5.5 数学归纳法-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步练测（人教B版2019）

第五章数列 而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余 加6万元，则该台机器购买若干年后的年平 定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这 均利润最大值是 样一个整除问题：将正整数中能被3除余2 A.8万元 B.10万元 且被7除余2的数按由小到大的顺序排成 C.12万元 D.14万元 一列，构成数列{a.},则a= 4.某银行设立了教育助学低息贷款，其中规定 A.103 B.107 一年期以上贷款月均等额还本付息（利息按 C.109 D.105 月以复利计算).如果小新同学贷款10000 3.湖北新冶钢有限公司（简称为“新治钢”）是 元，一年还清，假设月利率为0.25%，那么 中国现存最早的钢铁企业之一，素有中国 小新同学每月应还的钱约为(1.0025≈ “钢铁工业的摇篮”之称.该公司今年年初用 1.03) () 192万元购进一台机器投入生产，每年可以 A.833 B.858 给公司带来69万元的收入，但该台机器每 C.883 D.902 年需要进行维护，第一年需要维护费12万 提示请完成《素能提升训练)训练十二 元，从第二年起每年的维护费用比上一年增 5.5 数学归纳法 [学习任务] 1.了解数学归纳法的原理， 2.能用数学归纳法证明一些简单的命题， 自主学习探新知 课前预习双基落实 知识点数学归纳法的定义与证明 3.数学归纳法中的两个步骤 1.数学归纳法 在数学归纳法的两步中，第一步验证 (或证明)了当 时结论成立，即命题 一个与自然数有关的命题，如果 ；第二步是证明一种 关 (i)当n= 时，命题成立： 系，实际上是要证明一个新命题： (i)在假设n=k(其中k≥。)时命题成立 只要将这两步交替 的前提下，能够推出n= 时命题也 使用，就有 真 真… 成立.那么，这个命题对大于等于。的所有 真， 真…从而完成 自然数都成立 证明. 2.数学归纳法的证明形式 己微判断 记P(n)是一个关于正整数n的命题. 判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”）. 我们可以把用数学归纳法证明的形式改写 (1)应用数学归纳法证明数学命题时=1. 如下： (2)用数学归纳法进行证明时，要分两个步 条件：(1) 为真：(2)若 骤，缺一不可 () 真，则 也为真. (3)推证n=k十1时可以不用n=k时的 结论： 为真 假设. () 33 》高中数学·选择性必修第三册(RJB) 互动探究解疑难 要点归穷型难突破 探究一用数学归纳法证明恒等式 探究二用数学归纳法证明不等式 [例1]用数学归纳法证明：1×4+2×7+3×10 +十n(3n+1)=(n+1)(其中n∈N”). [例2]已知n∈N”,n>2,求证：1+二+】 2'3 ++1>m+1. 川规律方法川 川规律方法川 用数学归纳法证明不等式的四个关键 用数学归纳法证明等式的方法 (1)登证第一个n的值时，要注意n。不一定为1. 用数学时纳法证明与正鉴效有关的命题时，关键 若n>(k为正整数)，测”=十1. 在于先“看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边 (2)证明不等式的第二步中，从n=k到n=k十1 各有多少项，项的多少与的取值是否有关，由n=k 的推导址程中，一定要用归纳假设，不应用归钠假设的 到n=十1时，等式两边会增加多少项：再“两凑”，将 证明不是数学归纳法， n=k十1时的式子转化成与归纳假设的结构相词的形 (3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有 式—凑假设，然后利用归纳假设，经过恒等变形，得 两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证 到结论所需的形式一一凑结论， 明：二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第 二类形式往往要先对程取前k个值的情况分别脸证比 跟踪训练 较，以免出现判断失误，最后猜出从某个k侦开始都成 12 22 立的结论，常用数学归纳法证明， 1.用数学归纳法证明：X3十3×十…十 (4)用数学归纳法证明不等式的关就是由n=k时减 n2 立，得=十】时成立，生要方法有比较法，枝缩法等， n(n+1) (2n-1)(2n+1)2(21+1) ☑跟踪训练 2.用数学归纳法证明：对于任意大于1的正整 数，不等式十号十…十}<”都 成立 34 第五章数列 探究三归纳一猜想一证明 跟踪训练 [例3] 观察下列等式 3.在数列{an},{bn}中，a1=2,b1=4,且am,b。, 1=1 第1个等式 a.+1成等差数列，b。,a+1·b+1成等比数 2+3+4=9 第2个等式 列(n∈N). 3+4+5+6+7=25 第3个等式 (1)求a2a3,a4及b2,b3b: 4+5+6+7+8+9+10=49 第4个等式 (2)根据计算结果，猜想{a},{b}的通项公 照此规律下去… 式，并用数学归纳法证明. (1)写出第5个等式： (2)你能做出什么一般性的猜想？请用数学 归纳法证明猜想。 规律方法 (1)利用数学归纳法可以探素与正整数有关的 未知问愿、存在性问题，其荟本模式是“归纳一猜想一 证明”，廊先发现结论，然后经逻辑推理论证结论的正 确性 (2)“归纳一猜想一证明”的荟本步骤是“试脸 归纳一待想一证明”，高中阶段与数列结合的问题 是最常见的问题.这种方法更适用于已知数列的递 推公式求通项公式， 随堂巩固促应用 险证反惯迁移运用 1.用数学归纳法证明1十十号十…十2 3.用数学归纳法证明3-13加 3+>3m千对任意n <n(n∈N”,n>1)时，第一步应验证不等式 ≥k,(n,∈N)的自然数都成立，则k的最 小值为 A1+号2 1++2 A.1 B.2 C.3 D.4 4.(多选)一个与正整数n有关的命题，当n= C1+2+3 n1++号+3 2时命题成立，且由=k时命题成立可以 推得n=k十2时命题也成立，则下列说法正 2.用数学归纳法证明等式(n十1)(n十2)·… 确的是 () ·(n十n）=2”·1·3·…·(2n-1) A.该命题对于n=6时命题成立 (n∈N·),从k到k十1左端需要增乘的代 B.该命题对于所有的正偶数都成立 数式为 () C.该命题何时成立与k取值无关 A.2k+1 B.2(2k+1) D.以上答案都不对 c出 n 提示，请完成《素能提升训练》训练十三 354.B贷款10000元一年到期时本金与利息之和为 +2>牛2=件2=+)+打， 10000×(1+0.25%)2=10000×1.0025”(元). √+Ik+2 设每月还x元，则 所以当n=k十1时，不等式也成立 x+1.0025z+…+1.0025x=x.1-1.0025 综上所述，对一切n∈N°，n>2,不等式恒成立. 1-1.0025: 跟踪训练 1-1.0025 即x·1-1.0025 =10000×1.0025*≈10300， 2证明①当月=2时，左边=安=宁 所以x≈858，即每月应还858元. 右边=，左边<右边，成立： 5.5数学归纳法 ②假设当n=k(是∈N”,k≥2)时， 自主学习探新知 知识点 1.(i)m。(i)k+1 则当n=k十1时， 2.(1)P(%)(2)P(k)P(k+1)P(n) 边-+++…++中<+ 1 3.n=m。P(m。)为真递推若P(k)为真，则P(k十1) 也为真P(m,)P(m。+1)P()P(k+1) 1 k一1， 1=k=k十1)-1=右边 (k+1)<k十(k+1Dk+1k+1 微判断 .当n=k十1时，不等式成立. (1)×(2)√/(3)× 互动探究解疑难 综上可得，对于任意大于1的正整数： 探究一 [例1][证明]①当n=1时，左边=1×4=4，右边=1× 探究三 2=4,左边=右边，等式成立。 [例3][解](1)第5个等式5+6+7+…+13=81. ②假设当n=k(k∈N”)时等式成立， (2)猜测第n个等式为 即1×4+2×7+3×10+…十k(3k+1)=k(k+1)2. n+(n+1)+(m+2)+…+(3n-2)=(2n一1)2 那么，当n=k+1时，1×4十2×7+3×10十…十k(3k十1) 证明： +(k+1)[3(k+1)+1] ①当n=1时，左边=1，右边=(2-1)2=1，所以等式成立： =k(k十1)+(+1)[3(k十1)+1] ②假设n=k(k>1,k∈N”)时等式成立 =(k十1)(2十4十4) 即有k+(k+1)十(k+2)十…十(3k-2)=(2k-1)°， =(k+1)[(k+1)+1], 那么当n=k十1时， 即当n=十1时等式也成立， 左边=(k+1)+(k+2)+(k+3)+…十(3k-2)+(3k 根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N”都成立。 1)+3k+(3k+1)=k+(k+1)+(k+2)+·+(3k-2)+ 跟踪训练 (2k-1)+3k+3k+1 1证明⑩当有=1时，及一炎爱我主 =42-4k+1+8k=(2k+1)2=[2(k+1)-1], 四纸说言=时等文成这，即有议3十及5十…十 22 右边=[2(k十1)一1]，这就是说n=k十1时等式也成立. 根据①②知，等式对任何n∈N”都成立 k(k+1) 跟踪训练 (2k-1)(2k+1)2(2k+1D' 3.解(1)由已知条件得2b.=a,十a+1ai+t=b.b+1 23 (k+1) 则X3十3X十+2k-)2k+(2k+1)2+3 由此算出a1=6,a1=12,a,=20, -+1) b2=9,b=16,b,=25. (k+1)2 =(k十1)(k+2) 2(2+1)十(2k+1)(2k+3)2(2k+3) (2)由(1)的计算可以猜想a.=n(n十1)，b,=(n十1) 即当n=k十1时等式也成立. 下面用数学归纳法证明： 由①②可知对于任意的n∈N等式都成立， ①当n=1时，由已知a1=2,b=4可得结论成立： 探究二 ②假设当n=(k≥2且k∈N”)时猜想成立， [例2][证明]当n-3时，左边-1+1+1 即a=(k+1),b,=(k+1) 则当n=k十1时， 右边=√3十I=2,左边>右边，不等式成主 a+1=2b,一a=2(k+1)2-k(k+1)=k+3k+2=(k+ 假设当n=k(k∈N”,≥3)时不等式咸立， 1)(k十2)， 按中1上=十十在一、 4:-=十+2过（+2 (k+1) 当n=k十1时， 因此当n=k十1时，结论也成立 1+后+后+…++>雨+ 由①②知，对一初n∈N都有a,=n(n十1)，b.=(n十1) +1 成立. 17 随堂巩固促应用 考点二 1.B因为n∈N”,n>1,所以用数学归纳法应验证n=2 的情况，即1+号+号<2 a十B=au [例2][解](1)由根与系数的关系，知。 2.B当n=k时，左端为(k十1)(k十2)(k十3)…2k,当n= aB= k十1时，左端为(k十2)(k十3)…2k(2k十1)(2k+2),因 为(k十2)(k十3)…2k(2k+1)(2k十2)=[(k十1)(k十2) 代入6a-2a9叶6g=3,得601-2=3， a。a。 (k+3)…2k]2(2k+1),所以从k到k十1左端需要增乘 1 1 的代数式为2(2k十1)，故选B. 化简得a+1=乞0，十3 0当=1时号之是是不 (2)运明：因为a1=名4.十弓，所以a1一号 1 3-1843m=6 等式不成立：当n=2时，3+0=方'3十7， (a-) 青←号不等或不成立：当=3时号-器-是 2 1 2 又a,-3=2≠0，所以a,-3≠0， 品是品不等式成立：当=4时品 所以数列口一号}是首项为2公比为受的等比数列。 器-铝部一最铝>昌不等式减立，所以满足题 跟踪训练 意的是的最小值为3. 2.证明：数列{√S,是等差数列， 4.AB命题对于n=k(k∈N')时成立，那么它对于n=k 设公差为d,则d=√S,-√S=√a+a-va 十2也成立，若当n=2时，命题成立，则对n=4时，命题 =√/a1, 成立，从而对n=6时命题成立，假设当n=2m(m∈N”) 时，命题成立，则当n一2m十2时，命题也成立. ∴.S.=√a,+(n-l)√a=n√a1(n∈N"), 因此，该命题对于所有的正偶数都成立，当n为奇数时， .S=an(n∈N), 无法确定诚命题的真假 ∴当n≥2时，a,=S.-5-1=a,n-a,(n-1)'=2an-a1, 章末优化提升 当n=1时，2a1X1一a1=a1,a满足an=2an-a1, .{a,}的通项公式为a,=2an-a1(n∈N), 考点聚焦 考点一 .a.-a.-1=(2a1n-a1)-[2a(n-1)-a1]=2a1 [例1][解](1)因为在等比数列{a.》中，a,=1,a ∴(an}是等差数列. =16a2, 考点三 [例3][解析](1)设S=a,十a十…十as,Sa=a十 数列公比满足g-2=16,所以q=士2. a+…十a4y 当q=2时，a,=1·21=2"-1, 则有Sm-S4=(a一a)+(a,a)十…十(a6-as)=8d, 当q=-2时，a,=1·(-2)-1=(-2)- 8(a2十a1t) （2)当g=2时，S.=1·22)=2-1=255, 2 1-2 S48(a1+a) as 解得m=8: 2 当g=-2时，S.=·[二2)门=255，无正整数解， |S4十S.=640, 1+2 解得S,=288,S.=352, S.:S4=11:9, 不符合题意.所以m=8. 跟踪训练 因此45.3-g-8受-受-号 8 as S 9 1.解(1)设等差效列(a,}的公差为d, 则有a+d+a+2d=8, (2)3(a3十as)+2(a,十ao十au)=24, .6a4+6a1a=24, 14a+6d=3(a1+2d)+1, 整理得2a,十3d8解得d=2,所以a.=2m-1. ∴.a,十ao=4, a1=1, ÷5.-13a,tam2-13a,+a2_18X4-26. 2 2 由6n=2a,可知6=2a1=2,b+1-bn=2a+1-2a,=2d=4: 则数列{b}是首项b,=2,公差为4的等差数列， [答案](1)D(2)B 所以T.=2m+nm卫×4=2m 跟踪训练 2 3.BC若a1=9,数列(a,}的前10项或前11项和最大，则 (2)由b1,b,b,成等比数列，则有=bb, 因为bn=a.,所以(aa)=(aa1)·(aa,) an=0,即9+10d=0,d=一0故A错溪：由1a- 因为A≠0，所以整理得a=a1a, laal,得aiw=a2a,即(a,+2019d)2=(a1+ 则有52=1·(2t-1),解得t=13. 2020dD,整理得a1(2a1十4039d)=0,解得a1= 18