5.2.2 等差数列的前n项和-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步练测（人教B版2019）

高中数学·选择性必修 第三册(RJB) 5.2.2 等差数列的前项和 第1课时 等差数列的前n项和公式 [学习任务] 1.了解等差数列前n项和公式的推导过程 2.掌握等差数列的前”项和公式. 3.熟练掌握等差数列的五个量a,d,n,a.,S.的关系,能够由其中三个求另外两个. 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点 等差数列的前n项和 微练习 1.记S.分别为等差数列a.的前n项和,若 己知量 首项,末项与项数 首项,公差与项数 a.-21-2n,则S。=. 求和公式 2.等差数列(a的前n项和为S.,且S一6. a-4,则公差d等于 D互动探究解疑难 要点归纳 凝破 探究一 等差数列前:项和的有关计算 Il规律方法l 等差数列中的基本计算 [例1在等差数列a.中 (1)利用基本量求值: (1)已知a-10,S-5,求a。和S。; 等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量 a.,d,n,a.和S,这五个量可以“知三求二”一般是利 (2)已知a-4.S-172,求a和d. 用公式列出基本量a.和d的方程组,解出a。和d,便 可解决问题,解题时注意整体代换的思想. (2)结合等差数列的性质解题: 等差数列的常用性质:若s十t-十g(x,1,p,q N.),则a+a.-a,+a,常与求和公式s_n(a+ya.) 2 结合使用. C跟踪l练 1.已知等差数列a的前n项和为S,且S -8,S.-1la. (1)求a.: (2)若S.-3a.十2,求n. 12 第五章 数 列 探究二 利用S.判断等差数列 探究三 等差数列前”项和的比值问题 [例2 若数列a.)的前n项和S.=2n}-3n [例3](1)记等差数列(a.)与)的前n项和分 一1,求数列a.)的通项公式,并判断数列 S a.)是否是等差数列,若是,请证明;若不 B 是,请说明理由 .0 (2)设等差数列a。)与等差数列{)的前 项和分别为S,T..若对任意自然数n都有 s.2n-3. △_的值为 &#:+6. b+b ( } #7# C.9 D.-1 I|规律方法I 41 (1)已知S.求a,其方法是a.一S一S.(n>2). 这里常常因为忽略条件“n2”而出错, IlI规律方法|I (2)在判断a.)是否为等差数列时,务必验证n-l (1)等差数列的前n项和的比值与项的比值之问 是否满足a(n一2)的情形. ①若a.适合a.,则a.-S一S.则la.l是等 S..T-. 数列。 (2)等差数列的项随项数而均句变化,这是等差数 1S-1. ②若a.不适合a.,则a.= s-Sn2nN. 列的最本质特征,而等差数列的性质则是这一特征的 具体反缺,利用等差数列的性质解题,就是要从等差数 则a.)不是等差数列。 列的本质特征入手去思考、推理分析题目,这样做必定 会获得事半功倍的效果。 C跟踪训练 2.已知数列a.)的前n项和S.-25n-2n.求 C跟踪训练 证:a)是等差数列 3.已知等差数列a.),b的前n项和分别为 S __ ( 4.已知等差数列a。)的前n项和为S.,若 S.-S. _~ ea B. _{ { C. 13 高中数学·选择性必修 第三册(RJB) 随堂巩固促应用 验证反 迁移运用 1.设S.是等差数列a。的前n项和,已知a 3.已知等差数列a.和。)的前n项和分别 ( ) -3.a.-11,则S.等于 为S。和T,且有a.十a。-2,b.十b-8,则 A.13 B.35 ~ C.49 D.63 B. C.2 D.3 2.已知等差数列a.的前n项和为S。,a= 15.S.一55,则数列a.的公差是 ( 4.已知数列的通项公式a.=一5n十2,则其前 1m A n项和S.一 B.4 提示请完成《素能提升训练》训练五 C.-4 D.-3 第2课时 等差数列前n项和的应用 [学习任务] 1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前:项和公式 2.会用等差数列前n项和公式解决实际问题 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点一 等差数列前n项和的性质 微思考 1.若数列a.是公差为d的等差数列,则数列 [思考]在性质3中,a.和a分别是哪两 项?在性质4中,a。是哪一项? 也是等差数列,且公差为 2.设等差数列a.)的公差为d,S.为其前n项 和,则S,S-S,S..-S...仍构成等 差数列,且公差为 3.若等差数列(a.)的项数为2n,则S。一n(a +a.),S-S= 知识点二 等差数列.的前n项和的最值 2 4.若等差数列(a.)的项数为2n+1,则S.= 表达式:s-+(a-).当≠0时。## s2 S.关于n的表达式是一个常数项为零的二 次函数式,即点(n,S.)在其相应的 14 第五章 数 列 函数的图象上,这就是说等差数列的前”项 (2)$.-+r(a一),若(0,则从二 和公式是关于”的二次多项式,它的图象是 抛物线#y-#+(a--)x上横坐标为正 次函数的角度看:当d>0时,S. 有 值;当d<0时,S.有 值当 整数的一系列孤立的点, 取最接近对称轴的正整数时,S.取到最值 2.等差数列前n项和的最值 微练习 (1)在等差数列a.中 1.已知数列a.)的前”项和公式为S.-2r^*}- 当a>0,d<o时,S.有 值,使S. 30n,则S.取最小值时对应的值为 (a.0, 取得最值的n可由不等式组 确定; a<0 2.已知数列a.)的前n项和为S。,若Vn 当a<0,d>0时,S.有 值,使s。 N*,a.=20-3n,则S.的最大值为 a<0. 取到最值的n可由不等式组 确定. a>0 D互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一 等差数列前项和的性质 IlI规律方法lI 利用等差数列前,项和的性质简化计算 [例1](1)在等差数列a。中,S。=120,且 (1)在解决等差数列问题时,先利用已知求出a。, d,再求所求,是基本解法,有时运算量大些。 S.11. (2)等差数列前n项和S.的有关性质在解题过程 中,如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半 功倍的效果。 (3)设而不求,整体代换也是很好的解题方法, (2)等差数列a.)的前n项和为30,前2n C跟踪训练 项和为100,求数列a.)的前3m项的 和S_ 1.在项数为2n十1的等差数列中,所有奇数项 的和为165,所有偶数项的和为150,则”等 于 2.一个等差数列的前5项和是10,前10项和 是50,那么它的前15项和等于 探究二 等差数列前n项和的最值问题 [例2]设S.是等差数列a.]的前n项和,a -7. .从①a.-a.-3(n三2); ②S=aa:中任选一个,补充在问题中并 作答: 15 高中数学·选择性必修 第三册(RJB) (1)求数列a。的通项公式; (1)求a。)的通项公式; (2)求数列a。)的前n项和S.的最值 (2)求数列(a。的前”项和T。 II规律方法lI I|规律方法|I 己知等差数列(a),求绝对值数列(la。|)的有关 (1)等差数列前n项和S.最大(小)值的情形 问题是一种常见的题型,解决此类问题的核心便是去 ①若a0,d<0,则S.存在最大值,即所有非负 摔绝对值,此时应从其通项公式入手,分析哪些项是正 项之和, 的,哪些项是负的,即找出正、负项的“分界点” ②若a<0.d>0,则S.存在最小值,即所有非正 项之和。 C跟踪训练 (2)求等差数列前n项和S.最值的方法 5.已知数列a.)是等差数列,a.一25,a.+a。十 ①寻找正、负项的分界点,可利用等差数列性质或 u。-66. la.0. 利用 0 来寻找。 (1)求数列a)的通项公式; ②运用二次函数求最值 (2)求数列a. )的前17项和S。. D跟踪训练 3.(多选)等差数列a.)是递增数列,满足a 3.,前,项和为S.,下列选项正确的是 A.d0 B.a<0 C.S.0时n的最小值为8 D.当n一5时S.最小 4.已知等差数列(a.中,a=9,a=a-8,则 a.)的前n项和S.的最大值为 探究三 求数列.的前:项和 [例3] 在等差数列(a.中,a。=-186,a。十 a1o-0. 16 第五章 数 列 随堂巩固促应用 验证反馈 开移用 1.一个等差数列共有10项,其偶数项之和是 是 ) 15.奇数项之和是12.5,则它的首项与公差 A.d<o 分别是 ~_ _ B.a-0 A.0.5.0.5 B.0.5,1 C.S>S. C.0.5.2 D.1,0.5 D.S.与S.均为S.的最大值 2.已知数列a.)满足a.=26一2n,则使其前n 4.已知在等差数列a.中,S.为其前:项和; 项和S.取最大值的”的值为 ( __ A.11或12 B.12 若S -9,a +a+a-7,则S-S= C.13 D.12或13 3.(多选)设a.)是等差数列,S.为其前项 提示请完成《素能提升训练》训练六 和,且S.<S一SS.则下列结论正确的 5.3 等比数列 5.3.1 等比数列 第1课时 等比数列的定义 [学习任务] 1.通过实例,理解等比数列的概念 2.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程 3.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形 自主学习探新知 课前预习 双基实 等比数列的定义 知识点一 微判断 1.一般地,如果数列o。从第2项起,每一项 判断正误(正确的画“”,错误的画“×”) 常数q, 与它的前一项之比都等于 (1)数列1,-1,1,一1,..是等比数列. ( 即{-恒成立,则称《a.)为等比数列,其 。 (2)若一个数列从第2项起每一项与前一项 的比为常数,则该数列为等比数列,( 中a称为等比数列的 ) .-q(nN且n (3)等比数列的首项不能为零,但公比可以 2.递推公式形式的定义: a. 为零. (4)常数列一定为等比数列. 17'5a-450.a-90..+a-2a-18 第2课时 等差数列的性质 [答案](1)35(2)180 跟踪训练 自主学习探新知 2. C 'a+a+a=12,3a.=12,则a=4. 知识点一 又a+a,-a.+a=a+a-2 等差 故a+a+...+a.-7a.-28. 微思考 3.A'数列x,a,,y和x,b,b,b,y各自都成等差数列, [提示] 插入的数分别为(1)3,(2)2,(3)0,(4)十b '.y=x+3(a-a),y=+4(b-b),3(a.-a.)-4 (__. 知识点二 二 1. 2d pd+qd' 探究三 5.递增 递减 [例3] [解] 设从第一年起,第n年的利润为a。万元, 微练习 则a-200,a-a.=-20(néN.). 1.C a.+a,-a:+a-10. ,每年的利润构成一个等差数列a.], 2.C 因为(a.,+a.)-(a+a)-(a,-a.)十(a 从而a-a.+(n-1)d-200+(n-1)x(-20)-22 $ -a)-2d,所以数列a.+a,+a,a+a,..是公 -20n. 差为2d的等差数列. 若a.<0,则该公司经销这一产品将亏损 互动探究解疑难 '由a.-220-20n~0,得n>11, 探究一 即从第12年起,该公司经销此产品将亏损 [例1][解](1)因为一1,a,b,c,7成等差数列,所以b 跟踪训练 4.B 设女子每天的织布数构成的数列为a.),由题设可 知{a)为等差数列,且a.-5,a-1,所以公差d 3的等差中项,所以a--1+3-1. 又c是3与7的等差中项,所以c-3+7-5. -10.故选B. -2 2 所以该数列为-1,1,3,5,7 随堂巩固促应用 即2ac-b(a+c). 5-2-2v5,所以a-5,即力,q的等差中项为5. btc ab c(h+c)+a(a+b) _ 士 因为 2.B 由等差数列的性质,得a.十a,-a。十a.,因为a.-2, C ac &+a&+b(a+e)a++2ac2(a+c)”2(a+e) a+a。-10,所以a。-8,故选B. 3.A .数列(a.)是等差数列,.',a.:-a.-d(常数). ac (a十c) ac b #所以十Ca十心 a十0#成等差数列. 对于A,b-b.=a.-a.,=-d,正确;对于B不一定 a’b'C 正确,如a.一n,则b一a一n{,显然不是等差数列;对于 跟踪训练 C.D..及一不一定有意义,故选A. 1.解析 因为8,a,2,b.c是等差数列. 4.解析 .a+a-2a.a,+2a+a=4a.-120 (8+2-2a. (a-5. 'a-30.2a,-a=(a,+a)-a=a=30. 所以a+b-2×2,得b--1, 1c--4. 答案 30 2+c-2b, 答案 5 -1 -4 5.2.2 探究二 等差数列的前n项和 [例2] [解析](1)方法一 设数列{a。),(。)的公差分别 为d.,d. 第1课时 等差数列的前:项和公式 因为a+b.-(a.+2d.)+(b +2d)-(a.+b)+2(d十 d)-7+2(d.+d.)-21. 自主学习探新知 所以d+d.=7: 知识点 所以a+b=(a.+b)+2(d.+d)-21+2x7-35 n(a.十a.) na+n(n-1) 方法二 .数列(a。),(b)都是等差数列, 2 2 .数列{a.十b也构成等差数列, 微练习 *.2(a.+b)-(a.+b)+(a.+b). 1.解析 因为a.-19,a。-1,所以前10项的和为S。 *.$21-7+a+..,+6-35 19+1x10-100. (2):a+a.+a+a+a-450, 2 答案 由等差数列的性质知a。十a。-a.+a.-2a。 选100 12 2.解析 由已知S-3a.+3d-3x4+3d-6,得d--2 跟踪训练 7(a+a)_7×2a.7a, 答案 -2 3.A 因为S.= 2 互动探究解疑难 11(6+b)11×26-11b, 2 探究一 T.= 2 2 [例1][解](1) 7a._ la=a.+5d-10. -3. '.a=a.+2d-10+2x3-16, 6(a+au)-3(a。+a),有3(a+a) 2 1la. =3,得 2. 2 2 2 解得a.-39. 随堂巩固促应用 'a-4+(8-1)d=39, d=5. a=39,d-. a+d-3, 1.C 方法一 设数列(a)的公差为d, la+5d-11, 跟踪训练 解 S.-8, 1.解(1)设公差为d,由已知 ts.=1la.) #3 2a.+d-8, #a. +a)7(a+a)7×(3+11)_49. 方法二由等差数列前”项和公式及性质知S。一 得 解得 9a.+36d-11(a.+3d). 2 所以a-2n+1. 2 2 (2)s-(3+2n+1)n_+2n, 2. B (a.)是等差数列,a=15,S=55,',5a=55,= 2 11.公差d-a-a.-4. 9(a十a)_9,T。 因为S-3a.+2,即n2}+2n=3(2n+1)+2 3.B 由等差数列的求和公式可得S.一 得”-4n-5-0, 解得n-5或n--1(舍去),所以n-5 2 探究二 2 4.解析 ① .a--5n十2,',数列(a.)是等差数列,且a= [例2][解].S=2n-3n-1, -3..S-”(-3-5n+2)n(5+1) 当n-1时,S=a-2-3-1--2; 2 ② 2 当 >2时,$=2(n-1)-3(n-1-1, 答案 n(5n+1) ①减②得a.=S.-S.-2n-3n-1-[2(n-1) 3(n-1)-1]-4n-5. 经检验,当n-1时,a.-4n-5不成立, 第2课时 等差数列前n项和的应用 1-2,n-1, 故a= (4n-5,n2, 自主学习探新知 故数列{a.)不是等差数列,数列{a.)是从第二项起以4 知识点一 为公差的等差数列. 1 跟踪训练 2.证明 由题意,得 2.md(mEN') ①若n>2,则a.=S-S=25n-2n}-[25(n-1) 3.nd 2(n-1)*]--4n+27; ②若n-1,则a.-S.-23,经检验满足上式 _ 故a.=-4n+27, 微思考 由,一a.一-4可知,数列(a.)是首项为23,公差为 [提示] 一4的等差数列. 中间两项,中间项. 知识点二 探究三 2a_ 1.二次 2.(1)最大 最小(2)最小 最大 8--20-10选项C正确 微练习 1.解析 .S.-2^-30n-2(n-15)-25,而n为正整 a.十_ (2)由题意,句+6一 a十a_ b+b b十b 数,..当n-7或8时,S.最小. 11(a.+a) 答案 7或8 11- 2 2.解析 因为VnN',a.=20-3n,所以a.-a.=-3 2 所以数列(a.)为等差数列,令a.=20一3n二0,解得 [答案](1)C (2)C 。 所以a .a.,.,a.o,a..a...,a<o. 方法二,因为a.=-3n十16, 则S.的最大值为S。6×(17+20-3×6)-57. $(13+16-3n)-(29-3n)- 2 答案 57 -#(-0)+1# 互动探究解疑难 探究一 故S.的最大值为S.一35,无最小值 S.+S.-120, 若(1)选择②,由(1)可知a.=一n+10, 1$.-65. 令a-0,解得n-10. 当n 10时,a.0;当n>10时,a. 0. '.S -S.=5d=10,所以d= 故S.的最大值为S。-S。-10×(9+0) 2 2-45,无最 (2)方法一 在等差数列中, .S,S-S,S-S成等差数列, 小值. '.30,70,S-100成等差数列. 跟踪训练 '270=30+(S-100).S=210 3.ABC 设公差为d,因为等差数列{a.)是递增数列,则d >0,故A正确;因为a.-3a,则a.+6d-3(a.+4d), 2 7d 即$-3(S-S)-3X(100-30)-210. n,则对称轴为n- [答案](1)2(2)见解析 时,S取得最小值,故D错误;由S→o,即”- 跟踪训练 (n+1)(a+a2-)-165, 0.即”-7n>0,解得n 0(舍去)或n>7.所以$0 1.解析 根据题意,得S. #% 时,n的最小值为8,故C正确。 n(a+a)-150. 4.解析 设等差数列(a.)的公差为d, S.二 2 "a-9,a=a-8,9+5d=9+d-8,解得d--2, 因为a.十a,=a.十a。, '.-9+(n-1)x(-2)-11-2n. .a0,d 0,.要使S.取得最大值,需满足 a.-11-2n>0. 解得.neN,# 答案10 a-11-2(n+1)<0. 2.解析 设等差数列前”项和为S,则S.一10.S.=50; .当n-5时,S.取得最大值为S-5×9+5X4× 由等差数列性质知S,S一S,S.一S。成等差数列, 2 .2(S.-S)-S+S-S. (-2)-25. 即2×(50-10)-10+S.-50,解得S.-120. 答案 25 答案 120 探究三 探究二 [例3][解](1)设a.)的公差为d, [例2] [解] (1)若选①,设等差数列{a.)的公差为d 因为a.--186,a。+a。=0. 由题意可得d-a.-a.:--3(n→2). 所以 l2a.+188d-0,” 因为a-a.+(3-1)×(-3)-7,解得a.=13, d-2 所以a=-3n十16; 故a.--188+(n-1)×2-2n-190. 若选②,设等差数列{a)的公差为d (2)设(a.)的前n项和为S.,则S.一n2一189n. a-7, {a-7, 5(a+a)_5a:-a:△ 当n95时,a.<0,所以T.-la |+la.|+la.|+..+ 由题意可得 解得{ a=-5. s5( la.l=-a.-a:-a-.-a, 2 所以T.-|S|-189n-n2; 当n96时,a.0, T.=la. I+lal+lal+.+laI+lal+..+la.l 故a.-a-2d-9,所以a.=-n+10. =-(a+a十...+a)十(a十...+a.) (2)若(1)选择①,由(1)可得a.=-3n十16. --2(a.+a.十..+a )十(a.+a.+..+a+a十.. 方法一。 la.--3n+13<0. +a)-S-2$-n-189n+17860. 解得13]之”1.又nN.,所以n-5. 所以T.一 (189n-”*,n<95. *-189n+17860,n>96. 当n5时,a.0;当n5时,a.<0. 跟踪训练 故S.的最大值为s。-5×(13+1)-35,无最小值. 5.解 (1)因为数列{a.)是等差数列,设公差为d, 2 因为a.+a+a-66,a-25, 1 所以a.+a.+d+a.+2d-66. 2.解析 依题意(a.)是公比q-的递增等比数列的通 所以d--3,所以a-25+(n-1)x(-3)-28-3n (2)设等差数列(a.)的前n项和为T。, 项公式,故可填a。--().(答案不唯一) 答案 a.--()”(答案不唯一) 所以当n9时,a.0;当n10时,a. 0. 互动探究解疑难 故S,=la|+.+lal+la。l+..+lal=a+.+ 探究一 a.-(a。+...+a) [例1][解](1)因为 la-aq. -2T,-T-2×9(25+1)17(25-23)-217. a-a。, 2 2 laq-2, 。 随堂巩固促应用 所以{ a-8, 1.A 由于项数为10,故S -$=15-12.5-5$ .d-0.5,由15+12.5-10a+10×9x0.5,得a= 由^{②得。}-4,从而-4,而a}-2, 2 0.5. 2.D'a=26-2n.'a-=-2(n>2,n ). (2)方法一 因为 (a+a-aq+aq-18, '数列(a.)为等差数列. la.+a-aq+a.q-9, 又a-24.d--2.i.S.-24n+n.-1x(-2)--^ 2 由得-,从而a-32.又a.1,所以32x +25---(n-5)+62. .neN..当n-12或13时,S.最大. 3.ABD.S<$=$>S.'a0,a=0,a<0. 'd0..S.与S。均为S.的最大值. 由q+a.q-18,得a.-32. S-S-a+a+a.+a=2(a,+a)<0 由a-a.q-1,得n-6. '.SS,故C错误. 跟踪训练 4.解析 .S,S-S,S一S.成等差数列, 1.A'ao-ang',而a.-5,o---3,v.an-405. 而S-9,$-S=a+a.+a-7,S-$-5 a: 答案 5 5.3 等比数列 +4),解得a-5,所以a-4.a。-6,所以--6 a 4 ##,以a,_4x()“).# 5.3.1 等比数列 答案4x() 第1课时 等比数列的定义 探究二 [例2] [解] (1)证明:当n=1时,a.=1,S=a+a 自主学习探新知 4a.十3. 知识点一 解得a。-6; 1.同一个 公比 当n2时,由S-4a.+3可知,S-4a+3, 微判断 两式作差可得a.-4a.-4a,-1, (1(2x (3)x(4)x 即-2a.-2(a.-2a). 知识点二 1.a_ 2.{~ 所以数列(a-2a.)是首项为4,公比为2的等比 微练习 数列。 1.解析 由a-d,得--4^,所以--.# (2)由(1)知a.-2a-4x2-l-2-*1, 两边同除以.,一1. a.-4(-)”eN. #一},#所以数列{#是首项为,公差为#等# 答案 .-4(-)eN 差数列, 2