（22-23八年级上·河南南阳·期末）在等腰三角形中有一个角为，则腰上的高与底边的夹角为 ． 👉题型02 根据等边对等角求解或证明 6．（2024·陕西渭南·三模）如图，点是正八边形的中心，连接、，若，则该正八边形的面积为 ．（结果保留根号） 7．（2024·陕西·模拟预测）如图，在正五边形中，相交于点 F，连接，则的度数是 ． 8．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）如图，在中，，，点P为直线上一点，且，连接，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．或 9．（2024·广东河源·二模）如图，在四边形中，，，且． (1)求证：． (2)若，求四边形的面积． 10．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，已知矩形，点E在延长线上，点F在延长线上，过点F作交的延长线于点H，连接交于点G.若，，，则 . 👉题型03 根据三线合一求解或证明 11．（2024·贵州黔东南·二模）如图，中，，，，点在的延长线上，点在边上，且．若，则的边长为（    ） A．2.5 B．3.5 C．2 D． 12．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，点在反比例函数的图象上，点在轴上，，若的面积等于8，则的值为 ． 13．（2024·山西·模拟预测）如图，在等腰三角形中，，取的中点，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，若，，则的长为 ． 14．（2024·浙江·模拟预测）在劳动课上，小华同学所在小组进行了风筝框架设计比赛 (1)小华设计的风筝框架平面图如图1，已知. 与 交于点O，求证: (2)小明提出了改进建议：制作风筝框架只需要两个支架和 (如图2)，当垂直平分时即可固定风筝.现在有总长度为的细木条用于制作该风筝框架，小明同学想做面积最大的风筝，请你帮他设计：当为何值时，风筝的面积最大，面积最大值为多少？ 15．（2024·山东聊城·三模）如图，中，点D是上一点，过点D作，点F是的中点，连接，并延长交于点G． (1)连接，求证：四边形是平行四边形． (2)若使四边形是菱形，应为什么特殊三角形？点D在的什么位置？证明你的猜想． 👉题型04 在格点图中画等腰三角形 16．（2024·贵州贵阳·二模）在如图所示的网格纸中，有A，B两个格点，使得是等腰三角形，则这样的格点C有 个． 17．（2024·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、C均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求作格点图形，保留作图痕迹． (1)在图①中，以为中线作，使； (2)在图②中，以为中线作，使； (3)在图③中，以为中线作，使为钝角且． 18．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，在的方格纸中，每个小方格的边长为1，已知格点P，请按要求完成以下问题．    (1)在图中画一个格点等腰三角形，使得底边长为； (2)在图中再找一个格点G，使得P，E，F，G四点构成平行四边形，则该平行四边形的面积为__________． 19．（2024·河北邯郸·三模）如图中的点都在格点上，使（n为1~4的整数）不是轴对称图形的点是 （      ）    A． B． C． D． 👉题型05 根据等角对等边求边长 20．（2024·广西桂林·一模）如图，在等边中，，平分，点在的延长线上，且，则的长为 ． 21．（2024·贵州毕节·三模）如图， 在 中， ， ， 点 在 上， ， ，则的长为 ．    22．（2024·海南海口·一模）如图，在中，，，，点是边上的一点，过点作，交于点，作的平分线交于点，连接．若的面积是，则点到的距离为 ，的值是 ． 23．（2024·陕西·模拟预测）实验是培养学生的创新能力的重要途径之一，如图是高锰酸钾制取氧气的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的处，已知试管，试管倾斜角为10°，实验时，导气管交的延长线于点，且，测得，，求的长度．（参考数据：，，） 24．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，D为边上一点，且平分，若，，则与的面积比为（    ） A． B． C． D．25：16 25．（2024·新疆乌鲁木齐·一模）在中，平分，交于点，，交于点，且，，则的长为 ． 👉题型06 根据等角对等边证明 26．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，是边的中点，是上一点， 交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 27．（2024·江苏连云港·模拟预测）某学习小组在学习了正方形的相关知识后发现：正方形对角线上任意一点与正方形其他两个顶点相连形成的线段一定相等．该学习小组进一步探究发现：若过该点作其中一条线段的垂线与正方形的两边相交形成的较长线段和前面形成的两条线段也有关系．请根据下列探究思路完成作图和解答： (1)尺规作图：过点E作．分别交边、于点G、F．（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：． 👉题型07 确定构成等腰三角形的点 28．（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，在3×3的正方形网格中，点A、B、C、D、E、F都是格点． (1)从A、D、E、F四点中任意取一点，以这点及点B、C为顶点画三角形，求所画三角形是等腰三角形的概率； (2)从A、D、E、F四点中任意取两点，以这两点及点B、C为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率． 29．（2023兰州市模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴和轴上，，在坐标轴上找一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点的个数是（    ） A． B． C． D． 30．（2020·江苏泰州·一模）已知点A(2，m)，点P在y轴上，且△POA为等腰三角形，若符合条件的点P恰好有2个，则m= ． 31．（2024君山区一模）已知坐标原点和点，试在轴上找到一点，使为等腰三角形，写出满足条件的点的坐标 👉题型08 等腰三角形性质与判定综合 32．（2024通辽市模拟）如图，在中，，面积是10．的垂直平分线分别交边于E、D两点，若点F为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值为 ．    33．（2024·贵州·模拟预测）如图，在中，，，，为边上一动点，于点，于点，连接，则的最小值为 ． 34．（2024·山西·模拟预测）如图，在中，，绕点A顺时针方向旋转，到，连接，交AB于点P，若，则的长为 ． 35．（2024·湖南·模拟预测）如图，将等腰的斜边向上平移至（点B和A重合），连接，M为线段上一点（不与点C重合），连接并将其绕点A顺时针旋转至，连接交于点E，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，分别取的中点连接，试探究线段和之间的数量关系，并说明理由． 👉题型09 利用等边三角形的性质求解 36．（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，四边形内接于，连接，，已知是等边三角形，是的平分线，则（　　）    A． B． C． D． 37．（2024·山西大同·模拟预测）如图，等边的顶点在坐标原点，顶点在轴上，，将等边绕原点顺时针旋转至的位置，则点的坐标为 ． 38．（2024·安徽合肥·三模）如图，是边长为3的等边三角形，D是的中点，E，F分别在，上，连接，，两线交于点G，连接，，，． (1)求的长； (2)求证：； (3)求的长 39．（2024·湖南·模拟预测）平面图形的镶嵌往往给人以美的享受，如图1是用边长相等的正六边形与正三角形进行的无缝隙、不重叠的平面镶嵌．我们选取其中一个正六边形和三个与之相邻（正上方、左下方和右下方）的正三角形组成的图形部分，将其放在平面直角坐标系中．如图2，点，，均为正六边形和正三角形的顶点．已知点的坐标为，反比例函数的图象恰好经过点，，连接，，则的面积是 ． 👉题型10 等边三角形的判定 40．（2023·江西赣州·一模）在学习《2.1圆》时，小明遇到了这样一个问题：如图1（1）、1（2），和中，．试证明A、B、C、D四点在同一圆上． 小明想到了如下证法：在图1（1）、1（2）中取中点M，连接，则有及，即，所以A、B、C、D四点在以M为圆心，为半径得圆上，根据以上探究问题得出的结论，解决下列问题： (1)如图2，在中，三条高、、相交于点H，若，则 ． (2)如图3，已知是的直径，是的弦，G为的中点，于E，于F（E、F不重合），若，求证：． 41．（2023·甘肃平凉·模拟预测）某学习小组在学习时遇到了下面的问题： 如图，在和中，，，点，，在同一直线上，连接，是的中点，连接，，试判断的形状并说明理由． 问题探究 （）小婷同学提出解题思路：先探究的两条边是否相等，如．以下是她的证明过程： 请根据以上证明过程，解答下列两个问题： ①在图上作出证明中所描述的辅助线． ②在证明的括号中填写理由（请在，，，中选择）． 证明：延长线段交的延长线于点G． ∵F是的中点，∴． ∵，∴，∴ 又∵，∴（    ）． ∴，∴． 问题拓展 在（）在探究结论的基础上，请你帮助小婷求出的度数，并判断的形状． 👉题型11 等边三角形性质与判定综合 42．（2023·广东深圳·三模）综合与实践 数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，已知三只蚂蚁A、、在半径为的上静止不动，第四只蚂蚁在上的移动，并始终保持． (1)请判断的形状；“数学希望小组”很快得出结论，请你回答这个结论：是______三角形； (2)“数学智慧小组”继续研究发现：当第四只蚂蚁在上的移动时，线段、、三者之间存在一种数量关系：请你写出这种数量关系：______，并加以证明； (3)“数学攀峰小组”突发奇想，深入探究发现：若第五只蚂蚁同时随着蚂蚁的移动而移动，且始终位于线段的中点，在这个运动过程中，线段的长度一定存在最小值，请你求出线段的最小值是______（不写解答过程，直接写出结果）． 43．（2024·贵州·模拟预测）综合与实践：在菱形中，，作，，分别交，于点，． (1)【动手操作】如图①，若是边的中点，根据题意在图①中画出，则________度； (2)【问题探究】如图②，当为边上任意一点时，求证：； (3)【拓展延伸】如图③，在菱形中，，点，分别在边，上，在菱形内部作，连接，若，求线段的长． 44．（2024·黑龙江鸡西·二模）在四边形中，C是边的中点． (1)如图1，若平分，，则线段满足数量关系是 ； (2)如图2，平分，平分，若，则线段，，，之间存在怎样的数量关系？写出结论并证明； (3)如图3，，，，若，则线段长度的最大值是 ． 45．（2024·山东·模拟预测）如图，在中，，，是等边三角形，点D在边上． (1)如图1，当点E在边上时，求证； (2)如图2，当点E在内部时，猜想和数量关系，并加以证明； (3)如图1，当点E在外部时，于点H，过点E作，交线段的延长线于点G， ，．求的长． 46．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，为五边形的外接圆，，，连接其对角线，交于点，，，，． (1)求证：； (2)当　　　时，是等边三角形，并证明你的结论； (3)在（2）的条件下，若，．求证：． 👉题型12 手拉手模型 47．（2023·甘肃张掖·模拟预测）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”．兴趣小组进行了如下操作： (1)观察猜想：如图①，已知均为等边三角形，点D在边上，且不与点B、C重合，连接，易证，进而判断出与的位置关系是___________ (2)类比探究：如图②，已知均为等边三角形，连接，若，试说明点B，D，E在同一直线上； (3)解决问题：如图③，已知点E在等边的外部，并且与点B位于线段的异侧，连接．若，请求出的长． 48．（2023·河南洛阳·模拟预测）综合与实践综合与实践课上，数学研究小组以“手拉手图形”为主题开展数学活动两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．    (1)操作判断  已知点为和的公共顶点，将绕点顺时针旋转，连接，，如图1，若和均为等边三角形，请完成如下判断： ①线段与线段的数量关系是________； ②直线与直线相交所夹锐角的度数是________； (2)迁移探究  如图2，若，，其他条件不变，则（1）中的结论是否都成立？请说明理由； (3)拓展应用：如图3，若，，，，当点，，三点共线时，请直接写出的长．   49．（2024·山东泰安·二模）【建立模型】 （1）如图1，锐角中，分别以为边向外作等腰和等腰，且它们的们顶角，连接，试猜想与的大小关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，中，，，，为边向外作等边，连接，求的长． 【模型变式】 （3）如图3，在（2）的条件下，以为腰在线段的左侧作等腰，，，直接写出的长． 50．（2024·甘肃金昌·模拟预测）如图，在和中，，连接，交于点，且，A，三点共线． 【模型建立】 （1）如图①，和是等腰三角形，， ①求证：； ②判断与的数量关系，并说明理由； 【模型应用】 （2）如图②，和都是等边三角形，连接，求证：平分； 【模型迁移】 （3）在（2）的条件下，若，求的长． 51．（2024·山东临沂·模拟预测）几何探究与实践 (1)【模型认识】如图1所示，已知在中，，分别以为直角边构造等腰直角三角形和，连接，则与的关系是： ； (2)【初步应用】如图2所示，连接，求证：； (3)【深入研究】在（2）的条件下，试判断和的面积有何关系，并加以证明； (4)【拓广探索】如图3，在中，，，，以为直角边构造等腰直角三角形，且，连接，试直接写出的长度． 👉题型13 与等腰三角形有关的折叠问题 52．（2024·湖北十堰·一模）如图，已知中，分别为边边上的点，将沿折叠，点的对应点恰好落在的中点处，则的长为 ． 53．（2024·山东日照·二模）如图，在等腰中，，，为边的中点，为边上的一个动点，连接，将沿折叠，点的对应点为．当时，的长度为 ．    54．（23-24九年级下·广东汕头·阶段练习）综合与实践：折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识.折一折：把边长为6的正三角形纸片，其沿直线折叠，使点A落在点处，分别得到图①、图②. 填一填，做一做： (1)图①中阴影部分的周长为 . (2)图①中， 若， 则 °. (3)图①中的相似三角形(包括全等三角形)共有 对； (4)如图②， 点落在边上， 若，则 55．（2024·河南周口·二模）综合与实践 如图1，在等腰直角三角形中，，点D为边上的动点． (1)操作发现 按下列步骤操作： 第一步：将沿折叠，点B落在点G处，与相交于点O； 第二步：取上一点E，连接，将沿折叠，使点A与点G重合． 根据以上操作，与之间的数量关系为__________；线段与之间的数量关系为__________． (2)深入探究 如图2，在（1）的基础上，过点D作交于点F，连接．试判断的形状，并说明理由． (3)问题解决 在（2）的条件下，当时，请直接写出折痕的长． 👉题型14 与等腰三角形有关的动点问题 56．（2024·湖北恩施·模拟预测）如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接． (1)填空：的度数为______；②线段之间的数量关系为______； (2)如图2，和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，为中边上的高，连接，请判断的度数及线段之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在中，，，平面上一动点P到点B的距离为4，将线段绕点C顺时针旋转，得到线段，连，则是否有最大值和最小值？若有，直接写出，不需要说明理由． 57．（2024·全国·模拟预测）如图，在等边中，点为边上一动点，点为上一点，且满足，连接，，当线段的长度最小时，的值为 ． 58．（2024·吉林长春·一模）【感知】如图①，是的中线，延长至点E，使，连结．由，可证．    【迁移】如图②，是的中线，点E在边上，连结交于点F，，求证：． 下面是小明同学的部分证明过程，请补全余下的证明过程． 证明：延长至点M，使，连结． 【拓展】如图③，在等边中，D是射线上一动点（点D在点C的右侧），连结．把线段绕点D逆时针旋转得到线段，连结，F是线段的中点，连结．若，则______． 👉题型15 与等腰三角形有关的新定义问题 59．（2024·江苏常州·模拟预测）定义：若两个三角形中，有两组边对应相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为“融通三角形”，相等的边所对的相等的角称为“融通角”． (1)①如图1，在中，，D是上任意一点，则与 “融通三角形”；（填“是”或“不是”） ②如图2，与是“融通三角形”，其中，则 ． (2)若互为“融通三角形”的两个三角形都是等腰三角形，求“融通角”的度数． (3)如图3，在四边形中，对角线，且与是“融通三角形”，，求的长． 60．（2024·辽宁大连·模拟预测）点M在四边形内，点M和四边形的一组对边组成两个三角形，如果这两个三角形都是以对边为斜边的等腰直角三角形，那么定义该四边形 为蝴蝶四边形．例如，如图1，在四边形中， ， ，，则四边形 为蝴蝶四边形． 【概念理解】如图2，正方形 中，对角线 ，相交于点 M．判断正方形 是否为蝴蝶四边形，说明理由． 【性质探究】如图3，在蝴蝶四边形中，．求证：． 【拓展应用】在蝴蝶四边形中， °，，当 是等腰三角形时，求此时的值． 61．（2024·广东深圳·模拟预测）【材料阅读】在等腰三角形中，我们把底边与腰长的比叫做顶角的正对．在中，，顶角的正对记作．由此可知一个角的大小与这个角的正对也是相互唯一确定的，所以我们可按上述方式定义的正对，例如，，请根据材料，完成以下问题：如图1，是线段上的一动点（不与点重合），点分别是线段的中点，以，为边分别在的同侧作等边三角形，连接和． (1)【阅读应用】①若等边三角形的边长分别为，则三者之间的关系为______； ②______； (2)【猜想证明】如图2，连接，猜想的值是多少，并说明理由； (3)【拓展应用】如图3，连接，若，则的周长是多少？此时的长为多少？（直接写出上述两个结果） 👉题型16 与等腰三角形有关的规律探究问题 62．（2022·宁夏银川·一模）如图，为等腰直角三角形，，以斜边为直角边作等腰， 再以为直角边作等腰，…，按此规律作下去便得到了一个海螺图案，则的长度为 ．  （用含n的式子表示） 63．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）如图，在直角坐标系中，有一等腰直角三角形，，直角边在x轴正半轴上，且，将绕原点O顺时针旋转，同时扩大边长的1倍，得到等腰直角三角形（即），同理，将顺时针旋转，同时扩大边长1倍，得到等腰直角三角形，依此规律得到等腰直角三角形，则点的坐标为（    ）      A． B． C． D． 64．（2024·山东济宁·三模）如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，，将绕点顺时针旋转到，扫过的面积记为，交轴于点；将绕点顺时针旋转到，扫过的面积记为，交轴于点；将绕点顺时针旋转到扫过的面积记为；…；按此规律，则为（    ）    A． B． C． D． 65．（2024·四川广安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，所有三角形均为等边三角形，已知点，，，，，依据图形所反映的规律，则的坐标是 ．    👉题型17 与等腰三角形有关的多结论问题 66．（2024·吉林长春·二模）如图，点为线段上一点，、都是等边三角形，、交于点，、交于点，、交于点，连结，给出下面四个结论：；；；．上述结论中，一定正确的是 （填所有正确结论的序号）． 67．（2024·黑龙江·二模）如图，等腰直角三角形中，，于，的平分线分别交、于、两点，为的中点，延长交于点，连接，．下列结论：①；②；③是等边三角形；④；⑤四边形是菱形，正确结论的序号是 （   ） A．②④⑤ B．①②③④⑤ C．①③④ D．①②④⑤ 68．（2024·北京·模拟预测）如图，在等腰直角三角形中，，，点为斜边上的中点，点，分别在直角边，上运动（不与端点重合），且保持，连接，，．设，，．在点，的运动过程中，给出下面三个结论：①；②；③，且等号可以取到．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 69．（2024·江苏苏州·二模）如图，等边的边长为3，点D在边上，，线段在边上运动，，有下列结论：①与可能相等；②与可能相似；③四边形面积的最大值为；④四边形周长的最小值为，其中，正确结论的序号为 . 👉题型18 探究等腰三角形中存在的线段数量关系 1．（2024·甘肃兰州·模拟预测）综合与实践 【思考尝试】（1）如图1，在和中，D是边上的一点，，连接．用等式写出线段的数量关系，并说明理由； 【实践探究】（2）小睿受此问题启发，思考提出新的问题：如图2，在中，，E，F为边上的点，且．用等式写出线段的数量关系，并说明理由； 【拓展迁移】（3）小博深入研究小睿提出的问题，发现并提出新的探究点：如图3，在中，为直角，，平面内存在一点D，使．若，，求的面积． 2．（2024·贵州黔南·模拟预测）已知，都是等腰直角三角形，，，． 【问题发现】 （1）如图1，当点，，在同一条直线上时，与的数量关系是______，位置关系是______； 【问题探究】 （2）如图2，当点，，在同一条直线上时，，交于点，若，，求的值； 【拓展延伸】 （3）如图3，连接，，是线段的中点，连接，求的值． 3．（2024·山西大同·模拟预测）综合与实践： 如图1，已知点D是等边三角形边上的一点（不与点B，C重合）． 动手操作： 第一步：连接，以A为旋转中心，将线段顺时针旋转，得到线段，连接； 第二步：以D为旋转中心，将线段逆时针旋转，得到线段，连接，交于点M． 特例探究： （1）如图2，当点D为中点时，点F恰好在上，请写出线段与的数量关系，并说明理由； 探索发现： （2）如图1，当点D不是中点时，请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）当，时，请直接写出的长． 4．（2024·重庆江津·模拟预测）在等腰中，，，D，E分别为，边上的动点且满足，连接，． (1)如图1，，当，时，求的长； (2)如图2，上有一点F满足时，试探究与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，连接，交于点O，当取最小值时，直接写出的值． 1．（2024·江苏南通·中考真题）综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动． 【特例探究】 （1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积． 等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表 图序 角平分线的长 的度数 腰长 两腰之和 两腰之积 图① 1 2 4 4 图② 1 2 图③ 1 ______ ______ ______ 请补全表格中数据，并完成以下猜想． 已知的角平分线，，，用含的等式写出两腰之和与两腰之积之间的数量关系：______． 【变式思考】 （2）已知的角平分线，，用等式写出两边之和与两边之积之间的数量关系，并证明． 【拓展运用】 （3）如图④，中，，点D在边上，．以点C为圆心，长为半径作弧与线段相交于点E，过点E作任意直线与边，分别交于M，N两点．请补全图形，并分析的值是否变化？ 2．（2024·江苏南通·中考真题）在中，，，垂足为H，D是线段上的动点（不与点H，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．两位同学经过深入研究，小明发现：当点E落在边上时，点D为的中点；小丽发现：连接，当的长最小时，．请对两位同学的发现作出评判（    ） A．小明正确，小丽错误 B．小明错误，小丽正确 C．小明、小丽都正确 D．小明、小丽都错误 4．（2024·山东济南·中考真题）如图1，是等边三角形，点在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为，为．当动点沿匀速运动到点时，与的函数图象如图2所示．有以下四个结论： ①； ②当时，； ③当时，； ④动点沿匀速运动时，两个时刻，分别对应和，若，则．其中正确结论的序号是（    ） A．①②③       B．①②            C．③④              D．①②④ 4．（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；……按照这样的规律进行下去，点的横坐标是 ． 5．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形顶点M的坐标为，是等边三角形，点B坐标是，在正方形内部紧靠正方形的边（方向为）做无滑动滚动，第一次滚动后，点A的对应点记为，的坐标是；第二次滚动后，的对应点记为，的坐标是；第三次滚动后，的对应点记为，的坐标是；如此下去，……，则的坐标是 ． 1．（2024·四川雅安·中考真题）如图，的周长为，正六边形内接于．则的面积为（     ）    A．4 B． C．6 D． 2．（2024·山东泰安·中考真题）如图，直线，等边三角形的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川广元·中考真题）如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点D，E，连接，点D恰好落在线段上，若，，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 4．（2024·河南·中考真题）如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点D是的中点，连接，．以点D为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·福建·中考真题）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·山东烟台·中考真题）如图，在正方形中，点E，F分别为对角线的三等分点，连接并延长交于点G，连接，若，则用含α的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，等腰三角形中，，反比例函数的图象经过点A、B及的中点M，轴，与y轴交于点N．则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·四川遂宁·中考真题）如图1，与满足，，，，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”如图2，在中，，点在线段上，且，则图中共有“伪全等三角形”（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 9．（2024·宁夏·中考真题）如图，在正五边形的内部，以边为边作正方形，连接，则 ． 10．（2024·宁夏·中考真题）在平面直角坐标系中，一条直线与两坐标轴围成的三角形是等腰三角形，则该直线的解析式可能为 （写出一个即可）． 11．（2024·湖北·中考真题）如图，由三个全等的三角形(，，)与中间的小等边三角形拼成一个大等边三角形．连接并延长交于点G，若，则： （1）的度数是 ； （2）的长是 ． 12．（2024·山东济宁·中考真题）如图，中，，是的角平分线． （1）以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，． （2）以点为圆心，长为半径画弧，交于点． （3）以点为圆心，长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点． （4）画射线． （5）以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点． （6）连接，，分别交，于点，． 根据以上信息，下面五个结论中正确的是 ．（只填序号） ①；②；③；④；⑤． 13．（2024·辽宁·中考真题）如图，四边形中，，，，．以点为圆心，以长为半径作图，与相交于点，连接．以点为圆心，适当长为半径作弧，分别与，相交于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，与相交于点，则的长为 （用含的代数式表示）． 14．（2024·湖北·中考真题）为等边三角形，分别延长，到点，使，连接，，连接并延长交于点．若，则 ， ． 15．（2024·山东东营·中考真题）在中，，，． (1)问题发现 如图1，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是______，与的位置关系是______； (2)类比探究 将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点N，请结合图2说明理由； (3)迁移应用 如图3，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长． 16．（2024·江苏常州·中考真题）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，相交于点G，，，． (1)求证：是等腰三角形； (2)连接，则与l的位置关系是________． 17．（2024·甘肃兰州·中考真题）综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点M，N分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点M逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明： 【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点E，交于点F，将绕点M逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接，，请直接写出的最小值． 18．（2024·辽宁·中考真题）如图，在中，，．将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，垂足为．    图1                图2                   图3 (1)如图1，求证：； (2)如图2，的平分线与的延长线相交于点，连接，的延长线与的延长线相交于点，猜想与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿折叠，在变化过程中，当点落在点的位置时，连接． ①求证：点是的中点； ②若，求的面积． $$第四章 三角形 第18讲 等腰三角形 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 👉题型01 分类讨论思想在等腰三角形中的应用 👉题型02 根据等边对等角求解或证明 👉题型03 根据三线合一求解或证明 👉题型04 在格点图中画等腰三角形 👉题型05 根据等角对等边求边长 👉题型06 根据等角对等边证明 👉题型07 确定构成等腰三角形的点 👉题型08 等腰三角形性质与判定综合 👉题型09 利用等边三角形的性质求解 👉题型10 等边三角形的判定 👉题型11 等边三角形性质与判定综合 👉题型12 手拉手模型 👉题型13 与等腰三角形有关的折叠问题 👉题型14 与等腰三角形有关的动点问题 👉题型15 与等腰三角形有关的新定义问题 👉题型16 与等腰三角形有关的规律探究问题 👉题型17 与等腰三角形有关的多结论问题 👉题型18 探究等腰三角形中存在的线段数量关系 👉题型01 分类讨论思想在等腰三角形中的应用 1．（2024·云南昆明·一模）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程，能求出方程的解并能够判断三角形三边存在的条件是解此题的关键．求出一元二次方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即可得出答案． 【详解】解： 解得：或， 当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系，此时不能组成三角形； 当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系，此时能组成三角形，周长为， 所以三角形的周长为10， 故答案为：． 2．（2024·江苏·模拟预测）若实数m，n满足，且m，n恰好是等腰的两条边的边长，则的周长是 ． 【答案】17 【分析】根据偶次方、算术平方根的非负性可得：，从而可得，然后分两种情况：当等腰三角形的腰长为7，底边长为3时；当等腰三角形的腰长为3，底边长为7时，从而进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 分两种情况： 当等腰三角形的腰长为7，底边长为3时， ∴的周长； 当等腰三角形的腰长为3，底边长为7时， ∵， ∴不能组成三角形； 综上所述：的周长是17， 故答案为：17． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，偶次方，算术平方根的非负性，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键． 3．（2024·内蒙古赤峰·二模）学完等腰三角形的性质后，小丽同学将课后练习“一个等腰三角形的顶角是，求底角的度数”改为“等腰三角形的一个角是，求底角的度数”．下面的四个答案，你认为正确的是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和等于180度是解题的关键．根据题意分以下两种情况，当是等腰三角形的底角，以及当是等腰三角形的顶角，讨论求解，即可解题． 【详解】解：当是等腰三角形的底角，则底角的度数为； 当是等腰三角形的顶角，则底角的度数为； 综上所述，等腰三角形的一个角是，其底角的可以是或． 故选：C． 4．（2024·河南驻马店·三模）如图，在等腰中，，，D是边上的动点，连接，将沿折叠，点B的对应点为，若，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形中的翻折问题，当时，分两种情况：①当点在下方；②当点在上方，解直角三角形求解即可 【详解】解：当时，分两种情况： ①当点在下方时，如图， 设与的交点为, ∵，， ∴， 由折叠得， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴ 解得，； ②当点在上方时，如图， 由折叠得，， ∵， ∴， ∵， ∴， 综上所述，的长为或 故答案为：或 5．（22-23八年级上·河南南阳·期末）在等腰三角形中有一个角为，则腰上的高与底边的夹角为 ． 【答案】或 【分析】分已知的角是等腰三角形的底角和顶角两种情况计算． 【详解】当角为底角时，如图， ∵， ∴， 过点A作，交的延长线于点D， ∴， ∴；    当角为顶角时，如图， ∵， ∴， 过点A作，交于点G， ∴， ∴； 故答案为或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的角的计算，熟练掌握分类思想是解题的关键． 👉题型02 根据等边对等角求解或证明 6．（2024·陕西渭南·三模）如图，点是正八边形的中心，连接、，若，则该正八边形的面积为 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查正多边形的性质，等腰直角三角形的性质，先求出，作于点H，构造等腰直角，求出，进而可依次求出和该正八边形的面积． 【详解】解：如图，作于点H， 该多边形为正八边形，， ，， 又 ， 是等腰直角三角形， ， ， 该正八边形的面积， 故答案为：． 7．（2024·陕西·模拟预测）如图，在正五边形中，相交于点 F，连接，则的度数是 ． 【答案】/54度 【分析】根据五边形是正五边形，求出，再根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理求出，同理得，再求出，证明，得到，再证明，推出，即可解答． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ， ， ， 同理， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查正多边形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键． 8．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）如图，在中，，，点P为直线上一点，且，连接，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和性质，等边对等角，三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．注意点P为直线上一点，分别作图，运用三角形内角和性质，等边对等角，三角形外角性质分别列式计算，即可作答． 【详解】解：如图所示： 以点C为圆心，为半径画弧，分别交直线于两点，即,连接 ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：C 9．（2024·广东河源·二模）如图，在四边形中，，，且． (1)求证：． (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定、三角形内角和定理、等腰三角形三线合一、等边对等角、含度角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形面积公式等知识，熟练掌握平行线的判定、含度角的直角三角形的性质是解题的关键． （1）根据等边对等角，得出，根据三角形内角和定理，计算求出的度数，得出，根据“内错角相等，两直线平行”，即可证明； （2）过点作于，根据含度角的直角三角形的性质、等腰三角形三线合一，结合勾股定理，求出、、的长，根据、计算，最后根据得出答案即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，，由（1）得， ∴，， ∴， 如图，过点作于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，已知矩形，点E在延长线上，点F在延长线上，过点F作交的延长线于点H，连接交于点G.若，，，则 . 【答案】6 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，等边对等角，直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定等等，先由矩形的性质得到，，，，再证明得到；根据直角三角形的性质得到，则，进而证明，推出．设，则，，可得，解得，则． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 设， ∵， ∴，， ∴， 解得， 经检验是原方程的解， ∴． 故答案为：6. 👉题型03 根据三线合一求解或证明 11．（2024·贵州黔东南·二模）如图，中，，，，点在的延长线上，点在边上，且．若，则的边长为（    ） A．2.5 B．3.5 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质．过点作于．先在中利用角所对的直角边等于斜边的一半得出，于是，再根据等腰三角形三线合一的性质得出，然后根据即可求解． 【详解】解：过点作于． 在中，，， ， ∵ ， ． ，于， ， ． 故选：C． 12．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，点在反比例函数的图象上，点在轴上，，若的面积等于8，则的值为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了反比例函数比例图象上点的特征、等腰三角形三线合一的性质、三角形的面积．要求学生掌握设而不求的方法解题．设，过点A作轴于点E，表示出、，结合的面积即可求出k的值． 【详解】解：设，则， ， ，， 过点A作轴于点E， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：12． 13．（2024·山西·模拟预测）如图，在等腰三角形中，，取的中点，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】作，，垂足为点M、N．先由勾股定理求得的长，再由等腰三角形“三线合一”与三角形中位线的逆定理可求得的长，从而可知的长，最后利用可求得的长． 【详解】解：如图，过点A、点E分别作，，垂足为点M、N．则，    ∵，，， ∴． ∵，， ∴， ∵E为的中点，， ∴． ∴， 设，则． ∵，， ∴， ∴，即：， ∴， 解得：． 即：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形中位线定理的逆定理、相似三角形的性质、勾股定理等，解题的关键作出恰当的辅助线． 14．（2024·浙江·模拟预测）在劳动课上，小华同学所在小组进行了风筝框架设计比赛 (1)小华设计的风筝框架平面图如图1，已知. 与 交于点O，求证: (2)小明提出了改进建议：制作风筝框架只需要两个支架和 (如图2)，当垂直平分时即可固定风筝.现在有总长度为的细木条用于制作该风筝框架，小明同学想做面积最大的风筝，请你帮他设计：当为何值时，风筝的面积最大，面积最大值为多少？ 【答案】(1)见解析 (2)为时，风筝的面积最大，面积最大值为 【分析】本题考查二次函数的应用，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质： （1）先证，推出，根据等腰三角形三线合一即可证明； （2）设，则，列出风筝的面积S关于x的二次函数关系式，变形为顶点式，求出最值即可． 【详解】（1）证明： ，， ， ， 即平分， 又 ， ； （2）解：设，则， 垂直平分， ，， 风筝的面积， ， ， 当时，取最大值1800， 即为时，风筝的面积最大，面积最大值为． 15．（2024·山东聊城·三模）如图，中，点D是上一点，过点D作，点F是的中点，连接，并延长交于点G． (1)连接，求证：四边形是平行四边形． (2)若使四边形是菱形，应为什么特殊三角形？点D在的什么位置？证明你的猜想． 【答案】(1)见解析 (2)为等腰三角形时，是菱形；点D为中点 【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，其中证明三角形全等是解题的关键． （1）证明，得；再由即可证明四边形是平行四边形； （2）当为等腰三角形且时，由D是中点，则，从而得，即四边形是菱形． 【详解】（1）证明：点F是的中点， ； ， ， ， ， ； ， 四边形是平行四边形； （2）解：当为等腰三角形且时，且D中点，四边形是菱形； 时，且D是中点， ； ， ， ， ， 即平行四边形是菱形． 👉题型04 在格点图中画等腰三角形 16．（2024·贵州贵阳·二模）在如图所示的网格纸中，有A，B两个格点，使得是等腰三角形，则这样的格点C有 个． 【答案】8 【分析】根据勾股定理的逆定理解答即可．本题考查了勾股定理的逆定理，关键是根据是直角三角形得出多种情况解答． 【详解】解：如图所示： 点的位置如图， 其中，，， 由勾股定理得：， 故为直角三角形， 同理：，，， 由勾股定理得：， 故为直角三角形， 网格中其他点如图所示， 所以格点的个数是8， 故答案为：8． 17．（2024·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、C均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求作格点图形，保留作图痕迹． (1)在图①中，以为中线作，使； (2)在图②中，以为中线作，使； (3)在图③中，以为中线作，使为钝角且． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查应用与设计作图，理解题意，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据三角形中线的定义以及题意要求画出图形； （2）根据直角三角形的判定三角形中线的定义画出图形； （3）根据三角形中线的定义以及题意要求画出图形； 【详解】（1）解：使，即让是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得，过点作的垂线，使为中点即可； （2）解：在点正下方与点对齐的地方找到点，过点画直线使为中点即可得到点； （3）解：过点画斜线使为中点找到，连接起来即可使； 18．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，在的方格纸中，每个小方格的边长为1，已知格点P，请按要求完成以下问题．    (1)在图中画一个格点等腰三角形，使得底边长为； (2)在图中再找一个格点G，使得P，E，F，G四点构成平行四边形，则该平行四边形的面积为__________． 【答案】(1)见解析 (2)1或3 【分析】本题主要考查了格点作图，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，解题关键是掌握网格的特点，理解相关图形的性质． （1）底边长为即底边为小方格的对角线，根据要求画出底边，再在其底边的垂直平分线找到在格点上的顶点即可得到等腰，即可求解； （2）根据平行四边形的性质，找到点的位置，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，    等腰三角形，即为所求； （2）当，时，点如图所示， 此时该平行四边形的面积为； 当，时，点如图所示， 此时该平行四边形的面积为； 故答案为：1或3． 19．（2024·河北邯郸·三模）如图中的点都在格点上，使（n为1~4的整数）不是轴对称图形的点是 （      ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，等腰三角形的定义，勾股定理，根据网格的特点和勾股定理可得都是等腰三角形，而不是等腰三角形，再根据轴对称图形的定义即可得到答案． 【详解】解：根据网格的特点和勾股定理可得都是等腰三角形，即这三个三角形都是轴对称图形， 不是轴对称图形， 故选：B． 👉题型05 根据等角对等边求边长 20．（2024·广西桂林·一模）如图，在等边中，，平分，点在的延长线上，且，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角性质，等角对等边，由等边三角形的性质可得，，，再根据三角形外角性质可得，得到，进而即可求解，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵为等边三角形，， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 21．（2024·贵州毕节·三模）如图， 在 中， ， ， 点 在 上， ， ，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定，过作于点，作于点，得四边形是矩形，根据性质可知，再由等角对等边得，，最后由勾股定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于点，作于点，    ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， 则由勾股定理得：，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 故答案为：． 22．（2024·海南海口·一模）如图，在中，，，，点是边上的一点，过点作，交于点，作的平分线交于点，连接．若的面积是，则点到的距离为 ，的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是勾股定理、相似三角形的判定与性质、平行线的性质、等角对等边，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 先根据勾股定理求出，即可分别用三角形面积公式推得点到的距离和点到的距离，再根据判定即可推得相似比，从而由相似三角形的性质得到，由平分和可得，根据等角对等边推得后即可得解． 【详解】解：中，， 点到的距离， ， 点到的距离， 点到的距离， ， ，且相似比为， ， ，， ， 平分， ， ， ， 即， ， ， ． 故答案为：；． 23．（2024·陕西·模拟预测）实验是培养学生的创新能力的重要途径之一，如图是高锰酸钾制取氧气的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的处，已知试管，试管倾斜角为10°，实验时，导气管交的延长线于点，且，测得，，求的长度．（参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，矩形的判定及性质，等腰三角形的判定． 过点B分别作于点H，于点P，则四边形是矩形，得到，，在中，，，从而，，证明，根据即可解答． 【详解】解：如解图，过点B分别作于点H，于点P， ∵ ∴四边形是矩形， ∴， ∵，，， ∴在中，， ， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 答：的长度约为． 24．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，D为边上一点，且平分，若，，则与的面积比为（    ） A． B． C． D．25：16 【答案】A 【分析】过点C作，交的延长线于点E，利用平行线分线段成比例定理，等腰三角形判定和性质，三角形面积特点解答即可． 本题考查了平行线分线段成比例定理，等腰三角形判定和性质，三角形面积，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：过点C作，交的延长线于点E， 则，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选A． 25．（2024·新疆乌鲁木齐·一模）在中，平分，交于点，，交于点，且，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】过点作的平行线，交的延长线于点，利用结合等腰三角形求出结果． 【详解】解∶过点作的平行线，交的延长线于点． 在直角中，， ， ∴， 在直角中，由勾股定理得 ． ∵， ∴ ， ∴． ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定，角平分线的定义，勾股定理以及相似三角形的判定和性质，通过平行线构造相似三角形是解决问题的关键． 👉题型06 根据等角对等边证明 26．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，是边的中点，是上一点， 交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一般，平行线的性质，等角对等边以及中点定义，熟练掌握三角形全等的性质和判定方法是解题的关键． （1）由是边的中点，得 ，由 ，得，，可得，即可证明结论成立； （2）由是边的中点，，得 ，进而，由（1），，由，得，从而，进而即可得解． 【详解】（1）证明：∵是边的中点， ∴ ． 又∵ ， ∴，， 在与中， ， ∴ ∴； （2）解：∵是边的中点，， ∴ ． ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 27．（2024·江苏连云港·模拟预测）某学习小组在学习了正方形的相关知识后发现：正方形对角线上任意一点与正方形其他两个顶点相连形成的线段一定相等．该学习小组进一步探究发现：若过该点作其中一条线段的垂线与正方形的两边相交形成的较长线段和前面形成的两条线段也有关系．请根据下列探究思路完成作图和解答： (1)尺规作图：过点E作．分别交边、于点G、F．（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据基本作图—经过一点作直线的垂线作出图形即可； （2）证明，推出，再证明，可得结论． 【详解】（1）解：图形如图所示： （2）证明：四边形是正方形 平分，，． ， 在和中， ． ，， 又 ， ， ， ，且 ， ． ， ． 【点睛】本题考查基本作图—经过一点作直线的垂线，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定，正方形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 👉题型07 确定构成等腰三角形的点 28．（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，在3×3的正方形网格中，点A、B、C、D、E、F都是格点． (1)从A、D、E、F四点中任意取一点，以这点及点B、C为顶点画三角形，求所画三角形是等腰三角形的概率； (2)从A、D、E、F四点中任意取两点，以这两点及点B、C为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了利用树状图求概率，根据已知正确列举出所有结果，进而得出概率是解题关键． 根据从A、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，只有选取D点时，所画三角形是等腰三角形，即可得出答案; (2)利用树状图得出从A、D、E、F四个点中先后任意取两个不同的点，一共有12种可能，进而得出以点A、E、B、C为顶点及以D、F、B、C为顶点所画的四边形是平行四边形，即可求出概率. 点评 【详解】（1） 根据从A、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，只有选取D点时，所画三角形是等腰三角形， 故P（所画三角形是等腰三角形）； （2）用“树状图”列出所有可能的结果： 当选取的两个顶点为点A、E或点D、F时，所画的四边形是平行四边形， 所画的四边形是平行四边形的概率． 29．（2023兰州市模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴和轴上，，在坐标轴上找一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分类讨论：作AB的垂直平分线和坐标轴的交点，以A为圆心AB为半径作圆和坐标轴的交点，以B为圆心AB为半径作圆和坐标轴的交点，根据两边相等的三角形是等腰三角形，可得答案． 【详解】作AB的垂直平分线和坐标轴的交点，得到P5，此时AP=BP； 以A为圆心AB为半径作圆和坐标轴的交点，得到P2和P6，此时AB=AP； 以B为圆心AB为半径作圆和坐标轴的交点，得到P1、P3和P4，此时BP=BA； 综上所述：符合条件的点P共有6个． 故选B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，把所有可能的情况都找出来，不遗漏掉任何一种情况是本题的关键． 30．（2020·江苏泰州·一模）已知点A(2，m)，点P在y轴上，且△POA为等腰三角形，若符合条件的点P恰好有2个，则m= ． 【答案】0或 【分析】由于当OP=OA时，这样的P点一定有2个，易得PO=PA不存在，AP=AO也不存在，这时才满足符合条件的点P恰好有2个，从而得到m=0，当时，可得，n为任何值均成立，然后将分别代入另外两种情况中求出m的值即可． 【详解】设点 ①当OP=OA时，这样的P点一定有2个， ∴PO=PA不存在，AP=AO也不存在， ∴A点在x轴上， 此时m=0． ②当时， 可得 ∵点P、O、A能够成三角形 ∴，n为任何值均成立 ③当时， 可得 ∵符合条件的点P恰好有2个 ∴与应该存在两个不同的解 ∴将代入中 可得 解得 将代入中 可得 解得 故答案为：0或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的问题，掌握等腰三角形的性质以及判定、勾股定理、解一元二次方程是解题的关键． 31．（2024君山区一模）已知坐标原点和点，试在轴上找到一点，使为等腰三角形，写出满足条件的点的坐标 【答案】、、 ，、 ． 【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；利用分类讨论的思想是解题的关键．根据题意分， ，，,四种情况讨论求解即可． 【详解】解：如图： 当时， ， ∴是等腰三角形，且点的坐标是； 当时，且在x轴的负半轴时， ∴点坐标是 ． 当， ∴就是等腰三角形，且的坐标是； 当，且在轴的正半轴时，点坐标是 ，， 故答案为：、、 ，、 ． 👉题型08 等腰三角形性质与判定综合 32．（2024通辽市模拟）如图，在中，，面积是10．的垂直平分线分别交边于E、D两点，若点F为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值为 ．    【答案】7 【分析】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握等腰三角形的性质、轴对称的性质是解题的关键．由垂直平分线的性质可得与关于对称，连接，，当、、三点共线时，周长最小为的长． 【详解】解：是线段的垂直平分线， 与关于对称， 连接，   ， 周长， 当、、三点共线时，周长最小， 为边的中点，， ， ， ， ， 周长， 周长的最小值为7， 故答案为7． 33．（2024·贵州·模拟预测）如图，在中，，，，为边上一动点，于点，于点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，垂线段最短，解直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键．连接，取的中点，连接，，先证明为等腰直角三角形，得出，然后得出当时，取最小值，则也取最小值，最后利用锐角三角函数求出的值即可． 【详解】如图，连接，取的中点，连接，， ，， ， ， ，， ， 为等腰直角三角形， ， 当时，取最小值，此时的值也最小， ， ， ， 的最小值为， 此时，的最小值为． 34．（2024·山西·模拟预测）如图，在中，，绕点A顺时针方向旋转，到，连接，交AB于点P，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点作于点．由勾股定理得，由旋转的性质可证是等腰直角三角形，再证明是等腰直角三角形得．然后证明，利用相似三角形的性质得，然后根据求出即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点． ， ． 将绕点顺时针方向旋转得到， ， 是等腰直角三角形， ； 又， ， 是等腰直角三角形， ． ， ， ，即， ∴． 又， ， 解得， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，灵活运用各知识点是解答本题的关键． 35．（2024·湖南·模拟预测）如图，将等腰的斜边向上平移至（点B和A重合），连接，M为线段上一点（不与点C重合），连接并将其绕点A顺时针旋转至，连接交于点E，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，分别取的中点连接，试探究线段和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】（1）先得出 ，再结合旋转，得，即可证明，即可作答． （2）先在线段取点，连接，使得，再得出，则，通过证明，即可作答． （3）先连接取的中点，连接，运用中位线的判定与性质，得，，结合旋转性质，得是等腰直角三角形，通过角的运算以及等量代换，得，再运用两边成比例，夹角相等，得证，即可作答． 【详解】（1）证明：∵将等腰的斜边向上平移至（点B和A重合），连接， ∴ ， ∴四边形是平行四边形，， ∵连接并将其绕点A顺时针旋转至，连接交于点E，连接． ∴， ∴， 即， ∵， ∴； （2）证明：如图：在线段取点，连接，使得， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， （3）解：如图：连接取的中点，连接， ∵点P，Q分别是的中点，点是的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵连接并将其绕点A顺时针旋转至，连接交于点E，连接． ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， 设, 则在中，；在中，； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 即． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，旋转性质，平行四边形的判定与性质，中位线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 👉题型09 利用等边三角形的性质求解 36．（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，四边形内接于，连接，，已知是等边三角形，是的平分线，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是等边三角形的性质、圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 根据等边三角形的性质、圆内接四边形的对角互补计算即可． 【详解】解∶是等边三角形， ， 是的平分线， ， ， 四边形内接于， ， ， 故选∶C． 37．（2024·山西大同·模拟预测）如图，等边的顶点在坐标原点，顶点在轴上，，将等边绕原点顺时针旋转至的位置，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，能构造直角三角形是解此题的关键．过点作轴于点，由等边三角形的性质可得：，，由旋转的性质可得：，，推出，进而求出，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 是等边三角形， ，， 由旋转知，，， ， ， 点的坐标为， 故答案为：． 38．（2024·安徽合肥·三模）如图，是边长为3的等边三角形，D是的中点，E，F分别在，上，连接，，两线交于点G，连接，，，． (1)求的长； (2)求证：； (3)求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）如图，连接，根据等边三角形的性质，结合勾股定理可得，则，，再利用勾股定理即可求解； （2）如图，延长至点，使得，连接，易证，得，则，可知，进而可知，即可证明； （3）如图，过作的垂线交于N，由可得，由角平分线定理知，进而可得，则，在中，，则． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵是边长为3的等边三角形，则， ∵是的中点， ∴，则， ∵，则， ∴． （2）证明：如图，延长至点，使得，连接， ∵， ∴， ∴，则， ∴， 又， ∴， ∴． （3）解：如图，过作的垂线交于N， 则， ∵， ∴，即平分， 令点到，的距离分别为，，点到的距离为， 由角平分线的性质可知，， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴，则， ∴是的中点， 在中，， 则． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，角平分线的性质，直角三角形的性质等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 39．（2024·湖南·模拟预测）平面图形的镶嵌往往给人以美的享受，如图1是用边长相等的正六边形与正三角形进行的无缝隙、不重叠的平面镶嵌．我们选取其中一个正六边形和三个与之相邻（正上方、左下方和右下方）的正三角形组成的图形部分，将其放在平面直角坐标系中．如图2，点，，均为正六边形和正三角形的顶点．已知点的坐标为，反比例函数的图象恰好经过点，，连接，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】先根据正六边形和正三角形的性质和平面镶嵌特征得出，，，求出为直角三角形，过点作交于点，根据三角形内角和定理求出，，根据直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据直角三角形的性质求出，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：根据正六边形和正三角形的性质和平面镶嵌特征可知：，，， ∴， ∴为直角三角形， 过点作交于点，如图： 则，， 故， 则， 故， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形的性质，平面镶嵌的特征，三角形内角和定理，直角三角形的性质，勾股定理等．熟练掌握正六边形和正三角形性质是解题的关键． 👉题型10 等边三角形的判定 40．（2023·江西赣州·一模）在学习《2.1圆》时，小明遇到了这样一个问题：如图1（1）、1（2），和中，．试证明A、B、C、D四点在同一圆上． 小明想到了如下证法：在图1（1）、1（2）中取中点M，连接，则有及，即，所以A、B、C、D四点在以M为圆心，为半径得圆上，根据以上探究问题得出的结论，解决下列问题： (1)如图2，在中，三条高、、相交于点H，若，则 ． (2)如图3，已知是的直径，是的弦，G为的中点，于E，于F（E、F不重合），若，求证：． 【答案】(1)； (2)详见解析 【分析】（1）由、、是的高，可知点E、H、D、B四点共圆，点E、H、D、C四点共圆，然后在每一个圆中运用圆周角定理进行角的转换即可求解； （2）连接，根据垂径定理可知，结合，，可知C、E、O、G四点共圆，D、G、O、F四点共圆，然后在每一个圆中运用圆周角定理进行角的转换即可求解，最后证明是等边三角形即可； 【详解】（1）设与交于点， 、、是的高， ，， 点E、H、D、B四点共圆，点E、H、D、C四点共圆， ， ， ， 故答案为：52； （2）证明：如图3，连接， 为的中点， ，， ， C、E、O、G四点共圆，D、G、O、F四点共圆， ， ， ， 是等边三角形， ； 【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质以及与三角形有关的角的计算；结合题意证明四点共圆并运用圆的相关知识解决问题是解题的关键． 41．（2023·甘肃平凉·模拟预测）某学习小组在学习时遇到了下面的问题： 如图，在和中，，，点，，在同一直线上，连接，是的中点，连接，，试判断的形状并说明理由． 问题探究 （）小婷同学提出解题思路：先探究的两条边是否相等，如．以下是她的证明过程： 请根据以上证明过程，解答下列两个问题： ①在图上作出证明中所描述的辅助线． ②在证明的括号中填写理由（请在，，，中选择）． 证明：延长线段交的延长线于点G． ∵F是的中点， ∴． ∵， ∴， ∴ 又∵， ∴（    ）． ∴， ∴． 问题拓展 在（）在探究结论的基础上，请你帮助小婷求出的度数，并判断的形状． 【答案】（1）①见解析  ②  （2）见解析 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）①按要求画出辅助线即可； ②由小婷的解题过程可知，括号里的推理依据是“”； （2）在（1）中图的基础上，延长相交于点H（图3），先证，再证四边形是平行四边形，得出，即可求出，即可得出结论； 【详解】（1）①由题意作图如图1所示： ②证明：延长线段交的延长线于点G． ∵F是的中点， ∴． ∵， ∴， ∴ 又∵， ∴（）． ∴， ∴． 故答案为：． （2）如图所示, 延长相交于点， ， ， ∵， ∴，， 由（1）②知，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 👉题型11 等边三角形性质与判定综合 42．（2023·广东深圳·三模）综合与实践 数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，已知三只蚂蚁A、、在半径为的上静止不动，第四只蚂蚁在上的移动，并始终保持． (1)请判断的形状；“数学希望小组”很快得出结论，请你回答这个结论：是______三角形； (2)“数学智慧小组”继续研究发现：当第四只蚂蚁在上的移动时，线段、、三者之间存在一种数量关系：请你写出这种数量关系：______，并加以证明； (3)“数学攀峰小组”突发奇想，深入探究发现：若第五只蚂蚁同时随着蚂蚁的移动而移动，且始终位于线段的中点，在这个运动过程中，线段的长度一定存在最小值，请你求出线段的最小值是______（不写解答过程，直接写出结果）． 【答案】(1)等边 (2)；证明见解析 (3) 【分析】（1）根据圆周角定理可得对应的圆周角为，即、，说明为等边三角形即可； （2）如图，在上截取，连接，先说明为等边三角形可得，，，进而证明可得，最后根据等量代换即可解答； （3）如图：的轨迹是以为直径的圆，设圆心为，连接，过作于，过作，，根据题意可得，然后说明是三角形的中位线，进而得到；再根据中点的定义可得，利用勾股定理可得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：， 对应的圆周角为， ，， ， 为等边三角形． 故答案为：等边． （2）解：如图，在上截取，连接， ， 为等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故答案为：． （3）解：根据题意可知，如图：的轨迹是以为直径的圆，设圆心为，连接，过作于，过作，， ，， ， ， 是的中点， 是三角形的中位线， 为的中点， ， 又是的中点， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 43．（2024·贵州·模拟预测）综合与实践：在菱形中，，作，，分别交，于点，． (1)【动手操作】如图①，若是边的中点，根据题意在图①中画出，则________度； (2)【问题探究】如图②，当为边上任意一点时，求证：； (3)【拓展延伸】如图③，在菱形中，，点，分别在边，上，在菱形内部作，连接，若，求线段的长． 【答案】(1)图见解析， (2)见解析 (3)1或3 【分析】（1）根据题意作图，由菱形的性质可得是等边三角形，根据等腰三角形的性质可得，由直角三角形的性质即可求解； （2）如解图，连接，由四边形是菱形，可得和都是等边三角形，再证即可求解； （3）根据题意作图如解图，过点作于点，连接，可得是等边三角形，由勾股定理可得，在中，，，由勾股定理可得，同理可得，分类讨论：当点在点的左侧（的位置）时，；当点在点的右侧（的位置）时，；再由（2）知，可得线段的长为1或3，由此即可求解． 【详解】（1）解：作如解图， ∵四边形是菱形， ∴， 如图所示，连接，， ∴是等边三角形， ∴， ∵点是中点， ∴，即， ∴， 故答案为：； （2）证明：如解图，连接， 四边形是菱形，且， ，， 和都是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ． （3）解：根据题意作图如解图，过点作于点，连接， 四边形是菱形，且，， ， 是等边三角形， ， ， 在中，，， ，同理可得， 当点在点的左侧（的位置）时，； 当点在点的右侧（的位置）时，； 或3； 由（2）知， ， ， 线段的长为1或3． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的综合运用，掌握菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，分类讨论思想是解题的关键． 44．（2024·黑龙江鸡西·二模）在四边形中，C是边的中点． (1)如图1，若平分，，则线段满足数量关系是 ； (2)如图2，平分，平分，若，则线段，，，之间存在怎样的数量关系？写出结论并证明； (3)如图3，，，，若，则线段长度的最大值是 ． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)18 【分析】（1）在上取一点F，使，即可以得出，就可以得出，，就可以得出．就可以得出结论； （2）在上取点F，使，连接，在上取点G，使，连接．可以求得，是等边三角形，就有，进而得出结论； （3）作B关于的对称点F，D关于的对称点G，连接，，，，．同（2）可得是等边三角形，则．当A，F，G，E共线时，有最大值，即可求解． 【详解】（1）解：在上取一点F，使，连接．如图（1）， ∵平分， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵C是边的中点． ∴， ∴． ∵， ∴，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴； 故答案为：． （2）解：结论：． 证明：在上取一点F，使，连接，在上取点G，使，连接．如图（2）， ∵C是边的中点， ∴． ∵平分， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． 同理可证：，． ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴， ∴是等边三角形． ∴， ∵， ∴． （3）解：将沿翻折得，将沿翻折得，连接，如图3， 由翻折可得，，，，，， ∵C是边的中点， ∴， ∴ ∵， 由（2）可得是等边三角形， ∴． ∵ 当A，F，G，E共线时，有最大值． 故答案为：18． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定与性质，折叠的性质，余角的性质，两点之间线段最短，作恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 45．（2024·山东·模拟预测）如图，在中，，，是等边三角形，点D在边上． (1)如图1，当点E在边上时，求证； (2)如图2，当点E在内部时，猜想和数量关系，并加以证明； (3)如图1，当点E在外部时，于点H，过点E作，交线段的延长线于点G， ，．求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)，证明见解析； (3) 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据等边三角形的性质得出，从而得出，从而得出； （2）取的中点，连接、，根据和为等边三角形，从而得出和全等，然后得出和全等，从而得出答案； （3）取的中点，连接、、，根据题意得出和全等，然后得出和全等，设，则，，根据题意列出一元一次方程求出的值得出答案． 【详解】（1）∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴，   ∴； （2），理由如下： 取的中点，连接、， ∵，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图：取的中点，连接、、， 由（2）得， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴， 解得：，即． 46．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，为五边形的外接圆，，，连接其对角线，交于点，，，，． (1)求证：； (2)当　　　时，是等边三角形，并证明你的结论； (3)在（2）的条件下，若，．求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 (3)证明见解析 【分析】本题考查了圆的综合，涉及圆中圆周角的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角函数，熟练掌握这些性质是解题的关键． （1）利用同弧所对的圆周角相等得出，，再利用三角形外角即可得出； （2）证得出，则，再利用即可判定； （3）过点作于点，先推出是等边三角形，即可求解，，再利用求出，即可得，利用，得出，利用，得出，则，再结合即可证． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴； （2）解：当时，是等边三角形，证明如下： ∵，， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 又∵， ∴是等边三角形； （3）解：如图，过点作于点， ∵，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， 即． 👉题型12 手拉手模型 47．（2023·甘肃张掖·模拟预测）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”．兴趣小组进行了如下操作： (1)观察猜想：如图①，已知均为等边三角形，点D在边上，且不与点B、C重合，连接，易证，进而判断出与的位置关系是___________ (2)类比探究：如图②，已知均为等边三角形，连接，若，试说明点B，D，E在同一直线上； (3)解决问题：如图③，已知点E在等边的外部，并且与点B位于线段的异侧，连接．若，请求出的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)5 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）利用证明，可求出，利用平行线的判定即可得出结论； （2）利用证明，可得出，进而得出，即可得证； （3）在线段上取一点，使得，设交于点，先利用外角的性质证明，再利用证明，得出，，则可证明是等边三角形，得出，即可求解． 【详解】（1）解：， 理由如下：、都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）证明：、都是等边三角形， ，，， ，即， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 点，，在同一直线上； （3）解：如图③，在线段上取一点，使得，设交于点， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ，即， ，， ． 48．（2023·河南洛阳·模拟预测）综合与实践综合与实践课上，数学研究小组以“手拉手图形”为主题开展数学活动两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．    (1)操作判断  已知点为和的公共顶点，将绕点顺时针旋转，连接，，如图1，若和均为等边三角形，请完成如下判断： ①线段与线段的数量关系是________； ②直线与直线相交所夹锐角的度数是________； (2)迁移探究  如图2，若，，其他条件不变，则（1）中的结论是否都成立？请说明理由； (3)拓展应用：如图3，若，，，，当点，，三点共线时，请直接写出的长． 【答案】(1)①；② (2)①不成立，理由见解析；②成立，理由见解析 (3)或 【分析】（1）设直线交直线于点．由等边三角形的性质可得出，，． 进而可求出，即可证，从而得出结论．再根据，即得出答案； （2）由题意得出，，进而可证，得出．由（1）同理可证； （3）分类讨论：当点D落在线段上时和当点E落在线段上时，分别画出图形，根据等腰直角三角形的性质结合勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：①如图1，设直线交直线于点．     和都是等边三角形， ，，． ． 在△BCD 和△ACE 中， , ． ； ②， ， ， ； 故答案为：；； （2）不成立，理由如下：如图2，    延长交的延长线于点． ，， ，． ， ， ； ②成立，理由如下： ， ， ． ； （3）①如图3，当点落在线段上时．   ，，， ∴，． ∴，． ∴．， ∴； ②如图4，当点落在线段上时，    同理可得，． 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查旋转的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识．正确作出辅助线构造全等或相似三角形是解题关键． 49．（2024·山东泰安·二模）【建立模型】 （1）如图1，锐角中，分别以为边向外作等腰和等腰，且它们的们顶角，连接，试猜想与的大小关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，中，，，，为边向外作等边，连接，求的长． 【模型变式】 （3）如图3，在（2）的条件下，以为腰在线段的左侧作等腰，，，直接写出的长． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3） 【分析】（1）由证明即可； （2）以为边向外作等边三角形，连接，则可得，由勾股定理求出，由（1）知，即可求得结果； （3）以为边在其右侧作等腰三角形，且，则点C在边上，则可证得，；过A作于F，则可求得，从而求得，则，即可求解． 【详解】（1）解：猜想； 理由如下： 和等腰都是等腰三角形，且， ，， ， ， ； （2）解：以为边向外作等边三角形，连接， ， ， 由勾股定理得：； 由（1）知， 即； （3）解：如图，以为边在其右侧作等腰三角形，且， ； ， 点C在边上； 和等腰都是等腰三角形，且，， ， ， ， ； 过A作于F，则； ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，解直角三角形的相关知识；题目有一定的难度． 50．（2024·甘肃金昌·模拟预测）如图，在和中，，连接，交于点，且，A，三点共线． 【模型建立】 （1）如图①，和是等腰三角形，， ①求证：； ②判断与的数量关系，并说明理由； 【模型应用】 （2）如图②，和都是等边三角形，连接，求证：平分； 【模型迁移】 （3）在（2）的条件下，若，求的长． 【答案】（1）①见解析；②，理由见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）①由已知条件得，利用即可证明；②结合①得，然后利用三角形内角和定理即可解答； （2）如图②：过点A作于点M，作于点N，根据等边三角形的性质证明可得，然后证明，得，再利用角平分线的性质即可即可； （3）如图③：过点D作于点C，过点C作于点H，过点A作于点M，结合(2)证明，利用勾股定理求出，然后根据的面积的面积，求出，进而利用特殊角三角函数值即可解答． 【详解】解：（1）①证明：∵， ∴， ∴， ∵AB = AD，AC = AE， ∴； ②，理由如下： 由①知：， ∴， ∵， ∴, ∵， ∴； （2）证明：如图②：过点A作于点M，作于点N， ∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； (3)如图②，过点D作于点C，过点C作于点H，过点A作于点M， ∵B，A，E三点共线， ∴， ∴， 由（2）得：， ∴， ∴， ∴， 由（2）得平分, ∴， ∵, ∴, ∴， 同理：， ∵， ∴， 由(2)得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质、三角形内角和定理、勾股定理、三角形的面积、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、特殊角三角函数值等知识点，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 51．（2024·山东临沂·模拟预测）几何探究与实践 (1)【模型认识】如图1所示，已知在中，，分别以为直角边构造等腰直角三角形和，连接，则与的关系是： ； (2)【初步应用】如图2所示，连接，求证：； (3)【深入研究】在（2）的条件下，试判断和的面积有何关系，并加以证明； (4)【拓广探索】如图3，在中，，，，以为直角边构造等腰直角三角形，且，连接，试直接写出的长度． 【答案】(1)且 (2)见解析 (3)和的面积相等，理由见解析 (4) 【分析】（1）根据等腰三角形的判定和性质证明即可求解； （2）在中，，在中，，再根据，即可求解； （3）如图所示，延长到点，使得，连接，根据题意可证，再根据三角形中线平分三角形面积可求解； （4）如图所示，以为边作等腰直角三角形，连接，设交于点，证明，易得，则可得的长；延长，过点Q作延长线于点T，则可求得的长，在中，由勾股定理可求得的长，从而得到的长． 【详解】（1）解：∵，都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴，， 在中，， ∴在中，， ∴，即， 故答案为：且； （2）证明：由（1）可知，且， 在中，， 在中，， ∵， ∴ ， ∴； （3）解：和的面积相等，理由如下， 如图所示，延长到点，使得，连接， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 在中，点是中点， ∴， ∴， ∴和的面积相等； （4）解：如图所示，以为边作等腰直角三角形，连接，设交于点， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即，垂足为， 在中，， ∴， 如图所示，延长，过点Q作延长线于点T， ∵， ∴， 在中，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴的长度为． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，中线平分三角形面积，勾股定理等知识的综合，含角的直角三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 👉题型13 与等腰三角形有关的折叠问题 52．（2024·湖北十堰·一模）如图，已知中，分别为边边上的点，将沿折叠，点的对应点恰好落在的中点处，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查翻折变换，涉及等腰直角三角形性质，根据等腰直角三角形的性质求出，由翻折可得，过点作于点，得，所以，然后利用勾股定理求出，进而即可解决问题，解决本题的关键是掌握翻折的性质． 【详解】解：∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵是的中点， ∴， 由翻折可知：， 过点作于点，如图所示： ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，即，解得， ∴， 故答案为：． 53．（2024·山东日照·二模）如图，在等腰中，，，为边的中点，为边上的一个动点，连接，将沿折叠，点的对应点为．当时，的长度为 ．    【答案】或 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，设直线交于，分当在下方和点在上方两种情况，画出图形解答即可求解，运用分类讨论思想解答并正确画出图形是解题的关键． 【详解】解：设直线交于，当在下方时，如图，     ∵，， ∴，， ∵将沿折叠，点的对应点为，为边的中点， ∴，， ∵， ∴和是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在上方时，如图，    同理可得， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的长度为或， 故答案为：或． 54．（23-24九年级下·广东汕头·阶段练习）综合与实践：折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识.折一折：把边长为6的正三角形纸片，其沿直线折叠，使点A落在点处，分别得到图①、图②. 填一填，做一做： (1)图①中阴影部分的周长为 . (2)图①中， 若， 则 °. (3)图①中的相似三角形(包括全等三角形)共有 对； (4)如图②， 点落在边上， 若，则 【答案】(1)18 (2)40 (3)4 (4) 【分析】（1）由折叠的性质得出，，得出图①中阴影部分的周长的周长； （2）由折叠的性质得出，，求出，得出，即可得出结果； （3）证明，，即可得出结论； （6）设，则，证明，得出，设，，则，，得出，解得，得出． 【详解】（1）将图①中的沿直线折叠，使点落在点处， ，， 图①中阴影部分的周长的周长； 故答案为：18； （2）解：将图①中的沿直线折叠，使点落在点处， ，， ， ， ， ； 故答案为：40； （3）解：如图， ∵将图①中的沿直线折叠，使点落在点处， ，，， ，， 图①中的相似三角形（包括全等三角形）共有4对， 故答案为：4； （4）解： ， 设，则， ， ， ， ∴ ， 设，，则，， ， 解得：， ； 故答案为：． 【点睛】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、折叠变换的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似是解题的关键． 55．（2024·河南周口·二模）综合与实践 如图1，在等腰直角三角形中，，点D为边上的动点． (1)操作发现 按下列步骤操作： 第一步：将沿折叠，点B落在点G处，与相交于点O； 第二步：取上一点E，连接，将沿折叠，使点A与点G重合． 根据以上操作，与之间的数量关系为__________；线段与之间的数量关系为__________． (2)深入探究 如图2，在（1）的基础上，过点D作交于点F，连接．试判断的形状，并说明理由． (3)问题解决 在（2）的条件下，当时，请直接写出折痕的长． 【答案】(1)； (2)是等腰直角三角形，理由见解析 (3)或 【分析】（1）由折叠的性质及勾股定理解答即可； （2）先证明再证明从而可得，得出从而得出结果； （3）先求出的长，再分两种情况进行求解即可； 【详解】（1）是等腰直角三角形， 由折叠性质可得， ， ， 故答案为：；； （2）是等腰直角三角形，理由如下： 由折叠的性质可得，， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； （3） 由折叠的性质可得 ， 由（2）得， ， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， 设则 在中，由勾股定理得 解得或4， 或4， 当时，如解图②，过点作于点， 则 当时，如解图③，过点作于点， 则 综上所述，折痕的长为或 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了折叠问题，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题． 👉题型14 与等腰三角形有关的动点问题 56．（2024·湖北恩施·模拟预测）如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接． (1)填空：的度数为______；②线段之间的数量关系为______； (2)如图2，和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，为中边上的高，连接，请判断的度数及线段之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在中，，，平面上一动点P到点B的距离为4，将线段绕点C顺时针旋转，得到线段，连，则是否有最大值和最小值？若有，直接写出，不需要说明理由． 【答案】(1)①；②； (2) ，理由见解析 (3)存在，的最小值为，的最大值为． 【分析】本题主要考查了等边三角形性质、等腰直角三角形性质、全等三角形判定与性质，旋转的性质等知识点，握全等三角形判定定理是解题的关键掌． （1）①由和均为等边三角形，可得，故，即得，有，故；②由即得； （2）证明可得，故，而，即得； （3）证明得，可证点D在以点A为圆心，4为半径的圆上，当D在线段上时，有最小值，求出，即可得的最小值为；当A在线段上时，的最大值为． 【详解】（1）解：①∵和均为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； ②由①知， ∴． 故答案为：． （2）解：，理由如下： ∵和均为等腰直角三角形，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在等腰直角三角形中，为斜边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：如图： ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵点P到点B的距离是4， ∴， ∴点D在以点A为圆心，4为半径的圆上， 如图：当D在线段上时，有最小值， ∵， ∴， ∴此时，即的最小值为； 如图：当A在线段上时，最大， 此时，即的最大值为． 57．（2024·全国·模拟预测）如图，在等边中，点为边上一动点，点为上一点，且满足，连接，，当线段的长度最小时，的值为 ． 【答案】 【分析】根据等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形的外角性质，直角三角形的特征，定弦定角问题，解答即可． 【详解】解：∵ 为等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 作的垂直平分线，作，与垂直平分线交于点O， 则点F的运动轨迹是以O为圆心，以为半径的圆的三角形内部的一段弧， 连接与弧交于点H， 当F与点H重合时，最小， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线，设二线的交点为Q， 则， 设，则， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形的外角性质，直角三角形的特征，定弦定角问题，熟练掌握三角形的全等的证明是解题的关键． 58．（2024·吉林长春·一模）【感知】如图①，是的中线，延长至点E，使，连结．由，可证．    【迁移】如图②，是的中线，点E在边上，连结交于点F，，求证：． 下面是小明同学的部分证明过程，请补全余下的证明过程． 证明：延长至点M，使，连结． 【拓展】如图③，在等边中，D是射线上一动点（点D在点C的右侧），连结．把线段绕点D逆时针旋转得到线段，连结，F是线段的中点，连结．若，则______． 【答案】迁移：见解析；拓展： 【分析】（1）延长至M，使，连接，可证得，从而，可证得，进而得出，进一步得出结论； （2）延长至点M，使，连接、，依次证明，，进一步得出是等边三角形，利用勾股定理即可求出结果． 【详解】迁移：证明：如图②，延长至M，使，连接，    在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 拓展：解：如图③，延长至点M，使，连接、，    ∵点F为的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形判定和性质等知识，等边对等角，勾股定理等知识，准确作出辅助线是解答本题的关键． 👉题型15 与等腰三角形有关的新定义问题 59．（2024·江苏常州·模拟预测）定义：若两个三角形中，有两组边对应相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为“融通三角形”，相等的边所对的相等的角称为“融通角”． (1)①如图1，在中，，D是上任意一点，则与 “融通三角形”；（填“是”或“不是”） ②如图2，与是“融通三角形”，其中，则 ． (2)若互为“融通三角形”的两个三角形都是等腰三角形，求“融通角”的度数． (3)如图3，在四边形中，对角线，且与是“融通三角形”，，求的长． 【答案】(1)①是；② (2) (3)的值为4或 【分析】（1）①由题意得 ，，由融通三角形定义即可得出结论；②在线段上取点G，使，连接，证明，得出，即可证明； （2）在线段上取点G，使，连接，由（1）可得，设，由等腰三角形的性质证出，由三角形内角和即可求解； （3）分两种情况：当时；当时． 【详解】（1）①∵ ∴ ∵ ∴与是“融通三角形”； ②如图，在线段上取点G，使，连接 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ （2）由题意可得： 在线段上取点G，使，连接 由（1）可知 ∴ ∴ ∴ 设 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴，解得： ∴ ∴融通角是 （3）分两种情况：当时，如图， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴符合题意 ∴； 当时，过点D作， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴符合题意 设，则 ∵，即 ∴ ∴ ∴ 综上：的值为4或 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，正确作出辅助线是关键． 60．（2024·辽宁大连·模拟预测）点M在四边形内，点M和四边形的一组对边组成两个三角形，如果这两个三角形都是以对边为斜边的等腰直角三角形，那么定义该四边形 为蝴蝶四边形．例如，如图1，在四边形中， ， ，，则四边形 为蝴蝶四边形． 【概念理解】如图2，正方形 中，对角线 ，相交于点 M．判断正方形 是否为蝴蝶四边形，说明理由． 【性质探究】如图3，在蝴蝶四边形中，．求证：． 【拓展应用】在蝴蝶四边形中， °，，当 是等腰三角形时，求此时的值． 【答案】【概念理解】正方形为蝴蝶四边形，理由见解析；【性质探究】见解析；【拓展应用】的值为5或 【分析】概念理解：证明和都是等腰直角三角形，正方形的对边、分别为斜边，即可得正方形为蝴蝶四边形； 性质探究：证明根据全等三角形的性质即可得； 拓展应用：延长交于，证明, 根据全等三角形的性质得根据等腰三角形的性质得求出 利用勾股定理求出，即可得以为边的正方形的面积. 【详解】概念理解：解：正方形为蝴蝶四边形，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，，，. ∴，，. ∴和都是等腰直角三角形，正方形的对边、分别为斜边. ∴正方形为蝴蝶四边形. 性质探究： 证明：∵四边形是蝴蝶四边形，， ∴和都是等腰直角三角形，，， . ∴. ∴. ∴. 拓展应用： 解：①当时，如图3，延长交于N， ∵，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ②当时，如图4，过点A作，过点A作于点H. ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∵. ∴. ∴. ∵, ∵.   ③当时，不符合题意，舍去.   综上，的值为5或. 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质．熟练掌握正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 61．（2024·广东深圳·模拟预测）【材料阅读】在等腰三角形中，我们把底边与腰长的比叫做顶角的正对．在中，，顶角的正对记作．由此可知一个角的大小与这个角的正对也是相互唯一确定的，所以我们可按上述方式定义的正对，例如，，请根据材料，完成以下问题：如图1，是线段上的一动点（不与点重合），点分别是线段的中点，以，为边分别在的同侧作等边三角形，连接和． (1)【阅读应用】①若等边三角形的边长分别为，则三者之间的关系为______； ②______； (2)【猜想证明】如图2，连接，猜想的值是多少，并说明理由； (3)【拓展应用】如图3，连接，若，则的周长是多少？此时的长为多少？（直接写出上述两个结果） 【答案】(1)①；② (2)猜想的值是，理由见解析 (3)的周长是，或8 【分析】（1）①利用中点的定义，证明，可得结论；②证明，作等腰三角形可得结论； （2）如图中，连接，通过全等证明，可得结论； （3）证明，可得，如图中，过点作交的延长线于点，求出的值，再利用对称性解决问题即可． 【详解】（1）解：①点，分别是线段，的中点， ，， ，， ， 即， ②由题意得，，， ， 同理，， ， 如图，， 则：， ∴， ． 故答案为：，； （2）解：猜想：． 理由：如图中，连接． 点是的中点，，都是等边三角形， ，， ， ， ， 同理可得，， ， ； （3）解：， ， 同理可证：， ， ，， ， 点，分别是线段，的中点，等边三角形，，的边长分别为，，， ，，， ，， ， ． 如图中，过点作交的延长线于点． ，， ，， 在中，， ， ， 由对称性可知，的长还可以为， 综上所述，的值为或． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题． 👉题型16 与等腰三角形有关的规律探究问题 62．（2022·宁夏银川·一模）如图，为等腰直角三角形，，以斜边为直角边作等腰， 再以为直角边作等腰，…，按此规律作下去便得到了一个海螺图案，则的长度为 ．  （用含n的式子表示） 【答案】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键；由题意易得，，，然后问题可求解． 【详解】解：∵为等腰直角三角形，， ∴， 同理可得：，，……； 综上所述：； 故答案为． 63．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）如图，在直角坐标系中，有一等腰直角三角形，，直角边在x轴正半轴上，且，将绕原点O顺时针旋转，同时扩大边长的1倍，得到等腰直角三角形（即），同理，将顺时针旋转，同时扩大边长1倍，得到等腰直角三角形，依此规律得到等腰直角三角形，则点的坐标为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，找规律，由题可得，旋转后可得到，，，，且每四次循环一周，即可得到结果，找到规律是解题的关键． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， 将绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且， 再将绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且， 依此规律，每4次循环一周， 即，，，， ∵， ∴点与同在一个象限内， ∵， ∴， 故选：A． 64．（2024·山东济宁·三模）如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，，将绕点顺时针旋转到，扫过的面积记为，交轴于点；将绕点顺时针旋转到，扫过的面积记为，交轴于点；将绕点顺时针旋转到扫过的面积记为；…；按此规律，则为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，余弦，扇形面积．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 由题意知，，，……均为等腰直角三角形，则，，，……，由，，，，……，可推导一般性规律为，然后求解作答即可． 【详解】解：由题意知，，，……均为等腰直角三角形， ∴，，，…… ∴，，，，…… ∴可推导一般性规律为， ∴， 故选：A． 65．（2024·四川广安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，所有三角形均为等边三角形，已知点，，，，，依据图形所反映的规律，则的坐标是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质以及规律型中点的坐标，找出点坐标变化的规律“为奇数时横坐标为，为偶数时横坐标为3，纵坐标为”成为解题的关键． 根据等边三角形的性质可得出根据点的变化找出变化规律为奇数时横坐标为，为偶数时横坐标为3，纵坐标为，然后根据规律即可解答． 【详解】解：根据等边三角形的性质可得出以及坐标可得： 观察发现规律：为奇数时横坐标为，为偶数时横坐标为3，纵坐标为， ∵为偶数， ∴的横坐标为3，纵坐标为， ∴的坐标是． 故答案为：． 👉题型17 与等腰三角形有关的多结论问题 66．（2024·吉林长春·二模）如图，点为线段上一点，、都是等边三角形，、交于点，、交于点，、交于点，连结，给出下面四个结论：；；；．上述结论中，一定正确的是 （填所有正确结论的序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，关键是由等边三角形的性质推出，，判定是等边三角形．由判定，推出，由对顶角的性质得到，由三角形内角和定理得到，由判定，推出，而，得到是等边三角形，因此，得到，推出，在变化，不一定是． 【详解】解：、都是等边三角形， ，，， ， ， ， ， ， 故符合题意； ，，， ， 故符合题意； ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 故符合题意； 在上的位置在变化， 在变化，不一定是， 故不符合题意． 正确的是． 故答案为：． 67．（2024·黑龙江·二模）如图，等腰直角三角形中，，于，的平分线分别交、于、两点，为的中点，延长交于点，连接，．下列结论：①；②；③是等边三角形；④；⑤四边形是菱形，正确结论的序号是 （   ） A．②④⑤ B．①②③④⑤ C．①③④ D．①②④⑤ 【答案】D 【分析】根据等腰直角三角形的性质及角平分线的定义求得，继而可得，即可判断①③；证明出，即可判断②；证明出，即可判断④；先证明四边形为平行四边形， 再由，即可判断四边形为菱形，故可判断⑤． 【详解】解：，，， ，，， ， 平分， ， ， ， ，故①正确；③错误， 为的中点， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ∵为的中点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， 故⑤正确； ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故④正确， ∴正确结论的序号为①②④⑤， 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线性质的应用，熟练掌握知识点是解此题的关键． 68．（2024·北京·模拟预测）如图，在等腰直角三角形中，，，点为斜边上的中点，点，分别在直角边，上运动（不与端点重合），且保持，连接，，．设，，．在点，的运动过程中，给出下面三个结论：①；②；③，且等号可以取到．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质和勾股定理是解此题的关键，由题意得出，由三角形三边关系得出，即可判断①；利用勾股定理即可判断②；连接，设，由等腰直角三角形的性质可得，，由勾股定理得出，再由得出，再分和对③进行判断即可． 【详解】解：①，， ， 点，分别在直角边，上运动（不与端点重合）， ，即，故结论①正确； ②， 在中，，，， 由勾股定理得：，即，故结论②正确； ③连接，设，如下图所示： 在中，，，点为斜边上的中点， ，， 在中，由勾股定理得：， ， ，即， ， ， 当且仅当时，即点，分别为，的中点时，， 此时，即， 当时，即点，不是，的中点时，， 此时，即， ，且等号可以取到，故结论③正确． 综上所述：正确的结论是①②③． 故选：D． 69．（2024·江苏苏州·二模）如图，等边的边长为3，点D在边上，，线段在边上运动，，有下列结论：①与可能相等；②与可能相似；③四边形面积的最大值为；④四边形周长的最小值为，其中，正确结论的序号为 . 【答案】②③/③② 【分析】①根据三角形三边之间的关系得，进而得，同理得，即，进而得，由此得与不可能相等． ②假设与相似，设，利用相似三角形对应边成比例，列比例式得出x的值，再与x的取值范围进行比较，即可判断相似是否成立； ③过P作于E，过D作于F，过C点作于G点，利用函数求四边形面积的最大值．设，可表示出，，可用函数表示出，，再根据，依据，即可得到四边形面积的最大值； ④作D点关于直线的对称点，作，且，连接交 于P点，将P点沿射线平移得Q点，连接、、，则可得四边形是平行四边形．进而可得则四边形的周长 ，此时四边形的周长最小，计算出，根据勾股定理即可求出的值，进而可得四边形周长的最小值，即可得解． 【详解】①在中，， ， ， 即， 当Q点与A点重合时， ． 在中，， ， ， ， ， 当P点与B点重合时， ． 综上，当Q点与A点重合时，； 当P点与B点重合时，； 当P、Q不与A、B重合时． ∴与不可能相等， 故①错误． ②设， ，， ， ． 假设与相似， ， ， ， 整理得，， 解得：，， ， ∴或1.5都符合题意， ∴与可能相似， 故②正确． ③如图，过P作于E，过D作于F，过C点作于G点． 设，则， ． ， ， ． ，， ， ． 中，，， ， ， ， ∵S随x的增大而增大， ∴当x取最大值2.5时，S的值最大， ， 故③正确． ④如图，作D点关于直线的对称点，作，且，连接交 于P点，将P点沿射线平移得Q点，连接、、， 则，，且四边形是平行四边形， ， 则四边形的周长 ， 此时四边形的周长最小． 连接， ，且， ， ， ，且， ． 在中，， ∴四边形的周长的最小值为， 故④错误． 故答案为：②③ 【点睛】本题综合考查等边三角形的性质、相似三角形的性质与判定、利用函数求最值、动点变化问题等知识．解题关键是熟练掌握数形结合的思想方法，通过用函数求最值、作对称点求最短距离，即可得解． 👉题型18 探究等腰三角形中存在的线段数量关系 1．（2024·甘肃兰州·模拟预测）综合与实践 【思考尝试】（1）如图1，在和中，D是边上的一点，，连接．用等式写出线段的数量关系，并说明理由； 【实践探究】（2）小睿受此问题启发，思考提出新的问题：如图2，在中，，E，F为边上的点，且．用等式写出线段的数量关系，并说明理由； 【拓展迁移】（3）小博深入研究小睿提出的问题，发现并提出新的探究点：如图3，在中，为直角，，平面内存在一点D，使．若，，求的面积． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）10或26 【分析】（1）由可知，再利用证明，得到，然后结合勾股定理即可得出结论； （2）把绕点A逆时针旋转得到，连接，利用证明，得到，再根据勾股定理即可得出结论； （3）延长到点，使，连接，易得是等腰直角三角形，利用证明，得到，因此得到是等腰直角三角形，进而可求出，故．    如解图3，过点A作交于点E，利用证明，得到，由勾股定理得，所以，进而可得． 【详解】解：（1）．理由如下： 由题意，得与均为等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ．     （2）．理由如下： 如解图1，把绕点A逆时针旋转得到，连接，则，．    ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ．   （3）如解图2，延长到点，使，连接． 易得是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ．    如解图3，过点A作交于点E，则． ， ． ， ． 又， ， ， ， ， ， ， ． 综上所述，的面积为10或26． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 2．（2024·贵州黔南·模拟预测）已知，都是等腰直角三角形，，，． 【问题发现】 （1）如图1，当点，，在同一条直线上时，与的数量关系是______，位置关系是______； 【问题探究】 （2）如图2，当点，，在同一条直线上时，，交于点，若，，求的值； 【拓展延伸】 （3）如图3，连接，，是线段的中点，连接，求的值． 【答案】（1）（或相等）（或垂直）（2）（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质，并灵活运用． （1）通过证明，即可得出结论； （2）先证明，得出，，再证明，则．设，则．在中，由勾股定理，得，列出方程，求出m的值，即可解答； （3）延长至点，使，连接，．易证四边形是平行四边形，则，．通过证明，得出，即可得出结论． 【详解】解：（1）延长交于点P， ∵，，． ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 故答案为∶ （或相等）（或垂直）； （2）是等腰直角三角形，且， ． 是等腰直角三角形，且， ． ， ， 即， ∵，，． ， ，． ， ，， ． 设，则． 在中，由勾股定理，得， 即， 解得，（舍去）， ， ． （3）如图，延长至点，使，连接，． 是的中点， ． 四边形是平行四边形， ，． ， ， ． ， ， 又， ， ． ， ， ， ． 3．（2024·山西大同·模拟预测）综合与实践： 如图1，已知点D是等边三角形边上的一点（不与点B，C重合）． 动手操作： 第一步：连接，以A为旋转中心，将线段顺时针旋转，得到线段，连接； 第二步：以D为旋转中心，将线段逆时针旋转，得到线段，连接，交于点M． 特例探究： （1）如图2，当点D为中点时，点F恰好在上，请写出线段与的数量关系，并说明理由； 探索发现： （2）如图1，当点D不是中点时，请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）当，时，请直接写出的长． 【答案】（1），理由见解析 （2）仍然成立，证明见解析 （3） 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确画出辅助线，构造全等三角形． （1）根据等边三角形的性质，结合旋转的性质证是等边三角形，再证即可； （2）连接，，根据证明，再证四边形是平行四边形即可得； （3）作于G，根据勾股定理计算和的长，再根据等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：（1） 理由如下： ∵是等边三角形，点D是的中点， ∴，． ∴． 由操作可知：，，，， ∴是等边三角形． ∵． ∴． ∴． ∴； （2）仍然成立．理由如下： 连接，，如图所示， ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴． ∴． ∴． ∴，． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； （3）． 作于G，如图所示， ∵是等边三角形，， ∴． ∴． ∴． ∴． 4．（2024·重庆江津·模拟预测）在等腰中，，，D，E分别为，边上的动点且满足，连接，． (1)如图1，，当，时，求的长； (2)如图2，上有一点F满足时，试探究与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，连接，交于点O，当取最小值时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）先求出，设，则，利用勾股定理求出，再利用勾股定理即可求解出的长； （2）取中点P，连接，过点P作，垂足分别为，连接，证明，，进而证明是等腰直角三角形，推出点与F点重合，即可得出结论； （3）将线段绕点B顺时针旋转到，连接，以点为圆心，长为半径画，在上取点，连接，延长交于点，连接，证明，得到，由作图可得：，当当重合时，点在上，有最小值，即有最小值，最小值为，证明，推出是等腰直角三角形，得到，设，则，求出，，，证明，求出，，易证是等腰三角形，过点作，则，求出，即可求出的值． 【详解】（1）解：在等腰中，，， ， ， 设，则， ，即, 解得：或， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 如图，取中点P，连接，过点P作，垂足分别为，连接， ， ，即， ， 是等腰直角三角形， 点是中点， ，， 是等腰直角三角形， ， 在与中，， ， ， 在与中，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 点与F点重合， ，即； （3）解：将线段绕点B顺时针旋转到，连接，以点为圆心，长为半径画，在上取点，连接，延长交于点，连接， 由旋转的性质得到， ， ， ， 由作图可得：， 如图，当重合时，点在上， 此时，，则有最小值，即有最小值，最小值为， ， ， ， ， ， 点为的中点，即， 由（1）知， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 设，则， ，，， ， ， ， ， ，， 是等腰三角形， 过点作， 则， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、四点共圆、勾股定理、三角形面积等知识，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质和圆周角定理． 1．（2024·江苏南通·中考真题）综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动． 【特例探究】 （1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积． 等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表 图序 角平分线的长 的度数 腰长 两腰之和 两腰之积 图① 1 2 4 4 图② 1 2 图③ 1 ______ ______ ______ 请补全表格中数据，并完成以下猜想． 已知的角平分线，，，用含的等式写出两腰之和与两腰之积之间的数量关系：______． 【变式思考】 （2）已知的角平分线，，用等式写出两边之和与两边之积之间的数量关系，并证明． 【拓展运用】 （3）如图④，中，，点D在边上，．以点C为圆心，长为半径作弧与线段相交于点E，过点E作任意直线与边，分别交于M，N两点．请补全图形，并分析的值是否变化？ 【答案】（1）见解析； ，（2），证明见解析；（3）是定值 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值分别计算，再填表即可；再由可得结论； （2）如图，延长至使，连接，过作于，延长交于，证明为等边三角形，，，设，，利用相似三角形的性质求解，再进一步可得； （3）根据题目要求画图，设，运用等腰三角形性质和三角形内角和定理可求得，过点作于，于，过点作于，利用，即可求得答案． 【详解】解：（1）∵，是的角平分线，， ∴， ∴； ∴，； 图序 角平分线的长 的度数 腰长 两腰之和 两腰之积 图① 1 2 4 4 图② 1 2 图③ 1 如图，由（1）可得：， ∴， ∴，， ∴； （2）猜想：，理由如下： 如图，延长至使，连接，过作于，延长交于， ∵，平分， ∴为等边三角形，，， 设，， ∴，，而， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：， ∴； ， ∴； （3）补全图形如图所示： 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 如图，过点作于，于，过点作于， ， ， ，，， ， 在中，， ， ， ， ， ， 由是确定的，由作图可得为定长，而和为定值， 为定值， 即为定值． 【点睛】本题属于实际探究题，考查了类比方法的应用，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的灵活应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 2．（2024·江苏南通·中考真题）在中，，，垂足为H，D是线段上的动点（不与点H，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．两位同学经过深入研究，小明发现：当点E落在边上时，点D为的中点；小丽发现：连接，当的长最小时，．请对两位同学的发现作出评判（    ） A．小明正确，小丽错误 B．小明错误，小丽正确 C．小明、小丽都正确 D．小明、小丽都错误 【答案】C 【分析】旋转得到，当点E落在边上时，利用三角形的外角推出，进而得到，推出，判断小明的说法，连接，等边对等角，求出，进而求出，推出点在射线上运动，根据垂线段最短，得到时，的长最小，进而推出，判断小丽的说法即可． 【详解】解：∵将线段绕点D顺时针旋转得到线段， ∴， 当点E落在边上时，如图： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴为的中点，故小明的说法是正确的； 连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在射线上运动， ∴当时，的长最小， ∴当的长最小时，， 又∵， ∴， ∴， ∴；故小丽的说法正确； 故选C． 【点睛】本题考查旋转的性质，三角形的外角，等腰三角形的判定和性质，垂线段最短，相似三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质，根据题意，正确的作图，确定点的轨迹，是解题的关键． 4．（2024·山东济南·中考真题）如图1，是等边三角形，点在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为，为．当动点沿匀速运动到点时，与的函数图象如图2所示．有以下四个结论： ①； ②当时，； ③当时，； ④动点沿匀速运动时，两个时刻，分别对应和，若，则．其中正确结论的序号是（    ） A．①②③       B．①②            C．③④              D．①②④ 【答案】D 【分析】由图知当动点沿匀速运动到点时，，作于点，利用解直角三角形和勾股定理，即可得到，即可判断①，当时，证明是等边三角形，即可判断②，当时，且时，最小，求出最小值即可判断③，利用勾股定理分别表示出和进行比较，即可判断④． 【详解】解：由图知当动点沿匀速运动到点时，， 作于点， 是等边三角形，点在边上，， ，， ，， ， ， 故①正确； 当时，，， ， 是等边三角形， ， ， 故②正确； 当时，且时，最小， ，， ， 最小为，即能取到， 故③错误； 动点沿匀速运动时， ，， ，，， ； 当时，，， ； ， ； 故④正确； 综上所述，正确的有①②④， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数综合，等边三角形性质，解直角三角形，勾股定理，涉及到动点问题、读懂函数图象、正确理解题意，利用数形结合求解是解本题的关键． 4．（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；……按照这样的规律进行下去，点的横坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数性质应用，等腰直角三角形的判定与性质及点的坐标规律问题，作轴于点H，依次求出，找出规律即可解决． 【详解】解：作轴于点H， 均在直线上， ， ， ，， ， ， ， ， ， 同理，， ， 同理， ， 即点的横坐标是， 故答案为：． 5．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形顶点M的坐标为，是等边三角形，点B坐标是，在正方形内部紧靠正方形的边（方向为）做无滑动滚动，第一次滚动后，点A的对应点记为，的坐标是；第二次滚动后，的对应点记为，的坐标是；第三次滚动后，的对应点记为，的坐标是；如此下去，……，则的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，正方形性质，等边三角形性质，根据三角形的运动方式，依次求出点A的对应点，，，的坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：正方形顶点M的坐标为， , 是等边三角形，点B坐标是， 等边三角形高为， 由题知， 的坐标是； 的坐标是； 的坐标是； 继续滚动有，的坐标是； 的坐标是； 的坐标是； 的坐标是； 的坐标是； 的坐标是； 的坐标是； 的坐标是； 的坐标是； 的坐标是；不断循环，循环规律为以，，，，12个为一组， ， 的坐标与的坐标一样为， 故答案为：． 1．（2024·四川雅安·中考真题）如图，的周长为，正六边形内接于．则的面积为（     ）    A．4 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，解直角三角形是正确解答的关键． 根据正六边形的性质以及解直角三角形进行计算即可． 【详解】解：设半径为，由题意得，， 解得， ∵六边形是的内接正六边形， ∴， ∵， ∴是正三角形， ∴， ∴弦所对应的弦心距为， ∴． 故选：B． 2．（2024·山东泰安·中考真题）如图，直线，等边三角形的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质、等边三角形的性质，根据平行线的性质可得，从而可得，再根据等边三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 3．（2024·四川广元·中考真题）如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点D，E，连接，点D恰好落在线段上，若，，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】此题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，由旋转得，，，推出是等腰直角三角形，，过点A作于点H，得到，利用勾股定理求出的长． 【详解】解：由旋转得，， ∴，，， ∴是等腰直角三角形，， 过点A作于点H， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4．（2024·河南·中考真题）如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点D是的中点，连接，．以点D为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过D作于E，利用圆内接四边形的性质，等边三角形的性质求出，利用弧、弦的关系证明，利用三线合一性质求出，，在中，利用正弦定义求出，最后利用扇形面积公式求解即可． 【详解】解∶过D作于E， ∵是边长为的等边三角形的外接圆， ∴，，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，扇形面积公式，解直角三角形等知识，灵活应用以上知识是解题的关键． 5．（2024·福建·中考真题）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质等； A.由对称的性质得，由等腰三角形的性质得 ，，即可判断； B.不一定等于，即可判断； C.由对称的性质得，由全等三角形的性质即可判断； D. 过作，可得 ，由对称性质得同理可证，即可判断； 掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：A. ， ， 由对称得， 点，分别是底边，的中点，与都是等腰三角形， ，， ， ，结论正确，故不符合题意； B.不一定等于，结论错误，故符合题意； C.由对称得， ∵点 E ，F分别是底边的中点， ，结论正确，故不符合题意； D. 过作， ， ， ，由对称得， ， 同理可证， ，结论正确，故不符合题意； 故选：B． 6．（2024·山东烟台·中考真题）如图，在正方形中，点E，F分别为对角线的三等分点，连接并延长交于点G，连接，若，则用含α的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质．证明，求得，证明，证得，推出，得到，据此求解即可． 【详解】解：∵正方形中，点E，F分别为对角线的三等分点， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点E，F分别为对角线的三等分点， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 7．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，等腰三角形中，，反比例函数的图象经过点A、B及的中点M，轴，与y轴交于点N．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质等知识，找到坐标之间的关系是解题的关键． 作辅助线如图，利用函数表达式设出、两点的坐标，利用，是中点，找到坐标之间的关系，利用平行线分线段成比例定理即可求得结果． 【详解】解：作过作的垂线垂足为，与轴交于点，如图， 在等腰三角形ABC中，，是中点， 设，， 由中点为，，故等腰三角形中， ∴， ∴， ∵AC的中点为M， ∴，即， 由在反比例函数上得， ∴， 解得：， 由题可知，， ∴． 故选：B． 8．（2024·四川遂宁·中考真题）如图1，与满足，，，，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”如图2，在中，，点在线段上，且，则图中共有“伪全等三角形”（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】D 【分析】本题考查了新定义，等边对等角，根据“伪全等三角形”的定义可得两个三角形的两边相等，一个角相等，且这个角不是夹角，据此分析判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 在和中，， 在中，， 在中，， 在中， 综上所述，共有4对“伪全等三角形”， 故选：D． 9．（2024·宁夏·中考真题）如图，在正五边形的内部，以边为边作正方形，连接，则 ． 【答案】81 【分析】本题考查正多边形的内角问题，正方形的性质，等腰三角形的性质等．先根据正多边形内角公式求出，进而求出，最后根据求解． 【详解】解：正五边形中， ，， 正方形中， ，， ，， ， ， 故答案为：81． 10．（2024·宁夏·中考真题）在平面直角坐标系中，一条直线与两坐标轴围成的三角形是等腰三角形，则该直线的解析式可能为 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是等腰三角形的定义，一次函数的几何应用，如图，直线过，，再求解一次函数的解析式即可． 【详解】解：如图，直线过，， ∴为等腰直角三角形， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， 故答案为：，（答案不唯一．） 11．（2024·湖北·中考真题）如图，由三个全等的三角形(，，)与中间的小等边三角形拼成一个大等边三角形．连接并延长交于点G，若，则： （1）的度数是 ； （2）的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）利用三角形相似及可得，再利用三角形的外角性质结合可求得； （2）作交的延长线于点，利用直角三角形的性质求得，，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：(已知)， ，， ， ， 为等边三角形， ，， ， ，， 如图，过点作的延长线于点， ， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：，． 12．（2024·山东济宁·中考真题）如图，中，，是的角平分线． （1）以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，． （2）以点为圆心，长为半径画弧，交于点． （3）以点为圆心，长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点． （4）画射线． （5）以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点． （6）连接，，分别交，于点，． 根据以上信息，下面五个结论中正确的是 ．（只填序号） ①；②；③；④；⑤． 【答案】①②⑤ 【分析】本题为尺规作图几何综合题，涉及到了等腰三角形的性质即判定，矩形的判定，含角的直角三角形的定义，锐角三角函数的比值关系，相似三角形的判定及性质等知识点，灵活运用角的等量代换是解题的关键． 根据等腰三角形的性质即可判断出①；过作于点，证出四边形为矩形，即可通过边的比值关系求出，即可求出判断②；利用三角形外角和分别求出两个角的值进行比较即可判断③；设，则，用含的式子分别表达出和的长度后即可判断④；判定出即可判断⑤． 【详解】解：∵，， ∴三角形为等腰直角三角形，， 又∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴，故①正确； 根据题意作图可得：，， 过作于点，则，如图所示： ∵是的角平分线，由三线合一可得：，即， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴，故③错误； 设，则， ∵， ∴， ∴，即，，即， ∴，故④错误； ∵， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有：①②⑤； 故答案为：①②⑤． 13．（2024·辽宁·中考真题）如图，四边形中，，，，．以点为圆心，以长为半径作图，与相交于点，连接．以点为圆心，适当长为半径作弧，分别与，相交于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，与相交于点，则的长为 （用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了作图﹣作角平分线，平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 利用基本作图得到，平分，，接着证明得到，然后利用求解． 【详解】解：由作法得，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14．（2024·湖北·中考真题）为等边三角形，分别延长，到点，使，连接，，连接并延长交于点．若，则 ， ． 【答案】 /30度 / 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理．利用三角形的外角性质结合可求得；作交的延长线于点，利用直角三角形的性质求得，，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形，， ∴，， ∴，，， 作交的延长线于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 故答案为：，． 15．（2024·山东东营·中考真题）在中，，，． (1)问题发现 如图1，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是______，与的位置关系是______； (2)类比探究 将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点N，请结合图2说明理由； (3)迁移应用 如图3，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长． 【答案】(1)； (2)一致；理由见解析 (3) 【分析】（1）延长交于点H，根据旋转得出，，，根据勾股定理得出，，根据等腰三角形的性质得出，，根据三角形内角和定理求出，即可得出结论； （2）延长交于点H，证明，得出，，根据三角形内角和定理得出，即可证明结论； （3）过点C作于点N，根据等腰三角形的性质得出，根据勾股定理得出，证明，得出，求出，根据解析（2）得出． 【详解】（1）解：延长交于点H，如图所示： ∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，，， ∴根据勾股定理得：，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴． （2）解：线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论一致；理由如下： 延长交于点H，如图所示： ∵将绕点旋转得到， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴； 又∵，，， ∴， ∴； （3）解：过点C作于点N，如图所示： 根据旋转可知：， ∴， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， 根据解析（2）可知：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法． 16．（2024·江苏常州·中考真题）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，相交于点G，，，． (1)求证：是等腰三角形； (2)连接，则与l的位置关系是________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，平行线的判定： （1）证明，得到，即可得证； （2）根据线段的和差关系，易得，根据三角形的内角和定理，得到，即可得出结论． 【详解】（1）证明：在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴． 17．（2024·甘肃兰州·中考真题）综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点M，N分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点M逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明： 【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点E，交于点F，将绕点M逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接，，请直接写出的最小值． 【答案】（1）见详解，（2）四边形为平行四边形，（3） 【分析】（1）根据等边三角的性质可得，再由旋转的性质可得，从而可得，证明，即可得证； （2）根据等腰直角三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得，，从而可得，由平行线的判定可得，证明，可得，利用等量代换可得，再由平行线的判定可得，根据平行四边形的判定即可得证； （3）过点A作，使，连接、，，延长，过点G作于点O，根据等腰三角形的性质可证，证明，可得，从而可得当点G、M、C三点共线时，的值最小，最小值为的值，根据平行线的性质和平角的定义可得，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求得，从而可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明∵为等边三角形， ∴， ∵绕点M逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：四边形为平行四边形，理由如下， ∵，， ∴， ∵绕点M逆时针旋转得到， ∴，， ∴， 则， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则四边形为平行四边形； （3）解：如图，过点A作，使，连接、，，延长，过点G作于点O， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点G、M、C三点共线时，的值最小，最小值为的值， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定、旋转的性质及等边三角形的性质，熟练掌握相关定理得出当点G、M、C三点共线时，的值最小，最小值为的值是解题的关键． 18．（2024·辽宁·中考真题）如图，在中，，．将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，垂足为．    图1                图2                   图3 (1)如图1，求证：； (2)如图2，的平分线与的延长线相交于点，连接，的延长线与的延长线相交于点，猜想与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿折叠，在变化过程中，当点落在点的位置时，连接． ①求证：点是的中点； ②若，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2) (3)30 【分析】（1）利用“”即可证明； （2）可知，证明，则，可得，则，故； （3）①翻折得，根据等角的余角相等得到，故，则，即点F是中点； ②过点F作交于点M，连接，设，，则，由翻折得，故，因此，在中，由勾股定理得：，解得：或（舍，此时） ，在中，由勾股定理得：，解得：，则，由，得到，，因此，故． 【详解】（1）证明：如图，      由题意得，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）猜想： 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：①由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即点F是中点； ②过点F作交于点M，连接，    ∵， ∴， 设，， ∴， 由翻折得， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 整理得，， 解得：或（舍，此时） ， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， ∵， ∴，， ∴点M为中点， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，翻折的性质，勾股定理解三角形，平行线分线段成比例定理，正确添加辅助线是解题的关键． $$