训练9 等比数列的前n项和公式-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步练测（人教B版2019）

(2)a1aa=a9·aq3=aag'=18g=72, 14.解(1)从第一年起，每年车的价值（万元）依次设为 q=4,∴q=士2. a1a2,dg,",a. 9.解方法一设这个等比数列为{a,},公比为q, 由题意，得a1=13.5,a2=13.5(1-10%),a1=13.5(1 一10%)2，… 由等比数列的定义，知数列{a}是等比数列， ∴a,aa,=a9…ag·ag=a·g=(g）×() 首项a1=13.5,公比q=1-10%=0.9, .a.=a191=13.5×0.9. =63=216. .n年后车的价值为a+1=13.5×0.9”万元. 方法二设这个等比数列为a,,公比为q,则a=3, 8 (2)由(1)得a,=13.5×0.9≈8.9（万元）， a-号，由题高知aaa,也成等比数到且a>0, 用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元. d-号×号-64=6， 训练九等比数列的前n项和公式 1.C数列{2-}为等比数列，首项为1，公比为2，故其前 aeaa,=a·a,=a=216. 10,B设指入的第一个数为@，则插入的另一个数为号 9项率为8-器-2-1 2.Ca=3S,十2，a,=3S,十2，等式两边分别相减得a, 由a…号，20成等是载列得2X号-a十20 a1=3a,即aa=4a1∴.g=4. .a2-a-20=0,解得a=-4或a=5. 3.C由等比数列的性质可得S,S,一S.,S:-S。,S6 S2成等比数列，.7,14，S一21，S6-S成等比数列， 当a=-4时，插入的两个：的和为a十号=4： S:-21=28,.S1.=49,.16-49=56,.S6=105. 当a=5时，尚入的两个数的和为十号-17合 4C易知公比9≠1.由9S,-5,科9.a1二) 1-g 11.解析因为等比数列满足a1十a1-10,a2十a,-5, 41-g2,解得q=2。 1-9 所以日会号 又a1十a1=a1十a19=10,解得a,=8. 侣}是有项为1，公比为宁的等比数到 故=8·（侵） =2*-,loga,=log2-=4-n, ,.其前5项和为 31 1 16 所以log2a1+log2a,+…+loga.=3+2+1+…+(4 12 -m)=[3+(4-)]n=-m+7m 2 2 5.B由S=2a1-2(S1-5)得S1=是S,所以 答案二生 《S,}是以S=日=1为首项，2为公比的等比数列，所 12.解析设从2020年1月开始，第n个月该厂的生产惑 值是a。万元， 以8-（侵） 则a+1=a,十a,7m%,82=1十m%. 6.解析g=2,m=5,S.=62,11二42=62，即 a。 1-q ∴.数列{a.}是首项a1=a,公比q=1十m%的等比数 a1-22=62,a,=2. 列.a.=a(1十m%)-1 1-2 .2021年8月底该厂的生产总值为a地=a(1十 答案2 m%)20-1=a(1十m%)1(万元). 7.解析设等比数列的项数为2项，所有奇数项之和为 答案a(1+m%)” S,,所有偶数项之和为Sm,则9=S。:S,=2,又它的 13.解(1)根据所给图形规律可知：当n每增加1时，黑 首项为1，所以通项公式为a。=2,中间两项的和为a. 色小三角形的个数变为原来的3倍，即数列{a.}是以3 十a+:=2-1+2=24,解得n=4,所以项教为8. 为首项，3为公比的等比数列，∴a.=3·3"1=3. 答案8 (2)根据所给图形规律可知：当n每增加1时，去掉的 8.解设(a.)的公比为q,由题设得9=6， 小三角形的个数是原来的3倍再加1个： 6a1+a1g-30, 设去掉小三角形个数构成数列(6}，则b+1=36十1 解得/0=3， /a,=2, 又b1=1, 9=21 q=3. .6,=361十1=4，b,=3b十1=13，b=36+1=40,b 当a1=3,9=2时，an=3×2-1,5,=3(2°-1)： =36,+1=121,b,=36,十1=364， 当a1=2,q=3时，a.-2×3”-1,S,=3°-1. 即当n=6时，在大黑色三角形内共去掉364个小三 9.解(1)等差数列{a,}, 角形. .设公差为d,a。-a,=2d→2d=4→d=2, 44 .a.=a,+(n-4)d=2n-2(n∈N). 14.解(1)周为a1+3a:+5a,+…+(2m-3)a,-:+(2n (2)由(1)可知b=a,=2X3-2=4, 1)a.=(n-1)3+1+2, ① 又正项等比数列{b}, 所以a,+3a+5a+…+(2n-3)a,-1=(n-2)3"+2 9-会=4g=2 (n≥2)， ② ①②两式相减，得(2n-1)a,=[(3m-3)-(n-2)]3” “T.-1X022=2-1. =(2n-1)3"(n≥2)， 1-2 所以a,=3"(n≥2)， 0 10.AB由a,=8a,可得g=g=8,即g=2,故A正确： 又当n=1时，得a1=2,不满足上式 a a=a·9,S=41-22 所以数列{a,}的通项公式为a,= 12,(n=1), 3",(n≥2). 1-2 =a1·2”-a41=2a.-a1 (2)由(1)知，S=2,所以S>2022不成立， 故D项错误：S=a(2-1).=a(g-1D受 当n≥2时，S=a1十a2十a1十…+an=2+3+3+… a(②-1=9，故B正确：又5，=a(g-1),S,5 +3”=-1+3+3+3+…+3”=-1+3×1-32 1-3 a1(2-1) =31-5 a(g”-q-q+1),S=a(g”-2g+1),故S,S=S 2 不成立，故C项错误，故选AB. 11.ABC由题意可得S.十3=3×2，S.=3×2”-3,a.= 南3-25>202，释3”>4040. S.-S-1=3×2-(n≥2)，当n=1时，a,=S,=3×2 令f(m)=3+1,则f(m)为增函数， 又2187=3=f(6)<4049<f(7)=3=6561. 一3=3，满足上式，所以数列{a,}的通项公式为a.=3 因此要使3"+1>4049成立，只需m≥7， ×2(n∈N).设等比数列{6}的公比为q,则bg 故使S.>2022成立的正整数n的最小值为7. +b,g=3×2"-1,解得b,=1,9=2,数列(b,}的通项公 式为b,=2(n∈N·),由等比数列的求和公式有T 训练十等比数列前n项和的应用 =2"-1.别有S=3T.,T.=2b-1,T<a.,T<b+1 1.AS2=(-1+2)+(-3+4)+…+(-2021+ 所以A,B,C错误，D正确，故选ABC 2022)=1011. 12.解析由数列{a}的前n项和S.,且满足a十S=1, 2.B当n为奇数时，a+:一an=2,数列{a,-1}是首项为 当n≥2时，a.-1十S.1=1, 1,公差为2的等差数列：当n为偶数时，a.+2一an=0,数 两式相减，可得a,一a-1十(S.一S.-1)=2a。一a-1=0, 列{a,}是首项为2，公差为0的等差数列，即常数列. 则S1m=(a1十a,+…+aw)+(a2+a,十…十a1m)=50 a-1 +50X49×2+50×2=2600. 2 令n=1,可得a十S=2a,-1,解得a,=2, 3.C由题意可知，每天所取饰分是以行为首项，号为公 所以数列口，表示首项为司，公比为号的等比数到， 比的等比数列，所以前四目所取木棒的总长度为 -(-1-传 ×(1-) 15 1 16 1一2 1一2 4.B设{n·2"}的前n项和为S., 所以三 1-() =2-1,所以++S+…十 则5.=1×2+2×2+3×2+…十n·2, ① a () a az 所以2S.=1×22+2X2+…+(m-1)·2"+n·2+1, 3=(2+2++2)-1+1+…+1)=20二22 ①-②，得-Sn=2十22+23十…十2”-n·2*4= a 1-2 9=210-11=1013. 21-22-n·2,所以5，=n·21-21+2=（n 1-2 答案1013 1)2+1+2. 13,解()由题意得a十d=4 la,+a1+4d=1 ,解得/0,1， d=3, 5B降标相减可得a01=号[m1-(m-1) .a.=1+3(n-1)=3n-2. a,](n≥2)， (2)6=a1=1,b=a=16,又b+1>b., 即2a,a1=na+1-(n-1)an(n>2), b,=4,公比q=2,S.=2”"-1, 变形得2=Ⅱ-一1(m≥2)， a,a+1 令2"-1<2022，得2"<2023， 令20<2023<2"，∴n的最大值为10. 降标相减可得2=1十1(m≥3). a。a.-ia.+1 45训练九等比数列的前n项和公式 8.设等比数列{an}的前n项和为S.已知a2 基础练现固应周 =6,6a1十a3=30,求a.和S. 1.数列{2-1}的前99项和为 A.21o0-1 B.1-2100 C.29-1 D.1-29 2.等比数列{an}中，a3=3S2十2，a4=3S3十 2,则公比q等于 () A.2 R号 C.4 n 9.已知等差数列{an}满足：a4=6,ag=10. 3.已知{a,}是各项都为正数的等比数列，S (1)求数列{an}的通项公式； 是它的前n项和，若S=7,Sg=21,则S6 (2)设等比数列{b.}的各项均为正数，T 等于 ( 为其前n项和，若b1=1,b=a3,求Tm A.48 B.90 C.105 D.106 4.已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是 {an}的前n项和，且9S=S6,则数列 (1)的前5项和为 () a. 8或5 B沿减5 c沿 DE 5.已知数列{an}的前n项和为S.,a1=1,S。 =2a.+1,则S。等于 () A.2-1 &(侵 能力练了避移运周 c(得) 10.(多选)已知等比数列{an}的公比为q,前 n项和为Sn,且满足a。=8a3,则下列说法 6.已知等比数列{an}中，q=2,n=5,S=62,则 正确的是 () a1= A.q=2 7.一个项数为偶数的等比数列，它的偶数项和 是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间 Ba 两项的和为24，则此等比数列的项数为 C.S,S6,S,成等比数列 D.Sn=2am十a1 17 高中数学·选择性必修第三册(RJB) 11.(多选)已知数列{a.}的前n项和为Sn,点 创新练/素能培倪 (n,Sn十3)(n∈N”)在函数y=3×2的图象 上，等比数列{bn}满足b.十b+1=an(n∈ 14.已知数列{an}对任意n∈N满足a1十3a2 N“),其前n项和为T.,则下列结论错误 +5a3+…+(2n-1)an=(n-1)3+ 的是 十2. A.S,=2T B.T.=2bn+1 (1)求数列{an}的通项公式； C.T>a D.T,<6+ (2)设数列{a.}的前n项和为S.,求使得 12.已知数列{an}的前n项和Sn,且满足an十S S>2022成立的正整数n的最小值. =1,则3+S+S+…+S 13.已知等差数列{an}满足a2=4,a1十a5 =14. (1)求{an}的通项公式； (2)若等比数列(bn}的前n项和为S.,且 b1=a1,b=a6,bn+1>bn,求满足Sn< 2022的n的最大值. 18