5.3.2 等比数列的前п项和&专题1 数列求和-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步练测（人教B版2019）

》高中数学·选择性必修第三册(RJB) 5.3.2等比数列的前n项和 第1课时等比数列的前n项和公式 [学习任务] 1.掌握等比数列的前项和公式及公式证明思路， 2.会用等比数列前n项和公式的有关性质解题. 3.会用数列的前n项和公式判断等比数列. 自主学习探新知 课前茂习双基落实 知识点一 等比数列的前n项和公式 和，则Sn,S2m一S。,Sm一Sn仍构成等比 数列 已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项 2.若{an}是公比为q的等比数列，则S,+m=S。 十 (n,m∈N,). 求和公式 g=1 a,g=1 S= 3.若{a.}是公比为q的等比数列，Sm,S每分 赵微判断 别是数列的偶数项和与奇数项和，则： 判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”） q)在其前2n项中，S (1)等比数列前n项和S.不可能为0. (2)在其前2n十1项中，S4-Sw=a1一ag十 ( a3-a4十…-a2n十agw+1 (2)若首项为a的数列既是等比数列又是等 (q≠一1). 差数列，则其前n项和等于a. () (3)若a∈R,则1+a+a2+…+a"1= 微练习 1.若数列{a.}为等比数列，且1十a2=1,a2十 1-a" 1-a () a,=4,则ag十a10日 知识点二等比数列前n项和的性质 2.已知一个等比数列首项为1，项数是偶数， 其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则 1.数列{a.}为公比不为一1的等比数列（或公 这个数列的公比为 比为一1，且n不是偶数)，S。为其前n项 互动探究解疑难 装点第堕难突玻 探究一等比数列前n项和公式的基本运算 [例1门在等比数列{a.}中： (1)若a1=1,a=16,且g>0,求S,: (2)若a,-,S-号求@和公比 川规律方法川 在等比数列{a.}的五个量a1a,t,S,中，a1与 《是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时， 均可以用a,与q表示a,与S,·从而列方程组求解，在 解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的。 这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用。 22 第五章数列 跟踪训练 3.已知一个项数为偶数的等比数列{a},所有 1.在等比数列{a.}中： 项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之 (1)若q=2,S,=1,求S8: 积为64，则a1 () (2)若a,十4，=10a,十a,=号求a,和S A.1 B.4 C.12 D.36 探究三利用前项和判断或证明等比数列 [例3]已知数列{an}的前n项和为S.,且S =3"+a(a∈R). (1)求数列{a.}的通项公式； (2)请讨论a的值，说明数列{a.}是否为等 比数列？若是，请证明：若不是，请说明 理由， 探究二等比数列前项和的性质 [例2](1)在等比数列{an}中，若S2=7,S =91,则S,= (2)已知等比数列{an}共有2n项，其和为 -240,且(a+a3+…+a2m-1)-(a十a,+… 川规律方法川 十44n)=80,则公比q= 本类题型，由含S的式子再奥似写出舍S,,的式 规律方法川 子，得到数列{a,》的一个递推式，在利用定义法判断时，常 处理等比数列前n项和有关问题的常用方法 采用的两个式子“=常数≠0)和“出一（常数≠0）有 (1)运用等比数列的前项和公式时，要注惑公比 a. g=1和g≠1两种情形，在解有关的方程（组）时，通常 差别，前者必须加上“n≥2”.否则n=1时a无意义. 用约分或两式相除的方法进行消元， (2)灵活运用等比数列首n项和的有关性质 跟踪训练 4,已知等比数列{a,}的前n项和S.=t·3"一 ☑跟踪训练 2.设等比数列{a.}的前n项和为S,若S,= 号则实数！的值为 3,S=15,则S。等于 5.记S。为等比数列{a.}的前n项和，已知a1 A.31 B.32 =1,Sn=aw+1十t,则t= C.63 D.64 随堂巩固促应用 险证反馈迁移运用 1.已知各项均为正数的等比数列{a.}的前3项和 2.设等比数列{a.}的前n项和为S.,若S+ 为14，a1=2,则数列{a的公比等于( S6=S,则公比q () A.1或-1 B.1 A.4 B.3 C.2 D.1 C.-1 23 事高中数学·选择性必修第三册(RJB) 3.记等比数列(an}的前n项和为S,若S2=4,:4.若数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sm S,=20,则S。= =3"+1一2k,则实数k= A.24 B.28 提示请完成《素能提升训练》训练九 C.48 D.84 第2课时 等比数列前n项和的应用 [学习任务] 1,会用分组求和法与错位相减法求数列的前项和. 2.会用等比数列的前项和公式解决实际问题. 自主学习探新知 深前预习双基落实 知识点一分组求和法 2,该方法一般适用于求一个 数列与 1.若an=b.士c。,且{bn},{cn}为等差或等比数 一个 数列对应项积的前n项和，即 列，可采用分组求和法求{a.}的前n项和. 若{b.}是公差d≠0的等差数列，{cn}是公 比q≠1的等比数列，求数列(bc.}的前n项 b,n为奇数， 2.通项公式为a.= 的数列，其 和S。时，也可以用这种方法。 cn,n为偶数 中数列{bn},{c}是等比数列或等差数列， 赵微思考 可采用分组求和法求和， [思考]如果Sn=a1十aq十aq十…十 赵微练习 a,g"-1,其中{a}是公差为d的等差数列， 已知数列{a.}的通项公式为an=2"十n,前n q≠1.两边同乘q,再两式相减会怎样？ 项和为S。,则S。= 知识点二错位相减法 L.推导等比数列前n项和的方法叫 法. 互动探究解疑难 要点归纳重滩爽骇 探究一分组转化法求和 [例l]已知等差数列(a.}的前n项和为S., 且满足a3=8,S3=2a2. (1)求数列{a.}的通项公式； (2)若数列{6}满足b。=a。十2+，求数列 {bn}的前2n项和Tm 川规律方法川 若一个数列本身既不是等差数列也不是等比数 列，但如果它的通项公式可以拆分为几项的和，而这些 项又构成等差数列或等比数列，即么就可以用分组求 和法，甲源数列的前？项和等于拆分成的每个数列前 n项和的和。 24 第五章数列 跟踪训练 跟踪训练 1.已知数列{an}满足am十am+z=2am+1,n∈ 2.已知数列{a.}的首项41=2，a.=3a。-1+2 N°，且a1=1,a十a,=22. (n≥2，n∈N'),bn=log(a.+1),cm=ab (1)求数列{a.}的通项公式： 十n. (2)记在区间(3"，3+1)(m∈N")上，{a.}的 (1)证明：{aw十1}为等比数列： 项数为b,求数列{b}的前m项和. (2)求数列{c.}的前1项和S. 探究二错位相减法求和 [例2]①S,=4S2,a2n=2am十1：②am十an+i =4n:③a.>0,4S。=(a.+1)2.从这三个条 件中任选一个填入下面的横线上并解答. 已知数列{a}是等差数列，其前n项和为 探究三等比数列前项和公式的实际应用 S.n∈N°，若 ,(注：如果选择多个 条件分别解答，按第一个解答计分) [例3]某市2013年共有一万辆燃油型公交 (1)求数列{a.}的通项公式： 车.现计划于2014年投入128辆电力型公 (2)若b=3-1,令cn=ab.,求数列{cn}的 交车，随后电力型公交车每年的投人比上一 前n项和T。· 年增加50%.试问： (1)该市在2020年应该投入多少辆电力型 公交车？ (2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始 超过该市公交车总量的？ 川规律方法川 错位相减法的适用范围及注意事项 (1)适用范围：它主要道用千{a.}是等差数列， {D)是等比数列，求数列{ab.}的前n项和， (2)注意事项： ①利用“错位相减法”时，在写出S,与gS.的表达 式时，应注意使两式交铅对齐，以便于作差，正确写出 (1一g)S,的表站式. ②利用此法时要注意讨论公比《等于1的情况。 25 》高中数学·选择性必修第三册(RJB) 川规律方法川 ☑跟踪训练 解答数列应用题的步骤 3.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问 (1)审题一仔细阅读材料，认真理解题意 题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一 (2)建模—将已知条件盟译残数学（数列）语言， 尺.蒲生日自半，莞生日自倍.问几何日而长 将实际问题转化咸数学（数列）问题，弄清该数列的结 等？”意思是：“今有蒲草第一天长高3尺，莞 构和特征， 草第一天长高1尺.以后，蒲草每天长高前 (3)求解一求出该问题的数学解】 一天的一半，莞草每天长高前一天的2倍。 (4)还原—将所求结果还原到实际问愿中。 问：第几天蒲草和莞草的高度相同？”根据上 注意：判断数列类型的两个关键词：“平均变化量 述的已知条件，可求得第 天时，蒲 是常数”→等差数列：“平均变化率是常数”→等比 草和莞草的高度相同（结果采取“只入不舍” 数列， 的原则取整数，相关数据：1g3≈0.4771， 1g2≈0.3010). 随堂巩固促应用 验证反馈迁移运用 1.已知数列{an}满足a1=2,an十aw+1=(一1)”， 15 .(用 则数列{an}的前2021项和为 A.-1011 B.-1010 数字作答) C.1011 D.1012 4,古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有 2.已知数列{a.}的通项公式a, 2一1，则数 女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几 20 何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布 列{an}的前5项和S,等于 都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺， A别 B得 问：这女子每天分别织布多少？”根据上题的 已知条件，该女子第二天织布 尺 c罗 n器 提示请完成《素能提升训练》训练十 第3课时 数列求和及综合应用 互动探究解疑难 要点归编重雄突玻 探究一 裂项法求和 川规律方法川 (1)对于裂项后明星有能够相消的项的一类数列， [例1]公差不为0的等差数列{a。)的前n项 在求和时常用“梨顶法”，分式的求和多利用此法，可用 和为Sn,已知S4=9,且a2ag=a3a5· 待定系数法对通项公式拆项，相消时应注意消去项的 (1)求{4.的通项公式： 规律，即消去哪些项，保留哪些顶， (2)常见的拆项公式有 (2)令b,=】,求数列6.的前n项 a,u+ ①1=11 n(n十1)nn十 和T @a-2+D-(a2） 分十√m十I =m十T-√ 1 (+D(n+2-2L((nFD(+2)] 26 第五章数列 跟踪训练 川规律方法川 1.在①a2=7,a+a=26:②a1=3.S=63:③S (1)数列与不等式的结合，一般有两类题. =+2这三个条件中任选一个，补充在下面 一是利用基本不等式京解数列中的最值：二是与 数列中的求和何恩相联系，证明不等式或求解参数的 问题中，然后解答补充完整的题目. 取值范圆，此类问题通常是抓住数列通项公式的特征， 已知S。为等差数列{an}的前n项和，若 多采用先求和后利用放缩法或数列的单调性证明不等 式，求解参数的取值范围. (2)此类问题解答规律与方法， (1)求a.: ①函数方法：即构造函数，通过蕾数的单调性，极 值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的 (2)令b. (n∈N·),求数列{bn}的前 a。-1 不等式特殊赋值得出数列中的不等式： ②放缩方法：数列中不等式可以通过对中问过程 n项和Tw 或者最后的结果放缩得到： 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个 ②比较方法：作差或者作商比较 解答计分. 跟踪训练 2.已知数列{an},{bn}均为等差数列，其前n 项和分别为5且-1，若> 对任意的n∈N'恒成立，则实数入的最大值 为 ( A号 B.0 C.-2 D.2 探究三 探究二数列与不等式 数列的新定义问题 例2]已知数列{a.}的前t项和为S。,且满 [例3]定义向量列：a1,a2,a,…,a.从第二 足2Sn=3a.-3. 项开始每一项与它的前一项的差都等于同 (1)证明数列(an}是等比数列： 一个常向量（即坐标都是常数的向量），即a (2)若数列{bn}满足bn=loga.,证明数列 =aw-1十d(n≥2，且n∈N”),其中d为常向 么的前n项和T,<圣 量，则称这个向量列{a.}为等差向量列.这 个常向量叫做等差向量列的公差向量，且向 量列{an}的前n项和Sn=a十a2十…十an.已 知等差向量列{a.}满足a1=(1,1),a2十a,= (6,10),则向量列{a.}的前n项和S。= 川规律方法川 以数列为背量的新定义问题是高考命愿创新型试 题的一个热点，考查频次较高，解决新定义间题，首先 考查对定义的理解，共次是考查满足新定义的数列的 简单应用，主要考查综合分析能力，搞清定义是关键， 仔细认真地从前几项（特殊处，简单处）体会题意，在新 环境下灵活应用已有知识·从而找到恰当的解决方法. 27 ●高中数学·选择性必修第三册(RJB) 跟踪训练 {an}中，若au= 9-8,则数列{a,}的 3.对于数列{a.},若存在正整数k(k≥2)，使得 “谷值点”为 () a:<a-1,as<ag+1,则称ag是数列{an}的 A.2 B.7 “谷值”，k是数列{an}的“谷值点”.在数列 C.2,7 D.2,3,7 随堂巩固促应用 验证反饿迁移运用 2 1.如果数列{a,}的通项为a,=2m气，那么数 3.若设数列{a.}的前n项和为S.,且a. og+》,则满足S>10的u的最小值 列2的前n项和S,一 为 2.若一个数列从第二项起，每一项与前一项的 4.已知数列{a.}的通项公式为an= 和都等于同一个常数，则称此数列为等和数 ,则数列{a.}的前n项和S。 列，这个常数叫做等和数列的公和，设等和 √n+√n+2 数列{a.}的公和为3，前n项和为S.,若 S:21=3032,则a1= 提示请完成《素能提升训练)训练十一 专题1 数列求和 数列求和是数列问题中的基本题型，是数 川规律方法川 列部分的重点内容，在高考中也占据重要地 等差、等比数列的前项和 位，它具有复杂多变、综合性强、解法灵活等特 1)等差数列：S=a,+n",Ddd为公差)或 2 点.数列求和的方法主要有公式法、分组转化 S=a十a) 2 法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、并 21g=1, 项求和法等 (2)等比数列：S. a1-0)_a1-ag 其中 题型一公式法求和 1一 1-9 1≠1， 日为公比 [例1]求数列1,3+5,7+9+11,13+15+ 17十19，…的前n项和. 题型二 分组转化法求和 [例2]已知数列{a.}是等差数列，{b.}是等 比数列，b2=3,b=9,a1=b1,a14=b (1)求{a.},{b}的通项公式： 28 第五章数列。 (2)设c。=an十bn,求数列{cn}的前n项 川规律方法川 和S。· (1)对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列， 在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此法，可用 待定系数法对通项公式拆项，相消时应注意消去项的 规律，即消去哪些项，保留都些项。 (2)常见的拆项公式有 1 =11 ①(+D方n+T 川规律方法川 @2w-2+m(2n2）月 某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差 数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求 ① n+Jn+I =√n+I-m. 和公式分别求和，从司得出原数列的和 11 ⑤+(m+22Lnn+万(m+Dn+2J 题型三裂项相消法求和 题型四 错位相减法求和 [例3]设数列{a.}的前n项和为Sn,a1=1, [例4门已知数列{a.}满足a1=2,a,+1=2(S ,给出下列三个条件： +n+1)(n∈N°)，令b.=a.+1. 条件①：数列{an}为等比数列，数列《S。+ (1)求证：{b}是等比数列： a1》也为等比数列： (2)记数列{nb}的前n项和为T。,求Tw 条件②：点(Saw+1)在直线y=x十1上： 条件③：2"a1+2"-a2十…+2an=nan+1 试在上面的三个条件中任选一个，补充在上 面的横线上，完成下列两问的解答： (1)求数列{a.}的通项公式： 1 (2)设b,=joga+1·log:a+ ，求数列{bn》 的前n项和T. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个 解答计分. 川规律方法川 一般地，知果数列{，)是等差数列，(6》是等比数列， 泉数列(4，·b,)的前n项和时，可采用错位相减法，在写 出“S”与“g5”的表达式时应特别注意将两式“错项对 齐”，以便于下一步准确写出“S一S”的表达式 29探究二 跟踪训练 [例2][解析](1)因为上+⊥=a:+@,上十1 5.解析设这四个数分别为a,aqag,ag, d- 则a-1,ag-1,ag-4,ag-13成等差数列. =a,+a 2(aq-1)=(a-1)+(ag-4), 由等比数列的性质知a,an=a,a,· 12(ag-4)=(ag-1)+(ag-13) 所以1+1+1+1=g十a,十a,十a 整理 1a(g-1)°=3， ag(g-1)=6, 解得u=3,q=2. 因此这四个数分别是3,6,12,24，其和为45. 答案45 (2){a,为等比数列，.a1a=a,a,=64. 随堂巩固促应用 义a1十a=20, a,a,是方程f-201十64=0的两个根. 1.C5-2和5+2的等差中项为⑤+2)+5-2-5， 2 6=4,4=16..a=4,4,=16或41=16，a1=4. 、5-2和5+2的等比中项为士√/(5-2)(/5-2)=士1. 0当4=4a=16时，号=)=4， 2.D在等比数列{a,}中，由等比数列的性质可得 此时a4=a,g=4×4=64: a=aa=9,解得a,=3: @=164=4时，== 由2+6=1+7可得aa,=a1a,=9, 所以(aaw)-a,=92-3=78. 此时au=a,g=16×(子）广=1 3.解析国为{a,}是等比数列，所以a1十a2,a,十a,a:十 a也成等比教列.又因为a,十a一3，d十d,一6，所以d [答案)-号 (2)见解析 +a6=12. 跟踪训练 答案12 a1=2, 4.解析设公差大于零的等差数列{a.}的公差为d,则有 3.解析方法一设{a}的公比为g,则 a,g=12. >0,因为a:,4a依次成等比数列， 解得g=6..ao=a,g=a,9×(g)2=2×36=72. 所以有a=aau→(a,+7d)'=(a,+d)(a,+11d)→ 方法二(a。}是等北数列.∴a=a·am, 19df°=-ad. -c-12=144=72 因为d>0,所以a=一19d, 因此“-a,十114--8d=4 答案72 a:a,十d -18a-9 4.解析由于{a,}是等比数列， 答案 .a an=aan=aan=a,am=aa=aa=ai, ∴a1aa…a1,=(a)a,=a,而a=-2, 5.3.2等比数列的前n项和 ∴a1a,a…an=(-2)"=-2 答案-2 探究三 第1课时等比数列的前n项和公式 [例3][解]方法一设前三个数依次为4 a.aq. 自主学习探新知 则a·a·ag=216,所以a'=216.所以a=6 知识点一 a(1-g) 因此前三个数为6,6,6g.由题意知第4个数为124 1-1 ,g≠1 号 微判断 -6. (1)×(2)√(3)× 所以6十6+12g-6=12,解得9=号 知识点二 故所求的四个数为9,6,4,2. 2.g5. 方法二设后三个数为4一d,4,4十d, 3.(10g(2)4t9a十a 1-(-g) 1+4 则第一个数为子(4一》， 微练习 由题意知子(4-d×(4-d0×4=216, 1.解析，{a.)是等比数列， …a,十a:a,十aa十aa,十as,a,十an为等比数列， 解得4一d=6 所以d=一2. 且公比g-a十a=4,a,十an=1X4=256. a1十a, 故所求得的四个数为9,6,4,2. 答案256 10 2.解析设公比是9，项数为n(n为偶数)， (2)由题意知S4+Sm=-240,S+-Sm=80, 由题意得a1十a十…十a1=85,a4十a,+…十an= 170,a1g+as4+…+aw-4=170, ,-08-10g-受-2 ∴.(a十a+…+a.-)g=170,解得q=2. [答案](1)28(2)2 答案2 跟踪训练 互动探究解疑难 2.C方法一设等比数列{a.)的首项为41，公比为4. 探究一 若q=1,则有S,-a1,显然不符合题意，故g≠1. [例1][解](1){a}为等比数列，且a1=1.a,-16, s.=402=3.0 1-g ∴a=a19.16=g.∴g=2(g=-2,含去) 由已知可得 89-号-m s-a012-15.@ 1-g ②÷①得1十g=5,解得q=4, (2)0当9≠1时.5=1-2)-9 1-2 故q=2或q=-2. 若9=2，代入解得a,=1, 又a,=a·f=号a,1+g+)=号 北时s=a1二42=1X122)=63: 1- 1-2 中号1+g+)=是， 若q=一2，代入解得a,=一3， 光时5=092)=-3)X1--2)】=63.故 解得g=-一之g=1,合去)0，=6. 1一g 1-(-2) 选C. ②当q=1时，5，=3u1a=2 3 方法二在等比数列{a.}中，S2,S,-S,S一S,也成等 比数列，故(S,-S)产=S,(S。-S), a1=6, 3 a=2' 则(15-3)=3(S。-15),解得S=63. 综上得 。g 方法三设等比数列的公比为4 跟踪训练 则S=a1十a2=3,S.=a,十a:十a十a,=(1十g)(a1十 1.解(1)设首项为a1,q=2.5,=1, a)=(1+g)×3=15,解得g=4 :a2”-1,即a=高 故S=a:+az十a,+a十a十au=(1+q+q)(a1十a) 1-2 =(1十4+4)×3=63.故选C. s-4021-2y 3.C由题意可得所有项之和S,十Sm是所有偶效项之和 1一q 1-2=17. 5。的1倍，所以5，十5。=45，故5=号5，设等比 (2)设公比为，由通项公式及已知条件得 数列a.}的公比为，设该等比数列共有2k(k∈N)项， a,+a9=10,fa,(1+g)=10, ⊙ 则Sa=a:十a,十…十au=g(a,十a十…+a-t）=gS ag+ag=亭a0+=是 ② =号5所以q-子图为a=4a,4=64,可得a,= 1 a,≠01+g≠0@÷①样g=名， 因此a1==12. g=a,=8 探究三 [例3]解](1)由已知得当n=1时，a,=S=3+a: 当n≥2时，5.-S1=a=3”-3=2·3', 8×[-(合门 所以a,= (3+a,n=1, s-4,1-g2 2·3-1,m≥2. 1-9 2 (2)由(1)，得当a=一1时， 1一2 探究二 a,=2满足0.=2·31，且4=2·3 ,2·3=3, [例2][解析](1)：数列{a,)是等比数列，且易知公比9 此时，数列{a.}为等比数列： ≠一1， S,S一S,S一S也枸成等北数列， 当时-1时，最列a,的者项4=3十a会≠ 即7，S,一7,91一S,构成等比数列， 不满足等比数列的判定条件，所以数列{口，)不是等比数列 综上所运，当a=一1时，数列{4}是等比数列： ∴(5-7)=7(91-5，)，解得S=28或5，=-21. 当a≠一1时.数列【a.)不是等比数列. S,=ata:+a,+a=a+a;+ay+u:q=(a+u;) 跟踪训练 (1+g)=S,·(1+)>0, .S=28 4解析由S=1·3-号得5=号（信·3”-月 11 当q=1时，S.=na1,不符合题意. +(a,-a.1)g1-ag"=a1十d(q+g+…十g) 当9≠1时，S=,1-9)4 -a.1". 同样能转化为等比致列求和， ◆A=,号则5=Ag-D 互动探究解疑难 探究一 所以号=1，解得1=3. [例1][解](1)设{a.}公差为d, 答案3 依题意得 a+受44=2a+6d#特二2 5.解析设等比数列(a}的公比为g a1+2d=8. d=3, 若q=1,则a,=a,=1,S=n=a+t十t=1十t,不符合题 所以d,=a,十(n-1)d=2+3(n-1)=3n-1. 意若0且1，湖8--，吕-马 (2)因为6=a,+2, 所以T,=(a,十a十…十a.)+(2十2十…十2) :5,=ati十1=a,4+t=g+1, =2n(2+6n-卫+21-22)=6m+n十2t-4. 2 1一2 故 解得=一L, 跟踪训练 1.解(1)a.十a+=2a+t· .{a}为等差数列，设其公差为d, 答案一1 由a+a,=22.得a:+4d+a1+6d=22.又a,=1, 随堂巩固促应用 ∴.d=2,则a.=2n-1. L.C设数列{a.)的公比为q(g>0),因为等比数列{a,}的 前3项和为14，而a1=2,显然q≠1， (2由题及0)可得，6，-，3-1=-1， 2 所以14=21二2，即7=1+g十4.+g-6=0,9 .b+b+…+6=(3-1)+(3-1)+…+(3”-1) 1-g 9+3++--8x高-m写-m 3 =2或0=-3（舍）. 2.A由S,+S=S,得S=S,-S,即a,+a,+a=a 探究二 +a十a=g(a,十a2十a),则g=1,q=士1. [例2]解](1)若选摔条件①：设{a}的公差为d, 3.D由等比数列的性质，得S2,S,-S,S,一S成等比数 S,=45, 列，所以(S,-5,)2=5,×(S。-5,),即(20-4)=4× .1a1+6d=4(2a+d0,即2a1=d (S一20)，解得S.=84 a.=2a,+1. ∴a,十(2n-1)d=2[a+(n-1)d]+1,即a-d+1=0. 4.解析：S,=3一2k=3·3”一2k,且{a.为等比数 .a1=1.d=2.a,=2n-1: 列3-2张=0，即=是 若选择条件②： a.十a,t=4n 答案 ∴a,十a+:=4n+4, 两式相诚得a4:一a,=4. 第2课时等比数列前n项和的应用 叉：{a,}是等差数列， …a-2-a.-2d=4, 自主学习探新知 ∴d=2. 知识点一 a.十at=4n .a十a1=4, 微练习 解析S.=(2+2+2+2+2+2)+(1+2+3+4 ∴2a1+d=4 .a1=1, +5+6)=21-?2+61+62=2-2+21=2+19 ∴.4.=2m-1: 1-2 2 若选择条件③： =147. ,当n=1时，41=1， 答案147 当n≥2时，4S-,=(a-,+1).又45.=(an十1)y, 知识点二 两式相诚得(a,十a,-1)(a。一a-1一2)=0. L.错位相减 a.>0,a.十a-t>0. 2.等差等比 a。一a,1=2,数列{a.)是以1为首项，以2为公差的 微思考 等差数列， [提示]S=a十a2q十a+…十ag, ① …a,=2u-1. g5.=ag+a92+…+a-q1+a.g°， ② (2)c.=ab,=(2n-1)3 ①-②得，(1-q)S.=a,+(a-a,)g+(a-a:)g+… .T.=1×3°+3×3+5×3+…+(2m-1)×3,① 12 3T=1×3+3×32+5×3+…+(2m-1)×3”,② 随堂巩固促应用 ①-②：一2T.=1×3十2×3+2×3+…+2×3-1 1.D由题意可知，当n为偶数时，a,十a。,=(-1)”=1, (2n-1)×3", 因此，数列a,}的前2021项和为 -2T.=1+2(3+3+…+3”)-(2m-1)×3”=1+2× S,m=a1+(a,十a)+(a+a,)+…+(a,w十a:g)= 31-312-(2m-1)×3", 2+1×1010=1012. 1-3 化简得T.=(n一1)·3“十1. 2.C 为,1-，所以载列u,的5项 2 跟踪训练 2.解(1)运明：当≥2时，4十1=30十3 a+a.1+=3, S=5 - =5-1+-器 12 所以数列{a.十1}是以a,十1=3为首项，公比为3的等 比数列. 3.解析设S= 13十 1+ 2122 2 2 (2)由(1)知，数列{a.十1》是以3为首项，以3为公比的 5 1 等比数列， 2 十…十 2,两式湘减得2S=+2× +2×2 1 所以a,十1=3"，所以b,=log(a,十1)= C,=3, …+2X1 51 15749 所以S.=1×3+2×3+3×33+…+n×3°， ① 2 12 2512 3S.=1×32+2×3+3×3+.+n×3+, ② ①-②可得-2S=3+3+3+…+3”-1·3+ s瑞 -303”)-w·31=363- 一·31 答案 749 1-3 2 256 =-3+3-2…3 4,解析由题意可得，该女子每天所织布的长度构成等比 2 2 数列，设公比为g,首项为a1,前n项和为S。, 5=+（分）3 g=2. （g=2, 探究三 由题意可得 5 [例3][解](1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组 1-g 10 成等比数列{a,},其中a1=128.g=1.5,则在2020年应该 所以第二天织的布为a,=aq=3 投入的电力型公交车为a,=a,4=128×1.5=1458(辆1. 10 S. 1 答案 37 (2)记8=u,+a,++a,依题意，得10000+S>了 于是5-12811.52>5000. 第3课时数列求和及综合应用 1-1.5 中1.5>留则有e75,周光≥8 互动探究解疑难 答：到2021年底，电力型公交车的数量开始超过孩市公交 探究一 奉总量的 [例1][解](1)设{a.}的公差为d(d≠0)，由a,a=a:a, 得(a1+d)(a,+7d)=(a1+2d)(a1+4d), 跟踪训练 3.解析由题意得，蒲草的高度组成首项为a=3,公比为 :d0整理得d2a南S=9得3a+3d=9, 之的等比数列口，设共前m项和为A.:莞草的高度组 a=1,d=2. a,=a+(m-1)d=2n-1. 成首项为b=1,公比为2的等比数列{b},设其前n项 3- (2)由1D知么=2-12n+D号（己2n) 1 和为B.则A 2"-1 -,B.=2- .-(1-+号-+…+)-司 1 3(1-2】 跟踪训练 1- 多化简得+-70aN 1.解(1)若选择条件①：在等差数列{an}中， 解得2-6，所以1-报各-1+报器8， :/%7. a+十a,=26, 即第3天时蒲草和莞草高度相同， /4:+2d=7, 解得/0，=3， 答案3 2a+10d=26 ld=2, 13 ∴.an=a,+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1: 探究三 若逸择条件②：在等差数列{a,}中， [例3][解析]易知等差数列的性魔在等差向量列里而也 a,=3, 适合，类比等差数列的等差中项的性质，得2a=a:十a,= a=3 8=7a+7=.解 (6,10),解得a,=(3,5). ld=2. ∴a=a,+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1: 所以等差向量列{a,的公差为d=a二a=3,5)-(1,1) 2 2 若选择条件③：在等差数列(a,}中，：S,=n+2n, =3-1,5-卫_2,0=1,2. 2 ∴.当对=1时，a1=S,=3,当n≥2时.a,=S,一S。-1=n 类比等差数列的通项公式，得等差向量列（口，}的通项公式 +2n-(n-1)2-2(n-1)=2n+1,a1也持合. 为a,=a,+(n-1)d=(1,1)+(n-1)(1,2)=(1,1)+(n .an=2n+1. -1.2n一2)=(1+n-1,1+2n-2)=(n.2n-1). (2)由(1)得6.= a-1-(2m+1)-1-4n(n+D 进而再类比等差数列的前n项和公式，可以得到等差向量 列{a)的前n项和公式为 (分》 S=na+a）_m）+(n.2m-1D]-1+n,2m 2 2 +nn市}厂4m+D +2=()小 2 探究二 [例2][证明](1)由题意可得，当n=1时，2a1=2S,= [答案] 34-3, 跟踪训练 a,=3≠0， 当n≥2(n∈N°)时，2u,=2S.-2S-1=3a,-3-(3a.-1 3.C由a.= +号-8则a=24-4,=2a, 3)=3a.-3d。1· 7 1 9 4=3a7a,=3≠0d-0.于是有=3 当m≥7，n∈N时恒有n十9-8>0， 故数列{，)是以3为首项，3为公北的等比数列. 得证， -+是-8-+号-8，此时：时a递增， （2)由1)可知a,-3∴h-loga,-log3-n:a子 综上，a<aa:<aa,<aa,<a· .数列{a的“谷值点”为2,7. ①D 随堂巩固促应用 四 1.解析a,一2 2 1 2 11 @-得，2江=1++++…+六-子 3 小2m+(2m-1(2m+D-2n2+ “5-(片-)+（合-吉）+…+(0点 是-是-(+)· 2）小t8= 江=是 2n EN,版2>0， 答案21+门 2.解析a十a+1=3,.Sm=a,+(a:十a)+(a,+a)+ 1=是-3.13 …+(a:w+a:g)=a,+3×1010=3032,∴a,=2. 4Γ3<4 答案2 得证， 跟踪训练 &解析周为a,=log(1+）=log", 2心周为能列a,6均为学差数到，子-只 所以S=log是+log是+iog专++log"中 州以会- S1= 12-2(2m-1) =og(×号x×…x"）=ga+ T 2n-1+3 7-2m。9 由S,>10,可得1og,(1+1)>10,解得n>1023, n+司十一2单调递诚. 所以满足5.>10的n的最小值为1024. 当=1时会取释最大位为受降以哈∈（仁2昌] 答案1024 弟会>以对任意的n∈N板成立，所以C-2 4解析由题可知a。一十√n干2 故实数入的最大值为一2. 则a,=ym+2-n 2 14 所以S。=a1十a十…+a, 又a1=1,a:=S,+1=2,也适合上式， 则5-25-W-2h5-3++vn2一m. 故数列{a是首项为1，公比为2的等比数列， d=a1=2-. 所以5=2(V时2+Va-1-2. （2)由(1)知a,=2,6.=1oga·log,a. 答案号(+2++-1-2 111 n(n十1)nn十1 专题1数列求和 “工.=（什-）+（侵-）+（合）+…十 题型一 [例1门[解]所求数列的前n项中共有1+2+3+4+ …十m=1个连续的寺数，这些奇数组成等差数 题型四 2 [例4][解](1)证明：4，=2，a,=2(a,+1+1)=2X(2 列，首项为1，公差为2，故该数列的前n项和 +2)=8. s=×1+号×n×[-1]x2 a1=2(S,+n+1)(n∈N),① 2 2 2 a.=2(S.1+n)(n≥2)，②@ n(nt1+n(n+业[u(nD-1]= 「n(n+1)7 2 2 2 2 ①-②，4.+1=3a.+2(n∈N). n2(n+1) 经检验，当n=1时上式也成立，即a+1=3u,十 4 2(n∈N). 题型二 所以a+1十1=3(u。十1)，即b.1=3动.且6=3. [例2】[解](1)设等比数列6}的公此为9，则q= b 所以{b}是首项为3，公比为3的等比数列 (2)由(1)6.=3”，h=n·3”. =3,.6=bg2=3 所以T.=1×3+2×3+3×3+…+n×3”, 又41=b=1,4:兰6，=27，设等差教列{d)的公差为d, 3T.=1×32+2×3+3×3+…+n×3+, 则d=04=2. 两式相减，得-2T.=3十3+3十…十3一n×3+= 13 3(1-3) ∴a.=1+2(n-1)=2n-1. 1-3 -nX3+, (2)由(1)可得，C.=(21-1)+3-, T.=2m-1D·3+3 .S=(a,十a,十…十a.)十(h十b十…十b)=(1+3+ …+2m-1)+(1+3+…+3-) 5.4 数列的应用 =n(1+2-1)+1-3 2 +=+ 自主学习探新知 题型三 知识点一 [例3][解](1)选条件①： ,数列{S,十a1}为等比数列， 合+[aa-]x ∴.(S十a)=(S,十a,)(S十a1),脚(2a,+a2)2=2a 微练习 (2a1+a:+a1). D设每年偿还的金额为x元， 设等比数列{a,}的公比为g,∴.(2十q)=2(2十q十g), 则a(1+p)"=x+x(1+p)+x(1+p)2+…+x(1+ 解得q=2或q=0(金去)，∴a,=ag=2": 「1-(1+)"7 》,所以a1+p》=x[+分门：解得x 选条件②： =a(1+p)" 点(S.4+)在直线y=x1,at1=S.十1， (1+p)"-1 .a,=S.1+1(n≥2，n∈N), 知识点二 两式相减有a1=2a,即=2(m≥2. A(1+r) a. (1+r) (1+r)"-1 又a,=1,a,=S十1=2，也适合上式， 微判断 故数列{a,}是首项为1，公比为2的等比数列. (1)×(2)×(3) a.=ag=2': 互动探究解疑难 选条件③： 探究一 ,2"a,+2"-a+…+2a.=ma1· [例1门解]若不计复利，5年的零存整取本利是 .2a,+2a+…+2a,-=(n-1)a,(n≥2) 2000(1+5×0.065)+2000(1+4×0.065)+.十2000× 第二个等式两边同乘以2，由第一个等式与其相减可得 (1+0.065)=11950(元)： 2a,=a+1-2(n-10a,所以a1=2a,p±=2(n≥2. 若计复利，则2000(1+0.057)十2000(1+0.057)+… +2000(1+0.057) 15