训练10 等比数列前n项和的应用-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步练测（人教B版2019）

训练十 等比数列前n项和的应用 灯”，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍 基傭练 巩固应用 加增：共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？” 1.数列{(-1)"n}的前n项和为S。,则S22 (“倍加增”是指从塔的顶层到底层).则宝 等于 ( 塔的顶层有 盏灯 A.1011 B.-1011 8.已知数列{an}是等差数列，a1=3,a3=7. C.2022 D.-2022 (1)求数列{a.}的通项公式； 2.记Sn为数列{an}的前n项和，若a1=1,ag (2)若b.=2十an,求数列{bn}的前n项 =2,且a.+2一an=1+(-1)+1,则Sm的 和T 值为 () A.5050 B.2600 C.2550 D.2450 3.我国古代一些学者提出：“一尺之棰，日取其 半，万世不竭.”用现代汉语叙述为：一尺长的 木棒，每日取其一半，永远也取不完.这样，每 日剩下的部分都是前日的一半.现把”一尺之 棰”长度看成单位“1”，则第一日所取木棒长 度为2，那么前四日所取术棒的总长度为 9.一航模小组进行飞机模型实验，飞机模型 A.1 R器 在第一分钟时间里上升了15米高度， (1)若通过动力控制系统，使得飞机模型在 c号 D别 以后的每一分钟里，上升的高度都比它前 一分钟上升的高度少2米，达到最大高度 4.数列{n·2"}的前n项和等于 后保持飞行，问飞机模型上升的最大高度 A.(n-1)·2"-2"+2 是多少？ B.(n-1)·2m+1十2 (2)若通过动力控制系统，使得飞机模型在 C.(n-1)·2" 以后的每一分钟上升的高度是它在前一分 D.(n-1)·2+ 钟里上升高度的80%，那么这个飞机模型 5.已知数列1an满足a,=号 上升的最大高度能超过75米吗？请说明 aag十…十a4w+1=a1am+1(n∈N),记 理由。 数列2的前n项和为S.,则Sm= A.2021·22021 B.2021·222 C.2022·22021 D.2022·2202z .数列a,的通项公式a,=mos受，前n项 和为S.,则S。= 7.我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比 类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装 19 ◆高中数学·选择性必修第三册(RJB) 能力练了凝移运用 创新练了素能骑优 10.我国古代数学名著《算法统宗》记有行程 14.“绿水青山就是金山银山”，中国一直践行 减等问题：三百七十八里关，初行健步不 创新、协调、绿色、开放、共享的发展理念， 为难.次日脚痛减一半，六朝才得到其关 着力促进经济实现高质量发展，决心走绿 要见每朝行里数，请公仔细算相还，意为： 色、低碳、可持续发展之路.新能源汽车环 某人步行到378里的要塞去，第一天走路 保、节能，以电代油，减少排放，既符合我 强壮有力，但把脚走痛了，次日因脚痛减 国的国情，也代表了世界汽车产业发展的 少了一半，他所走的路程比第一天减少了 方向工业部表示，到2025年我国新能源 一半，以后几天走的路程都比前一天减少 汽车销量占总销量将达20%以上.2021 一半，走了六天才到达目的地.请仔细计 年，某集团以20亿元收购某品牌新能源 算他每天各走多少路程？在这个问题中， 汽车制造企业，并计划投资30亿元来发 第四天所走的路程为多少里？ 展该品牌.2021年该品牌汽车的销售量 A.96 B.48 为10万辆，每辆车的平均销售利润为 C.24 D.12 3000元.据专家预测，以后每年销售量 11.已知等差数列{an}中，a3十a5=a,+7,a0 比上一年增加10万辆，每辆车的平均销 =19,则数列{a.cos n}的前2022项的 售利润比上一年减少10%. 和为 ( (1)若把2021年看作第一年，则第n年的 A.1010 B.1011 销售利润为多少亿元？ C.2021 D.2022 (2)到2027年年底，该集团能否通过该品 12.已知数列{an}的前n项和为Sn=3n2+ 牌汽车实现盈利？ 8n,{bn}为等差数列，且b,=4,b=10,则 (实现盈利即销售利润超过总投资，参考 数列 J(a.+1)+1 数据：0.9≈0.53,0.97≈0.48,0.9≈ 3(b,十2)" 的前n项和T。= 0.43) 13.已知等差数列{an}的公差d=2,且a1十 a=8,数列{b,}是首项为2的等比数列， 且满足b,2b2,4b成等差数列. (1)求数列(a.}与{b.}的通项公式： (2)设数列{c.}满足c,=2a,b.,求证：数 列{cn}的前n项和T<2. 20.a.=a,+(n-4)d=2n-2(n∈N). 14.解(1)周为a1+3a:+5a,+…+(2m-3)a,-:+(2n (2)由(1)可知b=a,=2X3-2=4, 1)a.=(n-1)3+1+2, ① 又正项等比数列{b}, 所以a,+3a+5a+…+(2n-3)a,-1=(n-2)3"+2 9-会=4g=2 (n≥2)， ② ①②两式相减，得(2n-1)a,=[(3m-3)-(n-2)]3” “T.-1X022=2-1. =(2n-1)3"(n≥2)， 1-2 所以a,=3"(n≥2)， 0 10.AB由a,=8a,可得g=g=8,即g=2,故A正确： 又当n=1时，得a1=2,不满足上式 a a=a·9,S=41-22 所以数列{a,}的通项公式为a,= 12,(n=1), 3",(n≥2). 1-2 =a1·2”-a41=2a.-a1 (2)由(1)知，S=2,所以S>2022不成立， 故D项错误：S=a(2-1).=a(g-1D受 当n≥2时，S=a1十a2十a1十…+an=2+3+3+… a(②-1=9，故B正确：又5，=a(g-1),S,5 +3”=-1+3+3+3+…+3”=-1+3×1-32 1-3 a1(2-1) =31-5 a(g”-q-q+1),S=a(g”-2g+1),故S,S=S 2 不成立，故C项错误，故选AB. 11.ABC由题意可得S.十3=3×2，S.=3×2”-3,a.= 南3-25>202，释3”>4040. S.-S-1=3×2-(n≥2)，当n=1时，a,=S,=3×2 令f(m)=3+1,则f(m)为增函数， 又2187=3=f(6)<4049<f(7)=3=6561. 一3=3，满足上式，所以数列{a,}的通项公式为a.=3 因此要使3"+1>4049成立，只需m≥7， ×2(n∈N).设等比数列{6}的公比为q,则bg 故使S.>2022成立的正整数n的最小值为7. +b,g=3×2"-1,解得b,=1,9=2,数列(b,}的通项公 式为b,=2(n∈N·),由等比数列的求和公式有T 训练十等比数列前n项和的应用 =2"-1.别有S=3T.,T.=2b-1,T<a.,T<b+1 1.AS2=(-1+2)+(-3+4)+…+(-2021+ 所以A,B,C错误，D正确，故选ABC 2022)=1011. 12.解析由数列{a}的前n项和S.,且满足a十S=1, 2.B当n为奇数时，a+:一an=2,数列{a,-1}是首项为 当n≥2时，a.-1十S.1=1, 1,公差为2的等差数列：当n为偶数时，a.+2一an=0,数 两式相减，可得a,一a-1十(S.一S.-1)=2a。一a-1=0, 列{a,}是首项为2，公差为0的等差数列，即常数列. 则S1m=(a1十a,+…+aw)+(a2+a,十…十a1m)=50 a-1 +50X49×2+50×2=2600. 2 令n=1,可得a十S=2a,-1,解得a,=2, 3.C由题意可知，每天所取饰分是以行为首项，号为公 所以数列口，表示首项为司，公比为号的等比数到， 比的等比数列，所以前四目所取木棒的总长度为 -(-1-传 ×(1-) 15 1 16 1一2 1一2 4.B设{n·2"}的前n项和为S., 所以三 1-() =2-1,所以++S+…十 则5.=1×2+2×2+3×2+…十n·2, ① a () a az 所以2S.=1×22+2X2+…+(m-1)·2"+n·2+1, 3=(2+2++2)-1+1+…+1)=20二22 ①-②，得-Sn=2十22+23十…十2”-n·2*4= a 1-2 9=210-11=1013. 21-22-n·2,所以5，=n·21-21+2=（n 1-2 答案1013 1)2+1+2. 13,解()由题意得a十d=4 la,+a1+4d=1 ,解得/0,1， d=3, 5B降标相减可得a01=号[m1-(m-1) .a.=1+3(n-1)=3n-2. a,](n≥2)， (2)6=a1=1,b=a=16,又b+1>b., 即2a,a1=na+1-(n-1)an(n>2), b,=4,公比q=2,S.=2”"-1, 变形得2=Ⅱ-一1(m≥2)， a,a+1 令2"-1<2022，得2"<2023， 令20<2023<2"，∴n的最大值为10. 降标相减可得2=1十1(m≥3). a。a.-ia.+1 45 可算得=2，上=3,1=4， S2=(6+b,)+(b,+6,)+…+(61+bm）=2× a 即（侵）是等送发到，可得士=a+1→名=(a+12 2022-=2022. 2 a. a. 12.解析数列{a,}的前n项和S.=3n+8n,.当n=1 所以S.=2·2+3·22+…+(n+1)·2", 时S1=a1=11, 所以25.=2·22+3·2+…+(n+1)·2+, 当n≥2时，a.-S.-S.-±=3m2+8m-3(n-1)'-8(n 错位相减可得S,=n·2+】 -1)=6n十5. 所以S2m=2021·22 又，a.=6n+5对n=1也成立，所以a,=6n十5. 6.解析Sm=(1×0-2×1+3×0+4×1)+…+(17×0 由题意可知，{6.}是等差数列，设公差为d,则2d=b -18×1+19×0+20×1) -b=6,.d=3, =(-2+4)+…+(-18+20)=2×5=10. ,.数列(b.}的通项公式为b.=b,十（一1）d=4十3(n 答案10 -1)=3n+1. 7.解析用数列{a.}每层塔灯的盏数，则{a,}成等比 数列， 设C,= (a.+1)_(6n+6)中 S,=381,顶层灯盏数为41，则9=2，所以S,= 36.+2)3(3m+3)=(n+1)2, 于是，T.=2×22+3×2+4×2+…+(m+1)×2+1, a1-22）=381,解得a1=3. 1-2 两边同乘以2，得2T.=2×2+3×2+…十n×2+1+ 答案3 (n+1)2 8.解(1)设等差数列的公差为d,则a=a1十2d,即7=3 两式相减，得-T.=8-(n十1)×2++(2十2+…十 +2d,解得d-2, 2)=8-a+1DX2*i+80=2）=-mX2, ∴.an=3+(n-1)×2=2n+1. 1-2 (2),b.=2十a.=22mt1+2m十1， 所以T.=n×2+ .=80二42+n3+2+D=2x4+m+2n 答案nX2+ 1-4 2 3 13.解(1)因为d=2,a1十a,=8, 所以2a1十4=8，解得a,=2. 所以a.=2+2(n-1)=2n 9,解(1)由题意可知，飞机模型每分钟上升的高度构成 a,=15,d=-2的等差数列，则 因为6为等比数到，6=号，且6,2弘，6成等差数 S=a,+n"2Dd=15n+nn,D×(-2) 列，所以46，=6十4b… 2 2 =-n2+16n. 设公比为g,则4g-49十1=0，所以g=2, 当n=8时，(S.)m=S,=64, 即飞机模型在第8分钟上升到最大高度为64米. 所以6-多·（合）-（合）八， (2)不能超过. 由题意，飞机模型每分钟上升的高度构成b=15, 所以a=26=(侵）广 q=0.8的等比数列， 则S.-61二2_151-082=751-0.8)<75， （2)证明：由①)可得c=子b.=n×(侵)广， 1-g 0.2 所以这个飞机模型上升的最大高度不能超过75米， 所以T,=1×2+2×(合)'+3×（合）'+…+(m 10.C由题意可知，每天所走的里程构成公比为2的等 D×(合)”'+x(合) ① -()] 2r.=1×(侵)广+2×（侵）'+3x(侵）广+…+m 比数列.设他第一天走了x里， =378 12 Dx(合)广+x(侵)， ② ∴x=192.第4天走了192 (侵)广=24里. ①-®得2工.=+（侵）'+（侵）广+…+（侵）- 11.D设(a.}的公差为d, 则有2a,+6d=a,+3d+7 传》】传产1- la+9d=19, 解得01， ld=2, 1-2 所以an=2n-1, 设b,=a,COS,则b十b=a1cosr十a:cos2x=2,b,十 2(侵)）， b,=a,c0s3x十a,c0s4x=2,…, 所以数列{a,cOs}的前2022项的和 所以T.=2-(n+2(2)广<2 46 14,解(1)设第n年的销售量为a。万柄，则该汽车的年 销售量构成首项为10，公差为10的等差数列， 5.A由巴知可得S+S十S,+S 4 所以a。=10n, =1+1+2)+1+2+4)+1+2+4+@）=6,a=6. 设第n年每辆车的平均销售利润为b。元，则每辆汽车 4 1 的平均销售利润构成首项为3000，公比为0.9的等比 6.解析因为a.= 元+√m+I 数列，所以b,=3000X0.91, 记第n年的销售利润为c,则c,=a.×b.=30000n× √m-n十I 0.91万元； (Wm-√m+T)(m+√m+I) 即第n年的销售利润为3n×0.9一亿元. =一√n十√m十1，所以数列{a.}的前k项之和为S一 (2)到2027年年底，设销售利润总和为S亿元， -1+2-2+√5-5+√4-…-√E++I= 则S=3(1+2×0.9+3×0.9+4×0.93+5×0.9十6 √十1一1=9，解得k=99 ×0.95+7×0.9), ① 答案99 0.9S=3(1×0.9+2×0.92+3×0.9+4×0.9+5× 1 0.9°+6×0.9°十7×0.9)， ② 7.解析a一a-1一n(m十1D’ ①-②化简得S=3(100-170×0.9)≈55.2亿元， 111 而总投资为20十30=50亿元， a-a=2X3=23' 因为55.2>50，则到2027年年底，该集团能通过该品 111 4-a,=3X4-3-4' 牌汽车实现盈利， 111 训练十一数列求和及综合应用 a-4-4X5-45 ee。。。 1.A因为{an}为等差数列且a1=1,d=1,所以a.=n,所 11 1=1-1 a.-a.-nx(n+1nn十1 11 100项和为（仔-）+（侵-）+ …十 从而可得a,一4=交n十可' (0)=1-1器故选A 印4-名周为a,<受，所以心号 答案[臣+o) 2.D由5-5a+54>40,即a+2>8,又a,=a,+ 8.解(1)证明：由题设，得a1十(n十1)=2(a.十n),而 4d,所以a,=a,-4d,则a+2d=a-4d+2d=as-2d a+1=2, ≥8，即a5≥8+2d,又as≤4，则8+2d≤4，解得d≤ (an十n)是首项、公比均为2的等比数列， 一2，选项中只有选项D满足. 故a.十n=2”,即a,=2"-m. 3.B当m=0时，显然满足a+,≤S.; 当m≠0时，数列{}是以m为首项，以受为公比的 ②南a咖6号（日2》小 m(1- 等比数列，所以S, 1- 2=2m1-2）, 1 9.解(1)由题意可得，(2a,+d)(3a,+3d)=36, 由a1<S.可得2<2m(1-是）即2m(2-1D≥m, 把a=1代入上式，得d=2或d=-5. d>0,∴.d=2,则a,=2n-1. 由2(2”-1)≥1恒成立，可得m>0. 综上可知m>≥0，故选B. 2)6=品=，则工=+是++… 4.A数列{a,}是公差不为零的等差数列，设公差为d, +2m1 则/8=5，J+2d=5, 27, 8=2a+729-42.解得侣 ld=1, 号红-+2++22+0， 21 2 所以a.=a1十(n-1)d=3十n-1=n+2, 两或作是得号，=1+1+号十…+品-20-3 2- 11 所以6=(m+2)(m+3)-n+2n+3 1-2m-1=3-2mt3. 所以数到6的项和5.=一-十-十…叶 2- 2" 2 T.=6-2m+3<6M6. 11=11 21 n+2n+33n+33m+9 故M的最小值为6. 47